北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质课时训练

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课后培优练级练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．二次函数y = x2+2的对称轴为（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线与抛物线的相同点是（ ）
A．顶点相同B．对称轴相同
C．开口方向相同D．顶点都在x轴上
4．二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，3）B．（－1，3）C．（1，－3）D．（－1，－3）
5．将抛物线：向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到抛物线，则抛物线的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
6．若，，为二次函数图像上的一点，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是直线
C．当时，随x的增大而减小D．顶点坐标为
8．抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（ ）
A．y=x2B．y=﹣3x2C．y=﹣x2D．y=2x2
9．已知，是抛物线上两点，则正数（ ）
A．2B．4C．8D．16
10．若二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图象关于y轴对称，则m的值为（ ）
A．0B．3C．1D．0或3
11．如图，直线y＝2x与直线x＝2相交于点A，将抛物线y＝x2沿线段OA从点O运动到点A，使其顶点始终在线段OA上，抛物线与直线x＝2相交于点P，则点P移动的路径长为（ ）
A．4B．3C．2D．1
12．如图，抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点.则下列结论：
①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时y1＞y2.
其中正确的结论是( )
A．①③④B．①③C．①②④D．②
二、填空题
13．抛物线的顶点坐标是________．
14．抛物线与轴交点坐标为______.
15．二次函数：
①；②；③；④；⑤；⑥．
（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)；
（2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔
（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)．
16．已知a＜﹣1，点（a﹣1，y1）、（a，y2）、（a+1，y3）都在函数y＝x2+5的图象上，则y1、y2、y3按从小到大排列为___．
17．抛物线沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线沿直线向上平移，平移距离为时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是_____．
18．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝3相交于点A、B，与y轴交于点C（0，﹣1），若∠ACB为直角，则当ax2+c＜0时自变量x的取值范围是_____．
19．已知二次函数y＝（x－m）2＋m2＋1，且．
（1）当m＝1时，函数y有最大值__________．
（2）当函数值y恒不大于4时，实数m的范围为__________．
20．如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____．
三、解答题
21．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：
，，．
（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
22．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3)
23．根据下列条件求a的取值范围：
（1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
（2）函数y＝(3a-2)x2有最大值；
（3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同；
（4）函数的图象是开口向上的抛物线．
24．如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．
25．已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3．
（1）写出此函数图象的开口方向和顶点坐标；
（2）当y随x增大而减小时，写出x的取值范围；
（3）当1＜x＜4时，求出y的取值范围．
26．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+2ax（0＜a＜3）上，其中x1＜x2．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若A（﹣2，y1），B（0，y2），直接写出y1，y2的大小关系；
（3）若x1+x2＝1﹣a，比较y1，y2的大小，并说明理由．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．已知二次函数的图象经过点，且，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值，也有最小值B．有最大值，没有最小值
C．没有最大值，有最小值D．没有最大值，也没有最小值
4．如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．(,)B．(2,2)C．(,2)D．(2,)
5．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，4）、P（﹣1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，抛物线G：（常数a为正数）．下列关于G的四个命题：
①G的最低点坐标为；
②b是任意实数，x=2+b时的函数值大于x=2－b时的函数值；
③当a=1时，G经过点（1，－1）；
④当G经过原点时，G与x轴围成的封闭区域（边界除外）内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为1．
其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．②④D．①④
二、填空题
7．对于二次函数y＝ax2和y＝bx2，其自变和函数值的两组对应值如表所示：
根据二次函数图象的相关性质可知：m＝___，c﹣d＝___．
8．已知的三个顶点为， 将向右平移 个单位后， 某一边的中点恰好落在二次函数的图象上， 则的值为____________.
9．二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为_________．
10．把二次函数的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为，若，则m的最大值是________________．
11．已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _____．
12．记实数，中的最小值为，例如，当取任意实数时，则的最大值为___________．
三、解答题
13．已知抛物线是抛物线上的两点．
(1)当时，直接写出y的取值范围是____________；
(2)当时．____________；
(3)当m在不断增大时，在不断减小，而在不断增大，且，求m的取值范围．
14．如图，抛物线与轴交于A，B两点点B在点A的右侧，其顶点为C，点P为线段上一点，且过点P作，分别交抛物线于，两点点在点的右侧，连接，．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；用含，的式子表示
(2)猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)若，，求的值．
15．如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．
(1)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ；
(2)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ；
(3)若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系．
16．定义：若二次函数的图象记为，其顶点为，二次函数的图象记为，其顶点为，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”．
分类一：若二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”．
(1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）
(2)试求出的“反顶伴侣二次函数”．
(3)若二次函数与互为“反顶伴侣二次函数”，试探究与的关系，并说明理由．
(4)分类二：若二次函数可以绕点M旋转180°得到二次函数；，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”．
①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）
②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？
③如图，，互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且轴，当四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数，的顶点有什么关系．并说明理由．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·浙江丽水·一模）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2B．有最小值2C．有最大值5D．有最小值5
2．（2022·贵州铜仁·二模）函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C．D．
3．（2022·陕西·陇县教学研究室二模）下列关于二次函数（m为常数）的结论错误的是（ ）
A．当时，y随x的增大而减小B．该函数的图象一定经过点
C．该函数图象的顶点在函数的图象上D．该函数图象与函数的图象形状相同
4．（2020·福建福州·二模）小明在研究抛物线（为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A．无论取何实数，的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线上
C．当时，随的增大而增大，则
D．该抛物线上有两点，，若，，则
5．（2021·天津南开·二模）二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（ ）
A．0B．C．D．
6．（2020·辽宁鞍山·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，矩形CDEF的顶点E在边AB上，D，F两点分别在边AC，BC上，且，将矩形CDEF以每秒1个单位长度的速度沿射线CB方向匀速运动，当点C与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒，矩形CDEF与△ABC重叠部分的面积为S，则反映S与t的函数关系的图象为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2021·江苏南通·一模）抛物线的顶点坐标为______．
8．（2022·河南安阳·一模）若点在抛物线上，则、、的大小关系为______．（答案用“>”连接）
9．（2020·上海虹口·一模）如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P在点Q的右侧，如果点P的坐标为（4，0），那么点Q的坐标为_____．
10．（2020·浙江·模拟预测）已知函数在自变量的范围内，相应的函数最小值为0，则的取值范围是________．
11．（2021·上海奉贤·一模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为_______________________．
12．（2022·吉林·农安县第一中学一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为____
三、解答题
13．（2022·浙江·宁波市兴宁中学一模）已知二次函数（是实数）．
(1)小明说：当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
(2)已知点，都在该二次函数图象上，求证：．
14．（2021·北京·首都师范大学附属中学模拟预测）已知平面直角坐标系中，抛物线与直线，其中．
若抛物线的对称轴为，
①m的值为_ ﹔
②当时，有 （填“”，“”或“”） ．
当时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出的取值范围．
15．（2020·江苏常州·一模）二次函数y= (x-h)2+k的顶点在x轴上，其对称轴与直线y=x交于点A（1，1），点P是抛物线上一点，以P为圆心，PA长为半径画圆，⊙P交x轴于B、C两点．
⑴h= ,k= ；
⑵①当点P在顶点时，BC= ；
②BC的值是否随P点横坐标的变化而变化？如果变化，请说明理由，如果不变化，请求出这个值．
16．（2019·贵州·贵阳市第三中学模拟预测）如图1，将抛物线P1：y1＝x2﹣3右移m个单位长度得到新抛物线P2：y2＝a（x+h）2+k，抛物线P1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线P2与x轴交于A1，B1两点，与y轴交于点C1．
（1）当m＝1时，a＝ ，h＝ ，k＝ ；
（2）在（1）的条件下，当y1＜y2＜0时，求x的取值范围；
（3）如图2，过点C1作y轴的垂线，分别交抛物线P1，P2于D、E两点，当四边形A1DEB是矩形时，求m的值．
x
﹣1
m（m≠﹣1）
y＝ax2
c
c
y＝bx2
c+3
d