北师大版九年级数学下册 专题1.2 锐角三角函数（基础篇）（专项练习）（附答案）

这是一份北师大版九年级数学下册 专题1.2 锐角三角函数（基础篇）（专项练习）（附答案），共31页。试卷主要包含了三角函数概念的辨析，求三角函数值，由三角函数值求边长，三角函数值的增减性，由函数值确实锐角的取值范围等内容，欢迎下载使用。

知识点一、三角函数概念的辨析
1．已知在中，，则下列式子中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，中，，于点，已知：，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是（ ）

A．B．C．D．
4．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越大，梯子越陡B．csA的值越大，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关
知识点二、求三角函数值
5．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA的值为 （ ）
A．B．C．3D．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么csα的值是 ( )
A．B．C．D．
7．在中，为斜边上的高，已知，那么等于（ ）．
A．B．C．D．
8．如图，已知，下列条件中不能判断和相似的是（ ）
B．平分C．D．
知识点三、由三角函数值求边长
9．在中，分别是的对边，如果，那么等于（ ）．
A．B．C．D．
10．在中，，，，则等于（ ）
A．3B．2C．D．
11．如图，已知菱形的对角线相交于点O，若，则的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．如图，是等边三角形，是等腰三角形，且，过点作的平行线交于点，若，，则的长为（ ）
A．6B．C．D．
知识点四、三角函数值的增减性
13．如图，梯子地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（ ）
A．的值越小，梯子越陡
B．的值越小，梯子越陡
C．梯子的长度决定倾斜程度
D．梯子倾斜程度与的函数值无关
14．如果，那么的范围是（ ）
A．B．
C．D．
15．已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是( )
A．＜tanα＜B．＜tanα＜
C．＜tanα＜D．＜tanα＜
16．比较cs10°、cs20°、cs30°、cs40°大小，其中值最大的是（ ）
A．cs10°B．cs20°C．cs30°D．cs40°
知识点五、由函数值确实锐角的取值范围
17．若∠A是锐角，且sinA＝，则（ ）
A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°
18．若∠A为锐角，且csA<0.5，则∠A（ ）
A．小于30°B．大于30°C．大于60°D．小于60°
19．已知为锐角，且，那么下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
20．已知为锐角，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
填空题
知识点一、三角函数概念的辨析
21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝_____．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于csA的值的有______个
（1） ；（2）；（3）；（4）．
23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝；②csB＝；③tanA＝；④tanB＝，其中正确的结论是_____ .
24．已知（为锐角），满足方程，则________．
知识点二、求三角函数值
25．已知，且为锐角，则的取值范围是__________．
26．如图，、分别是中、边上的高，，则________．
27．如图，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝24，点E是BC的中点，连接DE，将△DEC沿DE折叠，点C落在点F处，连接FB，则cs∠FBE＝_______．
28．如图，已知正方形的边长为3，如果将线段绕点旋转后，落在延长线上的点处，那么_________．
知识点三、由三角函数值求边长
29．如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为______．
30．如图，在RtABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，∠A＝∠CBD，若AC=8cm，cs∠CBD=，则边AB=____cm．
31．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分面积为 ___．
在中，，，，则的长为______．
知识点四、三角函数值的增减性
33．比较大小：sin48°___cs48°（填“＞”、“＜”或“＝”）．
34．如图，将绕点B顺时针旋转得到．请比较大小：______．
35．比较大小：________．
36．在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为_____，写出sin70º、cs40º、cs50º的大小关系__________．
知识点五、由函数值确实锐角的取值范围
37．用“＜”连接下列各题中的锐角α，β，γ
（1）若sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678，则α，β，γ的大小关系为__；
（2）若csα＝0.0123，csβ＝0.3879，csγ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为_．
38．如图所示的网格是正方形网格，则 ___________(填“＞”、“=”或“＜”)．
39．已知＜csA＜sin70°，则锐角A的取值范围是_________
40．已知，则锐角的取值范围是________．
三、解答题
41．如图，在中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，，求的值．
42．如图，的顶点都是正方形网格的格点，求的三角函数值．
43．如图，在矩形中，点是边上的点，，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
参考答案
1．A
【分析】由勾股定理求出，然后根据锐角三角函数定义判断即可．
解：在中，，
，
，，，
故选:A．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，掌握勾股定理，锐角三角函数是解本题的关键．
2．C
【分析】由题知，根据角的等量代换可知，再根据设，再根据勾股定理即可解得，即可得解．
解：由题知
，，
，
，
设，，
则，
，
故选C．
【点拨】本题考查了三角函数的定义、同角的余角相等、勾股定理；熟练掌握相关的基础知识是关键．
3．A
【分析】过B作BD垂直于AC的延长线，垂足为D，求出BD和AD后由正切函数的定义可以得到问题解答．
解：如图，过B作BD垂直于AC的延长线，垂足为D，
,
则在RT△ABD中，AD=5，BD=6，
∴，
故选A．
【点拨】本题考查正切函数的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题关键．
4．A
【分析】根据锐角三角函数值的变化规律判断即可；正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值是随着角的增大而减小．
解：A选项，sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡，A正确；
B选项，csA的值越大，∠A越小，梯子越缓，B错误；
C选项，tanA的值越小，∠A越小，梯子越缓，C错误；
D选项，根据∠A的三角函数值可以判断梯子的陡缓程度，D错误；
故选：A．
【点拨】本题考查了三角函数的增减性，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题关键．
5．A
【分析】根据勾股定理求出AC，再根据正弦的定义求解即可；
由图可知：，
∴；
故选A．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确利用勾股定理和正弦的定义求解是解题的关键．
6．D
【分析】根据勾股定理求出OA的长度，即可解决问题．
解：点A的坐标为(4，3)，
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角函数的定义，坐标与图形，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA的长度是解题的关键．
7．A
【分析】根据同角的余角可证∠A=∠BCD，利用三角函数定义可得tanA=，求出CD的长，然后求出tanA即可．
【详解】
解：由题意可知，∠A+∠B=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴tanA=，
∴CD2=AD·BD=8×4=32，即CD=4，
则tanA===．
故选A．
【点拨】本题主要考查解直角三角形，利用同角余角得到∠A与∠BCD的关系，利用三角函数列比例式，再通过正切函数求解是解题的关键．
8．C
【分析】根据相似三角形的判定方法，对选项逐个判定即可．
解：A、∵
∴
又∵
∴，选项不符合题意；
B、∵平分
∴
∴，选项不符合题意；
C、根据得不到三角形的某个角相等，选项符合题意；
D、∵根据三角函数的定义可得，
∵，∴
∴，∴，选项不符合题意；
故答案为C
【点拨】此题考查了相似三角形的判定方法，涉及了三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
9．A
【分析】根据正弦函数的定义得到，再根据，即可得到，化简即可求值．
【详解】
解：如图，在Rt△ABC中，，
∵，
∴，
∴ ，
即．
故选：A
【点拨】本题考查了正弦函数的定义，熟知正弦函数的定义并能运用分式的性质进行化简是解题的关键．
10．B
【分析】直接根据余弦定义求解即可．
解：∵中，，，，
∴，
∴AC==2．
故选B．
【点拨】在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A的正弦等于∠A的对边比斜边， ∠A的余弦等于∠A的邻边比斜边，∠A的正切等于∠A的对边比邻边．
11．B
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．再解Rt△OAB，根据tan∠BAC==，求出OB=1，那么BD=2．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．
在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，
∴tan∠BAC==，
∴OB=1，
∴BD=2．
故选：B．
【点拨】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
12．B
【分析】连接交于点，由题意证明垂直平分，由是等边三角形，得到，通过证明是等边三角形，可得，由勾股定理求得的长即可．
【详解】
解：连接交于点，取中点，连接，如图，
是等边三角形
是等腰三角形，
垂直平分
是的中位线，
中，
故选：B．
【点拨】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、中位线、勾股定理、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13．B
【分析】根据锐角三角函数的增减性即可得到答案．
解：A选项，sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，故错误；
B选项，csA的值越小，∠A就越大，梯子越陡，故正确；
C选项，梯子的长度不能决定倾斜程度，故错误；
D选项，梯子倾斜程度与的函数值有关，故错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦和正切函数，函数值随角度的增大而增大；对于余弦函数，函数值随角度的增大而减小．
14．B
【分析】在时，的值随着的增大而增大.
【详解】
在时，的值随着的增大而增大.

如果，那么的范围是.
故选:B.
【点拨】考查正弦的变化规律，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键；
15．C
【分析】根据特殊角的三角函数值，及正切函数随角度的增大而增大解答．
解：∵tan30°=，tan60°=，30°＜α＜60°，
∵当0°＜α＜90°，tanα随α的增大而增大，
∴＜tanα＜．
故选C．
【点拨】熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
16．A
【分析】根据同名三角函数大小的比较方法比较即可．
解：∵，
∴．
故选：A．
【点拨】本题考查了同名三角函数大小的比较方法，熟记锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；锐角的余弦、余切值随角度的增大而减小．
17．A
【分析】根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及30°、45°、60°的正弦值可求出.
解：∵∠A是锐角，且sinA＝＜＝sin30°，
∴0°＜∠A＜30°，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．
18．D
【分析】首先明确cs60°=0.5，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析．
解：∵cs60°=0.5，余弦函数随角增大而减小，
∵∠A为锐角，
∴∠A>60°．
故选：D．
【点拨】熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
19．B
【分析】根据正切函数的增减性，可得答案．
解：，
由正切函数随锐角的增大而增大，得
tan30°＜tanA＜tan45°，
即30°＜A＜45°，
故选：B．
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，利用正切函数的增减性是解题关键．
20．C
【分析】首先明确 再根据正切值随角增大而增大，进行分析．
解：∵ 正切值随角增大而增大，
又
∴
故选:C.
【点拨】考查锐角三角函数的增减性，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
21．60°
【分析】利用正弦定义计算即可．
解：如图，
∵sinB＝，
∴∠B＝60°，
故答案为：60°．
【点拨】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握正弦定义．
22．3
【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴csA＝＝＝．
故（1），（2），（4）正确．
故答案为：3．
【点拨】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．
23．②③④
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∴．∴∠A=30°．∴∠B=60°．
∴csB= cs60°=，tanA= tan300=，tanB= tan600=．
∴正确的结论是②③④．
24．
【分析】先用因式分解法解一元二次方程，再根据锐角三角函数的正弦值取值范围，筛选的值代入即可解题．
【详解】
（为锐角），
故答案为：．
【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程，涉及正弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
25．
【分析】根据锐角三角函数的取值范围列出不等式，然后转化为不等式组求m的取值范围．
【详解】
∵α为锐角，
∴0＜sinα＜1，
则0＜2m-3＜1
解得故答案为：
【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，根据题意列一元一次不等式组，并解一元一次不等式组．
26．
【分析】根据求∠DAC的三角函数值．
【详解】
∵、分别是中、边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【点拨】本题考查解直角三角形，解题的关键找出各个角之间的关系，利用等角的三角函数值相等，可以求得所求的角的三角函数值．
27．
【分析】过点E作EH⊥BF于H，在Rt△ECD中，由勾股定理求得DE＝20，由翻折知CE＝EF＝BE，∠CED＝∠DEF，可证∠HED＝90°，从而∠CED＝∠HBE，即可求出答案．
解：过点E作EH⊥BF于H，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝12，
四边形是矩形，
，
在Rt△ECD中，由勾股定理得：
DE＝＝20，
∵将△DEC沿DE折叠，点C落在点F处，
∴CE＝EF＝BE，∠CED＝∠DEF，
∵EH⊥BF，
∴∠BEH＝∠FEH，
∴∠HED＝∠BEC＝90°，
∴∠BEH+∠CED＝90°，
∠BEH+∠HBE＝90°，
∴∠CED＝∠HBE，
∴cs∠HBE＝cs∠CED＝，
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，锐角三角函数的定义，正确的作出辅助线，转换角度，证明∠CED＝∠HBE是解题的关键．
28．
【分析】根据正方形的性质得AD=3，AC=，再根据旋转的性质得AC′=AC=，∠C′AD=90°，然后在Rt△ADC′中利用正切的定义求解．
解：∵正方形ABCD的边长为3，
∴AD=3，AC= ，
∵线段AC绕点A旋转后，点C落在BA延长线上的C′点处，
∴AC′=AC=，∠C′AD=90°，
在Rt△ADC′中，tan∠ADC′==．
故答案为 ：．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质和正方形的性质以及正切的定义，解决本题的关键是要熟练掌握旋转的性质和正方形的性质以及正切的定义．
29．3
【分析】在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题．
解：在中，
在矩形中，
故答案为：3．
【点拨】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
30．10
【分析】根据∠A＝∠CBD，cs∠CBD=，可以得到cs∠A=，再根据即可求解.
解：∵∠A＝∠CBD，cs∠CBD=
∴cs∠A=
∵∠C=90°
∴
∴（cm）
故答案为：10.
【点拨】本题主要考查了三角函数的相关知识，解题的关键在于能够掌握三角函数的相关知识进行求解.
31．
【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积-四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．
解：如图，设与的交点为，连接，
在和中，
，
，
，
∵旋转角为30°，
，
，
，
∴阴影部分的面积=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．
32．5或7
【分析】分情况讨论，当为锐角三角形或钝角三角形（为锐角或钝角）时，过点作垂线，根据三角函数求解即可．
解：过点作垂线
当为锐角三角形时，如下图
设
∵，
∴，
又∵，
∴，解得
∴
又∵
∴
∴
当为钝角三角形时，如下图
∵，
∴，
又∵，
∴，解得
∴
又∵，
∴
∴
故答案为：5或7
【点拨】此题考查了勾股定理和三角函数的有关知识，熟练掌握相关基础知识是解题的关键，易错点是三角形不唯一，需要进行分类讨论．
33．＞
【分析】作一个含有48°的直角三角形，根据大角对大边可知，，再根据三角函数的定义有即可比较出大小．
解：作一个含有48°的直角三角形，如图，
∵，
∴，
∵
∴
故填：＞．
【点拨】本题考查了三角函数的定义，解题关键是掌握三角函数的定义；在直角三角形中，任意一锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作；在直角三角形中，任意一锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作．
34．＜
【分析】由旋转可得：＜ 如图，构建直角三角形 且再利用锐角三角函数的定义可得：由＜ 从而可得答案．
【详解】
解：由旋转可得：＜
如图，构建直角三角形 且
由三角函数定义可得：
＜
＜
＜
故答案为：＜．
【点拨】本题考查旋转的性质，锐角三角函数的定义，掌握以上知识是解题的关键．
35．
【分析】首先将转化成，然后通过比较两个正切值即可得出答案．
解：，
，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查比较函数值的大小，将余切转化成正切是解题的关键．
36． sin70º＞cs40 º＞cs50 º
【分析】根据余弦的定义即可确定答案；根据sin70°=cs20°且正弦随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小即可确定大小关系．
解：∵直角三角形ABC中，角C为直角
∴BC为斜边，AC为直角边且为∠A的一边
∴余弦的定义为；
∵sin70°=cs20°且正弦在锐角范围内随角度的增大而增大，余弦在锐角范围内随角度的增大而减小
∴sin70º==cs20 º＞cs40º，cs40 º＞cs50 º
∴sin70º＞cs40 º＞cs50 º．
故答案为，sin70º＞cs40 º＞cs50 º．
【点拨】本题考查了余弦函数的定义和正弦、余弦函数的增减性，掌握正弦在锐角范围内为增函数、余弦在锐角范围内为减函数是解答本题的关键．
37．α＜γ＜β β＜γ＜α
【分析】（1）根据正弦值随度数的增大函数值越来越大得出即可；
（2）根据余弦值随度数的增大函数值越来越小得出即可．
【详解】
解：（1）∵ sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678，
∴sinα＜sinγ＜sinβ，
∴ α＜γ＜β；
（2）∵csα＝0.0123，csβ＝0.3879，csγ＝0.1024，
∴csα＜csγ＜csβ，
∴ β＜γ＜α．
故答案为：α＜γ＜β；β＜γ＜α．
【点拨】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，关键在于知道正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小．
38．<
【分析】根据tan∠AOB与tan∠COD的大小比较即可求解．
解：根据题意可知tan∠AOB＝，tan∠COD＝，
∴∠AOB＜∠COD，
故答案为：＜．
【点拨】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．
39．20°＜∠A＜30°．
【详解】
∵＜csA＜sin70°，sin70°=cs20°，
∴cs30°＜csA＜cs20°，
∴20°＜∠A＜30°．
40．0＜α≤30°
【分析】根据二次根式的性质可得出≤，再由锐角正弦函数的增减性质可得出结论.
【详解】
由题意知，故≤，即sin≤sin 30°，由正弦函数是增函数．
知0＜α≤30°
【点拨】本题考查了二次根式的性质和正弦函数的性质，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题关键.
41．
【分析】先证明△ADC∽△BEC，根据相似三角形的性质得到=，再证明CDE∽△CAB，根据相似三角形的面积比定义相似比的平方计算即可．
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BEC，
∴=，
∴=，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∵，
∴=，
∴=（）²=（）2=．
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
42．，，．
【分析】利用网格构造直角三角形，再根据勾股定理、逆定理求出三角形的边长，最后根据三角函数的定义求解即可．
解：不妨设小正方形的边长为1，如图，过点C作于点F，，交的延长线于点E，
则，，
∵，
即，解得，
∴在中，，
∴，，，
故答案为：，，．
【点拨】此题考查的是求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理和三角函数的定义是解决此题的关键．
43．（1）见详解；（2）
【分析】（1）由题意易得，则有，进而可得，然后可得，进而问题可求证；
（2）由（1）得：，则有，进而可得，然后可得，设，则有，最后由三角函数可得，求解即可．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
设，则有，
∴，即，
解得：，
∴．
【点拨】本题主要考查三角函数及矩形的性质，熟练掌握三角函数及矩形的性质是解题的关键．