初中数学北师大版九年级下册3 垂径定理习题

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课后培优练级练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．如图，在中，于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
2．下列命题中假命题是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心
C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
3．往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm．
A．10B．14C．26D．52
4．已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点M，若OM：OA=3：5，则弦AC的长度（ ）．
A．B．C．3D．或
5．如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A．3B．4C．D．
6．如图，的半径为5，弦，点M是弦上的动点，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣8，﹣4），则点N的坐标为（ ）
A．（－2，﹣4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣3，﹣4）D．（－1.5，﹣4）
8．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（ ）
A．B．3C．D．
9．如图，是半圆的直径，，弦，是上的点，连结，．若，，则的长为（ ）
A．B．8C．D．
10．如图，是的弦（非直径），点是弦上的动点（不与点，重合），过点作垂直于的弦．若设的半径为，弦的长为，，则弦的长（ ）
A．与，，的值均有关B．只与，的值有关
C．只与，的值有关D．只与，的值有关
二、填空题
11．垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．
符号语言：
∵①CD是直径，②CD⊥AB
∴③AE＝_____，④＝________，⑤＝________．
12．某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与的距离为4米，且弧所在圆的半径为10米，则路面的宽度为_____米．
13．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为______寸．
14．如图，，在射线AC上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点，则线段的长是__________cm．
15．如图， 是的直径， 点是上的一点， 若于点 ， 则的长为_____________．
16．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．
三、解答题
17．如图，在中，是直径，是弦，，垂足为P，若．求的长．
18．如图，已知为直径，是弦，且于点E，连接、．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
19．如图， 在中， ， 以点为圆心， 长为半径作圆， 交于点 ， 交于点， 连接．
(1)若， 求的度数；
(2)若， 求的长．
20．如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，己知AO=8，BC=12．
(1)求线段OD的长；
(2)当时，求DE的长．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，点A，B是以CD为直径的⊙O上的两点，分别在直径的两侧，其中点A是的中点，若tan∠ACB＝2，AC＝，则BC的长为（ ）
A．B．2C．1D．2
2．如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上的四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF长度的取值范围是（）
A．1≤EF≤7B．2≤EF≤5C．1＜EF＜7D．1≤EF≤6
3．如图，在平面内，，两两外切，其中的半径为8，，的半径都为5．用一张半径为R的圆形纸片把这三个圆完全覆盖，则R的最小值为（ ）
A．B．10C．13D．15
4．如图，是半圆的直径，，弦，是上的点，连结，．若，，则的长为（ ）
A．B．8C．D．
5．如图，，，，，点同时从点出发，点在边上以的速度向点运动，点在边上以的速度向点运动，连接；同时，点从点出发，以的速度向点运动，以为圆心，为半径作，当直线被与所截得线段长为时，的值为（ ）
A．或B．或C．D．或
6．如图，直径AB、CD相互垂直，P为弧BC上任意一点，连PC、PA、PD、PB，下列结论：①∠APC＝∠DPE；②∠AED＝∠DFA；③；其中正确的是（ ）
A．①③B．只有①C．只有②D．①②③
二、填空题
7．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝3cm，BD＝cm，AC⊥CD，⊙O是△ABD的外接圆，则AB的弦心距等于_____cm．
8．如图，在⊙O中，半径，D是半径OC上一点，且．A，B是⊙O上的两个动点，，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于__________．
9．如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，，过P的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为______；作弦于H，则CH的最大值为________．
10．【阅读理解】三角形中线长公式：三角形两边平方的和，等于所夹中线和第三边一半的平方和的两倍如左图，在△ABC中，点D是BC中点，则有：．
【问题解决】请利用上面的结论，解决下面问题：如右图，点C、D是以AB为直径的⊙O上两点，点P是OB的中点，点E是CD的中点，且，若，当△EPB面积最大时，则CD的长为_____．
11．如图，BD是⊙O的直径，弦CF⊥BD交于点A，E是上一点，连EB交CF于点G，连接EF，已知AF=6，CG=3，BG=4，给出下列结论：①∠BFC=∠BEF；②tan∠BEF=；③BE=；④SΔBEF=．其中正确的是________．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以BC边的中点O为圆心，BC为半径作圆，点D是⊙O上一动点，点E是弦CD的中点，连接AE，若BC=4，AB=3，则AE+BE的最小值是______．
三、解答题
13．如图，已知AB为圆O的直径，C是弧AB上一点，联结BC，过点O作OD⊥BC，垂足为点E，联结AD交BC于点F．
(1)求证：；
(2)如果，求∠ABC的正弦值；
(3)联结OF，如果△AOF为直角三角形，求的值．
14．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，是劣弧的中点，直线于点，则．请证明此结论；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．是劣弧的中点，直线于点，则．可以通过延长、相交于点，再连接证明结论成立．请写出证明过程；
（3）如图3，，组成的一条折弦，若是优弧的中点，直线于点，则，与之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程．
15．已知：两条弦与相交于点，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，直径于点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长．
16．已知⊙O是△ABC的外接圆，CE为⊙O的直径，交AB于点F，连接AO并延长交BC于点D，AD⊥BC．
(1)如图1，求证：∠BFC＝3∠BAD；
(2)如图2，连接AE、BE，过点A作AG⊥CE，垂足为G．求证：CE＝BE+2EG；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接DG交AB于点H，若，，求△CDG的面积．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·贵州贵阳·二模）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，BC＝OD＝2，DC的长等于（ ）
A．2B．4C．D．2
2．（2022·浙江宁波·三模）已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（ ）
A．B．C．或D．或
3．（2022·山东威海·模拟预测）中，点C为弦上一点，，交于点D，则线段的最大值是（ ）
A．B．1C．D．2
4．（2022·湖北十堰·一模）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧AC上，AB＝8，BC＝3，则DP＝（ ）
A．6.5B．4.5C．5.5D．6
5．（2022·河北·石家庄二十三中模拟预测）如图，在中，已知，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，则的长为（ ）
A．2B．C．或4D．或
6．（2022·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的与轴交于点，，与轴交于，，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．（2018·江苏·无锡市天一实验学校一模）如图，将一块等腰的直角顶点放在上，绕点旋转三角形，使边经过圆心，某一时刻，斜边在上截得的线段，且，则的长为（ ）
A．3cmB．cmC．cmD．cm
8．（2022·广东·广州市第一中学三模）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，AC，BC的中点分别是M，N，PQ若MP+NQ=12，AC+BC=18，则AB的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学模拟预测）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，AD=cm，则AB=________cm．
10．（2022·山西·一模）直线与有两个公共点，，到直线的距离为，，则的半径是______．
11．（2022·广东·东莞市东莞中学初中部一模）如图，的直径弦AB于点E，已知，，则_______．
12．（2020·广东广州·模拟预测）如图，过圆外一点作圆的一条割线交于点，若，，且，则_______．
13．（2022·浙江宁波·一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，，过P的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为______；作弦于H，则CH的最大值为________．
三、解答题
14．（2021·上海闵行·一模）如图，是的外接圆，AB长为4，，连接CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点，求：
（1）边BC的长；．
（2）的半径．
15．（2017·安徽马鞍山·中考模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB．
（1）若BE=8，求⊙O的半径；
（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．
16．（2015·河南·模拟预测）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接．
（1）若，，求的直径；
（2）若，求的度数．
17．（2022·山东山东·二模）如图，圆中两条互相垂直的弦，交于点．
(1)求证：；
(2)若点是的中点，圆的半径长，，求的长；
(3)点在上，且，求证：．
18．（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校二模）在半径为5的圆中，弦，点是劣弧上的动点（可与、重合），连接交于点．
(1)如图1，当时，求的长度；
(2)如图2，过点作，垂足为点，设，求的长度（用含的式子表示），并指出的取值范围；
(3)如图3，设，连接．求的取值范围．