初中数学北师大版九年级下册1 二次函数同步练习题

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1．如图，抛物线y1＝ax2+c的顶点为M，且抛物线与直线y2＝kx+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的坐标为（2，3），连结AM、BM．
(1)a＝ ，c＝ ，k＝ （直接写出结果）；
(2)当y1＜y2时，则x的取值范围为 （直接写出结果）；
(3)在直线AB下方的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出△ABP的最大面积及点P坐标．
【答案】(1)1，﹣1，1；
(2)﹣1＜x＜2；
(3)△ABP的最大面积为；点P坐标为（，）．
【分析】（1）将点B的坐标（2，3）代入y2＝kx+1求得k＝1，得到y2＝x+1，求出A（﹣1，0），将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y1＝ax2+c，解得a＝1，c＝﹣1；
（2）根据A（﹣1，0）、B（2，3），结合图象可得：当y1＜y2时，则x的取值范围为﹣1＜x＜2；
（3）设平行于直线y2＝x+1和抛物线相切的直线解析式为y3＝x+b，由解得b，∴y3＝x，求得P（，），此时，△ABP的面积最大，设y3＝x与x轴交于点C，则点C（，0），过点C作CD⊥AB，可知线段CD的长度即为△ABP的高的长度，证明△ACD为等腰直角三角形，根据AC（﹣1），求得CD，求出AB，算出△ABP的面积为．
（1）
将点B的坐标（2，3）代入y2＝kx+1得：
3＝2k+1，
解得：k＝1，
∴y2＝x+1，
令y2＝0得：0＝x+1，
解得：x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y1＝ax2+c得：
，
解得：a＝1，c＝﹣1，
故答案为：1，﹣1，1；
（2）
∵A（﹣1，0）、B（2，3），
∴结合图象可得：当y1＜y2时，则x的取值范围为﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2；
（3）
在直线AB下方的抛物线上存在一点P，使得△ABP的面积最大．
如图，设平行于直线y2＝x+1的直线解析式为：y3＝x+b，
由得：x2﹣1＝x+b，
∴x2﹣x﹣1﹣b＝0，
令△＝0得：1﹣4（﹣1﹣b）＝0，
解得：b，
∴y3＝x，
∴x2﹣x﹣10，
解得：x1＝x2，
∴，
∴P（，），
∴当点P坐标为（，）时，△ABP的面积最大，
设y3＝x与x轴交于点C，则点C坐标为：（，0），过点C作CD⊥AB，
由平行线间的距离处处相等，可知线段CD的长度即为△ABP的高的长度，
∵y2＝x+1与x轴所成锐角为45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∵AC（﹣1），
∴CD，
∵A（﹣1，0）、B（2，3），
∴AB，
∴△ABP的面积为：，
∴在直线AB下方的抛物线上存在一点P，使得△ABP的面积最大；△ABP的最大面积为；点P坐标为（，）．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式综合运用一次函数性质和二次函数性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握函数与不等式的关系．
2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)P1（1，10.5），P2（7，4.5）
(3)存在，（3，8）或或（3，11）
【分析】（1）直接将A（﹣2，0）和点B（8，0）代入y＝x2+bx+c（a≠0），解出b，c的值即可得出答案；
（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标；
（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN＝EM，MN＝NE，NE＝EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．
（1）
解：∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣2，0）和点B（8，0），
∴
∴抛物线解析式为：；
（2）
解：当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+8，
∵，
∴ 14
过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，
设，
∴F（t，﹣t+8），
∴，
∴，
即 ，
∴t1＝1，t2＝7，
∴P1（1，10.5），P2（7，4.5）；
（3）
解：存在，点M的坐标为：（3，8），或（3，11）．
∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
抛物线的对称轴为，
∴点E的横坐标为3，
又∵点E在直线BC上，
∴点E的纵坐标为5，
∴E（3，5），
设，
①当MN＝EM，∠EMN＝90°，
△NME∽△COB，则，
解得或（舍去），
∴此时点M的坐标为（3，8），
②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时，
则，
解得：或（舍去），
∴此时点M的坐标为；
③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，
此时△MNE与△COB相似，
此时的点M与点E关于①的结果（3，8）对称，
设M（3，m），
则m﹣8＝8﹣5，
解得m＝11，
∴M（3，11）；
此时点M的坐标为（3，11）；
故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8）或或（3，11）．
【点睛】本题是一道综合题，涉及二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线．
3．如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，D，C三点，已知点A(4，0)，点C(0，4)．若该抛物线与正方形OABC交于点G且CG:GB=3:1．
(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；
(2)若线段OA，OC上分别存在点E，F，使EF⊥FG．
已知OE=m，OF=t．
①当t为何值时，m有最大值？最大值是多少？
②若点E与点R关于直线FG对称，点R与点Q关于直线OB对称．问是否存在t，使点Q恰好落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，点D的坐标为(-1，0)；
(2)①当时，m有最大值，；②存在，当时点恰好落在抛物线上
【分析】（1）先求得点G的坐标，再用待定系数法求解即可；
（2）①证明△EOF∽△FCG，利用相似三角形的性质得到m关于t的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
②根据轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质先后求得点R (-m，2t)，点Q (2t，-m)，代入二次函数的解析式得到方程，解方程即可求解．
（1）
解：∵点A(4，0)，点C(0，4)，且四边形OABC是正方形，
∴OA=OC=BC=4，
∵CG:GB=3:1．
∴CG=3，BG=1，
∴点G的坐标为(3，4)，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
把A(4，0)，C(0，4)，G (3，4)，代入y=ax2+bx+c得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4，
令y=0，则-x2+3x+4=0，
解得x=4或x=-1，
∴点D的坐标为(-1，0)；
（2）
解：①∵EF⊥FG，∴∠EOF=∠GFE=∠GCF=90°，
∵∠EFO+∠FEO=∠EFO+∠CFG=90°，
∴∠FEO=∠CFG，
∴△EOF∽△FCG，
∴，即，
∴m=-t2+t=-(t-2)2+，
∴当t=2时，m有最大值，最大值为；
②∵点A(4，0)，点C(0，4)，且四边形OABC是正方形，
∴点B的坐标为(4，4)，
设直线OB的解析式为y=kx，
把(4，4)，代入得：4=4k，解得k=1，
∴直线OB的解析式为y=x，
过点R作RS⊥y轴于点S，
∵点E与点R关于直线FG对称，EF⊥FG，
∴RF=EF，∠RFS=∠EFO，
∴△RFS≌△EFO，
∴RS=EO=m，FS=FO=t，则SO=2t，
∴点R的坐标为(-m，2t)，
∵点R与点Q关于直线OB对称．
同理点Q的坐标为(2t，-m)，
把Q (2t，-m)代入y=-x2+3x+4，得：-m=-4t2+6t+4，
由①得m=-t2+t，
∴t2-t=-4t2+6t+4，
解得，（舍去），
∵，∴当时点G恰好落在抛物线上．
．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、轴对称图形的性质，根据题意画出图形是解答问题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形（要求），直接写出相应的点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)： 当m＝﹣2时，S的最大值为4
(3)或或（﹣4，4）．
【分析】（1）先假设出函数解析式，利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）设出M点的坐标，利用S＝S△AOM+S△OBM﹣S△AOB，即可进行解答；
（3）由，则OB，PQ是平行四边形的边，根据平行四边形的对边相等，列出方程求解即可．
【解析】（1）解：设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），
将A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点代入函数解析式得：
，
解得，
所以此函数解析式为：；
（2）解：连接
∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，
∴M点的坐标为，
∴S＝S△AOM+S△OBM﹣S△AOB＝×4×（﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4
＝﹣（m+2）2+4，
∵﹣4＜m＜0，
当m＝﹣2时，S有最大值为：S＝0+4＝4．
答：m＝﹣2时，S的最大值为4；
（3）解：设P（x，x2+x﹣4）．
根据平行四边形的性质知，且PQ＝OB，则OB，PQ为平行四边形的边，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
又∵直线的解析式为y＝﹣x，
则Q（x，﹣x）．
由PQ＝OB，得，
整理得：
所以或
解得x＝0或﹣4或（不符合题意，舍去）．
由此可得：或或（﹣4，4）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算等，有一定的综合性，熟练的利用二次函数的性质与平行四边形的性质解题是关键．
5．如图，抛物线（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当＝1：3时，求点F的坐标；
(3)如图2，点E的坐标为（0，﹣），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)F（，）；
(3)存在，P（，）或（﹣，﹣）．
【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）由＝1：3可得D点横坐标为1，则D（1，4），分别求出直线BC和直线OD的解析式，联立解析式成方程组即可求得点F的坐标；
（3）先求出tan∠OBE＝，过点O作ON⊥BE于N，在BE上截取BM＝OM，过点M作MH⊥AB于H，再求出tan∠OMN＝，由题意可得∠OMN＝∠OBP，过P点作PG⊥x轴于G，设P（t，），则tan∠OMN＝tan∠PBG＝，求出t的值即可得到点P的坐标．
（1）
解：∵OB＝OC＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
将点B（3，0），C（0，3）代入得：，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为：；
（2）
∵＝1：3，OB＝3，
∴D点横坐标为1，
∴D（1，4），
设直线OD的解析式为y＝kx，
代入D（1，4）得：4＝k，
∴y＝4x，
设直线BC的解析式为，
代入B（3，0），C（0，3）得：，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
联立，
解得，
∴F（，）；
（3）
存在点P，使∠OBP＝2∠OBE；
∵点E的坐标为（0，），
∴OE＝，
∵OB＝3，
∴tan∠OBE＝，
如图，过点O作ON⊥BE于N，在BE上截取BM＝OM，过点M作MH⊥AB于H，
∴HB＝，
∵tan∠HBM＝，
∴HM＝HB＝，
∴BM＝，
∵BE，
∴ON＝，
∵tan∠OBN＝，
∴BN＝2ON＝，
∴MN＝BN－BM＝，
∴tan∠OMN＝，
∵∠OMN＝2∠OBE，∠OBP＝2∠OBE，
∴∠OMN＝∠OBP，
过P点作PG⊥x轴于G，
设P（t，），
∴tan∠OMN＝tan∠PBG＝，
解得：t＝3（舍）或t＝或t＝，
∴P（，）或（，）．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数的交点问题，解直角三角形，勾股定理的应用，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握待定系数法及函数图象交点坐标的求法是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值．
（3）在二次函数的对称轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，求满足条件的点C的坐标．
【答案】（1）y＝x2+4x﹣1；（2）；（3）C点坐标为，，，，
【分析】（1）直接把A、B坐标代入抛物线解析式求解即可；
（2）先求出直线AB的解析式为y＝x﹣1，设P（a，a2+4a﹣1），则Q（a，a﹣1），PQ＝﹣a2﹣3a，可得，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分当AB＝BC时，当AB＝AC时，当BC＝AC时，三种情况讨论求解即可．
【解析】解：（1）将A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+4x﹣1；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣1，
设P（a，a2+4a﹣1），则Q（a，a﹣1），
∴PQ＝﹣a2﹣3a，
∴，
∵，
∴当a＝时，△PAB的面积有最大值；
（3）∵抛物线解析式为y＝x2+4x﹣1，
∴抛物线的对称轴为，
设点C（﹣2，y），
∵A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4），
∴AB2＝32+32＝18，BC2＝22+（y+1）2，AC2＝12+（y+4）2，
①当AB＝BC时，
∴22+（y+1）2＝18，
解得，
∴，；
②当AB＝AC时，
∴12+（y+4）2＝18，
解得，
∴，；
③当BC＝AC时，
∴22+（y+1）2＝12+（y+4）2，
解得，
∴；
综上所述：C点坐标为，，，，．
【点睛】本题主要考查了一次函数综合，二次函数综合，待定系数法求函数解析式，两点距离公式，等腰三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+kx﹣2k（k＜0）与x轴正半轴交于点C，与y轴的交点为A．
（1）若抛物线经过点B（﹣3，1），求抛物线的解析式；
（2）无论k取何值，抛物线都经过定点M，求点M的坐标；
（3）在（1）的条件下，点P是抛物线上的一个动点，记△ABP的面积为S1，△ABM的面积为S2，设S2＝nS1，若符合条件的点P有三个，求n的值．
【答案】（1）；（2）点M的坐标为（2，-4）；（3）n的值为．
【分析】（1）直接把点B（-3，1）代入抛物线解析式进行求解即可；
（2）由抛物线解析式为，则当时，，函数值与k的取值无关，由此即可得到答案；
（3）设直线BM的解析式为，直线BM于y轴的交点为E，可求得直线BM的解析式为，得到E点坐标为（0，-2），从而求出；如图所示，在直线AB上方作直线∥AB，且直线与抛物线只有一个交点，对应的在直线AB下方作直线∥AB，其中直线与直线AB的距离等于直线与直线AB的距离，则（等底等高），根据除去，，这三个位置外，符合的P点的个数为4个或2个；推出，由此先求出直线AB的解析式为，则可设直线的解析式为，联立得，求得，从而求出点的坐标为（，），过点作x轴的垂线交AB于H，根据，求出即可得到答案．
【解析】解：（1）∵抛物线经过点B（-3，1），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）∵抛物线解析式为，
当时，，函数值与k的取值无关，
∴点M的坐标为（2，-4）；
（3）∵抛物线与y轴交于点A，
∴点A的坐标为（0，4），
设直线BM的解析式为，直线BM于y轴的交点为E，
∴，
∴，
∴直线BM的解析式为，
∴E点坐标为（0，-2），
∴；
如图所示，在直线AB上方作直线∥AB，且直线与抛物线只有一个交点，对应的在直线AB下方作直线∥AB，其中直线与直线AB的距离等于直线与直线AB的距离，
∴（等底等高），
∵除去，，这三个位置外，符合的P点的个数为4个或2个；
∴，
设直线AB的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为，
∴可设直线的解析式为，
联立得，
∴=0 ，
∴，
∴，
解得，
∴点的坐标为（，），
过点作x轴的垂线交AB于H，
∴点H的横坐标为，
∴点H的纵坐标为，
∴，
∴
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，平行线间距问题，待定系数法求函数解析式等等，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）当为轴对称图形时，求抛物线的解析式；
（3）当关于y轴成轴对称时，若点M、N是抛物线上的动点，且有轴，点P是x轴上的动点，在坐标平面内是否存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形？若存在，求出Q点坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当时，；当时， ；当时，；；（3）存在，； ；；．
【分析】（1）分别令代入解析式求出坐标即可；
（2）当为轴对称图形时时，要进行分论讨论所有存在的情况，求出点的坐标，根据两根式求出解析式；
（2）利用分论讨论思想和图形关于轴的对称性来求解．
【解析】解：（1）当时，，解得：；当时，；
，
（2）当时，有一种情况：
设，，由两点间距离公式得：
，
解得：（与重合，舍去）
、、
根据两根式，设抛物线的解析式为：，
将点代入上式，解得：，
当时，有一种情况：
同理：设，，由两点之间的距离公式得：
，
解得：，
、、
由两根式，设抛物线的方程为：，
将点代入上式，解得：，
当时，有两种情况：
同理：设，，由两点之间的距离公式得：
，解得：，分论如下：
、、
由两根式，抛物线的方程设为：，
将点代入上式，解得：，
、、
由两根式，抛物线的方程设为：，
将点代入上式，解得：
，
（3）由（2）知，抛物线解析式为
当为正方形一边时，设，
，
①当在x轴上方，且为正方形一边时，，根据对称性；
有；
②当在x轴下方，且为正方形一边时，，根据对称性：
有；
当为正方形对角线时时，设
，解得：，
③当在x轴上方，且为正方形对角线时，，
有；
④当在x轴下方，且为正方形对角线时，，
有．
【点睛】本题考查了求解函数与坐标轴的交点坐标，分类讨论求解二次函数的解析式，动点问题，是函数与几何问题的综合题型，题目较难，解题的关键是：利用数形结合的思想，进行分类讨论，逐一解决．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）y＝x2﹣4x；（2）12；（3）存在，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为
【分析】（1）由点在轴正半轴且点在线段上得到点在轴正半轴上，所以；由，且得．由于四边形为矩形，故有，所以点在第四象限，横坐标与的横坐标相同，进而得到点坐标．由抛物线经过点、，用待定系数法即求出其解析式．
（2）画出四边形，由于点、分别在轴、轴上运动，故可作点关于轴的对称点点，作点关于轴的对称点点，得、．易得当、、、在同一直线上时最小，故四边形周长最小值等于．根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点、、、坐标，即求得答案．
（3）因为可求，且已知中边上的高，故可求的面积．又因为的面积常规求法是过点作平行轴交直线于点，把拆分为与的和或差来计算，故存在等量关系．设点坐标为，用表示的长即列得方程．求得的值要讨论是否满足点在轴下方的条件．
【解析】解：（1）点在线段上，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
抛物线经过点、，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
（2）如图1，作点关于轴的对称点点，作点关于轴的对称点点，连接、、，
，
抛物线对称轴为直线，
点、在抛物线上，且轴，，
，即点、关于直线对称，
，即，
，，
平分，，
，
，
，
点、关于轴对称，点在轴上，
，，
为中点，
，
点、关于轴对称，点在轴上，
，，
，
当、、、在同一直线上时，最小，
，
四边形周长最小值为．
（3）存在点，使中边上的高为．
过点作轴交直线于点，
，
，直线解析式为，
设点坐标为，，则点，
①如图2，
当时，点在点左侧，
，
中边上的高，
，
，
方程无解，
②如图3，
当时，点在点右侧，
，
，
，
解得：（舍去），，
，
综上所述，点坐标为满足使中边上的高为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中求三角形面积，抛物线的平移，解题的关键是对点、、坐标位置的准确说明，及明白点左侧不存在满足的在点左侧的讨论．
10．在平面直角坐标系中，抛物线C外：，抛物线C内：的对称轴为直线，且C内的图象经过点，动直线与抛物线C内交于点，与抛物线C外交于点．
（1）求抛物线C内的表达式
（2）当是以为直角边的等腰直角三角形时，求的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线C外与轴交于点，连结交轴于点，连结．
①在点上方的轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
②若平面内有一点，且，是否存在这样的点，使得？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）①存在，K(0，－4)；②存在，满足条件的G点坐标为：，，，．
【分析】（1）根据对称轴公式及点A坐标利用待定系数法求值即可；
（2）表示出点M、N的坐标，分∠ANM=90°、∠AMN=90°两种情况，利用等腰直角三角形的性质计算判断；
（3）①先求出直线AM的表达式从而得到点P坐标，再利用ASA证明≌，利用全等三角形性质即可求出点K坐标；
②根据题意画出满足条件的图形，由①可找到第一个满足条件的G，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点，利用两点间的距离进行计算．
【解析】解：（1）抛物线C内：的对称轴为直线，且C内的图象经过点A(－3，－2)，
∴，
解得：，
∴抛物线C内：；
（2）∵动直线与抛物线C内交于点M，与抛物线C外交于点N，
∴，，
当∠ANM=90°，AN=MN时，此时AN∥x轴，
∵A(－3，－2)，
∴，
解得：，
当时，，，此时AN=MN=5，符合题意，
当时，，，此时AN≠MN，不符合题意，故舍去；
当∠AMN=90°，AM=MN时，此时AM∥x轴，
∴，
解得：，
当时，不符合题意，故舍去，
当时，，，AM≠MN，不符合题意，故舍去，
综上所述，t的值为2；
（3）①存在，K(0，－4)．
如图所示，此时，
由（2）知，，，
∴直线AM表达式为：，
∴P(0，－5)，
∴PN=，
由抛物线C外：可得，B(0，1)，
∴BN=，
∴PN=BN，
∴∠KPN=∠OBN，
又∵，
∴≌，
∴KP=OB=1，
∴K(0，－4)；
②根据题意画出示意图，如图所示：
由①可知，点G1与点K重合时，满足∠GNP=∠ONB，所以G1(0，－4)，
则NG1延长线与⊙P的交点G2，G1、G2关于PN的对称点G4、G3也满足∠GNP=∠ONB，
由N(2，－2)，G1(0，－4)可得到∠OG1N=∠G2G1P=45°，
又∵∠APG1=AMN=45°，
∴AM⊥G1G2，
又∵PG2=PG1，
∴∠G1PG2=2∠APG1=90°，
∴PG2∥x轴，
∴G2(－1，－5)，
设点G3坐标为(m，n)，由对称性可知G3N= G2N=，
又∵PG3=1，且P(0，－5)，
∴，
解得：，，
同理，设点G4坐标为(m，n)，由对称性可知G4N= G1N=，
∴，
解得：，，
综上所述，满足条件的G点坐标为：，，，．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的知识及全等三角形的判定与性质，准确作出符合题意的图形是解题的关键．
11．如图，抛物线C：的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点N．
(1)点N的坐标为 ；
(2)已知抛物线与抛物线C关于y轴对称，且抛物线与x轴交于点A，（点A在点的左边）；
①抛物线的解析式为 ；
②当抛物线和抛物线C上y都随x的增大而增大时，请直接写出此时x的取值范围．
(3)若抛物线∁n的解析式为，抛物线的顶点为，与x轴的交点为A，（点A在点的左边）．
①求的值；
②判断抛物线的顶点，，，…，是否在一条直线上，若在，请直接写出该直线的解析式；若不在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)①5350；②不在；理由见解析
【分析】（1）利用函数的对称性求N点坐标即可；
（2）①由题意可得，再将点，代入，可求抛物线C的解析式，再由抛物线的解析式即可；
②分别求出抛物线C和中，y随x值增大而增大时x的取值范围，同时满足条件的x取值范围即为所求；
（3）①由题意可得，，，，…，则；
②求出，，，…，，在求出，所在直线解析为，可以判断点不在直线上，由此即可求解．
（1）
解：∵抛物线的对称轴为直线，经过，
∴，
故答案为：；
（2）
解：①∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
将点，代入，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线与抛物线C关于y轴对称，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴当时，y随x值的增大而增大，
∵，
∴当时，y随x值的增大而增大，
∵抛物线C1和抛物线C上y都随x的增大而增大，
∴；
（3）
解：①由题意可得，，，，…，
∴；
②不在一条直线上，理由如下：
∵，
∴，，，…，，
设，所在直线解析为，
∴，
∴，
∴，
将代入，得，
∴点不在直线上，
∴点，，，…，不在一条直线上．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够准确求出二次函数关于y轴对称的函数解析式，是解题的关键．
12．如图，已知抛物线（a≠0）与x轴交于A，B两点，（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（-2，0）且对称轴直线，直线AD交抛物线于点D（2，m）
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是线段AB上的一动点（点P和点A，B不重台），过点P作PE∥AD交BD于E，连接DP，当△DPE的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在抛物线上对称轴上是否存在一点M，使△MAC的周长最小，若存在，请求出M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据对称轴和点A的坐标为（-2，0），得到B点坐标为（4，0），将A（-2，0），B（4，0）分别代入解析式即可；
（2）如图1，作EF⊥x轴于F，求出AD解析式，可得到PE解析式为，设E（t，2t-8），将E（t，2t-8）代入得2t-8=-t+f，即f=3t-8，PE解析式为y=-x+3t-8，求出P点坐标为（3t-8，0），列出即可求解；
（3）如图2，由点A与点B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于M，则此时△MAC的周长最小，求得直线BC 的解析式为y=x-4，把x=1代入y=x-4得y=-3，于是得到结论．
（1）
解：∵点A的坐标为（-2，0）且对称轴直线x=1，B点坐标为（4，0），
将A（-2，0），B（4，0）分别代入解析式得，
解得 ．
二次函数解析式为．
（2）
如图1，作EF⊥x轴于F，将点D（2，m）代入得，，
则D点坐标为（2，-4），
设AD解析式为y=kx+b， 把A（-2，0），D（2，-4）分别代入解析式得，
解得，， 则函数AD解析式为．
∵，
∴设PE解析式为．
设BD解析式为y=mx+n， 把B（4，0），D（2，）分别代入解析式得，
解得， ，
函数BD解析式为y=2x-8．
则可设E（t，2t-8），将E（t，2t-8）代入得2t-8=-t+f，即f=3t-8，
∴PE解析式为，
当y=0时，x=3t-8，则P点坐标为（3t-8，0），
当时 ，的面积最大，
此时，3t-8=3×3-8=1， 得P（1，0）．
（3）
存在， 如图2，
∵点A与点B关于对称轴对称，
∴连接BC交对称轴于M， 则此时△MAC的周长最小，
∵B（4，0），C（0，-4），
∴直线BC 的解析式为y=x-4，
∵点M在抛物线的对称轴上，
∴把x=1代入y=x-4得，
∴M（1，-3）．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式，二次函数求最值、轴对称最短路径问题，难度较大，值得关注．
13．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点A（1，0），B（-3，0），与y轴的正半轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点D是线段上一动点，过点D作y轴的平行线，与交于点E，与抛物线交于点F．
①连接，当的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)①F（-，）；②存在，点F的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
（2）①先求出直线BC的解析式为：y=x+3，设F（x，），则E（x，x+3），用含x的代数式表示的面积，进而即可求解；
②利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，根据题意，需要分两种情况：①当点F为直角顶点时；②当点C为直角顶点时，分别画出图形，根据直角三角形的性质可求得结论．
（1）
解：将点A（1，0）、B（−3，0）代入y＝，
得：，
解得：
∴二次函数解析式为．
（2）
①令x=0，代入，得：，
∴C（0，3），
∵B（-3，0），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b，代入得
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x+3
设F（x，），则E（x，x+3）
∴FE=-（x+3）=，
∴的面积=（）=，
∴x=-时，的面积最大，此时F（-，）；
②Ⅰ当∠CFE=90°时，如图：
∵DFy轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠ODF=∠CFE=90°，
∴CFOB，
∴点F的纵坐标为3，
∴3=﹣﹣2x+3，
解得=0（舍去），=﹣2，
∴F（﹣2，3），
Ⅱ当∠ECF=90°时，过点C作CH⊥EF于H，
∵DFy轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠BDE=90°，
∵C（0，3），B（﹣3，0），
∴OC=OB=3，
∴∠OBC=45°，
∴∠OEB=∠CEH=45°，
∵∠ECF=90°，
∴CE=CF，
∵CH⊥EF，
∴EF=2CH，
设D（m，0），则E（m，m+3），F（m，），
∴EF=﹣（m+3）=﹣﹣3m，CH=﹣m，
∴﹣﹣3m=﹣m，
∴=0（舍去），=﹣1，
∴点D坐标为（﹣1，0）．
∴F（﹣1，4）
综上，点F的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）注意需要分类讨论．
14．定义若抛物线（）与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”．
(1)已知直线解析式为，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是________；（填序号）
①； ②； ③；
(2)如图，已知直线l：，抛物线为直线l的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为、，在直线l上方抛物线部分是否存在点使△面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)已知x轴的“双幸运曲线”（）经过点（1，3），（0，），在x轴的“幸运点”分别为、，试求的取值范围．
【答案】(1)②
(2)存在，最大面积为 此时
(3)
【分析】（1）分别联立一次函数与抛物线的解析式，再判断方程组的解的个数得到函数图象的交点个数，结合新定义可得答案；
（2）如图，过作轴交于点 先求解A，B的坐标，再设 则 可得 再利用面积公式列二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案；
（3）先求解 则抛物线为：再结合抛物线与x轴有两个交点，可得 再利用，结合二次函数的性质可得答案．
（1）
解：联立
∴ 即
∴ 方程无解，
∴两个函数图象没有交点，
∴根据定义：抛物线不为该直线的“双幸运曲线”；
同理：由可得： 方程有两个不相等的实根，
∴两个函数有两个交点，
∴抛物线为该直线的“双幸运曲线”；
由可得：
解得： 方程有两个相等的实根，
∴两个函数有1个交点，
∴抛物线不为该直线的“双幸运曲线”；
故选②
（2）
存在，理由如下：
如图，过作轴交于点
联立
∴
解得：
∴
∴
设 则
∴
∴

当时，面积最大，最大面积为
此时
∴
（3）
∵（）经过点（1，3），（0，），
∴
解得：
∴抛物线为：
令 则结合题意可得方程有两个不相等的实根
∴
∴

∵
∴当时，即时，MN最小，最小值为：
∴
【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的交点问题，新定义的理解，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质，熟练构建函数，再利用函数的性质解决问题是关键．
15．如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆” ，已知A，B，C，D分别为“果圆”与坐标轴的交点，y=x-3与“果圆” 中的抛物线y=+bx+c交于B，C两点．
(1)求“果圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“果圆”被y轴截得的线段BD的长．
(2)“果圆”上是否存在点P使∠APC=∠CAB？如果存在请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
(3)如图2，E为直线BC下方“果圆”上一点，连接AE，AB，BE，设AE与BC交于F，△BEF的面积记为S△BEF，△ABF的面积记为S△ABF，求的最小值．
【答案】(1)，5
(2)存在，（0，-3）或（3，-3）
(3)
【分析】（1）先求出点B，C坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点A坐标，即可求出半圆的直径，再构造直角三角形求出点D的坐标即可求出BD；
（2）求出线段AC，BC进而得出AC=BC，判断出满足条件的一个点P和点B重合，再利用抛物线的对称性求出另一个点P．
（3）先判断出要的最小值，只要CG最大即可，再求出直线EG解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一个交点，求出直线EG解析式，即可求出CG，结论得证．
（1）
解：对于直线y=x-3，交坐标轴 BC两点，
∴B（0，-3），C（4，0），
∵抛物线y=+bx+c过B，C两点，
∴，
解得：，
即，
∴抛物线与x轴交点A（-1，0），
∴AC=5，
如图1，记半圆的圆心为，连接，
∴=AC=，
∴=4-=，
在Rt△O'OD中，，
∴D（0，2），
∴BD=2-（-3）=5；
（2）
解：如图2，
∵AC是半圆的直径，
∴半圆上除点A，C外任意一点Q，都有∠AQC=90°，
∴点P只能在抛物线部分上，
∵B（0，-3），C（4，0），
∴BC=5，
∵AC=5，
∴AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
当∠APC=∠CAB时，点P和点B重合，即：P（0，-3），
由抛物线的对称性知，另一个点P的坐标为（3，-3），
即：使∠APC=∠CAB，点P坐标为（0，-3）或（3，-3）．
（3）
如图3，
∵A（-1，0），C（4，0），
∴AC=5，
过点E作EGBC交x轴于G，
∵△ABF的AF边上的高和△BEF的EF边的高相等，设高为h，
∴=AF•h，=EF•h，
∴=，
∵的最小值，即最小，
∵CFGE，
∴，
∴当CG最大时，即最小，的最小值，
∴EG和果圆的抛物线部分只有一个交点时，CG最大，
∵直线BC的解析式为y=x-3，
设直线EG的解析式为y=x+m①，
∵抛物线的解析式为即②，
联立①②化简得，，
∴，抛物线和直线只有一个交点．
解得：m=-6，
∴直线EG的解析式为y=x-6，
∴直线EG与x轴交点坐标（8，0）
∴CG=4，
∴=；
∴的最小值为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，抛物线的对称性，等腰三角形的判定和性质，判断出CG最大时，两三角形面积之比最小是解本题的关键．
16．如图，抛物线的经过，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）、与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式和A、B两点坐标；
(2)在y轴上有一点P，使得，求点P的坐标；
(3)点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，点Q在坐标平面内．
①当时，直接写出点M的坐标___________；
②是否存在这样的点Q与点N，使以Q、N、A、C为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A（-3，0），B（1，0）
(2)；
(3)，
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式解答即可；
（2）利用相似三角形的判定和性质以及轴对称的性质解答即可；
（3）①证出ME=EC，设点 ，则，，代入即可求解；②利用矩形的性质，找到边与边的关系，注意分类讨论，即可求解．
（1）
解：∵抛物线的经过D（-2，3），
∴-4+4+c=3，
解得：c=3，
即抛物线的表达式为：，
设y=0，则，
解得： =-3， =1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（-3，0），B（1，0）；
（2）
连接BC，在x轴的上方，作，交y轴于点P
∵A（-3，0），B（1，0）, c=3；
∴OC=3，OB=1，OA=3
∵，
∴
∴即
∴
∴点
当点P在x轴的下方时，即与点P1关于x轴对称时，点；
综上所述：点P的坐标为：；．
（3）
①过点C作MC⊥AC，垂足为C，交抛物线于点M，过点M作ME⊥y轴，垂足为E，交y轴于点E
∵（2）知：AO=CO，
∴ACO=∠CAO=45°，
∵MC⊥AC，ME⊥y轴
∴∠ECM=∠EMC=45°
∴ME=EC
设点 ，
∵，
∴
∴（舍去）或
∴．
②如图点N在对称轴上，四边形是矩形，四边形是矩形，过点作⊥x轴，垂足为，交轴于点，过点作⊥x轴，垂足为，交y轴于点．
∵抛物线的表达式为：，
∴对称轴：
设，则，
同理①，即
∴
∴
设，则，
∵
∵四边形是矩形，
∴
∴
∴
∴
∴
所以N有两点，此M的坐标为，．
【点睛】此题考查了二次函数的综合题，关键是根据二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及矩形的性质进行解答．
17．抛物线的顶点为，与直线为常数相交于，两点．当时，点B的横坐标恰好为2（如图1）．
(1)求、的值；
(2)当时，若点是抛物线上异于、的一点，且满足，试判断的形状，并说明理由；
(3)若直线交轴于点，过点、分别作该直线的垂线，垂足分别为、，连接、BF（如图2）．设、、的面积分别为、、，是否存在常数t，使?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)存在，
【分析】（1）根据抛物线的顶点为，可得c=1，即可得抛物线的表达式为，当时，直线轴，则点的纵坐标为，故点的坐标为，即可求解；
（2）根据题意可得，，故AB，而，则，即可求解；
（3）设点A、B的坐标分别为，，则，，进而求解．
（1）
解：∵抛物线的顶点为，故，
则抛物线的表达式为，
当时，直线轴，则点B的纵坐标为3，
则点B的坐标为，
将点B的坐标代入抛物线表达式得：，
解得；
（2）
解：由（1）知，当时，点，则点，
∴，
由、，
∴，
故，
∵，
∴
则，
∴为直角三角形；
（3）
存在，理由如下：
解：设直线交轴于点，则点，

设点A、B的坐标分别为，，
联立和并整理得：，
则，，
则，
由题意得：，；，；，；
则，
同理可得，
，
即，
，
故．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、一次函数的性质、根与系数的关系、面积的计算等，用根与系数的关系处理复杂数据是解题的关键．
18．如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点．
①当点的横坐标为2时，求四边形的面积；
②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②是，定值为，理由见解析
【分析】（1）由当时，，可知，是的两根，代入方程可得从而得解；
（2）①把代入抛物线解析式可得D点坐标，再代入抛物线解析式可得C点坐标，
从而得知线段轴，利用配方法可知点F坐标，从而利用求面积；
②设，用待定系数法求出直线与直线的解析式，再令得，，从而得出，的长，从而得到是定值8．
（1）
解：∵当时，，
∴，是的两根，，
∴，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）
①把代入得：，
．
又当，，
，
线段轴．
，
，
；
②设，
直线，，
因此可得：
或，
解得：或，
直线，
．
令得，，
，，
．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识，掌握待定系数法和面积求法是解题的关键．
19．如图1，抛物线与x轴负半轴交于A，与x轴正半轴交于B，与y轴交于C．
(1)求A、C的坐标；
(2)如图，已知M为第一象限内抛物线上一点，CM交x轴于点G，，，求抛物线函数解析式；
(3)如图2，将（2）中的抛物线绕原点O旋转，得新抛物线，N为新抛物线第一象限内一点，过N向直线l：引垂线，垂足为E，试问在该抛物线对称轴上是否存在一点F，使，若存在，求F坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A(-1，0)，C(0，-3)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）将解析式变形为可得的坐标，令，可得的坐标；
（2）根据已知条件证明，根据相似三角形的性质得出，得,继而得出的解析式为，进而可得的坐标，将的坐标代入抛物线解析式即可求解；
（3）根据中心对称的性质，求得的解析式为，对称轴为直线，设，令F（-1，t），则 ，，根据列出方程，得到关于的方程，化简得，进而根据题意对于任意都成立，令的系数为0，即可求解．
（1）
解：∵
∴过定点，
∵抛物线与x轴负半轴交于A，与x轴正半轴交于B，与y轴交于C．
令，得，
∴A（-1，0），C（0，-3）．
（2）
∵，
∴，
∴．在x轴的正半轴上取点F，使，则∠，
又，
∴；
∴．
，
∴
∴，
∴G（，0），
设直线的解析式为,
将,代入得，
，
解得，
∴直线CG的解析式为：，
解得，
∴M（4，5），将M点的坐标代入中可得，
∴抛物线的解析式为
（3）
由（2）可得抛物线，顶点坐标为，旋转180°后的坐标为，
则抛物线的解析式为，对称轴为直线，
设，令F（-1，t），则 ，
∵
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
当时，上式对于任意n恒成立，
∴存在
【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，待定系数法求解析式，二次函数线段问题，掌握以上知识是解题的关键．
20．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
(2)如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，A（﹣2，0）；C（0，4）
(2)存在点M使AM＋OM最小， M（，）
(3)存在， P（2，4）
【分析】（1）将B（4，0）代入，求出函数解析式即可求解；
（2）作O点关于BC的对称点，连接A交BC 于点M，连接B，当A、M、三点共线时，AM＋OM有最小值，分别求出直线A的解析式和直线BC的解析式，两直线的交点即为M点；
（3）连接PB，过P点作PGy轴交CB于点G， 设，则G（t，－t＋4），由求出，再由PFCD，可得 则 当t＝2时，有最大值，同时可求P的坐标．
（1）
将B（4，0）代入y＝﹣＋（m﹣1）x＋2m，
∴﹣8＋4（m﹣1）＋2m＝0，
解得m＝2，
∴y＝﹣＋x＋4，
令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则﹣＋x＋4＝0，
解得x＝4或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）；
（2）
存在点M使AM＋OM最小，理由如下：
作O点关于BC的对称点，连接A交BC于点M，连接B，
由对称性可知，OM＝M，
∴AM＋OM＝AM＋MA，
当A、M、三点共线时，AM＋OM有最小值，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
由对称性可知∠BM＝45°，
∴B⊥BO，
∴（4，4），
设直线A的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴y＝x＋，
设直线BC的解析式为，
∴4＋4＝0，
∴＝﹣1，
∴y＝﹣x＋4，
联立方程组，
解得，
∴M（）；
（3）
在点P，使得最大，理由如下：
连接PB，过P点作PGy轴交CB于点G，
设P（t，﹣＋t＋4），则G（t，﹣t＋4），
∴PG＝﹣＋2t，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝4，
∴S△BCP＝×4×（﹣＋2t）＝﹣＋4t＝×4×PF，
∴PF＝﹣＋t，
∵CD⊥BC，PF⊥BC，
∴PFCD，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵B、D两点关于y轴对称，
∴CD＝4，
∴＝﹣（﹣4t）＝﹣＋，
∵P点在第一象限内，
∴0＜t＜4，
∴当t＝2时，有最大值，
此时P（2，4）．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，轴对称求最短距离的方法，平行线的性质是解题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为．点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
(1)求这个二次函数及直线的表达式．
(2)过点做轴交直线于点，求的最大值．
(3)点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)二次函数的表达式为，直线的表达式为；
(2)
(3)存在，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数和直线BC的解析式；
（2）设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，），PD＝，由二次函数的性质可得出答案；
（3）分情况讨论：①当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作NE⊥MF于点E，证明△MEN≌△OFM（AAS），可得OF＝EM＝1，设点M坐标为（1，a），可得NE＝MF＝a，则N（1-a，1+a），把点N坐标代入二次函数解析式求出a的值，可得此时点的坐标；②当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，③当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，④当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，同理可求点的坐标．
（1）
解：把点B，点C的坐标代入解析式中，
得：，
解得：，
∴二次函数得表达式为；
设BC的函数表达式为y=kx+b，
把点B，点C的坐标代入可得：，
解得：，
∴直线BC的函数表达式为：；
（2）
如图，∵轴，
∴点P和点D的横坐标相同，
设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，），
PD＝，
当x=时，PD有最大值；
（3）
分情况讨论：
①当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作NE⊥MF于点E，
∵为等腰直角三角形，且为直角，
∴NM＝MO，∠NMO＝90°，
∴∠NME＋∠OMF＝90°，
∵∠NME＋∠MNE＝90°，
∴∠MNE＝∠OMF，
又∵∠MEN＝∠OFM＝90°，
∴△MEN≌△OFM（AAS），
∴OF＝EM，MF＝NE，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴OF＝EM＝1，
设点M坐标为（1，a），则NE＝MF＝a，
∴N（1-a，1+a），
∵点N在抛物线上，
∴，
整理得：，
解得：，
∴N（，），
②当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，如图2，
同理可得：点N坐标为（，）；
③当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，如图3，
同理可得：点N坐标为（，）；
④当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，如图4，
同理可得：点N坐标为（，）；
综上，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及二次函数图象上点的坐标特征，其中第（3）问有一定难度，能够正确分类讨论是解题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，-4），连接AB，BC． 动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒． 连接PQ，PC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在点P，Q运动过程中，当的面积为时，求点Q坐标；
(3)在（2）条件下，时，在直线PQ上是否存在点M，使？若存在，请直接求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，，
【分析】（1）利用待定系数法代入计算即可；
（2）过作轴于，利用求出的长，从而用t表示出，列出方程即可得出答案；
（3）由（2）及可知，代入求得、，即可得出直线的解析式为，设，利用两点坐标距离公式和勾股定理的逆定理判断出∠APM=90°，由的直角三角形即可推出，利用两点坐标距离公式列出方程，进行求解即可得出答案．
（1）
解：将点、点的坐标分别代入，得
，
解这个方程组，得，
则二次函数表达式．
（2）
过作轴于，
当时，，
∴，
∴．
∵、，
∴,
∴．
∵动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C作匀速运动，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
解得，，．
∵Q的横坐标为，
∴或．
（3）
存在，理由如下：
由（2）可知：，，
∵，
∴．
∴，此时点为的中点，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点P、Q坐标代入中，得：
，解得：，
∴设直线的解析式为，
∴设，
∵,,
∴,,
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵,，
∴，
∴
∴，．
故答案为：存在，，．
【点睛】本题考查了二次函数与几何动点的综合应用，利用锐角三角函数求线段的长度，勾股逆定理，勾股定理，距离公式及坐标轴上点的特征等知识，较为综合，能够熟练应用知识是解题的关键．
23．如图，把两个全等的和分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F，抛物线经过O、A、C三点．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点G为抛物线上位于线段OC所在直线上方部分的一动点，求G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；
(3)点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM的边AM与边BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)G点到直线OC的最大距离为，此时G(2，4)
(3)存在，P点的坐标为
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线OC的解析式，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解．
（1）
解：由题意：A(2，4)，C(4，2)，O(0，0)，
因为抛物线y=ax2+bx+c经过点O，A，C，
∴，
解得，，，
∴抛物线解析式为；
（2）
解：连接GO，GC，过G点作x轴的垂线交OC于点K，GH⊥OC于点H．
令G点的横坐标为m（0