初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数5 二次函数与一元二次方程综合训练题

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课后培优练级练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．抛物线与x轴的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过解方程即可得到抛物线的与x轴交点的坐标．
【解析】解：当y=0时，，
解得x1=-1，x2=3，
所以抛物线的与x轴交点的坐标是（-1，0），（3，0）．
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
2．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A(m，n），B(m﹣8，n)，则n的值为（ ）
A．8B．12C．15D．16
【答案】D
【分析】由题意b2﹣4c＝0，得b2＝4c，又抛物线过点A（m，n），B（m﹣8，n），可知A、B关于直线x＝对称，所以A（+4，n），B（﹣4，n），把点A坐标代入y＝x2+bx+c，化简整理即可解决问题．
【解析】解：由题意b2﹣4c＝0，
∴b2＝4c，
又∵抛物线过点A（m，n），B（m﹣8，n），
∴A、B关于直线x＝对称，
∴A（+4，n），B（﹣4，n），
把点A坐标代入y＝x2+bx+c，
n＝（+4）2+b（+4）+c＝b2+16+c，
∵b2＝4c，
∴n＝16．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质,关键在于熟悉性质,灵活运用.
3．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称轴，确定抛物线与x轴的两个交点的坐标，交点的横坐标就是方程的解．
【解析】解：二次函数（m为常数）的对称轴是直线，
关于的对称点是．
则一元二次方程的两个实数根是．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，理解一元二次方程的解就是抛物线（m为常数）的图象与x轴的交点的横坐标是关键．
4．如图是二次函数的部分图象，与y轴的交点A的坐标是，顶点B的坐标是，根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线B．抛物线的开口向下
C．当时，D．方程有两个解
【答案】C
【分析】根据二次函数的顶点坐标即可判断A；根据函数图象即可判断B和D；根据二次函数的对称性即可判断C．
【解析】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数的对称轴为直线，故A不符合题意；
由函数图象可知二次函数开口向下，故B不符合题意；
∵二次函数与y轴的交点坐标为，
∴由二次函数的对称性可知，当，，
∴当时，或，故C符合题意；
由函数图象可知，二次函数与直线有两个交点，即方程有两个解，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
5．如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．无法确定
【答案】B
【分析】先由题意得到ax2+bx+c＝﹣x有两个不相等的实数根，再将方程变形求解即可．
【解析】解：∵一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2+bx+c的图象有两个交点，
∴ax2+bx+c＝﹣x有两个不相等的实数根，
ax2+bx+c＝﹣x变形为ax2+（b+1）x+c＝0，
∴ax2+（b+1）x+c＝0有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，解题的关键是理清一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2+bx+c的图象和一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的根的情况的关系．
6．对于二次函数，下列结论错误的是（ ）
A．它的图像与轴有两个交点B．方程的两根之积为
C．它的图像的对称轴在轴的右侧D．时，随的增大而减小
【答案】C
【分析】直接利用二次函数与轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．
【解析】解：A、∵，
∴二次函数的图像与轴有两个交点，该选项结论正确，故此选项不符合题意；
B、方程，即的两根之积=，该选项结论正确，故此选项不符合题意；
C、∵的值不能确定，
∴它的图像的对称轴位置无法确定，该选项结论错误，故此选项符合题意；
D、∵，对称轴，
∴时，随的增大而减小，该选项结论正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点以及二次函数的性质、根与系数的关系等知识．正确掌握二次函数的性质是解题关键．
7．如图，二次函数的图象的对称轴为x＝，且经过点（﹣2，0），（），（），下列说法正确的是（ ）
A．bc＞0
B．当≥﹣时，
C．a＝2b
D．不等式的解集是﹣2＜x＜
【答案】B
【分析】根据图形确定的符号，即可判断A选项，根据抛物线对称轴右边y随x的增大而增大，即可判断B选项，由对称轴为化简可得，即可判断C选项，根据对称性求得另一个交点坐标，进而根据图象直接求解即可．
【解析】解：由图象可得，，c＜0，
则b＞0，
则bc＜0，故选项A错误；
∵该函数图象开口向上，该函数的对称轴为x＝﹣，
∴x≥﹣时，y随x的增大而增大，
当≥﹣时，，故选项B正确；
∵该函数的对称轴为x＝﹣，
∴−＝﹣，
化简得b＝a，故选项C错误；
∵图象的对称轴为x＝﹣，且经过点（﹣2，0），
∴图象与x轴另一个交点为（1，0），
不等式c＜0的解集是﹣2＜x＜1，故选项D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，图象法解不等式，掌握其性质是解题的关键，二次函数的对称轴直线x=，图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
8．如图，抛物线（a≠0）与x轴交于A（－5，0）、B（1，0）两点，则下列结论中：①abc＞0；②；③＞4ac；④9a+4c＜0；⑤若m为任意实数，则a+bm≥4a－2b，正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据二次函数的基本性质及与一元二次方程的关系结合图象依次判断即可．
【解析】解：①观察图象可知：a＞0，c＜0，对称轴为直线x=－2，即，
∴b=4a>0，
∴abc<0，故①错误；
②对称轴为直线x=－2，A（－5，0）、B（1，0），
∴OA＝5，OB＝1，
∴当x＝1时，y=0，即a＋b＋c=0，
∴，故②正确；
③根据图象可得，抛物线与x轴有两个交点，
∴有两个根，
即，
∴，故③正确；
④抛物线的对称轴为直线x=－2，即，
∴b=4a，
∵a＋b＋c=0，
∴5a＋c=0，
∴c=－5a，
∴9a+4c=－11a，
∵a＞0，
∴9a＋4c＜0，故④正确；
⑤当x=－2时，函数有最小值y=4a－2b+c，
得，
∴，
∴若m为任意实数，则，故⑤正确；
故选：D．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
二、填空题
9．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 _____．
【答案】
【分析】根据图象可知，二次函数的部分图象经过点（4，0），对称轴为，根据抛物性的对称性即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根．
【解析】解：根据图象可知，二次函数的部分图象经过点（4，0），
对称轴为，
由抛物线的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为：
抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根，即：；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的关系．利用数形结合和函数的思想可以快速的解题．
10．若抛物线与x轴只有一个公共点，则k的值为________．
【答案】16
【分析】令y=0得到关于x的一元二次方程，由抛物线与x轴只有一个交点，得到方程根的判别式等于0，计算求解即可．
【解析】解：令y=0，得到 ．
∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴==64-4k=0，解得k=16
故答案为：16．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键在于明确交点个数与判别式△的关系．
11．二次函数的图象如图所示，则三个代数式①abc，②，③中，值为正数的有______．（填序号）
【答案】①②③
【分析】根据对称轴位置，确定ab的符号，根据抛物线与y轴的交点位置，确定c的符号；根据抛物线与x轴交点的个数，确定的符号，作直线x=-1，观察直线与抛物线的交点，x轴上方，函数值为正，反之，为负．
【解析】∵抛物线的对称轴在x轴的正半轴，且抛物线与x轴有两个不同交点，与y轴交于负半轴，
∴ab＜0，c＜0，＞0，
∴abc＞0，
如图，直线x=-1，与抛物线的交点在x轴上方，
∴＞0，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了抛物线的性质，抛物线与坐标轴交点性质，特殊值对应的函数值判断，熟练掌握抛物线的基本性质是解题的关键．
12．如图，已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．若，则m的值是______．
【答案】4
【分析】根据抛物线的解析式和抛物线的对称性质，得点A、B关于y轴对称，设B(p,0)(x>)，则A（-p,0），所以OA=OB=p，AB=p-（-p）=2p，p,-p为方程-x2+m=0的两根，根据地一元二次方程根与系数关系，得p2=m，又因为OC=AB，所以C(0,2P)，代入解析式得2p=m，则可求出m值．
【解析】解：∵二次函数，
∴二次函数图象的对称轴为y轴，
又∵函数图像与x轴交于A、B两点，
∴点A、B关于y轴对称，
设B(p,0)(P>0)，则A（-p，0），
∴OA=OB=p，AB=p-（-p）=2p，x=p，x=-p为方程-x2+m=0的解，
∴-p2=-m，即p2=m，
∴OC=AB=2p，
∴C(0,2P)，
代入函数解析式，得2p=m，
∴p=,
∴，
∵m>0，
∴m=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查抛物线的性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数和关系，熟练掌握二次函数的性质，一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
13．如图，直线和抛物线，当时，x的取值范围是______．
【答案】
【分析】当＜时，一次函数的图像在二次函数的图像的下方，利用函数图像可以得到自变量的取值范围，即不等式的解集．
【解析】解：联立方程组，
解得，
直线与抛物线的交点为：
当＜时，一次函数的图像在二次函数的图像的下方，
所以此时：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用图像法求不等式的解集，掌握利用二次函数与一次函数的图像写不等式的解集是解题的关键．
14．抛物线中，函数y与自变量x之间的部分对应值如表：
设抛物线与y轴的交点为C，那么点C的坐标为__________，抛物线的表达式为______________________________．
【答案】
【分析】把点（-1，0），（1，4）代入抛物线解析式中，利用待定系数法求出抛物线解析式，即可求出C点的坐标．
【解析】解：把点（-1，0），（1，4）代入抛物线解析式得：
，
解得，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴C（0，3），
故答案为：（0，3），．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与y轴的交点，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法．
15．若抛物线y＝a x 2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝3，且与x轴的一个交点坐标为（5，0），则一元二次方程a x 2＋bx＋c ＝0（a≠0）的根为___________．
【答案】xl＝5，x2＝1
【分析】根据抛物线的对称性知，抛物线与x轴的两个交点关于直线x=3对称，据此可以求得抛物线与x轴的另一个交点，即可得出一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解．
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝3，且与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
又∵抛物线y＝a x 2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标为方程a x 2＋bx＋c＝0的根，
∴方程a x 2＋bx＋c＝0的根为xl＝5，x2＝1．
故答案为：xl＝5，x2＝1．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键是掌握抛物线的对称性．
16．在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中，有下列结论：
①这个函数的图像必经过原点；
②若这个函数的图像经过点，则它必有最大值；
③若，则方程必有一根大于1；
④若，则当时，必有y随x的增大而增大．
其中正确的结论是___________（把正确结论的序号都填上）．
【答案】①②③④
【分析】①当x=0时，y=0，判断图像过原点；
②根据图像经过点，得到2a+b=0，变形代入，得到a＜0；
③时，方程的另一个根为x==，根据-a＞0，，得到b＞-a＞0，从而得到＞；
④由③得到对称轴x=，当时，其位于抛物线对称轴的右侧，根据当时，对称轴右侧，y随x的增大而增大判断即可．
【解析】当x=0时，y=0，
所以图像过原点，故①正确；
因为图像经过点，所以2a+b=0，变形代入，
所以a＜0，
所以抛物线开口向下，有最大值，
故②正确；
因为a＜0时，所以-a＞0，
所以方程的另一个根为x==，
因为-a＞0，，
所以b＞-a＞0，
所以＞，
故③正确；
由③可知对称轴x=，
当时，其位于抛物线对称轴的右侧，
所以当时，对称轴右侧，y随x的增大而增大，
故④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了抛物线的性质、对称轴、最值，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
三、解答题
17．已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【答案】(1)m=1
(2)二次函数的图象与x轴有两个交点，理由见解析．
【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值；
（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．
（1）
解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2−3，
即m2+2m−3=0，
解得：m1=1，m2=−3，
又∵m>0，
∴m=1；
（2）
解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，
∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．
18．已知关于x的一元二次方程x2+x−m=0．
(1)设方程的两根分别是x1，x2，若满足x1+x2=x1•x2，求m的值．
(2)二次函数y=x2+x−m的部分图象如图所示，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据根与系数的关系求得x1+x2、x1•x2，然后代入列出方程，通过解方程来求m的值；
（2）把点（1，0）代入抛物线解析式，求得m的值．
（1）
解：由题意得：x1+x2=-1，x1•x2=-m，
∴-1=-m．
∴m=1．
当m=1时，x2+x-1=0，
此时Δ=1+4m=1+4=5＞0，符合题意．
∴m=1；
（2）
解：图象可知：过点（1，0），
当x=1，y=0，代入y=x2+x-m，得
12+1-m=0．
∴m=2．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，解题的关键是掌握如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=-，x1x2=．
19．已知抛物线．
(1)求证：对于任意实数t，抛物线与x轴必有交点；
(2)当t为何值时，抛物线的图象与x轴的两个交点横坐标互为相反数？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当t=1时，抛物线与x轴的两个交点横坐标互为相反数，理由见解析
【分析】（1）得出，由此可证出：对于任意实数t，抛物线与x轴必有交点；
（2）设方程的两根分别为m、n，由方程的两根为相反数结合根与系数的关系，即可得出m+n=t-1=0，解之即可得出结论．
（1）
证明：对于抛物线，
，
∴对于任意实数t，抛物线与x轴必有交点；
（2）
解：令y=0，得到，
设方程的两根分别为m、n，
∵抛物线与x轴的两个交点横坐标互为相反数，
∴方程的两个根互为相反数，
∴m+n=t-1=0，
解得：t=1．
∴当t=1时，抛物线与x轴的两个交点横坐标互为相反数．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式、相反数以及根与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程根的关系．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．已知抛物线经过点和点，且对称轴在y轴的左侧，有下列结论：①；②；③抛物线经过点；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据题意做出抛物线的示意图，根据图象的性质做出解答即可．
【解析】解：由题意作图如下：
由图知，，故①正确；
∵抛物线经过点和点，
∴，
∴，故②正确；
∵对称轴在y轴的左侧，
∴抛物线不经过，故③错误；
由图像知，抛物线与直线有两个交点，故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的有①②④，共3个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
2．根据下表中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据的一个根对应的函数值为，根据，可判断，选择即可．
【解析】解：因为的一个根对应的函数值为，
且，
所以，
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与一元二次方程的根，熟练掌握交点坐标的意义是解题的关键．
3．表中所列x，y的6对值是二次函数（a≠0）图象上的点所对应的坐标，其中，n＜m．
根据表中信息，下列4个结论：①b﹣2a＝0；②abc＜0；③3a+c＞0；④如果x3＝，c＝﹣，那么当﹣3＜x＜0时，直线y=k与该二次函数图象有一个公共点，则﹣≤k＜；其中正确的有（ ）个．A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】①由二次函数的对称性可得对称轴为直线，可直接判断；
②由对称轴的位置及且，可知在对称轴右侧，随的增大而增大，由此可判断的符号，进而可判断和的符号；
③由上述判断可知，当时，，结合可判断；
④根据题中给出的数据，可求得函数解析式，进而可判断时，的取值范围，进而可判断．
【解析】解：①由表格可知，当和时，函数值相等，
对称轴为直线，
，即，故①正确，符合题意；
②由表格可知，，且，
在对称轴右侧，随的增大而增大，
，
，
由表格可知，当和，函数值相等，
又，，
，
，故②正确；
③由上分析可知，当时，，
又，
，故③正确；
④当，时，可知函数过点，，
对称轴为直线，
抛物线跟轴的另一个交点，，
函数的解析式可设为，
，
，解得，
函数解析式为：，画出函数图象如下图所示：
当时，，当时，，
又抛物线的顶点坐标为，
当时，直线与该二次函数图象有一个公共点；
若直线与该二次函数图象有一个公共点，则或；故④不正确．
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
4．已知a，b，c是互不相等的非零实数，有三条抛物线：，，．则这三条抛物线与x轴的交点个数情况是（ ）
A．三条抛物线中至少有一条与x轴有两个交点
B．三条抛物线中至多有一条与x轴有两个交点
C．三条抛物线与x轴都只有一个交点
D．三条抛物线与x轴都没有交点
【答案】A
【分析】对于“至少”型的问题，可利用反证法，导出矛盾即可．
【解析】证明：假设这三条抛物线全部与x轴只有一个交点或没有交点，
则有 ，
∵三式相加，整理、化简得：，
∴，
∴与a，b，c是互不相等的实数矛盾，
∴这三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，突出考查反证法的应用，利用反证法时得到是关键，也是难点，考查转化思想与推理证明的能力，属于中档题．
5．对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过解方程得，，则两点为（，0），（，0），所以，则，然后进行分数的混合运算即可．
【解析】解：当时，，
，
解得，，
∴两点为，，
∴，
∴
．
故选:D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
6．如图，二次函数的图像与轴负半轴交于，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若点，，均在函数图像上，则；④若方程的两根为，且，则；⑤点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的范围为．其中结论正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】观察图像得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，可得a＞0，c＜0，再由图像的对称轴为直线．可得b=-2a＜0，可得，故①正确；再由当x=-1时，y=a-b+c>0，可得3a+c>0，故②正确；然后根据点离对称轴水平距离越大，函数值y值越大，可得，故③错误；由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一个交点为，从而得到抛物线解析式为，再令，可得，如图，作直线，观察图像可得，故④正确；根据当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，可得，再由，可得，从而得到关于a的不等式，，故⑤错误；即可求解．
【解析】解：观察图像得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∵图像的对称轴为直线．
∴，
∴b=-2a＜0，
∴，故①正确；
∵图像与轴负半轴交于，
∴当x=-1时，y=a-b+c>0，
∴a+2a+c>0，即3a+c>0，故②正确；
∵抛物线开口向上，
∴点离对称轴水平距离越大，函数值y值越大，
又∵|-3-1|=4，|3-1|=2，|0-1|=1，
∴，故③错误；
由抛物线对称性得，抛物线与x轴另一个交点为，
∴抛物线解析式为，
令，则，
如图，作直线，
观察图像得：，故④正确；
根据题意得：点M、N到对称轴的距离均为，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即，
∵，
∴，
∴，解得：，故⑤错误；
故选：B
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质，本题属于难度题．
二、填空题
7．已知二次函数 的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，下列结论：①；②③；④．其中正确的个数有___________个
【答案】2
【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数可判断①；根据抛物线开口方向，对称轴以及与y轴的交点可判断②；当时，可判断③；关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根且二次函数的顶点纵坐标为，可判断④．
【解析】解：由图可得：图象与x轴有两个交点，则，故①错误；
∵图象开口向上，
∴，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，
∴，
∵图象与y轴交于x轴下方，
∴，
∴，故②正确；
当时，，故③错误；
∵二次函数的顶点纵坐标为，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则，故④正确．
正确的结论有：②④．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是熟知二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型．
8．已知函数，若使成立的值恰好有两个，则m的取值范围为_________．
【答案】或．
【分析】首先在平面直角坐标系内作出函数的图象，然后利用数形结合的方法即可找到使成立的值恰好有2个的值．
【解析】解：画函数的图象如图：

根据图象知道当或时，对应成立的x有恰好有2个，
所以或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
9．在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中，有下列结论：
①这个函数的图像必经过原点；
②若这个函数的图像经过点，则它必有最大值；
③若，则方程必有一根大于1；
④若，则当时，必有y随x的增大而增大．
其中正确的结论是___________（把正确结论的序号都填上）．
【答案】①②③④
【分析】①当x=0时，y=0，判断图像过原点；
②根据图像经过点，得到2a+b=0，变形代入，得到a＜0；
③时，方程的另一个根为x==，根据-a＞0，，得到b＞-a＞0，从而得到＞；
④由③得到对称轴x=，当时，其位于抛物线对称轴的右侧，根据当时，对称轴右侧，y随x的增大而增大判断即可．
【解析】当x=0时，y=0，
所以图像过原点，故①正确；
因为图像经过点，所以2a+b=0，变形代入，
所以a＜0，
所以抛物线开口向下，有最大值，
故②正确；
因为a＜0时，所以-a＞0，
所以方程的另一个根为x==，
因为-a＞0，，
所以b＞-a＞0，
所以＞，
故③正确；
由③可知对称轴x=，
当时，其位于抛物线对称轴的右侧，
所以当时，对称轴右侧，y随x的增大而增大，
故④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了抛物线的性质、对称轴、最值，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
三、解答题
10．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线，与抛物线交于另一点D．
(1)求点C和点D的坐标；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于二次函数的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)C（0，3），D(2，3)；
(2)m>．
【分析】（1）令二次函数中x=0，则y=3，从而求得C（0，3），再令二次函数中y=0，即可求解点D的坐标；
（2）先求得，当时，的值小于3，又由当时，对于x的每一个值，函数的值大于二次函数的值，且过点（2，2m），从而有2m≥3，进而即可求解．
【解析】（1）解∶∵二次函数的图象与y轴交于点C，
∴令x=0，则y=0+0+3=3，
∴C（0，3），
∵过点C作x轴的平行线，与抛物线交于另一点D，
∴二次函数，令y=3，得，
解得x=0，或x=2，
∴D(2，3)；
（2）解：∵当x=2时，，则m=
∴当时，的值小于3，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于二次函数的值，且，
∴m
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的性质以及二次函数与一次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．在平面直角坐标系内，二次函数（a为常数）．
(1)若函数的图象经过点（1，0），求函数的表达式；
(2)若的图象与一次函数（b为常数）的图象有且仅有一个交点，求b的值；
(3)已知（x0，n）在函数的图象上，当时，求证：n＞﹣ ．
【答案】(1)或
(2)
(3)见解析
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用已知条件可得方程有两个相等的实数根，则Δ＝0，解含有b的方程即可得出结论；
（3）由题意可得当时的函数值小于当时的函数值，列出不等式即可得出结论．
（1）
解：∵函数的图象经过点（1，0），
∴，
解得：a＝0或1，
∴函数的表达式为或；
（2）
解：∵若的图象与一次函数（b为常数）的图象有且仅有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
解得：；
（3）
证明：∵，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，
∴和时的函数值相同，
∴由图象可知当时的函数值小于当时的函数值，
即：，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与交点，能够运用函数图像的性质列式是解题关键．
12．在平面直角坐系中，已知抛物线G：．
(1)当时，
①抛物线G的对称轴为直线 ；
②若抛物线上有两点，，且，m的取值范围是 ；
(2)已知点)，若抛物线G与线段恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．
【答案】(1)①1；②或
(2)或
【分析】（1）①先确定抛物线解析式，然后根据对称轴的直线解析式求解即可；②根据抛物线的对称性得出关于对称轴对称的点为，再由二次函数的增减性质即可得出结果；
（2）由函数解析式确定对称轴及对称轴与x轴的交点M，然后分别将点A、B、M点的坐标代入抛物线确定出相应的a的值，作出函数图象，结合函数图象即可得出结果．
（1）
解：当时，抛物线解析式为，
①抛物线的对称轴为：，
故答案为：1；
②由①得抛物线的对称轴为，则关于对称轴对称的点为，
∵，
∴当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大；
∴时，或，
故答案为：或；
（2）
解：根据题意得：抛物线G与线段恰有一个公共点，
的对称轴为，
对称轴与x轴的交点坐标为点，
把点代入，
解得，
∴此时抛物线的解析式为：，作出图象如图所示：
把点代入，
解得，
∴此时抛物线的解析式为：，作出图象如图所示：
把点代入，
解得，作出函数图象如图所示：
结合函数图象得：或时，抛物线G与线段恰有一个公共点．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及确定函数值的取值范围，函数与坐标轴的交点问题等，熟练掌握二次函数的基本性质结合函数图象求解是解题关键．
13．已知抛物线与轴有两个交点．
(1)求实数的取值范围；
(2)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点(点在原点的左边，点在原点的右边)，与轴的负半轴交于点，连接，且满足，求抛物线的解析式；
(3)如图2，在（2）的条件下，直线，直线交抛物线于两点(点在点的左边)，直线交轴于点，直线交轴于点，设的纵坐标分别为、，试问是否为定值？若是定值，求出其定值，若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)是定值，．
【分析】（1）根据抛物线与轴有两个交点可知，求解即可；
（2）根据题意可知，，得出，从而得出，求解根据得出的值，则解析式可得；
（3）先根据二次函数解析式求出点的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，设直线的解析式，，，连立二次函数与一次函数可得，根据根与系数的关系可得，过点D作轴于点，过点作轴于点，则可证明，则，即，解出的值，同理得出的值，相加即可．
（1）
解：抛物线与轴有两个交点，
，解得，
实数的取值范围为；
（2）
，
，
，
，则，即，
，
，解得，
，
，
则抛物线的解析式为；
（3）
是定值，理由如下：
当时，有，解得，
，
，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
直线的解析式为：，
，
设直线的解析式，，，
联立得，
则，
过点D作轴于点，过点作轴于点，
，
∴，则，
，
解得，
同理，
则，
．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2021·浙江宁波·二模）已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞－且k≠0B．k＞－
C．k≥－且k≠0D．k≥－
【答案】C
【分析】由于二次函数与x轴有交点，故二次函数对应的一元二次方程kx2-7x-7=0中，Δ≥0，解不等式即可求出k的取值范围，由二次函数定义可知k≠0．
【解析】解：∵二次函数的图象和x轴有交点，
∴，
∴k≥-且k≠0．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，不仅要熟悉二次函数与x轴的交点个数与判别式的关系，还要会解不等式．
2．（2022·广东湛江·一模）已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+1的值为( )
A．0B．1C．D．2
【答案】D
【分析】将（m，0）代入函数解析式可得m2−m的值，进而求解．
【解析】解：将（m，0）代入y＝x2−x−1得m2−m−1＝0，即m2−m＝1，
∴m2−m＋1＝2，
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特点．
3．（2022·广东河源·二模）已知抛物线与x轴的一个交点是，另一个交点是B，则AB的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】D
【分析】将代入抛物线中求出a的值，然后令求出点B的坐标，即可求出AB的值．
【解析】抛物线与x轴的一个交点是，
，即，
抛物线为：，
令，求出，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题，两点之间的距离，正确理解y=0时，一元二次方程的解与函数图象与x轴交点坐标之间的联系是解题的关键．
4．（2022·山东聊城·三模）观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ）
A．－1和0之间B．0和1之间C．1和2之间D．2和3之间
【答案】C
【分析】令x2＋3x－5根据﹣1和5时的函数值，即可得到答案．
【解析】解：令x2＋3x－5，
当时，，
当时，，
x2＋3x－5=0的一个正数x的取值范围为1＜x＜2，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的性质是解题关键．
5．（2022·陕西师大附中三模）已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下B．抛物线的对称轴是直线
C．抛物线与x轴不一定有交点D．抛物线经过四个象限
【答案】D
【分析】根据抛物线的图象与性质逐项分析即可．
【解析】A．由a>0知，抛物线的开口向上，故选项A错误；
B．，即抛物线的对称轴为直线，故选项B错误；
C．，则抛物线与x轴一定有交点，故选项C错误；
D．由上面分析知，抛物线的顶点在第三象限，当x=0时，y=-1，即抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上，故抛物线一定经过第三、四象限，由抛物线的图象知，抛物线还经过第一、二象限，即抛物线经过四个象限，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，掌握抛物线的图象与性质是关键．
6．（2022·福建南平·二模）已知函数 ，当x取任意实数时，下列说法一定正确的是（ ）
A．若ac >1，则恒有y > 0
B．若a，c互为倒数，则y有最小值为0
C．若a，c互为相反数，则函数图象与x轴一定有两个交点
D．对于任意的实数c，存在一个实数a，使得函数图象与x轴有且只有一个交点
【答案】D
【分析】A、当x=-c时，，当c<0时，y<0，故本选项错误；B、可得，则，则有当a＜0时，y有最大值为0，当a＞0时，y有最小值为0，故本选项错误；C、当a=0时，c=0，则，函数图象与x轴有1个交点，故本选项错误；D、当a=0时，c=0，则，此时函数图象与x轴有且只有一个1个交点，当a=0时，可得当时，函数图象与x轴有且只有一个交点，故本选项正确，即可求解．
【解析】解：A、当x=-c时，，
若ac >1，则ac-1>0，
但是当c<0时，y<0，故本选项错误；
B、若a，c互为倒数，则ac =1，
∴，
∴，
当a＜0时，y有最大值为0，当a＞0时，y有最小值为0，故本选项错误，不合题意；
C、若a，c互为相反数，则a+c=0，即a=-c，
当a=0时，c=0，则，函数图象与x轴有1个交点，故本选项错误，不合题意；
D、当a=0时，c=0，则，此时函数图象与x轴有且只有一个1个交点，
当a≠0时，，
∴当时，函数图象与x轴有且只有一个交点，
∴对于任意的实数c，存在一个实数a，使得函数图象与x轴有且只有一个交点，故本选项正确，符合题意．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质和一次函数的图象和性质是解题的关键．
7．（2022·台湾·模拟预测）已知坐标平面上有二次函数的图形，函数图形与轴相交于、两点，其中．今将此函数图形往上平移，平移后函数图形与轴相交于、两点，其中，判断下列叙述何者正确？（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据二次函数图像对称轴为直线x=-6，平移后对称轴不变，算出和的值，与分别是两函数图像与x轴交点之间的距离，由图像可容易判断<．
【解析】解：如图，
的对称轴是直线，平移后的抛物线对称轴不变，
，，
，，
，
∵与分别是两函数图像与x轴交点之间的距离，
由图像可知<，
故选： A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，抛物线与轴的交点，解题的关键是灵活运用二次函数图像对称轴及与x轴交点相关的性质，注意数形结合．
8．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①，②，③方程的两个根是，，④当时，x的取值范围是，其中正确的有（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．①②④
【答案】C
【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标即可判断①③④；根据抛物线的开口方向和与y轴的交点即可判断②．
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线，，与x轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，，
∴，，即，故①正确；
∵抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），
∴方程的两个根是，，故③正确；
由函数图象可知当时，x的取值范围是，故④正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与x轴的交点问题等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
二、填空题
9．（2022·黑龙江哈尔滨·二模）二次函数与y轴的交点坐标是______．
【答案】
【分析】令x=0时，求出函数值即可得到答案．
【解析】解：令x=0时，，
∴二次函数与y轴的交点坐标是（0，-5）．
故答案为（0，-5）．
【点睛】本题考查二次函数与两轴交点坐标，掌握两轴的坐标特征是解题关键．
10．（2022·贵州黔东南·二模）若抛物线与x轴只有一个公共点，则k的值为________．
【答案】16
【分析】令y=0得到关于x的一元二次方程，由抛物线与x轴只有一个交点，得到方程根的判别式等于0，计算求解即可．
【解析】解：令y=0，得到 ．
∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴==64-4k=0，解得k=16
故答案为：16．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键在于明确交点个数与判别式△的关系．
11．（2022·河北·模拟预测）已知抛物线L1：y1＝x²＋6x＋5k和抛物线L2：y2＝kx²＋6kx＋5k，其中k≠0，且k≠1，当k＜－1时，抛物线L1和L2与x轴的交点情况是_________________，若k值发生变化，两抛物线交点间连线的长度__________（填“会”或“不会”）发生变化．
【答案】 都有两个交点 不会
【分析】根据二次函数与x轴的交点与根的判别式的关系，可得抛物线L1和L2与x轴均有两个交点；再根据两抛物线与y轴的交点均为（0，5k），再根据抛物线的对称轴即可得到两抛物线两个交点间的长度不随k变化，且长度为6．
【解析】抛物线L1：y1＝x²＋6x＋5k，令0＝x²＋6x＋5k，
，
抛物线L2：y2＝kx²＋6kx＋5k，令＝kx²＋6kx＋5k，
，
∵k＜-1，
∴两方程的判别式均大于0，两方程均有两个不同的实数根，
即抛物线L1和L2与x轴均有两个交点；
观察两抛物线的解析式可知，与y轴的交点均为（0，5k），抛物线的对称轴均为x=-3，
两抛物线必然同时过点（6，5k），
当k≠0，且k≠1时，两抛物线两个交点间的长度不随k变化，且长度为6．
故答案为：都有两个交点，不会．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，熟练掌握知识且能够运用数形结合的思想是解题的关键．
12．（2022·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B、C，则线段BC的长为__________．
【答案】
【分析】求出A点坐标，代入，求出B、C坐标，求差即可．
【解析】解：抛物线与y轴交于点A，
则点A的坐标为（0，3），
过点A作x轴的平行线交抛物线于点B、C，
则，解得，，
则线段BC的长为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是熟练运用二次函数的性质求出点的坐标．
13．（2022·湖北武汉·二模）下列关于二次函数（a，m为常数，）的结论：
①当时，其图象与x轴无交点；
②其图象上有两点，其中，，；
③无论m取何值时，其图象的顶点在一条确定的直线上；
④若，当时，其图象与y轴交点在和之间．其中正确的结论是____（填写序号）．
【答案】①③④
【分析】当时，则为正，从而可判断①正确；举反例即可判断②错误；抛物线的顶点坐标为(m，m+1)，即顶点的横坐标比纵坐标少1，即y=x+1，从而可判断③正确；求出抛物线与y轴的交点，根据，当时，可判断抛物线与y轴交点纵坐标的范围，从而可确定④正确．
【解析】当时，m+1>0，且，即，表明对任意x的取值，函数值都为正，也即抛物线始终位于x上方，从而抛物线与x轴无交点，故①正确；
当时，满足，但，此时函数值随自变量的增大而增大，即，故②错误；
抛物线的顶点坐标为(m，m+1)，即顶点的横坐标比纵坐标少1，即y=x+1，表明抛物线的顶点在直线y=x+1上运动，故③正确；
在中，当x=0时，，即抛物线与y轴的交点为；当时，，所以抛物线与y轴的交点在和之间，故④正确．
故答案为：①③④
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与坐标轴交点问题等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
三、解答题
14．（2022·安徽·安庆市第四中学模拟预测）已知抛物线解析式为
(1)写出抛物线的开口方向及抛物线与轴的交点坐标．
(2)求抛物线的顶点坐标．
(3)抛物线与轴有交点坐标吗？若有，请你求出抛物线与轴的交点坐标；若没有，请你说明理由．
【答案】(1)开口向上；（0，12）
(2)（4，-4）
(3)有交点，交点为（2,0）和（6,0）
【分析】（1）根据二次函数的性质判断即可；把x=0代入计算即得；
（2）将二次函数写做顶点式即得；
（3）比较∆与0的大小即可判断；将y=0代入计算即得.
（1）
由题，二次项系数为1，1＞0，故二次函数图像开口向上；把带入，得，故抛物线与轴交点为（0，12）.
（2）
由题，故抛物线顶点为（4，-4）.
（3）
∵>0，
∴抛物线与轴有两个不同的交点；
将带入二次函数求解，得，，
故抛物线与轴的交点坐标为（2,0）和（6,0）.
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，能够熟练得运用二次函数的性质准确求解是解答本题的关键.
15．（2022·江苏·盐城市初级中学一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1．
(1)抛物线的对称轴为 ，抛物线与y轴的交点坐标为 ．
(2)试说明直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1一定存在两个交点．
【答案】(1)直线x＝1；（0，﹣1）
(2)见解析
【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得对称轴，令x＝0，求得y的值即可求得抛物线与y轴的交点坐标；
（2）令x﹣2＝ax2﹣2ax﹣1，说明Δ＞0即可．
(1)
解：∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，
令x＝0，则y＝﹣1．
∴抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1与y轴的交点为（0，﹣1）．
故答案为：直线x＝1；（0，﹣1）；
(2)
解：令x﹣2＝ax2﹣2ax﹣1，
整理得：ax2﹣（2a+1）x+1﹣0．
∵△＝[﹣（2a+1）]2﹣4×a×1＝4a2+1＞0，
∴直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）一定存在两个交点．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．（2022·广东·东莞市粤华学校二模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若抛物线与x轴相交于A、B两点，当OA+OB=5时，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)k的值为-3或k=2．
【分析】（1）先根据判别式的值得到Δ=1，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）先解方程，求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据OA+OB=5得出|k|+|k+1|=5，再根据绝对值的意义取绝对值求k的值即可．
（1）
证明：∵＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）
解：由，
解得：=k，=k+1，
∴A（k，0），B（k+1，0），
∵OA+OB=5，
∴|k|+|k+1|=5，
①当k＜-1时，|k|+|k+1|=5整理得-k-（k+1）=5，
解得：k=-3；
②当-1≤k＜0时，|k|+|k+1|=5整理-k+k+1=5，
此方程无解；
③当k≥0时，|k|+|k+1|=5整理为k+k+1=5，
解得：k=2．
综上所述，k的值为-3或k=2．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点和绝对值的意义，解题关键是求出一元二次方程的两个根．
17．（2021·浙江·杭州江南实验学校三模）已知二次函数和，其中k≠0且k≠1．
(1)若k＝1，求二次函数的图象与坐标轴的交点坐标；
(2)若的图象顶点为E，的图象顶点为F，且点E与点F关于x轴对称，求k的值；
(3)若的图象与的图象相交于点M，N，当k的值发生变化时，判断线段MN的长度是否发生变化，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)线段的长度不变，理由见解析
【分析】（1）先求出，再分别求出时，的值和时，的值，由此即可得；
（2）先根据抛物线的顶点式分别求出顶点的坐标，再根据点与点关于轴对称建立方程，解方程即可得；
（3）联立两个函数的解析式可得方程，解方程可求出点的坐标，由此即可得出结论．
（1）
解：若，则，
当时，，解得或，
当时，，
所以二次函数的图象与坐标轴的交点坐标为．
（2）
解：二次函数的顶点的坐标，
二次函数的顶点的坐标为，
点与点关于轴对称，
，
解得．
（3）
解：线段的长度不变，理由如下：
由题意得：，
整理得：，
解得或，
当时，；当时，，
不妨设点在点的左边，
则，
所以，
即线段的长度不变，为定值4．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点坐标、二次函数的顶点坐标、二次函数与一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
18．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室二模）在暑假课后延时服务进行时，某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中，________．
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质．
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与轴有 个交点，所以对应的方程有 个实数根．
②方程有 个实数根．
③关于x的方程有2个实数根时，的取值范围是________．
【答案】(1)
(2)图见解析
(3)①该函数关于轴对称；②当时，随的增大而增大．（答案不唯一）
(4)①；；②；③或
【分析】（1）把代入函数解析式即可求出的值；
（2）根据表格描点，画出图象即可；
（3）根据函数图象的对称性和增减性，得出该函数关于轴对称；当时，随的增大而增大；
（4）①根据函数图象与轴的交点个数，即可得到结论；②根据函数与直线的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到的取值范围．
（1）
解：当时，
可得：，
∴；
故答案为：；
（2）
解：根据给定的表格中数据描点画出函数图象，如图所示：
（3）
解：观察函数图象，可得：①该函数图像关于轴对称；
②当时，随的增大而增大．（答案不唯一）
（4）
解：①由图象知：当、时，，
∴该函数图象与轴有个交点，
∴对应的方程有个不相等的实数根；
故答案为：；
②如图，∵，即，
∴由函数图象，可知：函数与直线有个交点，
∴方程有个实数根；
故答案为：
③如图，由函数图象，可知：当函数与直线有个交点时，直线在直线的上方，即；或时，函数与直线有个交点，即，
综上可得：关于的方程有个实数根时，的取值范围是：或．
故答案为：或
【点睛】本题是二次函数的拓展题，主要考查了二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，正确读懂图象信息、熟练掌握二次函数的性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．
x
…
1
2
4
5
…
y
…
0
4
3
…
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
0.03
0.01
0.02
0.04
x
…
﹣3
x1
x2
x3
x4
1
…
y
…
m
0
c
0
n
m
…
－1
0
1
2
3
4
－7
－5
－1
5
13
23
…
…
…
…