初中数学北师大版九年级下册4 解直角三角形课后测评

这是一份初中数学北师大版九年级下册4 解直角三角形课后测评，文件包含第02课三角函数的计算解直角三角形原卷版docx、第02课三角函数的计算解直角三角形解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共81页， 欢迎下载使用。
课后培优练级练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．下列计算错误的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】利用特殊角的三角函数值逐个代入计算判断即可；
【解析】解：①，，故左右不相等，错误；
②，正确；③，错误；④，错误．
错误的有3个，
故选择：C
【点睛】本题主要考查特殊三角函数值的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．中，，a，b分别是、的对边，，运用计算器计算的度数（精确到）为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正切值与三角形边的关系即可求出．
【解析】解：∵，
∴设，
∴，
运用计算器得，，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，根据角正切值求出角的度数是解题的关键．
3．用计算器求的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据计算器的按键顺序可知.
【解析】根据计算器的按键顺序可知，正确的按键顺序是B选项，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据计算器的按键顺序，掌握计算器的按键顺序是解题的关键.
4．锐角满足，利用计算器求时，依次按键，则计算器上显示的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知，，根据特殊角的三角函数值即可求解．
【解析】解：由题意可知，，由特殊角的三角函数值可知
依次按键，显示的是的值，即的度数为．
故选C
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
5．在 Rt△ABC 中， C  90 ， AB  5 ， AC  4 ．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tan B B．ct B C．sin B D．cs B 
【答案】C
【分析】由勾股定理求得BC的长，进而可求得相应的三角函数值，进而判断各个选项的正误得到答案．
【解析】解：如图：
∵C  90 ， AB  5 ， AC  4
∴
∴，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，直角边BC的长为m，∠A＝40°，则斜边AB的长是（ ）
A．msin40°B．mcs40°C．D．
【答案】C
【分析】利用三角函数的定义即可求解．
【解析】解：∵sinA＝，
∴AB＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数，正确理解三角函数的定义是关键．
7．在△ABC中，∠C=90°，以下条件不能解直角三角形的是（ ）
A．已知a与∠AB．已知a与c
C．已知∠A与∠BD．已知c与∠B
【答案】C
【分析】根据解直角三角形的方法和计算进行判断．
【解析】解：∵已知a和A，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠B＝∠C－∠A，c＝，b＝csinB.
故选项A错误．
∵已知c和a，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴b＝，sinA＝，sinB＝.
故选项B错误．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知A和B，∠A＋∠B＝∠C＝90°，
∴只能知道直角三角形的三个角的大小，而三条边无法确定大小．
故选项C正确．
∵已知c和B，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A＝∠C－∠B，a＝csinA，b＝csinB．
故选项D错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查解直角三角形的方法，解题的关键是熟知解直角三角形的方法．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则csα的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用互余的性质证出∠ACD＝∠B，然后利用勾股定理求出BC的长，再求出∠B的余弦，即可得出答案.
【解析】解：∵CD⊥AB，
∴∠A +∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A +∠B＝90°，
∴∠B＝∠ACD＝α，
在Rt△ABC中，
∵，
∴cs∠B＝
∴csα＝.
故选A
【点睛】本题考查了求三角函数——余弦的值.在图形中找到α的等角是解题的关键.
9．已知△AOC，如图，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是（ ）
A．（acsα，asinα）B．（ccsα，csinα）
C．（asinα，acsα）D．（csinα，ccsα）
【答案】B
【分析】过A作AD⊥x轴，交x轴于点D，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出AD与OD，表示出A的坐标即可．
【解析】
解：过A作AD⊥x轴，交x轴于点D，
在Rt△AOD中，OA=c，∠AOD=α，
∴AD=csinα，OD=ccsα，
则A的坐标为（ccsα，csinα），
故选B．
【点睛】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
10．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为（ ）
A．18B．25C．32D．36
【答案】D
【分析】根据tan∠EFC＝，设CE＝3k，在Rt△EFC中可得CF＝4k，EF＝DE＝5k，由∠BAF＝∠EFC，由三角函数的知识求出AF，在Rt△AEF中由勾股定理求出k，代入可得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由折叠的性质得：∠AFE＝∠D＝90°，EF＝ED，AF＝AD，
∴tan∠EFC＝＝，
设CE＝3k，则CF＝4k，
由勾股定理得DE＝EF＝＝5k，
∴DC＝AB＝8k，
∵∠AFB+∠BAF＝90°，∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴tan∠BAF＝＝tan∠EFC＝，
∴BF＝6k，AF＝BC＝AD＝10k，
在Rt△AFE中，由勾股定理得AE＝＝＝5k＝5，
解得：k＝1，
∴矩形ABCD的周长＝2(AB+BC)＝2(8k+10k)＝36（cm），
故选：D．
【点睛】此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数等知识，解答本题关键是根据三角函数定义，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答．
二、填空题
11．计算：________，_______，_________．
【答案】 1 1 1
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算．
【解析】解： ，
，
，
故答案为：1，1，1.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊三角函数值.
12．用科学计算器计算：135×sin13°≈_____（结果精确到0.1）
【答案】301165.0
【分析】运用科学计算器分别计算乘方、开方及锐角三角函数的值即可求出答案．
【解析】解：原式＝135××0.22495≈135×3.605×0.225≈371293×3.605×0.225≈301165.0；
故答案为：301165.0．
【点睛】此题考查了计算器的应用，掌握科学计算器的使用方法是解题的关键．
13．运用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下，则计算器显示的结果是_________．
【答案】-1
【分析】根据计算器的按键代表的运算可得答案．
【解析】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是计算器的使用，掌握使用计算器是解题的关键．
14．在中，、、所对的边分别为、、．
（1）若，，则______；
（2）若，，则______；
（3）若，，则______；
（4）若，，则______；
【答案】
【分析】根据三角函数知识，结合勾股定理进行求解.属于基础题
【解析】
（1）若，，
（2）若，, ∴
（3）若，，
（4）若，，
【点睛】本题考查正切值得正确计算，掌握其定义才是关键.
15．在中，，
（1）已知： ，则__，___，________；
（2）已知： ，则_______，_______；
（3）已知： ，则______，_______，________；
（4）已知： ，则_______．
【答案】 45° 45° 6 8 12 60° 45°
【分析】（1）先利用勾股定理求出a，然后分别求出sinA，sinB即可得到答案；
（2）根据，，先求出b，然后求出a即可；
（3）根据，，即可得到，，，由此求解即可；
（4）根据，得到，即，即可求解.
【解析】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，，，
∴，，，
∴∠A=45°，∠B=45°，
故答案为：45°，45°，；
（2）∵，，
∴，
∴，
故答案为：6，8；
（3）∵，，
∴，，，∠A=60°
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12，，60°；
（4）∵，
∴，
∴，
∴∠A=45°，
故答案为：45°.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
16．在中，边上的高，则__________．
【答案】
【分析】由题意易得，则有，然后根据三角函数可得，，进而问题可求解．
【解析】解：如图，
∵AD⊥BC，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数值是解题的关键．
17．如图，菱形的边长为，，，则这个菱形的面积______.
【答案】60
【分析】由，易得的长，根据菱形的面积求解．
【解析】解：根据题意可得：
，
,
,
故答案为：60.
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义以及菱形的性质，解题关键在于能够根据三角函数求出菱形的高.
18．如图，在四边形中，，，，，则线段AD的长为___________.
【答案】
【分析】连结AC，先在Rt△ABC中，根据正切函数的定义求得tan∠ACB，进而求得∠ACB=30，于是AC=2AB=4，由∠BCD=120，得出∠ACD=∠BCD-∠ACB=90．然后在Rt△ADC中，利用勾股定理即可求出AD的长．
【解析】如图，连接AC，
在中，，， ，
，
∵，
，
，
，
，
在中，，，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，得出∠ACD=90是解答此题的关键．
三、解答题
19．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）1；（2）；（3）
【分析】（1）将角的三角函数值代入计算即可；
（2）将角的三角函数值代入计算即可；
（3）将角的三角函数值代入计算即可．
【解析】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【点睛】此题考查特殊角的三角函数值的混合计算，熟记角的三角函数值是解题的关键．
20．计算
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）先计算特殊角的正弦、余弦、正切值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得；
（2）先计算特殊角的正弦、余弦值，再计算二次根式的乘除法与减法即可得；
（3）先计算特殊角的正弦、余弦、正切、余切值，再计算二次根式的除法与加减法即可得；
（4）先计算特殊角的正弦、余弦、正切、余切值，再计算二次根式的乘除法与加法即可得．
【解析】（1）原式，
，
；
（2）原式，
，
；
（3）原式，
，
，
，
；
（4）原式，
，
，
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的加减乘除运算，熟记各运算法则是解题关键．
21．在Rt中，．
（1）已知，c，写出解Rt的过程；
（2）已知，a，写出解Rt的过程；
（3）已知a，c，写出解Rt的过程．
【答案】（1），，；（2），，；（3），由求出，
【分析】（1）由直角三角形的性质得出；由三角函数定义得出，；
（2）由直角三角形的性质得出；由三角函数定义得出，；
（3）由勾股定理得出，由三角函数定义求出的度数，得出．
【解析】解：（1），
；
，，
，；
（2），
；
，，
，；
（3），
，
，
求出的度数，
则．
【点睛】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理和三角函数．
22．如图，在中，是BC边上的高，，，．
（1）求线段的长度：
（2）求的值．
【答案】（1）5；（2）
【分析】（1）根据sinB=求得AB=15，由勾股定理得BD=9，从而计算出CD；
（2）利用三角函数的定义，求出cs∠C的值即可．
【解析】解：（1）∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵sinB=，AD=12，
∴AB=15，
∴BD=，
∵BC=14，
∴DC=BC-BD=14-9=5；
（2）由（1）知，CD=5，AD=12，
∴AC=，
∴csC=．
【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握好三角形边角之间的关系是解题的关键．
23．如图，菱形的边长为15，对角线交于点，．
（1）求的长；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据菱形的性质得出，得到Rt△AOB，再由正弦函数求出BO的长度，由勾股定理求出AO长度，从而计算出AC的长度即可；
（2）在中，根据正弦函数的定义即可求出．
【解析】解：（1）∵四边形是菱形，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）在中，，，
∴．
【点睛】本题考查了正弦函数的定义及计算问题，解题的关键是掌握正弦函数的定义．
24．如图，在中，，D是的中点，连接，过点B作的垂线，交延长线于点E．已知．
(1)求线段的长；
(2)求的值．
【答案】(1)25
(2)
【分析】（1）根据三角函数求出AB的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长即可；
（2）先运用勾股定理求出BC，再由于D为AB上的中点可得AD=BD=CD=25，设DE=x、EB=y，利用勾股定理列方程组即可求出x的值，最后运用正弦的定义即可解答．
（1）
解：∵在Rt△ABC中，AC=30，
∴csA=，解得：AB=50.
∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，
∴CD==25．
（2）
解：在Rt△ABC中，.
又∵AD=BD=CD=25，设DE=x，EB=y，则
在Rt△BDE中，①，
在Rt△BCE中，②，
联立①②，解得x=7
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，根据勾股定理列方程求解是解答本题的关键
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．下列式子错误的是（ ）
A．cs40°=sin50°B．tan15°•tan75°=1
C．sin225°+cs225°=1D．sin60°=2sin30°
【答案】D
【解析】试题分析：选项A，sin40°=sin（90°﹣50°）=cs50°，式子正确；选项Btan15°•tan75°=tan15°•ct15°=1，式子正确；选项C，sin225°+cs225°=1正确；选项D，sin60°=，sin30°=，则sin60°=2sin30°错误．故答案选D．
考点：互余两角三角函数的关系；同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值．
2．用科学记算器算得①293=24389；②≈7.615773106；③sin35°≈0.573576436；④若tana=5，则锐角a≈0.087488663°．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】A
【解析】试题分析：①②③利用计算器计算可得是正确的，
④tan45°=1，tana=5，说明α的度数应大于45°，所以错误，
故选A．
3．三角函数sin30°、cs16°、cs43°之间的大小关系是（ ）
A．cs43°＞cs16°＞sin30°B．cs16°＞sin30°＞cs43°
C．cs16°＞cs43°＞sin30°D．cs43°＞sin30°＞cs16°
【答案】C
【解析】试题解析：∵sin30°=cs60°，
又16°＜43°＜60°，余弦值随着角的增大而减小，
∴cs16°＞cs43°＞sin30°．
故选C．
4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB边的中点，连接DE交AC于F．若CD＝1，则线段AF的长度为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】延长AD、BC交于点G，将图形补充成等边三角形，利用△ACD和△ABC都是含30°角的直角三角形得出AC，AD，AB的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出EC的长度，用等边三角形的性质推导ECAD，继而得出△EFC∽△DFA，，最后结合CF=AC-AF利用这个比例式得到关于AF的方程，解出即可．
【解析】∵∠DAB＝∠B＝60°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB＝30°，
∵AD⊥CD，CD＝1，
∴AD＝，AC＝2，
延长AD、BC交于点G，如图，
∵∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠G＝60°，
∴△ABG为等边三角形，
∵AC平分∠DAB，
∴C为GB的中点，且AC⊥GB，
∴AB＝，
连接EC，
∵E为AB边的中点，AC⊥GB
∴EC＝AB＝，
∵C为GB的中点，
∴ECAD，
∴△EFC∽△DFA，
∴，即
∴
∴AF＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用判定△EFC∽△DFA并用其列出关于AF的方程是解题的关键．
5．如图，等腰三角形ABC中，，，D为AC上一点，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如图：过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形ABC，得出∠A=45°，从而得到∆DEA为等腰直角三角形，求出AE=ADsin45°=2 ，在求出∠DBE=30°，所以在Rt∆DBE中得到BD=4，在Rt∆DBC中，设BC=x，则CD=x-2 由勾股定理可得，
【解析】如图：过点D作DE⊥AB于点E，
∵等腰三角形ABC，，，
∴∠A=45°，
因为DE⊥AB，
∴∠DEA=90°
∴∠EDA=∠DAE=45°，
∴∆DEA为等腰直角三角形，
在Rt∆ABC中，∵AD=2
∴AE=ADsin45°=2
∵∠DBE=∠ABC-∠DBC=45°-15°=30°
∴在Rt∆DBE中BD=2DE=2×2=4，
在Rt∆DBC中，设BC=x，则CD=x-2 由勾股定理可得，
，
∴ ，
解得：（舍去） ，
所以sin∠BDC= ，
故选：A
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数．解题的关键是正确作出辅助线，构造好直角三角形，再解直角三角形．
6．如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】如图，连接EF，先证明 再求解 可得 再求解 可得为等腰直角三角形，求解 再利用三角形的中位线的性质可得答案．
【解析】解：如图，连接EF，
∵正方形ABCD的面积为3，

∵
∴
∴
∴

∵平分

∴
∴
∴为等腰直角三角形，

∵分别为的中点，

故选D
【点睛】本题考查的是正方形的性质，锐角三角函数的应用，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的中位线的性质，求解是解本题的关键．
7．如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F， 交于点G，若，则的长是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题干所给条件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cs∠AGP=，即可得到FG的长；
【解析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，
由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，
∴BE=2，
又∵，
∴BH=1，即H是BE的中点，
∴AB=AE=4，
又∵AF是∠DAE的角平分线，，
∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，
又∵，，
∴PF=AD=4，
设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，
∵，
∴∠AGP=∠AEB=∠B，
∴cs∠AGP===，
解得x=；
故选B．
【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、平行线的性质和解直角三角形，熟练掌握角平分线的性质和解直角三角形的方法是解决本题的关键．
8．图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，连接，使得．若，则有下面四个结论：①；②；③F到的距离为；④．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】①利用正方形的对称性即可判断；
②在取一点，使得，证明，得到，由此进一步判断；
③过作于，在中，计算的值即可；
④过作于，利用三角函数的定义求出与，进而求其面积．
【解析】解：①正方形关于直线对称，且点在对称轴上，点与点为对应点，
，①正确；
②在取一点，使得，
又，
是等边三角形，
，，
．
，
．
在与中，
，
．
．
，②正确；
③过作于．
，
，
在中，，
点到的距离为，③错误；
④过作于．
，
在中，；
在中，．
，④错误；
正确的有①②．
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的综合应用，全等三角形的性质与判定，三角函数的应用，等边三角形性质与判定，解决本题的关键是作出正确的辅助线．
二、填空题
9．已知α是锐角，且2csα=1，则α=______；若tan(α+15°)=1，则tanα=______.
【答案】 60°
【分析】根据特殊角度的三角函数值求解．
【解析】(1)α是锐角，且2csα=1，
∴csα=，
∴α=60°；
(2)tan(α+15°)=1.
∴α+15°=45°，∴α=30°.
∴tanα=tan30°=.
【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握特殊角度的三角函数值是解题的关键.
10．计算：sin45°+tan60°•tan30°﹣cs60°=_____．
【答案】
【解析】原式＝
＝1＋1－
＝．
故答案为．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，D为AB边上一动点．
（1）若，则CD的长为__________；
（2）若，则tan∠ACD的值为__________．
【答案】 2
【分析】（1）过点D作DE⊥AC，垂足为E，在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出tanA的值，然后设DE＝x，在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△CED中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，最后根据AC＝10，列出关于x的方程，进行计算可求出DE，CE的长，从而在Rt△CED中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，设DF＝y，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出CF＝（10﹣2y），再在Rt△CFD中，利用勾股定理列出关于y的方程，进行计算即可求出DF，CF的长，最后在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解析】解：（1）过点D作DE⊥AC，垂足为E，
在Rt△ACB中，AC＝10，BC＝5，
，
设DE＝x，
在Rt△ADE中，，
在Rt△CED中，，
，
∵AE+EC＝AC，
∴2x+3x＝10，
∴x＝2，
∴CE＝3x＝6，DE＝x＝2，
，
故答案为：；
（2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，
设DF＝y，
在Rt△ADF中，
，
∵AC＝10，AF＝2y，
∴CF＝AC﹣AF＝（10﹣2y），
在Rt△CFD中，，
∵CF2+DF2＝CD2，
∴（10﹣2y）2+y2＝20，
∴y1＝y2＝4，
∴DF＝4，CF＝10﹣2y＝2，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，以AB为边作等边三角形ABD，使点D与点C在AB同侧，连接CD，则CD=______．
【答案】##
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，由等边三角形的性质可知BD=AB=AD=4，∠ABD=60°，结合题意可求出∠DBC=30°，从而可求出DE=2，，进而可求出，最后根据勾股定理即可求出CD的长．
【解析】如图，过点D作DE⊥BC于点E，
∵△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=AD=4，∠ABD=60°．
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°．
∵DE⊥BC，
∴DEBD=2．
∴．
∴．
∵DE⊥BC，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，，则AC的长为__________．
【答案】8
【分析】连接BF，交CE于点D，根据直角三角形斜边上的中线性质可得CE＝AE，从而可得∠ECA＝∠A，再根据已知可知EF是AB的垂直平分线，从而可得BF＝AF，进而可得∠A＝∠ABF，然后可得∠ABF＝∠ACE，从而证明△CDF∽△BDE，进而可得∠CFD＝∠BED，最后利用等角的余角相等可得∠CBF＝∠CEF，从而在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出CF，BF的长，从而求出AF的长，进行计算即可解答．
【解析】解：连接BF，交CE于点D，
∵∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，
，
∴∠ECA＝∠A，
∵EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴BF＝AF，
∴∠A＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠ACE，
∵∠CDF＝∠BDE，
∴△CDF∽△BDE，
∴∠CFD＝∠BED，
∵∠CFD+∠CBF＝90°，∠BED+∠CEF＝90°，
∴∠CBF＝∠CEF，
，
，
，
，
∴AF＝BF＝5，
∴AC＝CF+AF＝3+5＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14．如图，在边长为8的正方形ABCD中，对角线ACBD交于点O，点E是边CD上方一点，且∠CED＝90°，若DE＝2，则EO的长为 _______.
【答案】
【分析】过O作OF⊥EO，交EC的延长线于F，利用正方形的性质，先判定△DOE≌△COF（AAS），即可得出△EOF是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出CE，解直角三角形即可得到OE的长．
【解析】解：如图所示，过O作OF⊥EO，交EC的延长线于F，
在Rt△EOF中，∠CEO+∠F＝90°，
∵∠CED＝90°，
∴∠CEO+∠OED＝90°，
∴∠OED＝∠F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠COD＝∠DOE+∠COE＝90°，DO＝CO，
又∵∠COF+∠COE＝90°，
∴∠DOE＝∠COF，
在△DOE和△COF中，，
∴△DOE≌△COF（AAS），
∴EO＝FO，DE＝CF＝2，
又∵∠EOF＝90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴在Rt△CDE中，CE＝＝＝2，
∴EF＝+2，
∴OE＝EF·cs45°＝（+2）×＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
三、解答题
15．计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先计算特殊角的正弦、余弦、正切值，再计算二次根式的加减乘除运算即可得；
（2）先计算特殊角的正弦、余弦、正切、余切值，再计算二次根式的乘除法与加法即可得．
【解析】（1）原式，
，
，
，
；
（2）原式，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的加减乘除运算，熟记各运算法则是解题关键．
16．计算或化简：
(1)cs30°+sin45°;
(2)·tan 30°;
(3)(sin60°+cs 45°)(sin 60°－cs 45°);
(4)6tan2 30°－sin 60°－2sin 45°．
【答案】(1) ; (2) ;(3) ;(4)－
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
【解析】（1）原式==+1=；
（2）原式===；
（3）原式=sin260°-cs245°=（）2-（）2=-=；
（4）原式=6×（）2--2×=2－=－．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
17．如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为，交于点，．
（1）求的值：
（2）若，求的长．
【答案】（1）；（2）4
【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAM，由AM=2CM，可得出CM：AC=1：，即可得出sinB的值；
（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=，得AC=2，根据勾股定理即可得出结论．
【解析】（1）∵，是斜边的中线，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，∵，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
由（1）知，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和锐角三角比，熟练掌握根据锐角三角比解直角三角形是解题的关键．
18．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AD：AB=2：3，BD=，AD⊥BC．
（1）求sin∠ABD的值．
（2）若∠BCD=120°，求CD的长．
【答案】（1）sin∠ABD=；（2）CD=
【分析】（1）作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F．设AE=a．在Rt△BDE中，利用勾股定理构建方程求出a，即可解决问题；
（2）作CF⊥DE于F．首先证明四边形CFEB是矩形，解直角三角形△CFB即可解决问题．
【解析】解：（1）作DE⊥AB于E，设AE=a．
在Rt△ADE中，∵∠A=60°，AE=a，
∴∠ADE=30°，
∴AD=2a，DE=a，
∵AD：AB=2：3，
∴AB=3a，EB=2a，
在Rt△DEB中，（a）2+（2a）2=（）2，
解得a=1，
∴DE=，BE=2，
∴sin∠ABD=．
（2）CF⊥DE于F．
∵CB⊥AB，CF⊥DE，
∴∠CFE=∠FEB=∠CBE=90°，
∴四边形CFEB是矩形，
∴CF=EB=2，BC=EF，
∵∠DCB=120°，∠FCB=90°，
∴∠DCF=30°，
∴DF=CF•tan30°=，
∴CD=2DF=．
【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．如图，中，是中点，过点作直线的垂线，垂足为点．
求的值．
连接求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC＝6，在根据三角形面积相等法计算出BE＝，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解；
（2）在中，利用勾股定理计算出DE＝，求出，再根据中点的性质得到，再利用即可求解．
【解析】在中，
而，，
是中点，
；
在中，，
，
是中点，
，
即，
在中， ；
在中，，
是中点，
，
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．
20．在中，，，为锐角且．
(1)求的面积；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积；
（2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出；
（3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值．
（1）
解：过点作，垂足为，
∴，
∵为锐角且，
∴，
∴，
∴，
∴，
在，
∵，，
∴，
∵，
∴．
∴的面积为．
（2）
∵，，
∴，
在中，
．
∴的值为．
（3）
在中，，，
∴．
∴的值为．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键．
21．如图，Rt△ABC中，，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE．使，连接CE．则：
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由直角三角形斜边中线的性质可知，即得出，再结合题意，即得出，从而证明；
（2）过点E作于点H，由，即得出，，从而得出，得出．根据平行线的性质得出，从而得出．又易证，得出，即可证明．
（1）
∵，点D是边BC的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）
如图，过点E作于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，DE=DE，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解直角三角形以及全等三角形的判定和性质．正确作出辅助线是解题关键．
22．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝底边÷腰＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad＝ ；
(2)如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC＝，求tanB的值；
(3)如图③，Rt△ABC中，∠C＝，若sinA＝，试求sadA的值．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可知，sad指的是顶角为的等腰三角形底边与腰之比，从而可以求得sad的值；
（2）根据中，，可以求得与的关系，从而可以求得与边上的高的关系，从而可得答案；
（3）根据Rt中，，构造以为顶角的等腰三角形，然后根据新定义的含义解得即可．
（1）
解：顶角为的等腰三角形是等边三角形，
∴＝底边÷腰．
故答案为：1．
（2）
如图②所示：
作于点，
中，
即
（3）
∵
设则．
∴
如图③所示，在上截取，作于点，
∵Rt中，
∴．
即．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·广东·东莞市光明中学一模）关于三角函数有如下的公式：，由该公式可求得的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，代入特殊三角函数值计算即可．
【解析】解：

，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，灵活运用公式把一般角转化为特殊角的和或者差是解题的关键．
2．（2022·山东烟台·一模）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：
按键的结果为m，
按键的结果为n，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】由题意知，，，分别求出的值，然后比较大小即可．
【解析】解：由题意知，，
，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了计算器的使用，实数的运算．明确二次根式的副功能是立方根是解题的关键．
3．（2022·陕西·西安市中铁中学三模）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为
A． +1B．2C．D．-
【答案】B
【分析】作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果．
【解析】如图，
作于，作于，
在Rt中，，
在Rt中，，，
，
在Rt中，设，
在Rt中，，
，
由得，
，
，
，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．
4．（2022·广东·南山实验教育麒麟中学模拟预测）如图，在中，，，，，，分别在，，上，则周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别作点E关于AB，AC的对称点P，Q．连接AE，AP，AQ，DP，FQ，PQ，根据两点之间线段最短以及垂线段最短，即可得出△DEF周长的最小值．
【解析】解：分别作点E关于AB，AC的对称点P，Q，连接AE，AP，AQ，DP，FQ，PQ，作AM⊥PQ于点M，如图所示：
则DE＝PD，EF＝FQ，，，
∵，
∴，
根据轴对称可知，AP＝AE＝AQ，
∴，
∵AM⊥PQ，
∴，
∴，
过点A作AH⊥BC于点H，
∴，
∵，
∴，
∴△DEF的周长为：，
∵，
∴，
即周长的最小值是，故D正确．
【点睛】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．对“动点”进行两次轴对称变换是解决问题的难点．
5．（2021·四川乐山·三模）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB边的中点，连接DE交AC于F．若CD＝1，则线段AF的长度为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】延长AD、BC交于点G，将图形补充成等边三角形，利用△ACD和△ABC都是含30°角的直角三角形得出AC，AD，AB的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出EC的长度，用等边三角形的性质推导ECAD，继而得出△EFC∽△DFA，，最后结合CF=AC-AF利用这个比例式得到关于AF的方程，解出即可．
【解析】∵∠DAB＝∠B＝60°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB＝30°，
∵AD⊥CD，CD＝1，
∴AD＝，AC＝2，
延长AD、BC交于点G，如图，
∵∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠G＝60°，
∴△ABG为等边三角形，
∵AC平分∠DAB，
∴C为GB的中点，且AC⊥GB，
∴AB＝，
连接EC，
∵E为AB边的中点，AC⊥GB
∴EC＝AB＝，
∵C为GB的中点，
∴ECAD，
∴△EFC∽△DFA，
∴，即
∴
∴AF＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用判定△EFC∽△DFA并用其列出关于AF的方程是解题的关键．
6．（2022·广东·景中实验中学二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，点G在CD边上，，AG交BF于点H，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个．
【答案】B
【分析】先证明△AHE≌△BCF（AAS），即可判断①，由三角形的中位线定理可证GEBF，即可判断②，由勾股定理可求BF的长，即可求sin∠ABF＝sin∠BFC，即可判断③，由相似三角形的性质可求FH，CH，AO的长，即可求出，即可判断④．
【解析】解：如图，设BF与AE的交点为O，
设AB＝4a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴CF＝DF＝2a＝CE＝BE，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，BF＝AE，∠AEB＝∠BFC，
∵∠ABF+∠CBF＝90°＝∠ABF+∠BAE，
∴∠AOB＝90°＝∠AOH，
又∵∠BAE＝∠GAE，AO＝AO，
∴△AOH≌△AOB（ASA），
∴AH＝AB，∠AOB＝∠AOH＝90°，
∴AE垂直平分BH，
∴BE＝EH，∠ABE＝∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠BCF＝90°，AH＝AB＝BC，∠GAE＝∠BAE＝∠BCF，
∴△AHE≌△BCF（AAS），故①正确；
∵AH＝AB，
∴∠AHB＝∠ABH，
∵ABCD，
∴∠ABF＝∠CFB，
∴∠CFB＝∠AHB＝∠CHF，
∴FG＝GH，
∵HE＝BE＝CE，
∴∠CHE＝∠ECH，∠EHB＝∠EBH，
∵∠CHE＋∠ECH＋∠EHB＋∠EBH＝2∠CHE＋2∠EHB＝180°，
∴∠BHC＝∠CHE＋∠EHB＝ 90°，
∴∠GHC＝∠GCH，
∴CG＝GH，
∴FG＝GC＝GH＝a，
又∵CE＝BE，
∴GEBF，故②正确；
∵，
∴sin∠ABF＝sin∠BFC＝，
故③正确；
∵∠CHF＝∠BCF＝90°，∠CFH＝∠CFB，
∴△CFH∽△BFC，
∴ ，
∴，
∴，，
∴，
∵sin∠ABF＝，
∴，
∵FG＝GC，
∴，
∵，
∴，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·陕西·西安辅轮中学三模）若sin(α+15°)=1，则∠α等于_____________度．
【答案】75
【分析】直接利用特殊角的三角函数值即可求解．
【解析】解：∵sin（α+15°）=1，
∴α+15°=90°，
∴α=75°，
故答案为：75．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
8．（2022·广东·华南师大附中模拟预测）如图，点D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，AD=AC，∠B=45°，DE⊥AC于E，四边形BCED的面积为8，tan∠C=7，AC=______．
【答案】5
【分析】过A作AM⊥BC于M，过C作CN⊥AB于N，由tan∠ACB=7，设CM=x，则AM=7x，AC=5x=AD，根据∠ABM=45°即得BM=AM=7x，BC=BM+CM=8x，而△NBC是等腰直角三角形，知CN=4x，由△DAE≌△CAN（AAS），即得DE=CN=4x，AE=3x，又四边形BCED的面积为8，列出方程，解方程再计算即可求解．
【解析】解：过A作AM⊥BC于M，过C作CN⊥AB于N，如图：
∵tan∠ACB=7，
∴，
设CM=x，则AM=7x，
∴AC=AD，
∵∠ABM=45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴BM=AM=7x，
∴BC=BM+CM=8x，
在Rt△BCN中，∠NBC=45°，
∴△NBC是等腰直角三角形，
∴CN=BC=4x，
∵∠AED=∠ANC=90°，AD=AC，∠DAE=∠CAN，
∴△DAE≌△CAN（AAS），
∴DE=CN=4x，
在Rt△DAE中，AE=，
∵四边形BCED的面积为8，
∴，
∴，即，
解得x=或x=-（舍去），
∴AC=5x=5×=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查全等三角形、锐角三角函数、等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，用含字母的式子表示相关线段的长度．
9．（2022·广东广州·二模）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把沿直线AB翻折后得到，则点的坐标是________．
【答案】
【分析】根据一次函数解析式求得点的坐标，进而根据，得，根据折叠的性质可得∠O'AB=∠OAB=30°，O'A=OA=.勾股定理求得，，即可求解．
【解析】解：如图，过点O'作O'C⊥OA，垂足为C.
∵点A是直线与x轴的交点，
又∵当y=0时，，
∴，
∴点A的坐标为(, 0)，
∴OA=.
∵点B是直线与y轴的交点，
又∵当x=0时，，
∴点B的坐标为(0,1)，
∴OB=1.
∴在Rt△AOB中，.
∵在Rt△AOB中，AB=2，OB=1，
∴，
∴∠OAB=30°.
∵△AOB沿直线AB翻折得到△AO'B，
∴△AOB≌△AO'B，
∴∠O'AB=∠OAB=30°，O'A=OA=.
∴∠OAO'=∠OAB+∠O'AB=60°，即∠CAO'=60°，
∴在Rt△O'CA中，∠AO'C=90°-∠CAO'=90°-60°=30°，
∴在Rt△O'CA中，，，
∴OC=OA-AC=-=.
∵OC=，O'C=，
∴点O'的坐标为
故答案为： .
【点睛】本题综合考查了一次函数和轴对称的相关知识，根据特殊角的三角函数值求角度，勾股定理，坐标与图形，求得是解题的关键．
10．（2021·内蒙古包头·模拟预测）如图，点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点B在第二象限，AB⊥OA，∠AOB=60°，连接AB交y轴于点P．若BP=3AP，则点B的坐标为__________．
【答案】(－，7)
【分析】根据题意求得tan∠AOB，过B点作BC⊥y轴，过A点作AE⊥x轴，它们的交点为D，则∠ADB＝90°，根据平行线分线段成比例定理求得BC＝3CD＝3m，则BD＝4m，然后通过证得△BAD∽△AOE，得出，从而求得m的值，即可求得BD和DE的长，从而求得B点的坐标．
【解析】解：过B点作BC⊥y轴，过A点作AE⊥x轴，它们的交点为D，则∠ADB＝90°，如图，
∵DE∥y轴，BD∥x轴，
∴CD＝OE，
设A（m，），则CD＝OE＝m，AE，
∵AD∥PC，BP=3AP，
∴3，
∴BC＝3CD＝3m，
∴BD＝4m，
∵AB⊥OA，∠AOB＝60°，
∴tan∠AOB，
∵∠BAD+∠OAE＝90°，∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠BAD＝∠AOE，
∵∠ADB＝∠OEA＝90°，
∴△BAD∽△AOE，
∴，
∴，
∴ADm，m2＝3，
∴m或m（舍去），
∴AD＝3，A（，4），
∴BC＝3，DE＝3+4＝7，
∴B（﹣3，7）．
故答案为（﹣3，7）．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，解直角三角形等，求得A点的坐标是解题的关键．
11．（2022·贵州·仁怀市教育研究室一模）如图，在等边中，是边上的高，点是上一动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】利用旋转的性质可得是等边三角形，由等边三角形的性质并结合是边上的高，，利用三角函数可得，然后根据证明，可得，，利用勾股定理求得，再由得到的长，最后利用勾股定理求得即可．
【解析】解：∵将线段绕点E顺时针旋转60°得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，是边上的高，，
∴，
，
，，，
∴，
，
，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理等知识．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
三、解答题
12．（2022·广东·丰泰外国语一模）如图，在中，已知，，．
(1)用没有刻度的直尺和圆规过点作交的延长线于点保留作图痕迹，不写作法
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据过直线外的一点作直线的垂线的方法作图即可；
（2）解直角三角形求出，根据三角形的面积公式计算即可．
（1）
解：如图，即为所作的图形；
（2）
在中，，，
，
的面积．
【点睛】本题主要考查了基本作图，解直角三角形，三角形面积公式，熟练掌握过直线外的一点作直线的垂线的方法是解决问题的关键．
13．（2022·广东·东莞市光明中学一模）在四边形中，和的平分线、交于边上的点且，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，当四边形是矩形时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平分得，进而可得，则AB∥CD,再证得，最后可证得结果；
（2）先证得为等腰直角三角形，可得，从而证得为等腰直角三角形，得到≌，从而求得结果．
（1）
证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
平分，平分，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）
解：四边形是矩形，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
≌，
设，
，
在中，．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定定理和锐角三角函数，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
14．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）【问题提出】
如图（1），在菱形ACBM和菱形DCEN中，∠ACB＝∠DCE＝60°，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
【问题探究】
（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；
（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
【问题拓展】
（3）如图（3），在平行四边形ACBM和平行四边形DCEN中，∠ACB＝∠DCE＝60°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．写出一个等式来表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）BF-AF＝CF；（2）见解析；（3），证明见解析
【分析】（1）根据已知条件得出∠BCE＝∠ACD，证明△ACD≌△BCE（SAS），可得BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，而点D、F重合，故BE＝AD＝AF，而△CDE为等边三角形， 进而可得BF-AF＝CF；
（2）过C点作∠FCG=60°交BF于点G，证明△BCG≌△ACF（ASA），同（1）可得BF-AF＝CF；
（3）由（2）知，∠BCE＝∠ACD，而BC＝kAC，EC＝kDC，则△BCE∽△ACD，过C点作∠FCG=60°交BF于点G，由（2）知，∠BCG＝∠ACF，可得△BGC∽△AFC，则BG＝kAF，GC＝kFC，过点F作FH垂直于CG交CG于点H，进而解Rt△CHF，Rt△GH，即可得出．
【解析】解：（1）如图2∵∠ACD+∠ACE＝60°，∠ACE+∠BCE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝AC，EC＝DC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，
而点D、F重合，故BE＝AD＝AF，
而△CDE为等边三角形，
故DE＝EF＝CF，
则BF＝BD＝BE+ED＝AF+CF；
即BF-AF＝CF；
（2）如图，由（1）知，△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAF＝∠CBE，BE＝AD，
过C点作∠FCG=60°交BF于点G，
∵∠ACF+∠ACG＝60°，∠ACG+∠GCB＝60°，
∴∠ACF＝∠BCG，
∵∠CAF＝∠CBE，BC＝AC，
∴△BCG≌△ACF（ASA），
∴GC＝FC，BG＝AF，
故△GCF为等边三角形，则GF＝CF，
则BF＝BG+GF＝AF+CF，
即BF-AF＝CF；
（3）由（2）知，∠BCE＝∠ACD，
而BC＝kAC，EC＝kDC，
即，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CAD＝∠CBE，
过C点作∠FCG=60°交BF于点G，
由（2）知，∠BCG＝∠ACF，
∴△BGC∽△AFC，
∴＝，
则BG＝kAF，GC＝kFC，
过点F作FH垂直于CG交CG于点H
在Rt△CHF中，
在Rt△GHF中，，
所以．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的性质，旋转的性质，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．