北师大版九年级数学下册第一章 直角三角形的边角关系（B卷·能力提升练）（原卷版）

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第一章 直角三角形的边角关系（B卷·能力提升练）班级 姓名 学号 分数 考试范围：全章； 考试时间：120分钟； 总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2022·广东梅州·九年级期末）2sin60°的值等于（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．【详解】解：2sin60°＝2×，故选：D．【点睛】本题考查特殊角三角函数值，熟知sin60°的值是正确计算的关键．2．（2022·山东·泰山外国语学校九年级阶段练习）如图，在Rt中，，，，则sinA的值为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据勾股定理求出AB，再根据正弦的定义：对边比斜边，进行计算即可．【详解】解：∵，，，∴，∴；故选D．【点睛】本题考查正弦的定义．熟练掌握正弦的定义是解题的关键．3．（2022·黑龙江大庆·九年级阶段练习）若，是一个三角形的两个锐角，且满足.则此三角形的形状是（　　）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定【答案】C【分析】根据非负数的性质可知，；根据 都是锐角可知，从而判断三角形的形状．【详解】∵，∴，，∴，，又∵，是一个三角形的两个锐角，∴，，∴此三角形的形状是等边三角形．故选C．【点睛】考查了三角形的形状问题、三角函数值和绝对值的非负性，熟记特殊角的三角函数值和绝对值的非负性是解答此题的关键．4．（2022·重庆八中九年级阶段练习）如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠BAC等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用勾股定理求出三角形三边长，再利用勾股定理逆定理判定三角形ABC是直角三角形，最后根据三角函数定义即可求解．【详解】解：∵小正方形的边长均为1，∴，∴，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴cos∠BAC=．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握两个定理．5．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学益民路分校九年级阶段练习）某游乐场一个不等臂跷跷板AB长 5.6 米，支撑柱 OH 垂直地面，如图 1，当 AB的一端A着地时，AB与地面的夹角的正切值为；如图2，当AB 的另一端 B 着地时，AB 与地面夹角的正弦值为，则支撑柱 OH的长为（     ）A．0.4 米 B．0.8 米 C．米 D．1.2 米【答案】D【分析】根据正弦的定义得到OH=OA，OB=3OH，根据题意列式计算即可．【详解】解：在Rt△AOH中，tanA=，设OH=3x，AH=4x，∴OA==5x，∴OH=OA，sinB=，∴OB=3OH，∵AB=5.6米，∴OH+3OH=5.6，解得：OH=1.2（米），故选：D．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．6．（2022·河北保定·九年级期末）小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆的高度与拉绳的长度相等，小明先将拉到的位置，测得为水平线），测角仪的高度为米，则旗杆的高度为（  ）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据，列出方程即可解决问题．【详解】解：设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，∴∴，∴（1-）x=1，∴x=．故选C．【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2022·云南玉溪·九年级期末）计算：4tan45°＝________．【答案】4【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可．【详解】解：4tan45°=4×1=4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握，是解题的关键．8．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校九年级期末）如果，那么锐角的度数为________°．【答案】30【分析】根据特殊角的三角函数值可直接得出答案【详解】解：∵，∴锐角A的度数为30°，故答案为：30．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键．9．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）在中，，，则_____________．【答案】或【分析】分两种情况，为锐角三角形或为钝角三角形，画出图形，求出结果即可．【详解】解：当为锐角三角形时，过点B作于点D，如图所示：∵，，∴，，∴根据勾股定理得：，∴，∴；当为钝角三角形时，延长，过点B作于点D，如图所示：∵，，∴，，∴根据勾股定理得：，∴，∴；故答案为：或．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，锐角三角函数的计算，解题的关键是画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，注意进行分类讨论．10．（2022·全国·九年级课时练习）如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处分别测得古塔项部C的仰角分别为45°和30°，已知高楼AB的高为24m，则古塔CD的高度为是______m（，，结果保留一位小数）．【答案】56.8【分析】在Rt△ACH中，CH=AH×tan∠30°=AH=BD，在Rt△BDC中，CD=BD×tan∠45°=BD，根据DH=CD-CH=BD-BD，可得BD-BD=24，即可求出BD，则问题得解．【详解】如图，根据题意可知四边形ABDH是矩形，AB=DH=24m，AH=BD，∠AHC=∠BDC=90°，在Rt△ACH中，CH=AH×tan∠CAH=AH×tan∠30°=AH=BD，在Rt△BDC中，CD=BD×tan∠CBD=BD×tan∠45°=BD，∵DH=CD-CH=BD-BD，∴BD-BD=24，∴BD=，∴CD=（m），故答案为：56.8．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解仰角的含义．11．（2022·江苏·西安交大苏州附中九年级阶段练习）如图，折线—中，，将折线—绕点A按逆时针方向旋转，得到折线—，点B的对应点落在线段上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接，若，则_____．【答案】##0.96【分析】连接，过点A作于F，作于H，易证四边形是矩形，可得．由旋转的性质可得，即可由“”证，可得，由等腰三角形的性质和勾股定理可求出，进而可求出，最后由余弦的定义求解即可．【详解】解：如图，连接，过点A作于F，作于H，∵，∴四边形是矩形，∴．由旋转的性质可知，∴，∴．∵∴．∵，∴，，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．12．（2022·河南驻马店·九年级期末）如图，直线AB与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，），D为线段AB上一动点（D点不与A、B重合），沿OD折叠，点A恰好落在△ABO的边上，则D点坐标是__________．【答案】（，）或（，-）【分析】由点A和点B的坐标可得∠OAB=60°，∠OBA=30°；设点A关于OD的对称点为A′；根据题意，需要分两种情况：①当A′落在边AB上时，②当A′落在边OB上时．画出图形，根据背景图形即可求解．【详解】解：∵A（3，0），B（0，-3），∴OA=3，OB=3，∴AB=6，∵∠OAB=90°，AB=2OA，∴∠ABO=30°，∠OAB=60°，设点A关于OD的对称点为A′．根据题意，需要分两种情况：①当A′落在边AB上时，如图，由折叠可知，∠OAA′=∠OA′A=60°，∠ODA=∠ODA′=90°，∴△OAA′是等边三角形，∴AA′=3，∴AD=AA′=，过点D作DE⊥x轴于点E，∴∠AED=90°，∠ADE=30°，∴AE=AD=，DE=AD=，∴OE=OA-AE=，∵点D在第四象限，∴D（，-）；②当A′落在边OB上时，此时点A′在y轴上，如图，由折叠可知，∠AOD=∠A′OD=45°，过点D作DE⊥x轴于点E，∴∠DEO=∠AED=90°，∠EOD=∠EDO=45°，∠ADE=30°，设AE=m，则OE=DE=m，∴m+m=3，解得m=，∴m=，∵点D在第四象限，∴D（，），故答案为：（，）或（，-）．【点睛】本题在一次函数背景下考查折叠问题，涉及含30°的直角三角形，等腰直角三角形的性质、解直角三角形等知识，包括分类讨论思想等，关键是根据题意作出图形，解三角形．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学益民路分校九年级阶段练习）计算：．【答案】【分析】直接利用零指数幂和负指数幂运算法则、绝对值的运算、特殊三角函数值分别化简得出答案．【详解】解：==【点睛】此题主要考查了零指数幂，负指数幂，绝对值的运算，三角函数值的运算，正确化简各数是解题关键．14．（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）已知：如图，在中，求的值．【答案】【分析】根据勾股定理求，再根据余弦的定义求得．【详解】解：在中，∴，∴．【点睛】本题主要考查勾股定理、余弦的定义，熟练掌握勾股定理、三角函数的定义是解决本题的关键．15．（2022·湖南湘潭·八年级期末）如图，一艘渔船以海里的速度由西向东追赶鱼群，在处测得小岛在船的北偏东方向；后，渔船行至处，此时测得小岛在船的北偏东方向．已知以小岛为中心，周围海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？【答案】没有危险，见解析【分析】根据题意可知，实质是比较C点到AB的距离与10的大小．因此作CD⊥AB于D点，求CD的长．【详解】解：作CD⊥AB于D，根据题意，（海里），，，在中，，在中，，∵，∴，解得，所以没有危险．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，“化斜为直”是解三角形的常规思路，常需作垂线（高），构造直角三角形．原则上不破坏特殊角（）．16．（2022·江苏·西安交大苏州附中九年级阶段练习）如图，在中，，点D是BC边上的一点，，，．(1)求AC和AB的长；(2)求的值．【答案】(1)8；(2)【分析】（1）解，求得，在中，勾股定理求得在中，在中，根据，即可求得的长，继而根据勾股定理即可得的长；（2）过点作于点，等面积法求得的长，然后根据正弦的定义即可求解．【详解】（1）解：∵在中，∴，∴在中，，又∵在中，，∴， ∴；（2）解：如图，过点作于点，∴，∵∴，∴在中，．【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．17．（2022·浙江·九年级专题练习）把矩形纸片ABCD，先沿AE折叠使点B落在AD边上的B'，再沿AC折叠，恰好点E也落到AD上，记为E'．(1)求∠B'EE'的度数；(2)求∠DAC的正切值．【答案】(1)22.5°(2)tan∠DAC＝【分析】（1）由折叠的性质可证明四边形ABEB'为正方形．△AEE'为等腰三角形．故AE＝AE'，由∠B'AE＝∠AEB'＝45°，可推出∠AEE'＝∠AE'E＝67.5°，进而∠B'EE'＝∠AEE'﹣∠AEB'＝22.5°；（2）设正方形ABEB'的边长为a，由勾股定理得AE＝＝AE'，B'E'＝AE'﹣AB'＝，由同角的余角相等可推出∠DAC＝∠B'EE'，由此tan∠DAC＝tan∠B'EE'＝，即可求得答案．（1）解：由折叠性质可知，∠ABE＝∠AB'E＝90°，AB＝AB'，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAB'＝90°，∴四边形ABEB'为矩形，又∵AB＝AB'，∴四边形ABEB'为正方形，∴∠B'AE＝∠AEB'＝45°，又∵沿AC折叠，点E也落到AD上，∴AE＝AE'，∴∠AEE'＝∠AE'E＝＝67.5°，∴∠B'EE'＝∠AEE'﹣∠AEB'＝67.5°﹣45°＝22.5°．（2）设正方形ABEB'的边长为a，如图所示：则AB＝BE＝EB'＝B'A＝a，AE＝＝AE'，∴B'E'＝AE'﹣AB'＝，由折叠可知，AC垂直平分EE'，∴∠DAC+∠AE'F＝90°，又∵∠B'EE'+∠AE'E＝90°，∴∠DAC＝∠B'EE'，∴tan∠DAC＝tan∠B'EE'＝＝＝．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练正方形的判定和性质是解题的关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）．(1)求，两点的高度差；(2)求居民楼的高度．（结果精确到，参考数据：）【答案】(1)9m(2)24m【分析】（1）过点作，交的延长线于点，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案．（2）过点作于，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．（1）解：过点作，交的延长线于点， 在中，，，．．答：，两点的高度差为．（2）过点作于，由题意可得，，设，在中，，解得，在中，，，，解得，．答：居民楼的高度约为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．19．（2022·上海黄浦·二模）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BC＝CD，BD、AC交于点E．(1)求证：ABCD；(2)已知BC＝6，AB＝10，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由角平分线定义得，．再由等腰三角形性质得．从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论；（2）先由勾股定理求出，再证△CDE∽△ABE，得，代入即可求得，然后由求解即可．（1）证明：∵BD平分，∴．∵，∴．∴，∴．（2）解：∵，∴．∵，，∴．∵，∴△CDE∽△ABE，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∴在中，．【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形和相似三角形的判定和性质是解题的关键．20．（2021·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学九年级阶段练习）已知操场上旗杆PQ的高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，在BQ延长线上的A处测得点P的仰角为45°．(1)试求A、B两点之间的距离；(2)小唐同学正在放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处．此时，B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上，在A处小唐同学背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，求A、C两点之间的距离．（结果可保留根号）【答案】(1)米(2)米【分析】（1）在Rt△BPQ和Rt△APQ中，利用特殊角锐角三角函数值，即可求解；（2）过A作AE⊥BC于点E，在Rt△ABE中，利用特殊角锐角三角函数值，可得米，在根据三角形外角的性质可得∠C=45°，再在Rt△ACE中，利用特殊角锐角三角函数值，即可求解．（1）在Rt△BPQ中，PQ=10米，∠B=30°，∴∠BPQ=90°-30°=60°，∴米，又在Rt△APQ中，∠PAB=∠APQ=45°，∴AQ=tan45°×PQ=10米，∴米；（2）解：如图，过A作AE⊥BC于点E，在Rt△ABE中，∠B=30°，米，∴米， ∵∠CAD=75°，∠B=30°，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，，∴米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（2022·浙江·九年级专题练习）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得FA＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．(1)椅面CE的长度为 　 　cm．(2)如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD的度数达到最小值 时，A，B两点间的距离为 　 　cm（结果精确到0．1cm）．（参考数据： ， ， ）【答案】(1)40(2)12.5【分析】（1）由平行线的性质可得∠ECB＝∠ABF，由锐角三角函数可得，即可求解；（2）如图2，延长AD，BE交于点N，由“ASA”可证 ，可得BN＝AF，可求NE的长，由锐角三角函数可求DE的长，即可求DH的长，如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，由锐角三角函数和等腰三角形的性质，可求DC的长，通过相似三角形的性质可求解．（1）解：（1）∵，∴∠ECB＝∠ABF，∴tan∠ECB＝tan∠ABF，∴，∴，∴CE＝40（cm），故答案为：40；（2）（2）如图2，延长AD，BE交于点N，∵FA，EB均与地面垂直，∴∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，在△ABF和△BAN中，，∴ （ASA），∴BN＝AF＝54（cm），∴EN＝BN−BE=9（cm），∵tanN＝，∴＝，∴DE＝8（cm），∴CD＝CE−DE=32（cm），∵点H是CD的中点，∴CH＝DH＝16（cm），∵，∴∠OCD=∠OBA，∠ODC=∠OAB，∴，∴＝＝＝，如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，∵HC＝HD，HP⊥CD，∴∠PHD＝，CP＝DP，∵sin∠DHP＝≈0.26，∴PD≈16×0．26＝4.16（cm），∴CD＝2PD＝8.32（cm），∵，∴∠OCD=∠OBA，∠ODC=∠OAB，∴，∴，∴，∴AB＝12．48≈12.5（cm），故答案为：12.5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、平行线的性质、三角函数、垂直定义以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形及全等三角形的判定及性质是解题的关键．22．（2023·上海市民办明珠中学九年级阶段练习）已知，在中，，，点P是边上的一个动点，连接，以为一边，在外作，交的延长线于点D．(1)当平分时，求的面积；(2)当时，求的正弦值；(3)设，，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围.【答案】(1)10(2)(3)【分析】（1）过点A作于点E．由题意易证，即可证明，得出．再根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可；（2）在（1）的基础上作于点F．由等积法可求出的长，再根据勾股定理可求出的长．又易证，即得出，代入数据即可；（3）过点P作交BC于点G，作于点H．即易证，得出．由题意可求出，根据，可求出，再根据勾股定理可求出，从而可求出，进而可求出．再根据平行线分线段成比例可得，即得出，从而可求出．最后将数据代入，即得出y与x的关系．（1）如图，过点A作于点E．∵平分，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴．∵，，，∴，∴，∴；（2）如图，在（1）的基础上作于点F．∵，∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴；（3）如图，过点P作交BC于点G，作于点H．∵，∴．又∵，∴．∴．由题意可求出．∵，∴，∴，∴，∴．∵，∴，即，∴，∴．∴，整理，得：．【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求角的正弦值，相似三角形的判定和性质等知识，综合性强，为压轴题．正确的作出辅助线是解题关键．六、（本大题共12分）23．（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）把大小不同的两个等腰直角△ABC与△DEC的直角顶点C重合，两个直角边也重合，按如图1所示的位置摆放，然后将△DEC绕点C逆时针旋转，如图2，连接AD，BE，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．(1)若0°＜α＜180°，求证：△ACD≌△BCE；(2)如图3，当点E在线段AD上时，①求∠AEB的度数；②若CD＝，BC＝5，求tan（α﹣90°）的值；(3)直接写出当△ACD的面积最大时α的值．【答案】(1)见解析(2)①90°；②(3)或【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，即可证明△ACD≌△BCE；（2）①设，表示出，根据三角形内角和定理即可求解；②根据，得到，在中，勾股定理求得即可求解．（3）设到的距离为，则，当时，取得最大值，即的长度，即可求解．（1）证明：△ABC与△DEC是等腰直角三角形，∴，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）①△ACD≌△BCE，设，，，，②，，，，，点E在线段AD上，CD＝，BC＝5，，设， ，在中，，即，解得或（舍去），，； （3）设到的距离为，则，当时，取得最大值，即的长度，0°＜α＜360°，当△ACD的面积最大时或．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，求正切，勾股定理，点到直线的距离，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．