初中数学北师大版九年级下册4 二次函数的应用复习练习题

这是一份初中数学北师大版九年级下册4 二次函数的应用复习练习题，文件包含第10课二次函数的应用原卷版docx、第10课二次函数的应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共78页， 欢迎下载使用。

课后培优练级练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】原价为100万元，一年后的价格是100×（1-x），二年后的价格是为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，则函数解析式求得．
【解析】解：由题意得：二年后的价格是为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，
则函数解析式是：y=100（1-x）2．
故选A．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，需注意第二年的价位是在第一年的价位的基础上降价的．
2．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用现有一块长20cm、宽10cm的矩形，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，则底面长与宽均减少2xcm，表示出无盖的长方体盒子底边的长，进而得出y与x之间的函数关系式．
【解析】解：设小正方形边长为xcm，由题意知：
现在底面长为（20-2x）cm，宽为（10-2x）cm，
则y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出长方体盒子底边的长与宽是解题关键．
3．重装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，则要想获得最大利润每天必须卖出（ ）
A．25件B．20件C．30件D．40件
【答案】A
【分析】将函数解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质求解可得．
【解析】解：∵y=-x2+50x-500=-（x-25）2+125，
∴当x=25时，y取得最大值，最大值为125，
即销售单价为25元时，销售利润最大，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练将二次函数的一般式化为顶点式的能力及掌握二次函数的性质．
4．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）
A．米B．8米C．10米D．2米
【答案】B
【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线，与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可．
【解析】解：当y＝0时，即＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
5．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为y，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52）B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）
【答案】A
【分析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长，再利用矩形面积求法得出答案．
【解析】解：y关于x的函数表达式为：y（50+2﹣x）x
x2+26x（2≤x＜52）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键．
6．下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化．如果售价为元时，日销量为（ ）件．
A．1200B．750C．1110D．1140
【答案】C
【分析】由题意根据表中的数据分析得，每降元，销售量增加件，就可求出降元时的销售量，以此进行分析即可．
【解析】解：由表中数据得，每降元，销售量增加件，
即每降元，销售量增加件，
降元时，销售量为（件）．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的应用以及二次函数的应用：在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解答此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式．
7．一位运动员在距篮筐正下方水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮筐中心到地面的距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值，设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.15=-0.2×（-2.5）2+3.5．
【解析】∵当球运行的水平距离为时，达到最大高度，∴抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线的解析式为．由题意知图象过点，∴，解得，抛物线的解析式为．设球出手时，他跳离地面的高度为．
∵抛物线的解析式为，球出手时，球的高度为．
∴，∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点，求得二次函数的解析式是解决本题的关键．
8．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（ ）

A．1B．1.5
C．2D．3
【答案】D
【分析】首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数的解析式，然后令y=0，即可求解．
【解析】如图建立坐标系：
抛物线的顶点坐标是（1，4），
设抛物线的解析式是y=a（x-1）2+4，
把（0，3）代入解析式得：a+4=3，
解得：a=-1，
则抛物线的解析式是：y=-（x-1）2+4，
当y=0时，-（x-1）2+4=0，
解得：x1=3，x2=-1（舍去），
则水池的最小半径是3米．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式是本题的关键．
9．小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度与旋转时之间的关系可以近似地用来刻画．如图记录了该摩天轮旋转时和离地面高度的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把已知点的坐标代入函数解析式，求得b，c的值，可得函数解析式，再由二次函数求最值．
【解析】解：把（160，60），（190，67.5）分别代入，
可得，
解得：，
则，
∵，
∴当时，有最大值，
∴当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为s，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决问题，是基础题．
10．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．
A．60B．65C．70D．75
【答案】C
【分析】根据题意，可以先设出每顶头盔降价x元，利润为w元，然后根据题意可以得到w与x的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到降价多少元时，w取得最大值，从而可以得到该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价．
【解析】解：每顶头盔降价x元，利润为w元，
由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，
即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键．
二、填空题
11．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________．
【答案】3.75
【分析】根据二次函数的对称轴公式直接计算即可．
【解析】解：∵的对称轴为（min），
故：最佳加工时间为3.75min，
故答案为：3.75．
【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键．
12．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数表达式为y＝－x2＋x＋，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为________米．
【答案】2
【分析】直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离.
【解析】解:∵函数解析式为: y＝－x2＋x＋，
∴y最值===2.
故答案为:2.
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用,属于简单题,正确记忆最值公式是解题关键.
13．如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为 __；自变量x的取值范围为 __．
【答案】
【分析】根据题意表示出长方形的长进而得出函数关系，进而结合a的最大值得出x的取值范围．
【解析】解：设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，
则S与x的之间的函数表达式为：；
由题意可得：，
解得：．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是正确表示出长方形的长．
14．在东京奥运会跳水比赛中，中国小花全红婵的表现，令人印象深刻．在正常情况下，跳水运动员进行10米跳台训练时，必须在距水面5米之前完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易出现失误．假设某运动员起跳后第t秒离水面的高度为h米，且．那么为了避免出现失误，这名运动员最多有_____秒时间，完成规定的翻腾动作．
【答案】##1.5
【分析】根据题意，令，解一元二次方程求解即可．
【解析】依题意
整理得
即
解得（不符合题意，舍）
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意将代入关系式是解题的关键．
15．如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点M距水面（即），小孔顶点N距水面（即）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度是_________m．

【答案】
【分析】利用待定系数法求出大孔抛物线的解析式，然后根据NC的长即可求出点E、F的坐标，从而求出结论．
【解析】解：设大孔抛物线的解析式为，
把点解析式，得
，解得，
因此大孔抛物线的解析式为；
由，可知点F的纵坐标为4，
代入解析式，
解得．
所以，
所以．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用待定系数法求二次函数解析式是解决此题的关键．
16．如图，点A、B的坐标分别为 和 ，抛物线的顶点在线段上，与轴交于，两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点D的横坐标的最大值为____．
【答案】8
【分析】当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴和对称性，可判断出CD间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．
【解析】解：当点C横坐标为−3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，
此时D点横坐标为5，则CD=8，
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，
故C（0，0），D（8，0），
此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查二次函数的平移及性质，熟练掌握二次函数的性质并明确CD的长度固定是解此题的关键．
三、解答题
17．图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？
【答案】
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解析】解：建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为(a≠0).
∵图象经过点（2，-2），
∴-2=4a，
解得：.
∴.
当y=-3时，.
答：当水面高度下降1米时，水面宽度为米.
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，难度一般．
18．如图，一名垒球运动员进行投球训练，站在点O开始投球，球出手的高度是2米，球运动的轨迹是抛物线，当球达到最高点E时，水平距离EG=20米，与地面的高度EF=6米，掷出的球恰好落在训练墙AB上B点的位置，AB=3米．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)求点O到训练墙AB的距离OA的长度．
【答案】(1)抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；
(2)点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10）米．
【分析】（1）根据抛物线的顶点设关系式为y=a（x-20）2+6，再根据点C的坐标可得关系式；
（2）把y=3代入可得答案．
（1）
解：由题意得，顶点E（20，6）和C（0，2），
设抛物线的关系式为y=a（x-20）2+6，
∴2=a（0-20）2+6，
解得a=-0.01，
∴抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；
（2）
（2）当y=3时，3=-0.01（x-20）2+6，
解得x1=20+10，x2=20-10（舍去），
答：点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10）米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，利用待定系数法得到抛物线的关系式是解题关键．
19．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；
(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；
(3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．
【答案】(1)y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）
(2)能飞越，理由见解析
(3)8.1米
【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案；
（2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可；
（3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t），用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案；
（1）
解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10．
把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）．
（2）
解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5．
∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB．
（3）
解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）．
把（30，3）代入，得3＝30k，
∴k＝．
故直线OA的解析式为y＝x．
设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）．
过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）．
∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1．
∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1．
答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，矩形的宽比长少，在四个角处各剪去一个边长为 的正方形（图中阴影部分），沿图中虚线折叠得到一个无盖的长方体．若原矩形的长为，折成的长方体的底面积是，则这个长方体的底面积 与原矩形的长 之间的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由原矩形的长为，矩形的宽比长少得矩形的宽为，根据矩形的面积公式即可得出函数关系式．
【解析】解：原矩形的长，则宽为，
∴在四个角处各剪去一个边长为 的正方形，沿图中虚线折叠得到一个无盖的长方体时，底面矩形的长为，宽为
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，找准等量关系，正确列出函数关系式是解题的关键．
2．如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b＝0；②2c>3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，a＝．其中正确的个数（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】由图象可得对称轴为直线，可得，可判断①；将点坐标代入解析式可得，可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求的值，可判断③；由直角三角形的性质和两点距离可求或，可判断④，即可求解．
【解析】解：二次函数的图象与轴交于，两点，
对称轴为直线，
，
，故①正确，
当时，，
，
，
，故②错误；
二次函数，
点，
当时，，
，
当时，，
，
当是等腰三角形时，的值有2个，故③正确；
二次函数，
顶点，
，，，
若，可得，
，
，
若，可得，
，
，
当是直角三角形时，或，故④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
3．2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（ ）
A．250B．300C．200D．550
【答案】D
【分析】根据单日利润=单日的销售量×每瓶的利润－每日其他费用即可列出函数关系式，然后利用函数的最值问题即可求解 ．
【解析】解：根据题意，得

∴，
∴，
∵，
∴抛物线的开口向下，有最大值，
又∵，
∴当时，，
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键．
4．某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为（元/千克）（，且是按0.5的倍数上涨），当日销售量为（千克）．有下列说法：
①当时，
②与之间的函数关系式为
③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克
④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克
其中正确的是（ ）
A．①②B．①②④C．①②③D．②④
【答案】B
【分析】根据题意求出二次函数的解析式，再根据利润的关系逐一判断即可；
【解析】当时，，故①正确；
由题意得：，故②正确；
日销售利润为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，
∴不合题意，
即若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为38元/千克，故③错误；
由上问可知：，
即，
∵，
∴当时，，
即若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克，故④正确；
故正确的是①②④；
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，准确计算是解题的关键．
5．如图，在中，，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，
∴∠B＝60°，，，
∵CD⊥AB，
∴，，，
∴当M在AD上时，0≤t≤3，
，，
∴，
当M在BD上时，3＜t≤4，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
6．如图，抛物线为常数且与轴交于点，过点作轴的垂线，与交于点，点是的顶点.则下列说法；
①当时，射线经过线段的一个端点；
②当时，射线经过线段的一个四等分点；
③当时，射线会经过线段的中点；
④当时，射线会经过线段的一个四等分点.
其中错误的是
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】B
【分析】由求出，，分别求出的中点为，线段的四等分点坐标为，，，，，顶点，直线的解析式为，再结合选项进行判断即可.
【解析】解：①当时，，
对称轴为直线，
，
令，则，
，
轴，
，
设直线的解析式为，
，
，
当时，，
点在直线上，
射线经过线段的一个端点；
故①不符合题意；
②当时，，
，，
可求直线的解析式为，
当时，，
解得，
直线上有一点，，
令，则，
解得或，
，
，
线段的四等分点坐标为，，，，，
射线经过线段的一个四等分点；
故②不符合题意；
③与轴的交点，
令，则，
解得或，
，
的中点为，
的顶点为，
直线的解析式为，
将点代入，
，
，
不存在，
故③符合题意；
④线段的四等分点坐标为，，，，，
直线的解析式为，
将点，代入，可得；
将点代入，可得；
将点，代入，可得；
，
射线不会经过线段的一个四等分点，
故④符合题意；
故选：B.
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，待定系数法求直线的解析式是解题的关键.
二、填空题
7．小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物线状，升降器AB和淋浴喷头BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝cm．刚开始时，OA＝140cm，水流所在的抛物线恰好经过点A，抛物线落地点D和点O相距70cm．为了方便淋浴，淋浴器仍需完全处于开启的状态，且要求落地点和点O的距离增加10cm，则小刚应把升降器AB向上平移____________cm．
【答案】60
【分析】过点C作延长线于点E，先求出BE的长，再以点O为原点，OA为y轴正方向，OD为x轴正方向，以1cm为一个单位，建立直角坐标系，得出A、C、D的坐标，用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线向上平移k个单位，再把坐标代入解析式求出k的值即可．
【解析】解：过点C作延长线于点E，
cm
以点O为原点，OA为y轴正方向，OD为x轴正方向，以1cm为一个单位，建立直角坐标系，
则
设此时抛物线解析式为：
代入点得，
， 整理得，
解得
设小刚应把升降器向上平移kcm，即将抛物线向上平移k个单位，则抛物线解析式为：
将代入解析式得，
即小刚应把升降器向上平移60cm
故答案为：60
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据实际情况建立直角坐标系，用待定系数法求解析式．
8．矩形ABCD中，点P从点A出发，沿AB边以每秒1个单位的速度向B点运动，至B点停止；同时点Q也从A点出发，以同样的速度沿A-D-C-B的路径运动，至B点停止，在此过程中△APQ的面积y与运动时间t的函数关系图象如图所示，则m的值为________
【答案】24
【分析】根据△APQ的面积y与运动时间t的函数关系图象先算出矩形ABCD中AD边的长，然后根据最后运动时间为20s时，△APQ的面积为0，得出此时点Q运动到了点B上，得出，从而求出DC的长度，即可求出m的值．
【解析】当点Q在AD上时，△APQ的面积y与运动时间t的函数关系式为：，
根据函数图象可知，当点Q运动到D上时，，即，
解得，（不合题意舍去）
∴，
∵根据函数图象可知，Q点运动到B点用的时间为20s，
∴，
∴，
∴点P从A点运动到B点用的时间为：，
∴，
∴此时的面积为：，
即．
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查了动点图象问题，涉及矩形的性质，三角形面积的计算，解决本题的关键是弄清楚不同时段，图象和图形的对应关系．
9．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，如图2所示，此时液面宽度________，液面到点所在水平地面的距离是________．
【答案】
【分析】建立以抛物线对称轴为y轴，以DC为x轴的平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线于E，交x轴于F点，过B作于M点．分别求出抛物线、直线BE的解析式，以及E点坐标，利用长度公式及勾股定理，勾股逆定理即可得出答案．
【解析】解：依题意建立如图平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线于E，交x轴于F点，过B作于M点，
依题意得：，BM=12，
设抛物线的解析式为：
把A、B、C点坐标代入得：
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
设直线BF的解析式为：
把B、M点坐标代入得：
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴C到点BE的距离为：
故图2中液面到点所在水平地面的距离是
故答案为： ，
【点睛】本题考查了二次函数与实际问题的应用，计算量较大，需要学生熟练掌握二次函数与一次函数交点问题，以及利用勾股逆定理来判别直角三角形．
10．“水晶晶南浔”的美食文化中以特有的双交画出名，盛面的瓷碗截面图如图1所示，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），点E是抛物线的顶点，碗底高EF＝1cm，碗底宽AB＝2cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD＝8cm，此时面汤最大深度EG＝6cm，将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，如图2，当∠ABK＝30°时停止，此时液面CH宽 _____cm；碗内面汤的最大深度是 _____cm．
【答案】
【分析】以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，得出E、C的坐标用待定系数法求抛物线的解析式，将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABK=30时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角为30°，即∠DCH=30°，求出CH与y轴的交点坐标G，把点C、G代入求出直线CH的解析式，联立两个函数求出交点坐标，用两点间的距离公式求出CH的长度；将直线CH向下平移与抛物线只有一个交点时，两直线间的距离最短，利用二次函数与一次函数的交点问题求出平移后的函数解析式，作GJ⊥l1，得出直角三角形，求出两条直线间的距离即为碗内面汤的最大深度是．
【解析】以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
由题意知：
F（0，0），E（0，1），C（，7），D（，7），
设抛物线的解析式为：，
把点C（，7）代入得，
，
解得：a＝，
∴，
将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，
当∠ABK＝30°时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角为30°，即∠DCH＝30°，
设直线CH的解析式为y＝kx+b，与y轴交于点G，如图：
由题意知：点C（，7），
∵∠DCH＝30°，CK＝，
∴KG＝tan30°＝4，
∴FG＝3，
即点G（0，3），
∴，
解得：，
∴直线CH的解析式为：y＝x+3，
由，解得或，
∴H（，），
∴CH＝．
把直线CH：y＝x+3，向下平移m个单位得到直线：y＝，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线之间的距离最大，过G作GJ⊥，交于点J，与y轴交于点M，GJ的长即为碗内面汤的最大深度，
联立，
整理为：，
∵只要一个交点，
∴Δ＝0，
即，
解得：，
∴直线l1的解析式为：，
∴点M（0，），
GM＝3﹣＝，
∵CH与水平面的夹角为30°，
∴直线与水平面的夹角为30°，即∠MGJ＝30°，
∴在Rt△GMJ中，
GJ＝GMcs30°＝，
即碗内面汤的最大深度为：，
故答案为：，．
【点睛】题考查了二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．
三、解答题
11．探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面．其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊点为抛物线的焦点．若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为．如图，在平面直角坐标系中，某款探照灯抛物线的表达式为，焦点为F．
(1)点F的坐标是___________；
(2)过点F的直线与抛物线交于A，B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，反射后沿射线射出，所在直线与x轴的交点坐标为．
① 画出沿射线方向射出的光线的反射光线；
②所在直线与x轴的交点坐标为___________．
【答案】(1)
(2)①见解析，②
【分析】（1）根据题意得出，即可确定点F的坐标；
（2）①根据题意确定轴，得出，经抛物线反射后所得的光线平行于y轴，轴，据此作出平行线即可；
②设直线的解析式为，利用待定系数法确定直线AB的解析式，然后与联立求解即可得出结果．
（1）
解：根据题意得，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）
由题意可知抛物线的对称轴是y轴，
∴经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，即经抛物线反射后所得的光线平行于y轴，
∴轴
∵所在的直线与x轴的交点坐标为，
∴A点的横坐标为4，纵坐标为，
∴，
①经抛物线反射后所得的光线平行于y轴，
∴轴
∴画出沿射线方向射出的光线的反射光线，如下图所示：
②设直线的解析式为，把、代入，
得，
解得：
∴直线的解析式为，
由题意可知，直线与抛物线交于A、B两点，
把代入
整理得，
解得：，，
∵点B在y轴的左侧，
∴B点的横坐标为，
∵轴，
∴所在直线与x轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查二次函数的应用及利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的综合问题等，理解题意，综合运用一次函数与二次函数的性质是解题关键．
12．图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线：运动．
(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
【答案】(1)
(2)当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米
(3)
【分析】（1）点，点代入抛物线，待定系数法求解析式即可；
（2）运动员与小山坡的竖直距离为1米，结合图形根据，解方程即可求解；
（3）将化为顶点式，求得坡顶坐标为，根据当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，列出不等式，解不等式即可求解．
（1）
根据题意可知：点，点代入抛物线：得，
，
解得：，
∴抛物线的函数解析式；
（2）
∵运动员与小山坡的竖直距离为1米，
∴，
解得：（不合题意，舍去），，
故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；
（3）
∵点，
∴抛物线：，
∵抛物线：，
∴坡顶坐标为，
∴当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，，
解得：.
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，根据题意求得解析式是解题的关键．
13．某水果店购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价P（单位：元/千克）与时间（单位：天）之间的关系如图所示的直线上，销售量Q（单位：千克）与时间（天）的函数解析式为：．
(1)求P关于x的函数解析式；
(2)求该水果店销售利润最大时的x的值；
(3)为响应政府“精准扶贫”的号召，该店决定每销售1千克水果就捐赠n（n为正整数）元给“精准扶贫”对象．欲使捐赠后不亏损，且利润随时间x（x为正整数）的增大而增大，求捐赠额n的值．
【答案】(1)；
(2)该水果店销售利润最大时的x的值为10；
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设该水果店销售利润为y元，根据总利润等于每千克的利润乘以销售量，列出y关于x的函数关系式，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
（3）设捐赠后的利润为w（元），根据总利润等于（每千克的利润−捐赠额）乘以销售量，列出w关于x的函数关系式，根据二次函数的性质及欲使捐赠后不亏损，且利润随时间x（x为正整数）的增大而增大，可列出不等式，进而求得n的值．
（1）
解：设P关于x的函数解析式为，
将，代入，得：，
解得：，
∴P关于x的函数解析式为；
（2）
解：设该水果店销售利润为y元，
由题意得： ，
∴当时，y取最大值1250，
∴该水果店销售利润最大时的x的值为10；
（3）
解： 设捐赠后的利润为w（元），
由题意得：，
∵二次项系数为，抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，w随x的增大而增大；当时，w随x的增大而减小；
∵利润随时间x（x为正整数）的增大而增大，
∴，
解得：，
∵捐赠后不亏损
∴当时，，
解得：，
∴，
∵n为正整数，
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法，二次函数在销售问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米，下面的表中记录了与的五组数据：
根据上述信息，解决以下问题：
(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象；
(2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______；
(3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米．已知游船顶棚宽度为米，顶棚到湖面的高度为米，那么公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由结果保留一位小数．
【答案】(1)见解析
(2)1.5
(3)公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到米才能符合要求
【分析】（1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
（2）观察图象即可得出结论；
（3）根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
（1）
解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图所示：
（2）
解：根据题意可知，该抛物线的对称轴为x＝2，此时最高，
即m＝1.5，
故答案为：1.5；
（3）
解：根据图象可设二次函数的解析式为：，
将代入，得，
抛物线的解析式为：，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值大于，
，
解得，
水管高度至少向上调节1.1米，
（米），
公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到1.6米才能符合要求．
【点睛】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
15．某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：数据如表．
(1)求a，b，c的值；
(2)如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数=累计人数已检测人数）；
(3)在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【答案】(1)，，
(2)490人
(3)从一开始应该至少增加3个检测点
【分析】（1）根据题意列方程，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据排队人数=累计人数已检测人数，首先找到排队人数和时间的关系，再根据二次函数和一次函数的性质，找到排队人数最多时有多少人；8分钟后入校园人数不再增加，检测完所有排队同学即完成所有同学体温检测；
（3）设从一开始就应该增加个检测点，根据不等关系“要在20分钟内让全部学生完成体温检测”，建立关于的一元一次不等式，结合为整数可得到结果．
（1）
将，，代入，
得，
解之得，，；
（2）
设排队人数为w，由（1）知，
由题意可知，，
当时，，
∴时，排队人数的最大值是490人，
当时，，，
∵-20<0，随自变量的增大而减小，
∴w<640-20×8=480，
由得，排队人数最大值是490人；
（3）
在（2）的条件下，全部学生完成核酸检测时间（分钟）
设从一开始增加n个检测点，则，解得，
∵ n为整数，
∴从一开始应该至少增加3个检测点．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出与之间的函数关系式是本题的关键．
16．抛物线：与直线：交于、两点，且．
(1)求和的值（用含的代数式表示）；
(2)当时，抛物线与轴的另一个交点为．
求的面积；
当时，则的取值范围是______．
(3)抛物线：的顶点，求出与的函数关系式；当为何值时，点达到最高．
(4)在抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当时，直接写出“美点”的个数______；若这些美点平均分布在直线的两侧，的取值范围：______．
【答案】(1)，
(2)①10；②
(3)，当时，此时点达到最高
(4)；
【分析】将点分别代入抛物线和直线解析可得出结论；
由可得出，令，可得出的值，进而可得出点的坐标，联立抛物线和直线的解析式，可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式可得出结论；
根据二次函数的性质可得出当时，抛物线的增减性，进而可得出的取值范围；
将抛物线的解析式化为顶点式，可得出的值，进而可得出与的函数关系式，根据二次函数的性质可得出结论；
求出抛物线与直线的交点，在其范围内，根据抛物线解析式和直线解析式的特点确定“美点”的个数；根据题意若这些美点平均分布在直线的两侧，则直线在点和之间，由此求出的值，进而得出结论．
（1）
解：将点代入直线：，
，
；
将点代入抛物线：，
，
；
综上，，；
（2）
当时，，
抛物线的解析式为：．
令，则或，
，
令，解得或，
．
．
当时，函数随的增大而增大，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围为：．
故答案为：．
（3）
抛物线：，
抛物线的顶点为，
，
，
当时，的最大值为，此时点达到最高．
综上，，当时，此时点达到最高．
（4）
当时，
抛物线：，
直线：，
由得，，，
抛物线与直线的交点是和，
当时，
在和上的边界上，当横坐标是整数时，纵坐标也是整数，
“美点”共有：个；
当过点时，直线下方有个，直线上方有个，
此时，解得；
当过点时，直线下方有个，上方有个，
此时，解得；
若这些美点平均分布在直线的两侧，的取值范围：．
故答案为：；．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，新定义“美点”，二次函数的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·河北·新乐市实验学校模拟预测）小高发现，用微波炉加工爆米花时，时间太短，一些颗粒没有充分爆开；时间太长，就糊了.如果将爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（、、是常数），小高记录了三次实验的数据（如下图）.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟
【答案】B
【分析】利用待定系数法求函数解析式，再根据二次函数的性质进行解题即可．
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故二次函数解析式为：，
∴当时，食用率最高；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的最值问题．解题的关键是根据所给信息准确的求出函数解析式．
2．（2022·云南昆明·二模）根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．某校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，但要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料10米搭建的隔离区的面积最大为（ ）平方米．
A．B．25C．D．15
【答案】C
【分析】设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（10-x+1）米，根据隔离区面积为S平方米，列出二次函数表达式，配方后再根据二次函数的性质求解即可．
【解析】设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（10-x+1）米，
依题意，隔离区的面积为S=x•（10-x+1）=-x2+x=-（x-）2+，
∵-＜0，
∴当x=时，隔离区有最大面积，最大面积为平方米，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出二次函数表达式．
3．（2022·河北石家庄·三模）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
①；
②池底所在抛物线的解析式为；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的是（ ）
A．①②B．②④C．③④D．①④
【答案】B
【分析】根据两点距离公式可计算AB长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，将已知点坐标代入即可得出抛物线方程，进而逐项判断即可．
【解析】①由题可知，AB=15－（﹣15）=30m，则①错误；
②对称轴为y轴，交y轴于点(0，﹣5)，设函数解析式为 ,将点(15,0)代入解析式得，解得，池底所在抛物线解析式为，则②正确；
③将代入解析式得 ，解得，则池塘最深处到水面CD的距离为m,则③错误；
④设原宽度为时最深处到水面的距离为m，宽度减少为原来的一半时距离为m，故④正确，
所以①、③错误，②、④正确，
选项B正确，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数法求解．
4．（2022·河南南阳·三模）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为，动点Q的运动路线为．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分两种情况：P点在AB上运动和P点在BC上运动时；分别求出解析式即可．
【解析】解：（1）点P在AB上运动时，0＜x≤5，如图，
∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作QE⊥AB交AB于点E，
则有AP＝BQ＝x，∠EBQ＝∠DBC＝45°，
∴BP＝5−x，QE＝，
∴△BPQ的面积为：y＝BP•QE＝×(5−x)×=（0＜x≤5），
∴此时图象为抛物线开口方向向下；
（2）点P在BC上运动时，5＜x≤5，如图，
∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作QE⊥BC交BC于点E，
则有AB＋BP＝BQ＝x，∠DBC＝45°，
∴BP＝x−5，QE＝，
∴△BPQ的面积为：y＝BP•QE＝×（x−5）×=（5＜x≤5），
∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y随x的增大而增大；
综上，只有选项B的图象符合，
故选：B．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，分类讨论，正确的求出函数解析式是解题的关键．
5．（2022·河南周口·二模）如图，中，，点为边上一个不与、重合的一个动点，过点作与点，作的中线，当点从点出发匀速运动到点时，设的面积为，，与的函数图象如图2所示，则的面积为（ ）
A．B．C．19D．18
【答案】A
【分析】分析可知当，此时，动点D运动到点C，此时，求出，，利用，求出，进一步求出AB，再利用即可求出结果．
【解析】解：由题意可知：
当，此时，动点D运动到点C，此时，
设，∵，∴，
∵，∴，即：，
∴，，
∵，∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题、勾股定理、正切值、二次函数，解题的关键是结合函数图象找出AB，DE的长．
二、填空题
6．（2022·江苏·海安市城南实验中学一模）如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是___米．
【答案】10
【分析】成绩就是当高度y=0时x的值，所以解方程可求解．
【解析】解：当y=0时，，
解得：（不合题意，舍去），
所以推铅球的距离是10米；
故答案为：10．
【点睛】本题考查了把函数问题转化为方程问题，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．
7．（2022·湖北襄阳·二模）如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为_____米
【答案】0.64
【分析】根据抛物线，建立直角坐标系，求出抛物线解析式，即可求得OC的长．
【解析】
解：如图，以点C为坐标系原点，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系．
设抛物线的解析式为，
由题意可知：点A的横坐标为－0.8，点F的横坐标为－0.6，
代入，
有，，
点A的纵坐标即为OC的长，
∴0.36a＋0.28＝0.64a，
解得a＝1，
∴抛物线解析式为，
，
故OC的长为：0.64m．
【点睛】本题考查根据抛物线构建直角坐标系，解决实际问题，熟练掌握二次函数相关知识点是解题的关键．
8．（2022·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，抛物线经过点B、C．
（1）点B的坐标为______．
（2）若抛物线的顶点在正方形OABC的内部，则a的取值范围是______．
【答案】 B（2，2） 0【分析】（1）观察图象即可得到，求得对称轴为直线，即可求得，即可求出点B的坐标；
（2）易求得，得到抛物线为，根据题意得到，即可求解．
【解析】解：（1）∵抛物线开口向上，
∴．
∵对称轴为直线，且经过点B、C，
∴，
∴正方形的边长为2，
∴，
故答案为：B（2，2）；
（2）可求得点C坐标为（0，2），∴．
∴抛物线为．
∵抛物线的顶点在正方形OABC的内部，
∴，
解得，
∴．
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，坐标与图形、二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质、解一元一次不等式组，根据题意得到关于a的不等式组是解题的关键．
三、解答题
9．（2022·辽宁辽宁·模拟预测）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126
(2)当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，然后根据总利润等于每千克的利润×销售量，然后根据二次函数的性质解答即可．
(1)
解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由表中数据得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126；
(2)
设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，
∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，
∴18≤x≤28，
∵﹣3＜0，
∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大，最大值为420，
∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质．
10．（2022·江苏南通·一模）为有效防范疫情风险，保障广大市民身体健康和生命安全，我市在8月7日～11日进行了全员核酸检测实战演练．某检测点从早上7：30开始等待检测，检测人数y（人）与时间x（分钟）的关系如图所示．（图象ABC段是抛物线，CD段在x轴上）
(1)请观察图象，7：30时等待检测的居民有 人；
(2)当0≤x≤30时，求y与x的函数关系式；
(3)何时开始，居民可以随到随测？
【答案】(1)65
(2)y＝﹣（x﹣30）2+245
(3)从8：35时，居民可以随到随测
【分析】（1）观察图象即可得；
（2）根据抛物线的顶点坐标设y与x的函数关系式为y＝a（x﹣30）2+245，把（0，65）代入即可得；
（3）根据题意，当y＝0时，计算0＝﹣（x﹣30）2+245，即可得．
（1）
解：观察图象得，7：30时等待检测的居民有65人，
故答案为：65．
（2）
解：∵抛物线的顶点坐标为（30，245），
∴设y与x的函数关系式为y＝a（x﹣30）2+245，
把（0，65）代入得，65＝a（0﹣30）2+245，
解得：，
∴y与x的函数关系式为．
（3）
解：由（2）知，抛物线的解析式为；
当y＝0时，即，
解得：x1＝65，x2＝﹣5（不合题意舍去），
∴从8：35时，居民可以随到随测．
【点睛】本题考查了二次函数，解题的关键是掌握二次函数的性质．
11．（2022·浙江金华·一模）如图，AB，CD是两个过江电缆的铁塔，塔高均为40米，AB的中点为P，小丽在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E，P，C在一直线上，且P，D离江面的垂直高度相等．跨江电缆AC因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆AC下垂的最低点距江面的高度不得少于30米．已知塔底B距江面的垂直高度为6米，电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要求．
(1)求电缆最低点与河岸EB的垂直高度h及两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD之间的水平距离）．
(2)求电缆AC形成的抛物线的二次项系数．
【答案】(1)电缆最低点与河岸EB的垂直高度米；两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD之间的水平距离）为米
(2)电缆AC形成的抛物线的二次项系数为
【分析】（1）根据题意，作出图形，把题中各个相关线段长度求出来，由跨江电缆AC因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆AC下垂的最低点距江面的高度不得少于30米，电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要求，得到电缆最低点与河岸EB的垂直高度米；再根据，利用相似比得到两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD之间的水平距离）为米；
（2）以中点为原点建立平面直角坐标系，如图所示，得到、，利用待定系数法设抛物线的解析式为，联立方程即可得到电缆AC形成的抛物线的二次项系数为或，然后检验舍去不符合题意的值即可．
（1）
解：连接，过作于，设江面所在直线为，电缆AC下垂的最低点距江面的高度为，如图所示：
AB，CD是两个过江电缆的铁塔，塔高均为40米，
米，
AB的中点为P，
米，
小丽在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E，P，C在一直线上，
米，
塔底B距江面的垂直高度为6米，
米，
P，D离江面的垂直高度相等，
，
，
跨江电缆AC因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆AC下垂的最低点距江面的高度不得少于30米，电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要求，
米，
电缆最低点与河岸EB的垂直高度米；
由题意及图形可知，
，即，
，解得米，
两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD之间的水平距离）为米；
（2）
解：以中点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：
由（1）知米，米，
、，
设抛物线的解析式为，则
，
由②①得，
由②①得，
将，代入③得，由一元二次方程求根公式解得或，
当时，对称轴，故不符合题意，舍去，
电缆AC形成的抛物线的二次项系数为．
【点睛】本题是一道实际应用问题，考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求函数解析式，体现了数学来源于生活，服务于生活的本质，灵活使用数形结合是解决问题的关键．
12．（2022·广东·绿翠现代实验学校二模）已知抛物线：的对称轴为y轴，点（-2，1）在抛物线上．该抛物线与直线：相交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)O是坐标系的原点，若．求直线的解析式；
(3)将直线向下平移得到直线，且直线与抛物线C只有一个公共点M，当时，求的面积．
【答案】(1)y=；
(2)y=x+3；
(3)．
【分析】（1）由抛物线的对称轴为y轴，求出b=0，再将点（-2，1）代入，即可求函数的解析式；
（2）设A（，+m），B（，+m），联立方程组，由根与系数的关系可得+=4，•=-4m，设直线y=x+m与y轴的交点为G，过点O作OH⊥AB交于点H，求出BG=2m=，可分别求出=2m，=4-2m，再由2m•（4-2m）=-4m，求出m的值即可求函数的解析式；
（3）设直线的解析式为y=x+n，由题意可知方程x+n=只有一个解，求出n=-1，M（2，1），过点M作EFx轴，过点A作AE⊥EF交于E，过点B作BF⊥EF交于F，可证明△AEM∽△MFB，再由（2）可列得方程，求出m=7，即可确定A（2-4，9-4），B（2+4，9+4），再求三角形的面积即可．
（1）
解：∵抛物线的对称轴为y轴，
∴b=0，
∴，
将点（-2，1）代入，
∴4a=1，
解得a=，
∴y=；
（2）
解：设A（，+m），B（，+m），
联立方程组，
整理得，，
∴+=4，•=-4m，
设直线y=x+m与y轴的交点为G，与x轴的交点为D，过点O作OH⊥AB交于点H，
∴G（0，m），D（-m，0），
∴GO=DO，
∴∠AGO=45°，
∴GH=HO=m，
∵tan∠OBA=，
∴BH=m，
∴BG=2m，
∴，
∴=2m，
∴=4-2m，
∴2m•（4-2m）=-4m，
解得m=3，
∴y=x+3；
（3）
解：设直线的解析式为y=x+n，
∵直线与抛物线C只有一个公共点，
∴方程只有一个解，
∴，
∴Δ=16+16n=0，
解得n=-1，
∴，
∴x=2，
∴直线的解析式为y=x-1，此时M（2，1），
设A（，+m），B（，+m），
联立方程组，
整理得，，
∵Δ=16+16m＞0，
∴m＞-1，
∴，，
过点M作EFx轴，过点A作AE⊥EF交于E，过点B作BF⊥EF交于F，
∵∠AMB=90°，
∴∠AME+∠BMF=90°，
∵∠AME+∠EAM=90°，
∴∠BMF=∠EAM，
∴△AEM∽△MFB，
∴，
∵ME=2-，AE=+m-1，MF=-2，BF=+m-1，
∴，
解得m=-1（舍）或m=7，
∴直线解析式为y=x+7，
∴，
∴Δ=16×8＞0，
∴x=，
∴A（2-4，9-4），B（2+4，9+4），
∴AM=，BM=，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直线平移的性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
降价（元）
日销量（件）
消毒液
每瓶售价（元）
每瓶成本（元）
每日其他费用（元）
每日最大产销量（瓶）
30
18
1200＋0.02x2
250
米
米
时间x（分钟）
0
1
2
3
…
8
x>8
累计人数y（人）
0
150
280
390
…
640
640
每千克售价x（元）
……
20
22
24
……
日销售量y（千克）
……
66
60
54
……