数学九年级下册1 锐角三角函数课时练习

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培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．在中，，的余弦是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据角的余弦可进行求解．
【解析】解：在中，，则；
故选C．
【点睛】本题主要考查角的余弦，熟练掌握求一个角的余弦是解题的关键．
2．在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据锐角A的邻边a与对边b的比叫做∠A的余切，记作ctA．
【解析】解：∵∠C=90°，
∴=，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义．
3．在中，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用直角三角形中某锐角的正弦值为其对边与斜边的比值可以，，再代值计算即可．
【解析】∵，，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟悉掌握锐角三角函数的计算公式是解题的关键．
4．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则csA等于（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】利用60°的三角函数值解决问题．
【解析】解：∵∠C＝90°，sinA，
∴∠A＝60°，
∴csA＝cs60°．
故选：A．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，记住特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键．
5．的值等于（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解．
【解析】解：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
6．如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数的定义解答．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
则．
故选：C．
【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
7．把一个直角三角形的各边都扩大3倍，那么它的各锐角的正切值（ ）
A．扩大3倍B．缩小为原来的C．不变D．以上都不对
【答案】C
【分析】当将三角形三边均扩大相同的倍数，得到的三角形与原三角形相似，根据角度不变得到答案．
【解析】解：∵三角形各边长度都扩大为原来的3倍，
∴得到的三角形与原三角形相似，
∴锐角的大小不变，
∴各锐角的正切值不变．
故选：C．
【点睛】此题考查相似三角形的性质：三边对应成比例的两个三角形相似，以及求角的三角函数值．
8．在中，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则，根据勾股定理求得，再根据正弦的定义即可求解．
【解析】解：在中，，
设，则，
则，
根据正弦的定义可得．
故选C
【点睛】此题考查了三角函数的定义，涉及了勾股定理，熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理是解题的关键．
9．在中，，则的值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，然后根据正弦的定义即可求解．
【解析】解：根据勾股定理可得：AC＝＝，
∴sinB＝＝．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求一个角的正弦值，求出AC的长，正确理解正弦的定义是解题关键．
10．中，的值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，利用勾股定理求出BC，直接运用三角函数的定义求解即可．
【解析】解：如图，
∵AB=13，AC=12，
在Rt△ABC中根据勾股定理,
∴tanB=．
故选D．
【点睛】本题主要考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，解答此类题目的关键是画出图形便可直观解答．
11．已知∠A，∠B均为锐角，且csA＝，sinB＝，则下列结论中正确的是（ ）
A．∠A＝∠B＝60°B．∠A＝∠B＝30°
C．∠A＝30°，∠B＝60°D．∠A＝60°，∠B＝30°
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【解析】解：∵∠A，∠B均为锐角，csA=，sinB=，
∴∠A=60°，∠B=30°．
故选D．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
12．点关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据特殊角三角函数值，分别求出各点坐标，再求对称点坐标即可.
【解析】tan60°=，－cs60°=－，
∴M（，－），
∴M关于x轴的对称点M'（，）.
故选B.
【点睛】直角坐标系中，若两个点关于x轴对称，那么这两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若两个点关于y轴对称，那么这两个点的纵坐标相等，横坐标互为相反数.
二、填空题
13．cs45°-tan60°=________；
【答案】
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算．
【解析】解：原式．
故答案是：．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是记住特殊角的三角函数值．
14．如图，各三角形的顶点都在方格纸的格点上，则_______，_______，_______．
【答案】
【分析】将、、置于直角三角形中，进而求出、、的值即可．
【解析】解：如图所示，构造直角三角形，
∵在中，
，，
∵在中，
， ，
∵在中，
∵在中，
，，
∴；
故答案为；，．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是将所求角置于直角三角形中．
15．已知α是锐角，，则α等于 _________．
【答案】30°
【分析】先求出cs60°的值，然后求解即可．
【解析】已知α为锐角，cs60°=
∵sin30°=
∴α=30°
故答案为30°．
【点睛】此题重点考察学生对三角函数值的理解，掌握正弦值和余弦值是解题的关键．
16．在中，，则的形状是__________．
【答案】钝角三角形
【分析】根据非负数的性质得到，，从而求出∠A与∠B的度数，即可判断△ABC的形状．
【解析】∵
∴，
即，
∴，
∴
∴是钝角三角形
故答案为：钝角三角形
【点睛】本题考查了非负数的性质，三角形的分类与特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于csA的值的有______个
（1） ；（2）；（3）；（4）．
【答案】3
【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴csA＝＝＝．
故（1），（2），（4）正确．
故答案为：3．
【点睛】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．
18．如图，、分别是中、边上的高，，则________．
【答案】
【分析】根据求∠DAC的三角函数值．
【解析】∵、分别是中、边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键找出各个角之间的关系，利用等角的三角函数值相等，可以求得所求的角的三角函数值．
19．在中，．
【答案】6
【分析】根据，即可求得AB的长.
【解析】∵，
∴AB===6.
故答案为6.
【点睛】本题考点：锐角的正弦函数.
20．已知，且为锐角，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据锐角三角函数的取值范围列出不等式，然后转化为不等式组求m的取值范围．
【解析】∵α为锐角，
∴0＜sinα＜1，
则0＜2m-3＜1
解得PF；（2）PE>PF.证明见解析.
【解析】【试题分析】（1）在锐角范围内，正弦值随着角度的增大而增大. sin ∠EBP==sin 40°,sin ∠FBP==sin 20°，得PE >PF；（2）思路同（1），易得：PE>PF.
(1)∵ PE⊥AB,PF⊥BC,∴ sin ∠EBP==sin 40°,sin ∠FBP==sin 20°.
又∵sin 40°>sin 20°,∴>,∴PE>PF.
(2)∵α,β都是锐角,且α>β,∴sin α>sin β.
又∵sin ∠EBP==sin α,sin ∠FBP==sin β,
∴>,∴PE>PF.
【方法点睛】本题目是一道“正弦函数在锐角范围内的，随着角度的增大而增大”规律的运用.难度不大，容易解决.
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·河北·模拟预测）在△ABC中，∠A＝90°，若tanB＝0.75，则csC的值为（ ）
A．0.5B．0.6C．0.8D．
【答案】C
【分析】根据tanB的值，把AC、AB边长设为3t、4t，勾股定理求出BC边，再利用三角函数的定义求解csC．
【解析】在Rt△ABC中，∠A=90°，
tanB==0.75=，
设AC=3t，AB=4t，则BC=5t，
故，csC===0.8.
故选C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的计算、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．（2022·湖北恩施·二模）x为锐角，，则csx的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据锐角三角函数的概念求解即可．
【解析】解：如图，
设，，
∵，
∴
设，
根据勾股定理得，，
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求锐角三角函数值，正确理解边与边的比是解答本题的关键．
3．（2022·山西大同·三模）已知，，求的度数．小明经过思考后，画出如图所示的网格并把和画在网格中，连接得到，且．由此可知，．小明这种求解体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想B．分类思想C．统计思想D．方程思想
【答案】A
【分析】结合图形进行分析即可．
【解析】正切的定义几何网格图进行分析，属于数形结合思想，
故选：A
【点睛】考查了正切，解题的关键是了解各种数学思想的应用，难度不大．
4．（2019·江苏南京·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＞∠B，则下列结论正确的是( )
A．sinA＜sinBB．csA＜csB
C．tanA＜tanBD．sinA＜csA
【答案】B
【分析】本题可采用特殊值法，令，然后利用特殊角的三角函数值进行判断即可．
【解析】∵∠C＝90°， ，
∴可令．
A.，所以，故该选项错误；
B.，所以，故该选项正确；
C.，所以，故该选项错误；
D.，所以，故该选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数，掌握特殊值法在选择题中的应用是解题的关键．
5．（2019·福建·漳州外国语学校一模）按如图所示的运算程序，能使输出的值为的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据流程图以及锐角三角函数的定义，逐一判定选项，即可得到答案．
【解析】A. ，时，y=sin60°=，
B. ，时，y=cs45°=，
C. ，时，y=sin30°=，
D. ，时，y=cs45°=，
故选C．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
二、填空题
6．（2021·河南焦作·一模）2sin45°+tan60°=________．
【答案】
【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解析】解：原式==
故答案为：
【点睛】本题主要考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．
7．（2021·福建厦门·一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝_____．
【答案】60°
【分析】利用正弦定义计算即可．
【解析】解：如图，
∵sinB＝，
∴∠B＝60°，
故答案为：60°．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握正弦定义．
8．（2020·四川·成都市锦江区师一学校模拟预测）比较大小：______（填“”“”）．
【答案】
【分析】把余弦化成正弦,再通过角度大小比较正弦值的大小即可．
【解析】∵．
在锐角范围内，随的增大而增大，
∴，
∴．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，利用正弦余弦的关系进行大小比较即可．
9．（2022·北京市第七中学一模）如图，点在线段上，，， ，如果，， ，那么 的长是 _____ ．
【答案】
【分析】由已知条件，根据同角的余角相等得，根据得，求出，得出，利用和勾股定理即可得的长．
【解析】解：∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
设的长是x，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去负值），
故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数-正切，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
10．（2022·山东淄博·一模）已知是锐角，，则的值为_________．
【答案】##
【分析】由根据特殊角的锐角三角函数值可得，求出，即可求出的值．
【解析】解：∵，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
三、解答题
11．（2022·山东·临清市京华中学模拟预测）计算：
【答案】1
【分析】由绝对值的意义、特殊值的三角函数值、立方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则进行化简，即可求出答案．
【解析】原式＝3＋×﹣2﹣3＋2＝1．
【点睛】本题考查了绝对值的意义、特殊值的三角函数值、立方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行化简．
12．（2020·广东·揭阳市榕城区梅云华侨中学一模）如图，矩形ABCD中，BC＞AB，E是AD上一点，△ABE沿BE折叠，点A恰好落在线段CE的点F处，连结BF．
（1）求证：BC＝CE；
（2）设＝k．
①若k＝，求sin∠DCE的值；
②设＝m，试求m与k满足的关系式．
【答案】（1）证明见解析；（2）①；②m2＝2k﹣k2．．
【分析】（1）根据折叠的性质得到∠BEA＝∠BEF，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理证明；
（2）①根据矩形的性质、正弦的定义计算；
②根据题意用AD表示出AB、AD，根据勾股定理列式计算即可．
【解析】（1）证明：由折叠的性质可知，∠BEA＝∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠EBC，
∴∠BEF＝∠EBC，
∴BC＝CE；
（2）解：①∵＝，
∴AD＝5AE，
∴DE＝4AE，
∵BC＝CE，
∴CE＝5AE，
∴sin∠DCE＝＝；
②∵＝k，＝m，
∴AE＝kAD，AB＝mAD，
∴DE＝AD﹣AE＝AD（1﹣k），
在Rt△CED中，CE2＝CD2+DE2，即AD2＝（mAD）2+[AD（1﹣k）]2，
整理得，m2＝2k﹣k2．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、翻折变换的性质、锐角三角函数的定义，掌握翻折变换的性质是解题的关键．