第04课 直角三角形的边角关系解答题-2023-2024学年九年级数学下册课后培优分级练（北师大版）

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第04课 直角三角形的边角关系解答题课后培优练级练培优第一阶——基础过关练一、解答题1．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求出各特殊角的三角函数值，再进行乘法和二次根式的化简运算，最后计算加减即可；（2）先求出各特殊角的三角函数值，化最简二次根式，再进行乘法的计算，最后计算加减即可．【解析】解：（1）（2）．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合计算，还涉及化最简二次根式和二次根式的化简．掌握相关运算法则是解题关键．2．计算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可；（2）先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可；（1）解： （2） 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，熟练的记忆特殊角的三角函数值是解本题的关键.3．已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋＝0.(1)试判断△ABC的形状；(2)求(1＋sinA)2－2－(3＋tanC)0的值．【答案】(1)△ABC是锐角三角形；(2).【分析】（1）根据绝对值的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论；（2）根据（1）中∠A及∠B的值求出∠C的数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解析】（1）∵|1-tanA）2+|sinB-|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，∴△ABC是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，∴原式=（1+）2-2-1=．4．在中，，求的长．【答案】【分析】由，求解 再利用勾股定理求解即可得到答案．【解析】解： ， 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．5．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝（1）求BD的长；（2）求tanC的值．【答案】（1）12；（2）【分析】（1）根据三角函数得出BD=12即可； （2）利用勾股定理得出AD=5，进而得出DC=8，利用三角函数解答即可．【解析】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝∴ 即解得：BD＝12；（2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，∴AD＝5，∴DC＝8，∴tan∠C＝【点睛】此题考查解直角三角形问题，关键是根据三角函数得出BD的值．6．如图．已知中，，．(1).若，求的长度；(2).若，求的长度．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，求解即可；（2）根据，求出，根据勾股定理求解即可．（1）解：中，，，，，，；（2）解：在中，，，，，，．【点睛】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．7．如图，在中，已知，，．(1)用没有刻度的直尺和圆规过点作交的延长线于点保留作图痕迹，不写作法(2)求的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据过直线外的一点作直线的垂线的方法作图即可；（2）解直角三角形求出，根据三角形的面积公式计算即可．（1）解：如图，即为所作的图形；（2）在中，，，，的面积．【点睛】本题主要考查了基本作图，解直角三角形，三角形面积公式，熟练掌握过直线外的一点作直线的垂线的方法是解决问题的关键．8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tanB＝(1)求AD和AB的长；(2)求∠B的正弦、余弦值．【答案】(1)，AB=5(2)【分析】（1）先根据中点、∠B的正切求出BC、AC的长，再利用勾股定理求值即可；（2）利用直角三角形的边角间关系可得结论．（1）解：∵点D是BC边的中点，CD＝2，∴BC＝4．在Rt△ABC中，∵tanB＝，∴AC＝3．在Rt△ADC中，AD＝，AB＝．（2）解：在Rt△ABC中，sinB＝，cosB＝．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握勾股定理、直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．9．如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，，求AC，BC的长．【答案】AC的长为4，BC的长为【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出DA的长，再在Rt△CDB中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，从而根据AD+BD＝AB，列出关于x的方程，进行计算即可求出CD的长，最后求出AC，BC的长．【解析】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x，在Rt△ACD中，∠A＝30°，，在Rt△CDB中，∠B＝45°，，∵AD+BD＝AB，，∴x＝2，∴CD＝2，∴AC＝2CD＝4，，∴AC的长为4，BC的长为．【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．10．已知：如图在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，．求：(1)线段DC的长；(2)tan∠EDC的值．【答案】(1)5；(2)．【分析】（1）根据，求出AB，再求出BD即可解答；（2）在Rt△ADC中， E是AC的中点，推出∠EDC＝∠C，则＝，即可求解．（1）解：在△ABC中，∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC．∴．∵AD＝12，∴．在Rt△ABD中，∵，∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．（2）解：在Rt△ADC中，E是AC的中点，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠C．∴＝＝．【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线的性质．11．如图，甲､乙两楼相距，甲楼高，自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为，乙楼有多高？（结果精确到）【答案】【分析】先根据题意作出示意图，然后在RT△ACE中，可得出CE的长度，继而可得出乙楼的高度．【解析】解：由题意得：∠CAE＝30°，AE＝BD＝30m，在Rt△ACE中，CE＝AE∙tan∠CAE＝10m，故可得乙楼的高度＝CE＋ED＝CE＋AB＝（40＋10）m≈．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为解直角三角形的问题，求出CE的长度，难度一般．12．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）【答案】(1)15m(2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；（2）根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答．（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，∴AB==15（m），∴此时云梯AB的长为15m；（2）解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，理由：由题意得：DE=BC=2m，∵AE=19m，∴AD=AE-DE=19-2=17（m），在Rt△ABD中，BD=9m，∴AB= （m），∵m＜20m，∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．13．如图，为测量山高AB，一架无人机在山脚（C处）的正上方（D处），测得山顶（B处）的俯角为30°，若保持飞行高度不变继续行驶2km到达E处，此时测得B，C两处的俯角为45°，60°．(1)求无人机的飞行高度；(2)求山高AB．【答案】(1)2km(2)km【分析】（1）在Rt△DCE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（2）延长AB，DE，交于点F，根据题意可得AF⊥DF，DC＝AF＝2km，设BF＝xkm，然后分别在Rt△DFB和Rt△EFB中，表示出DF，EF的长，列出关于x的方程进行计算即可求出BF，从而求出AB．(1)在Rt△DCE中，∠DEC＝60°，DE＝2km，∴DC＝DEtan60°＝22（km），∴无人机的飞行高度为2km；(2)延长AB，DE，交于点F，则AF⊥DF，DC＝AF＝2km，设BF＝xkm，在Rt△DFB中，∠FDB＝30°，∴DFxkm，在Rt△EFB中，∠FEB＝45°，∴EFxkm，∵DF﹣EF＝DE，∴x﹣x＝2，∴x1，∴BF＝（1）km，∴AB＝AF﹣BF＝2（1）＝（1）km，∴山高AB为（1）km．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．14．如图，在中，，交于点，且．(1)求证：四边形是矩形；(2)的角平分线交于点，当，时，求的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）由平行四边形性质和已知条件得出AC=BD，即可得出结论；（2）过点作于点，由角平分线的性质得出EG=EA．由三角函数定义得出AB=8，，设AE=EG=x，则BE=8-x，在Rt△BEG中，由三角函数定义得出，即可得出答案．（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，四边形为矩形；（2）解：过点作于点，如图所示：四边形是矩形，，，为的角平分线，，，，，，，，，∴，设，则，在中，，，，解得：，．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、锐角三角函数的定义、角平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．15．如图，在对角线BD的延长线上取点E、F，使．连接AE、AF、CE、CF．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若，，，，求：的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）结合平行四边形的性质证明可证明，，进而可证明结论；（2）通过解直角三角形可求得，的长，结合可求得的长，即可得的长，再利用平行四边形的性质可求解．（1）证明：四边形为平行四边形，，，，，在和中，，，，，，四边形是平行四边形；（2），，，，，，，，，，解得或（舍去），，．【点睛】本题主要考查全等三角形的平行于性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，证明是解题的关键．16．已知点E在△ABC内，，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°．(1)当时（如图1），①判断△ABC的形状，并说明理由；②求证：；(2)当时（如图2），②的结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，求出的比值．【答案】(1)①△ABC是等边三角形，理由见解析；②△EBD也是等边三角形，理由见解析(2)结论不成立，理由见解析【分析】（1）①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易证得结论．（2）连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x，在Rt△EBD中DE=2x，BE=，最后由相似比即得到比值．（1）解：（1）①判断：△ABC是等边三角形．理由如下：∵∠ABC=∠ACB=60°∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB∴△ABC是等边三角形．②△EBD也是等边三角形，理由如下：如图1，连接DC，则AB＝BC，BE＝BD，∠ABE＝60°－∠EBC＝∠CBD∴△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，∠AEB＝∠CDB＝150°，∴∠EDC＝150°－∠BDE＝90°，∴在Rt△EDC中，．（2）解：如图2：连接DC，∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°∴△ABC∽△EBD∴，即又∵∠ABE=90°-∠EBC=∠CBD∴△ABE∽△CBD，∴∠AEB=∠CDB=150°，∴∠EDC=150°-∠BDE=90°，∠CED=∠BEC-∠BED=90°-（90°-∠BDE）=60°设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=在Rt△EDC中CD=DE×tan60°=2∴，即．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，证得△ABE∽△CBD是解答本题的关键．培优第二阶——拓展培优练一、解答题1．用计算器求下列各式的值(结果精确到0.01)：(1)cos63°17′；(2)tan27.35°；(3)sin39°57′6″；(4)sin18°＋cos55°－tan59°【答案】（1）0.64;（2）0.52;（3）0.45;(4)－0.78.【解析】识题分析：（1）先将cos63°17′化成cos63.28°，在计算器上先输入63.28°，再按cos键即可；（2）计算器上先输入27.35°，再按tan键即可；（3）先将sin39°57′化成sin39.95°，再计算器上先输入39.95°，再按sin键即可；（4）计算器上先输入18°，再按sin键，第二次输入55°，再按cos键，第三次输入59°，再按tan键，再按实数的运算顺序计算即可.试题解析：（1）cos63°17′≈cos63.28°≈0.45；（2）tan27.35°≈0.52；（3）sin39°57′≈sin39.95°≈0.64.（4）sin18°＋cos55°－tan59°≈0.3090+0.5736-1.6643≈－0.78.2．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，于点，底座米，底座与支架所成的角，点在支架上，篮板底部支架.于点，已知米，米，米.(1)求篮板底部支架与支架所成的的度数．(2)求篮板底部点到地面的距离，（精确到0.1米）（参考数据：，）【答案】(1)篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；(2)篮板底部点E到地面的距离约为2.2米【分析】（1）在Rt△HEF中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（2）延长FE交直线BC与点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，根据题意易证四边形ABMG是矩形，从而得AB=GM，然后在Rt△AGF中求出FG，从而求出EG，最后在Rt△ABC中，求出AB，进行计算即可解答．（1）∵EF⊥EH，∴∠HEF=90°，在Rt△HEF中，HF=米，HE=米，∴∴∠FHE=45°，∴篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；（2）延长FE交直线BC与点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，∴∠AGM=∠AGF=90°，∵ ，∴FM⊥BC，∴∠BMG=90°，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴四边形ABMG是矩形，∴AB=GM，∵，∴∠FHE=∠FAG=45°，∴（米），（米），∴EG=FG-EF=（米），在Rt△ABC中，（米），∴GM=AB=（米），∴EM=EG+GM=（米），∴篮板底部点E到地面的距离为2.2米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．如图，已知在锐角三角形ABC中，．(1)求点C到直线AB的距离；(2)将绕点A旋转，点B落在点D处，点C落在点E处．①当点D在边BC上时，联结CE，求的正弦值；②当时，求点B与点E的距离．【答案】(1)4；(2)①；②或3．【分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，如图1，在Rt△ABM中，求得AM和BM的值，在Rt△ACM中，由勾股定理得，求得CM的值，进而得到BC的值，利用等积法即可得到点C到直线AB的距离；（2）①由旋转的性质可知：△ADE≌△ABC，则AD＝AB＝5，∠ADE＝∠B＝60°，DE＝BC＝8，当点D落在边BC上时，可得∠ADB＝∠B＝60°，则∠CDE＝60°，由等腰三角形三线合一得DM＝BM＝，求得CD＝3，过点C作CN⊥DE于点N，在Rt△CDN中，求得CN＝，，进一步得，在Rt△CEN中，由勾股定理得，CE＝7，进一步得到的正弦值；②当ADBC时，过点E作EP⊥BC于点P,交AD于点Q，则四边形AMPQ是矩形，PQ＝AM＝，PM＝AQ，在Rt△DEQ中，得到EQ和DQ的值，进一步得到PM＝1，分点D在点A的右侧和点D在点A的左侧两种情况进行求解即可．（1）解：过点A作AM⊥BC于点M，如图1，∴ ∠AMB＝∠AMC＝90°，在Rt△ABM中，∠B＝60°，AB＝5，∴ AM＝，，在Rt△ACM中，AC＝7，由勾股定理得，CM＝，∴，设点C到直线AB的距离为h，由，得，即点C到直线AB的距离为4；（2）解：①将△ABC绕点A旋转，点B落在点D处，点C落在点E处，如图2，由旋转的性质可知：△ADE≌△ABC，∴AD＝AB＝5，∠ADE＝∠B＝60°，DE＝BC＝8，当点D落在边BC上时，∠ADB＝∠B＝60°，∴∠CDE＝180°－∠ADE－∠ADB＝60°，∵AM⊥BD，∴DM＝BM＝，∴CD＝BC－BM－DM＝3，过点C作CN⊥DE于点N，则∠CND＝∠CNE＝90°，在Rt△CDN中，CN＝，，∴ ，在Rt△CEN中，由勾股定理得，，∴，即∠CED的正弦值为；②当ADBC时，过点E作EP⊥BC于点P,交AD于点Q，则∠EQD＝∠EPC＝∠EPB＝90°＝∠AMP，∴四边形AMPQ是矩形，∴PQ＝AM＝，PM＝AQ，在Rt△DEQ中，，，∴PM＝AQ＝AD－DQ＝1，若点D在点A的右侧，如图3，则EP＝EQ＋PQ＝，∴ BP＝BM＋PM＝，在Rt△BPE中，由勾股定理得，BE＝；若点D在点A的左侧，如图4，则EP＝EQ－PQ＝，∴ BP＝BM－PM＝，在Rt△BPE中，由勾股定理得，BE＝，综上所述，点B到点E的距离为或3．【点睛】此题考查了图形的旋转、解直角三角形、勾股定理、矩形的判定和性质、三角形的面积等知识，根据题意作出正确的图形和辅助线是解题的关键．4．1.某数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一  如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=，tanD=tan15°==．思路二  利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）==．请解决下列问题（上述思路仅供参考）．(1)类比：求出tan75°的值；(2)应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题目思路，将构造15°的过程转化为75°，并可求解；（2）计算出∠DAB=75°，利用tan75°求解．（1）解：方法一：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=，tan∠DAC=tan75°=．方法二：根据tan（α±β）=．假设α=30°，β=45°代入差角正切公式：tan75°=tan（30°+45°）=．（2）解：在Rt△ABC中，BC=30，AC=60，∴ ∴∠CAB=30°∵∠CAD=45°∴∠DAB=75°在Rt△ABD中， ∴ ∴∴CD的高度为．【点睛】本题考查三角函数的计算，通过阅读，类比计算是解题关键．5．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，．记旋转角为．(1)如图①，当时，求点的坐标；(2)如图②，当点落在轴的正半轴上时，与交于点求点的坐标；(3)将矩形旋转一周，求边扫过的面积S（直接写出结果即可）．【答案】(1)点的坐标为(2)点的坐标为(3)边AB扫过的面积S为【分析】（1）作DG⊥轴于G，利用特殊角的三角函数值求得DG、OG的长，即可求解；（2）先求得∠EOD=30，在Rt△CMO中，利用特殊角的三角函数值即可求解；（3）根据题意知，边AB扫过的面是一个同心圆环，根据圆的面积公式求解即可．（1）∵点A（，0），点C（0，1），∴OA=，OC=1，∵四边形OABC是矩形，∴B（，1），过D作DG⊥轴于G， 在Rt△ODG中，∠DOG=30，∴，，∵，∴，，∴点D的坐标为：；（2）在Rt△EDO中，ED=1，OD=，∴OE==2，∴∠EOD=30，在Rt△CMO中，∠COM=30，CO=1，∴，∴点M的坐标为：；（3）根据题意知，边AB扫过的面是一个同心圆环，，，．【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、旋转变换的性质、特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线．6．在中，，，点D，E在线段上，点F在的延长线上，连接CD，EF，，．(1)如图1，当时，线段的数量关系是________；(2)如图2，当时，请写出线段的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，当，点E是中点时，请直接写出的面积．【答案】(1)CD=EF(2)AC－BE=2BF，证明见解析(3)【分析】（1）结论：．过点F作交AB的延长线于点T，证明，即可；（2）结论：，过点D作DG⊥AB交AC于点G，证明，可得结论；（3）作交AB的延长线于点K，过点C作于点H，求出AD，CH，可得结论．(1)解：过点F作交AB的延长线于点T．∵，，，∴，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴，∴；(2)解：AC－BE=2BF．过点D作DG⊥AB交AC于点G，如下图．∵∠ACB=90°，∠A=30º， ∴∠ABC=∠AGD=60º， ∠CGD=∠EBF=120º ，∴．∵，∴,∴GD=BF．∵∠ACD=∠BEF，∠CGD=∠EBF，∴△CGD≌△EBF，∴BE=CG，∴AC－CG=AG，∴AC－BE=AG．∵∠A=30º，∠GDA=90º，∴AG=2GD，∴AC－BE=2GD，∴AC－BE=2BF；(3)解：作交AB的延长线于点K，过点C作于点H．∵，，，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．7．如图1，和都是等腰三角形，．(1)观察发现请直接写出：的值是______，的值是______；(2)问题探究如图2，固定不动，将绕着点O自由旋转，旋转角为，连接BN和AM．的值改变吗？请说明理由；【答案】(1)(2)的值不变，理由见解析【分析】（1）如图1中，过点A作AH⊥OB于H，过点M作MT垂直ON于T．利用直角三角形30°角的性质解决问题即可．（2）的值不变，利用相似三角形的性质证明即可．(1)如图1中，过点A作AH⊥OB于H，过点M作MT垂直ON于T．∵AO=AB，AH⊥OB，∴OH=HB，∵∠O=30°，∴，∴，同法可证，，∴，故答案为：(2)的值不变，理由如下：由（1）可知：，∵∠AOB=∠NOM=30°，∴∠AOB+∠AON=∠NOM+∠AON，∴∠BON=∠AOM，∴△BON∽△AOM，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8．综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在平行四边形ABCD中，，垂足为E，点F为边CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明；(1)独立思考：请解答老师提出的问题；(2)实践探究：希望小组受此问题的启发，将平行四边形ABCD沿着BF（点F为CD的中点）所在直线折叠，如图2，点C的对应点为，连接并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；(3)问题解决：智慧小组突发奇想，将平行四边形ABCD沿过点B的直线折叠，如图3，点A的对应点为，使于点H，折痕交AD于点M，连接，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此ABCD的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．【答案】(1)，见解析；(2)，见解析；(3)【分析】（1）分别延长AD，BF相交于点P，则，可得；由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得；于是；（2）由折叠的性质可得，，由等腰三角形和三角形外角的性质可得，于是；再由平行四边形的判定和性质可得；（3）过点M作ME⊥AB于E，由ABCD面积可得BH=4，则A′H=1，解Rt△BCH可得tan∠C=2，解Rt△A′HN可得HN，设AE=x则ME=BE=2x，由AB=5求得x，可得△ABM面积，再计算三角形的面积差即可解答．(1)解：如图，分别延长AD，BF相交于点P，四边形ABCD是平行四边形，则，∴，，点F为边CD的中点，则，在△PDF和△BCF中，∴，∴，∴，∴EF为直角三角形BEP斜边中线，则，∴；(2)解：由折叠的性质可得：，，点F为边CD的中点，则，∴，∴，∵，∴，∴，∴，四边形ABCD为平行四边形，则，，∴四边形DGBF为平行四边形，∴，∴，∴；(3)解：如图，过点M作ME⊥AB于E，由折叠性质可得A′B=AB=5，∠A′=∠A，∠ABM=∠A′BM，ABCD的面积为20，AB=5，则BH=4，BC=，∠BHC=90°，则CH=，∴tan∠C=2，ABCD是平行四边形，则∠A=∠A′=∠C，Rt△A′HN中，A′H=A′B-BH=AB-BH=1，NH=A′H•tan∠A′=2，△A′HN面积=A′H•HN=1，CD∥AB，A′B⊥CD，则A′B⊥AB，∵∠ABM=∠A′BM，∠ABM+∠A′BM=90°，∴∠ABM=45°，∴△MEB是等腰直角三角形，  设AE=x，则ME=AEtan∠A=2x，BE=ME=2x，∴AB=AE+BE=3x=5，x=，∴ME=，∴△A′BM面积=△ABM面积=AB•ME=，∴四边形MBHN面积=△A′BM面积-△A′HN面积=．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识；正确作出辅助线是解题关键．9．问题情境：在数学实践课上，老师让小组合作探究两个完全相同的含角的三角板拼图间存在的关系．如图，．(1)操作探究：如图1，当点B，C，D在同一条直线上，发现，请你证明；(2)如图2，把图1中的绕点C顺时针旋转，边与边相交于点F，当是等腰三角形时，求的长；(3)如图3，把图1中的沿的方向平移，得到，边与边交于点N，边与边交于点M，连接，当四边形是矩形，直接写出平移的距离．【答案】(1)见解析(2)或6(3)【分析】（1）如图1，延长交于点F．求解 再利用三角形的内角和定理可得结论；（2）是等腰三角形．分以下三种情况：①当时，②如图2，当时，③当时，再结合特殊角的三角函数可得答案；（3）由题意可得： 设平移距离 则 由四边形是矩形，可得 由建立方程求解即可．（1）证明：如图，延长交于点F．∴．∵，，∴．∵，∴．∴．∴．（2）解：∵是等腰三角形．∴分以下三种情况：①当时，∵在中，，∴在中，．∴．∴．②如图，当时，∴．∴．∴．∴．∴．③当时，∴．∴．∵，∴．∴不成立．综上所述，的长是或6．（3）解：由题意可得： 设平移距离 则 ∵四边形是矩形， 由可得： 解得： 经检验符合题意，即平移距离为时，四边形是矩形．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的定义，矩形的性质，锐角三角函数的应用，平移的性质，旋转的性质，理解题意，有清晰的分类讨论是解本题的关键．10．问题发现(1)对于任意正实数a，b皆满足 2（请在横线上填写“>”或“＜”，“≥”，“≤”，“=”问题探索(2)如图1，已知，点P为内部一点，为等边三角形，点F落在上，点E落在上，过点P作于点C，于点D，设的长为x，的面积为y，若，求y与x之间的函数关系式；问题解决(3)如图2，在五边形中，，，点E在边上，点F在边上，，连接，请问的面积是否存在最小值？若存在，求这个最小值；若不存在，试说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，最小值为，理由见解析【分析】（1）运用完全平方公式和非负数性质即可得出答案；（2）如图1，设交于点，过点作于点，设的长为，的面积为，可证得，得出，再利用解直角三角形和三角形面积公式即可求得答案；（3）如图2，过点作于，过点作交延长线于，过点作于点，设，则，再通过，得出，再由三角形面积可得，运用（1）的结论即可求得答案．（1）解：∵，∴，∴．故答案为：．（2）如图1，设交于点，过点作于点，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵设的长为，的面积为，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，∵为等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，在中，，∵，∴．∴y与x之间的函数关系式为．（3）的面积存在最小值，最小值是6，理由如下：如图2，过点作于，过点作交延长线于，过点作于点，在中，，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，即垂直平分，∴，∴，∵，∴，．设，则∴∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．在中，，∴，∴．当时，，由（1）得，所以当且仅当时，，∴的面积存在最小值6．【点睛】此题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，几何不等式的应用．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．培优第三阶——中考沙场点兵一、解答题1．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）计算：(1)．(2)．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根据特殊角的三角函数值解决此题．（2）根据特殊角的三角函数值及二次根式的乘法进行计算即可解决此题．（1）解：原式＝31+21+12；（2）解：原式＝1．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．2．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】将原式括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将a的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．【解析】解：＝===，∵=，∴当时，原式＝ ＝．【点睛】此题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．3．（2022·广东·东莞市光明中学三模）如图，在平行四边形中，，、分别是、的中点，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据与的关系，可得证明结论；根据根据等边三角形的判定与性质，可得的度数，根据三角形外角的性质，可得的度数，根据正切函数，可得答案．（1）证明：是平行四边形，，，、分别是、的中点，，∴四边形是平行四边形；（2）如图：连接，∵四边形是平行四边形，．是的中点，，，∴CN=CD,∵，是等边三角形．，．是的外角，，，，．，．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，等边三角形的判定与性质，正切函数．4．（2021·浙江·温州市第二中学三模）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝．(1)求BE的长；(2)若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．【答案】(1)3(2)【分析】（1）在直角△BED中，利用∠B的余弦函数求出BE；（2）利用等腰直角三角形的性质先求出DE，再在直角△AED中利用∠DAB的正弦函数和勾股定理求出AD、AE，最后求出△ABD的面积．利用三角形中线的性质可得结论．（1）∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°．∵在Rt△BED中， ，∴．（2）∵．∴．∴BE＝DE＝3．∵sin∠DAB，∴AD＝5．∴．∴AB＝AE+BE＝4+3＝7．∴．∵AD是BC边上的中线，∴S△ADC＝S△ABD＝．【点睛】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，三角形中线的性质．利用数形结合的思想是解题关键．5．（2021·四川乐山·三模）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处．(1)渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行nmile到点C处时突然发生事故，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？【答案】(1)渔船航行nmile距离小岛B最近；(2)援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是nmile．【分析】（1）过B作BM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论；（2）在Rt△BCM中，解直角三角形求得∠MBC＝60°，即可求得∠CBG＝45°，nmile，可得到结论．（1）解：过B作BM⊥AC于M，由题意可知：∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°，在Rt△ABM中，∵∠BAM＝45°，∴，∴渔船航行nmile距离小岛B最近；（2）解：∵nmile，∴∴∠MBC＝60°，∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，在Rt△BCM中，∵∠MBC＝60°，∴nmile．故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是nmile．【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，掌握解直角三角形的知识点．6．（2021·浙江金华·二模）如图，一个五角星ABCDEFGHIJ，已知A，B，D，E四点共线，A，J，H，G四点共线，C，B，J，I四点共线，C，D，F，G四点共线，E，F，H，I四点共线，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH＝HI＝IJ＝JA，∠A＝∠C＝∠DEF＝∠FGH＝∠I＝36°，现测得AB＝2cm．(1)求BJ的长（精确到0.01）．(2)作直线EG，求点A到EG的距离（精确到0.1）．（参考数据：sin36°≈0.5878，cos36°≈0.8090，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511）【答案】(1)1.24cm(2)5.0cm【分析】（1）连接BJ，过点A作AK⊥BJ于点K，在Rt△ABK中，利用锐角三角函数先求出BK，再求BJ；（2）连接BD，过点A作AL⊥MN于点L，在Rt△AEL中，利用锐角三角函数求出AL．（1）连接BJ，过点A作AK⊥BJ于点K．∵AB＝AJ＝2m，∠BAJ＝36°，∴∠BAK＝18°．∴BK＝AB•sin18°≈2×0.31＝0.62（cm）．∴BJ＝1.24cm．（2）连接BD，过点A作AL⊥MN于点L，则BD＝BJ＝1.24cm．∴AE＝2+1.24+2＝5.24（cm）．在Rt△AEL中，AL＝AE•cos18°≈5.24×0.95＝5.0（cm）．∴点A到地面MN的距离为5.0cm．【点睛】本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角间关系和等腰三角形的三线合一是解决本题的关键．7．（2021·四川乐山·三模）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长．小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，经过推理和计算能够使问题得到解决，如图2．(1)请回答：∠ACE的度数为 　 　，AC的长为 　 　．(2)参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC与BD交于点E，AE＝2，BE＝2ED，求BC的长．【答案】(1)75°，3；(2)【分析】（1）求出∠BAD＝∠AEC＝75°，∠ABC＝∠BCE，可得∠ABC＋∠ACB＝∠ACE＝75°，然后证明△ABD∽△ECD，利用相似三角形的性质求出DE＝1，进而得出AC＝AE＝3；（2）证明△ABE∽△FDE，根据相似的三角形的性质可得EF＝1，AB＝2DF，然后求出∠ADC＝∠ACD＝75°，根据等腰三角形的判定，可得AD＝AC，解直角三角形可得DF的长，进而求出AD和AB，根据勾股定理可得答案．（1）解：∵CE∥AB，∴∠BAD＝∠AEC＝75°，∠ABC＝∠BCE，∴∠ABC＋∠ACB＝∠BCE＋∠ACB＝∠ACE＝180°−75°−30°＝75°，∴AE＝AC，又∵CE∥AB，∴△ABD∽△ECD，∴，∵BD＝2DC，∴AD＝2DE＝2，∴DE＝1，∴AE＝AD＋DE＝3，∴AC＝AE＝3，故答案为：75°，3；（2）如图，过点D作DF⊥AC于点F，∴∠DFA=90°，∵∠BAC＝90°＝∠DFA，∴AB∥DF，∴△ABE∽△FDE，∴，∴EF＝1，AB＝2DF，在△ACD中，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，∴∠ACD＝75°，∴AC＝AD，在Rt△AFD中，AF＝2＋1＝3，∠FAD＝30°，∴DF＝AF·tan30°＝，AD＝2DF＝，∴AC＝AD＝，AB＝2DF＝，∴BC＝．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形以及勾股定理的应用等知识，作出合适的辅助线，构造出相似三角形是解题的关键．8．（2021·四川成都·三模）如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，CD∥AB，将△COD以C为旋转中心，旋转一定的角度后，得△CEA（点D与点A重合），连接BC．(1)如图1，求∠CBE的度数；(2)如图2，F为BC的中点，连接OF，求tan∠FOB的值（保留根号）；(3)如图3，F为BC的中点，若BC＝8，M为线段BC上一点，连接OM，若＝，求证：MF2＝BD2﹣16tan∠CBD．【答案】(1)∠CBE=22.5°；(2)tan∠FOB=．(3)见解析【分析】（1）由旋转的特征和平行线的性质可得∠A=∠OBA=45°，且OC=EC，则∠CBE=∠CBO=∠OBA，可求得∠CBE的度数；（2）先证明OC=OD，再由CD∥AB及∠CBE=∠CBO证明BD=CD，设OC=CD=m，则BD=m，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得OF=BF，则∠FOB=∠OBC，由tan∠FOB=tan∠OBC求得tan∠FOB的值；（3）连接DF，先证明DF=MF，∠BFD=90°，设OC=OD=m，由勾股定理列方程求出m2的值，再将BD2用m2表示，最后分别求出MF2的值和BD2-16tan∠CBD，可证得结论．（1）解：如图1，由题意得，点E在AB边上，∠AOB=90°，由旋转得，EC=OC，∠AEC=∠DOC=90°，∠A=∠ODC，∵CD∥AB，∴∠ODC=∠OBA，∴∠A=∠OBA=45°，∵∠BEC=180°-∠AEC=90°，∴∠BEC=∠BOC=90°，∵BC=BC，EC=OC，∴Rt△BEC≌Rt△BOC（HL），∴∠CBE=∠CBO=∠OBA=×45°=22.5°；（2）解：如图2，∵CD∥AB，∴∠ODC=∠OBA=45°，∠OCD=∠A=45°，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴OC=OD，设OC=OD=m，∵∠DCB=∠CBA，∠CBA=∠DBC，∴∠DCB=∠DBC，∴BD=CD，∴BD2=CD2=OC2+OD2=m2+m2=2m2，∴BD=m；∵∠BOC=90°，BF=CF，∴OF=BC=BF，∴∠FOB=∠OBC，∴tan∠FOB=tan∠OBC=；（3）证明：如图3，连接DF，由（1）得，△BEC≌△BOC，∴BE=BO， ∵=−1，∴=−1；∵=−1，∴OM=OC=OD，由（2）得，OF=BF，∴∠FOD=∠OBC=22.5°，∴∠OFC=∠FOD+∠OBC=45°，∠OMC=∠OCM=90°-∠OBC=90°-22.5°=67.5°，∴∠FOM=∠OMC-∠OFC=67.5°-45°=22.5°，∴∠FOM=∠FOD，∵OF=OF，∴△FOM≌△FOD（SAS），∴MF=DF；∵BD=CD，BF=CF，∴DF⊥BC，∴∠BFD=90°，∵BC=8，∴BF=CF=BC=4，∴MF2=DF2=BD2-BF2=BD2-42=BD2-16；设OC=OD=m，则∴BD2=CD2=2m2，由OC2+OB2=BC2得，m2+（m+m）2=82，整理得，m2=32-16，∴MF2=2×（32-16）-16=48-32，∵BD=CD，∴∠CBD=∠OBC，∴tan∠CBD=tan∠OBC=−1，∴BD2-16tan∠CBD=×2m2-16（−1）=m2-16（−1）=32-16-16（−1）=48-32，∴MF2=BD2-16tan∠CBD．【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的特征、勾股定理以及解直角三角形的有关知识与方法，此题综合性较强，难度较大．