浙江省绍兴市第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试卷（Word版附答案）

这是一份浙江省绍兴市第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试卷（Word版附答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“，”的否定为（ ）
A．“，”B．“，”
C．“，”D．“，”
2．已知全集，，,则图中阴影部分表示的集合
是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知幂函数在上单调递增，则实数（ ）
A．B．C．或D．
4．下列各组函数中, 表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5.当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能为（ ）
B． C． D．
6．针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航台湾.已知海面上的大气压强是，海面上的大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则当歼20战机巡航高度为，歼16D战机的巡航高度为时，歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的（ ）倍.
A．B．C．D．
7．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8.设函数，，，，，
记，，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
9.奇函数在的图象如图所示, 则下列结论正确的有（ ）
A．当 时,
B．函数在上单调递减
C．
D．方程有6个根
10.已知，且，则（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
11.设，，若，，互不相等，则（ ）
A． B． C． D．
12．定义在上的函数与，满足，，为奇函数，，若与恰有个交点，，…，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为的对称轴
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知,，则的取值范围是__________.
14.已知函数,若,则实数__________.
15.已知函数的反函数为，且有，若，，
则的最小值为__________.
16.已知实数，满足，则的
最小值是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(10分)
（1）计算；
（2）计算.
18．(12分)
在①；②“”是“”的充分条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合，
(1)当时，求；
(2)若_____，求实数的取值范围.【注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.】
19.(12分)
已知函数为偶函数.
(1) 求的值,并证明在上单调递增;
(2) 求满足的的取值范围.
20．(12分)
近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为505元．
(1)求的值；
(2)给出以下四个函数模型：①；②；③；
④．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域；
(3)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．
21.(12分)
已知函数，函数．
（1）当时，求函数的值域；
（2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．
22.(12分)
设函数．
(1)若在区间上的最大值为，求的取值范围；
(2)存在实数，使得当时，恒成立，求的最大值及此时的值.
绍兴一中2023学年第一学期期中考试
高一（数学）参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 3 15. 34 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(10分)
（1）计算；
（2）计算.
解：（1）
.……………………………………………4分(一共4处得分点，算对1处给1分)
.…………………………………………………………5分
（2）
…………………………………9分(一共4处得分点，算对1处给1分)
………………………………………………………10分
18．(12分)
在①；②“”是“”的充分条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合，
(1)当时，求；
(2)若_____，求实数的取值范围.【注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.】
解：（1）当时，，…………………………………………2分
，…………………………………………4分
；…………………………………………………6分
（2）由题可得，，
选择①，，，………………………………………………9分
，解得 ，
实数的取值范围是.…………………………………………………12分
选择②，由“”是“”的充分条件，，…………………………9分
，解得
实数的取值范围是.…………………………………………………12分
选择③，，，…………………9分
, ，解得
实数的取值范围是.…………………………………………………12分
19.(12分)
已知函数为偶函数.
(1) 求的值,并证明在上单调递增;
(2) 求满足的的取值范围.
解：函数为偶函数，
即，对任意恒成立，………………………2分
解得，
……………………………………………………………………………4分
任取, 则,………6分
, 可得， ……………………………………………7分
即,
在上单调递增.……………………………………………………………8分
(2) 由偶函数的对称性可得在上单调递减,………………………………9分
…………………………………………10分
, 解得,
∴满足的的取值范国是.………………………………………12分
20．(12分)
近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为505元．
(1)求的值；
(2)给出以下四个函数模型：①；②；③；
④．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域；
(3)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．
解：（1）第10天的日销售收入为505元，则，解得．………2分
（2）由表格中的数据知，当时间变长时，先增后减，①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型．
选择模型②：，………………………………………………………4分
由，可得，解得，
由，解得，，
，定义域为.………………6分（不写不扣分）
（2） ………………………7分
当，时，，
当且仅当时，即时等号成立，……………………………………………9分
当，时，为减函数，
所以函数的最小值为，…………………………………11分
综上可得，当时，函数取得最小值441．…………………………………12分
21.(12分)
已知函数，函数．
（1）当时，求函数的值域；
（2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．
解：（1）设，则，…………………………………………………1分
在上单调递增………………………………………2分
的值域是． ……………………………………………………………4分
（2）由不等式对任意实数恒成立得，………………6分
由（1）可知，． …………………………………………………………8分
，即，………………………………………10分
整理得，即，解得，
实数x的取值范围为．…………………………………………………………12分
22.(12分)
设函数．
(1)若在区间上的最大值为，求的取值范围；
(2)存在实数，使得当时，恒成立，求的最大值及此时的值.
解: (1)的图象是开口向上的抛物线，
在区间上的最大值必是和中较大者，而，………………2分
只要，即，得．………………………………………4分
(2) 方法1：
当时，恒成立，
，即.
①当时，如图所示，
在区间上单调递增，
，
故即而函数在上是增函数，
故，.
，此时，
.……………………………………………………………………………………6分
②当时，如图所示，
在区间上单调递减，
，
由不等式性质得，
即.
，
不可能成立.………………………………………………………………7分
③当时，如图所示，
，，
，，此式不成立.……………………………………9分
④当时，如图所示，
，，
故，
，
则，解得.……………………………………………11分
综上所述，的最大值是3，此时.……………………………………………………12分
方法二：由题意知，.………………………………………………5分
当时，恒成立，有，
即恒成立，
其几何意义是当时，拋物线位于直线和直线之间.………………………………………………………………………………………………6分
①当时，要使得取到最大值，则抛物线需经过点，且与直线不相交，
.
由得，………………………………………………………7分
则，………………………………………………………………………8分
∴，
则，解得.………………………………………………9分
②当时，要使得取到最大值，则扰物线需经过点，且与直线不相交，
，……………………………………………………………………………10分
，解得.
则抛物线与直线必有交点，
时，在时，不恒成立.…………………………………………11分
综上所述，当时，恒成立，的最大值是3，此时.…………12分
方法3：由题意知，.………………………………………………5分
当时，恒成立，，
即在时恒成立.
若存在实数使得不等式恒成立，则必有，………………7分
而函数在时，……………………………………8分
在时单调递增，其最大值为.…………………………9分
由，………………10分
整理得，
……………………………………………………………………………………11分
综上所述，的最大值是3，此时.…………………………………………………12分
∵当时，恒成立，
①若，则，此时在上单调递增,
，即
由得 ,
，此时，解得.
②若，即, 此时 ，
即 ，即 ，
，
又, 则,
当时， ，即， 解得.
令,
∴, 且与均在上单调递增,
当时，的图象在图象的下方，即此时，
∴不等式的解为，
10
15
20
25
30
50
55
60
55
50
1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
B
A
C
C
A
B
9
10
11
12
AB
ACD
AD
BCD
10
15
20
25
30
50
55
60
55
50