北师大版九年级数学下册 专题1.12 《直角三角形的边角关系》全章复习与巩固（知识讲解）（附答案）

这是一份北师大版九年级数学下册 专题1.12 《直角三角形的边角关系》全章复习与巩固（知识讲解）（附答案），共30页。

【学习目标】
1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cs A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、
45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；
2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数；
3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两
个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；
4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，
体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、锐角三角函数
1.正弦、余弦、正切的定义
如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：
(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.
(2)csA=，这个比叫做∠A的余弦.
(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.
要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.
(2)sinA、csA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，
但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.
(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.
(4)三角函数有时还可以表示成等.
2.锐角三角函数的定义
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
要点诠释：
1. 函数值的取值范围
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，csA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、csA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜csA＜1，tanA＞0.
2．锐角三角函数之间的关系：
余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，
那么：sinA=csB； csA=sinB；
同角三角函数关系：sin2A＋cs2A=1；tanA=
3.30°、45°、60°角的三角函数值
30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.
要点二、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：

角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；
边边关系：勾股定理，即；
边角关系：锐角三角函数，即

要点诠释：
解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：
(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；
(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
要点三、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
1.解这类问题的一般过程
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
2.常见应用问题
(1)坡度：； 坡角:.

(2)方位角：

(3)仰角与俯角：

要点诠释：
1．解直角三角形的常见类型及解法

2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：

把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．
当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．
3．锐角三角函数的应用
用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁.
如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
【典型例题】
类型一、锐角三角函数
1． 在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．
（1）初步尝试：我们知道：______，______，发现结论：______；（选填“=”或“≠”）
（2）实践探究：如图1，在中，，，求的值；
小明想构造包含的直角三角形：延长至点D，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．请按小明的思路进行余下的求解；
（3）拓展延伸：如图2，在中，．求的值．
【答案】（1），，≠；（2）见解析；（3）
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值得出结论；
（2）根据题意，利用勾股定理求AB，即可得结论；
（3）作的垂直平分线交于点E，连接，则∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求即可得结果．
解：（1）∵，，
∴≠，
故答案为：，， ≠；
（2）在中，，
∴，
如图1，延长至点D，使，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2，作的垂直平分线交于点E，连接．
则．
∵中，．
∴．
设，则，
在中，，
即，解得，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，难度较大，在直角三角形中作辅助线构造2∠A是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，的顶点都是正方形网格的格点，求的三角函数值．
【答案】，，．
【分析】利用网格构造直角三角形，再根据勾股定理、逆定理求出三角形的边长，最后根据三角函数的定义求解即可．
解：不妨设小正方形的边长为1，如图，过点C作于点F，，交的延长线于点E，
则，，
∵，
即，解得，
∴在中，，
∴，，，
故答案为：，，．
【点拨】此题考查的是求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理和三角函数的定义是解决此题的关键．
【变式2】.如图，在中，，点D在边上，且．
（1）求长；
（2）求的正弦值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求得，再根据三角函数的定义求得，勾股定理求得，即可求解；
（2）过点A作交延长线于点E，根据等腰直角三角形的性质求得，根据三角函数的定义即可求解．
解：（1），
∴，
∵
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过点A作交延长线于点E，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点拨】此题考查了三角函数的有关性质，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义以及相关基本性质是解题的关键．
【变式3】.如图，矩形中为边上一点，将沿AE翻折后，点B恰好落在对角线的中点F上．
（1）证明：；
（2）若，求折痕的长度
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）由折叠的性质证明再证明 从而可得结论；
（2）利用折叠与三角形全等的性质求解 再利用的余弦求解即可.
解：（1） 矩形，

由对折可得：

为的中点，



（2），

由折叠可得：



【点拨】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，锐角三角函数的应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.
类型二、 特殊角三角函数值的计算
1． 先化简，再求值：，其中
【答案】，．
【分析】先将分式化简，然后利用特殊角的三角函数值化简，得到，再代入原式即可求出答案．
解：
∵
∴原式
【点拨】本题考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟练运用分式的运算法则是解题的关键．
举一反三：
【变式1】求下列各式的值；
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】结合三角函数值计算即可．
解：（1）原式；
（2）原式．
【点拨】本题主要考察三角函数值的计算，属于基础的计算题型，难度不大．解题的关键是掌握特殊的三角函数值即可．
【变式2】.先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，．
【分析】先运用特殊角的三角函数求出x，然后运用化简分式，最后代入计算即可．
解：
=
=
=
=
=；
当x=时，．
【点拨】本题主要考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，灵活运用分式混合运算的法则化简分式成为解答本题的关键．
【变式3】.计算：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）2﹣1；（2）3．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
解：（1）原式＝，
＝﹣2+2+﹣1，
＝2﹣1；
（2）原式＝，
＝，
＝3．
【点拨】本题主要考查了二次根式的计算、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂，准确计算是解题的关键．
类型三、 解直角三角形
1． 在中，的对边分别为a，b，c，根据下列条件解直角三角形．
（1）已知；
（2）已知．
【答案】（1），；（2），．
【分析】（1）根据直角三角形性质，可得，然后根据可求得b，c的值；
（2）根据勾股定理可求得c，然后根据，，可得的度数．
解：（1）∵，
∴，
∴；
（2）∵．
∴，，，
∴．
【点拨】本题考查了解直角三角形，利用勾股定理以及特殊角三角函数值求解是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知：如图，中，．是边上一点，于点．．求：、、．
【答案】，，=2
【分析】设BC=x，则AC=2x，利用勾股定理求出AB的长，证明△ADE∽△ABC，得到∠ADE=∠ABC，利用公式计算即可．
解：设BC=x，则AC=2x，
在中，
∵，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠ABC，
∴，
，
．
【点拨】此题考查解直角三角形，勾股定理，熟记角的三角函数值的计算公式及掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．
【变式2】.已知的一边为关于x的一元二次方程的两个正整数解之一，且另两边长为，求的值．
【答案】
【分析】设方程的两个正整数解分别为，则根据根与系数的关系得到，根据、为正整数解，求得，可为1、4或2、2，在根据三角形三边关系得到为等腰三角形，过点C作，根据余弦的定义求解即可；
解：设方程的两个正整数解分别为，则根据根与系数的关系可知：，
又∵、为正整数解，
∴，可为1、4或2、2，
又∵，，
∴，
∴，
∴，为等腰三角形．
如图，过点C作于点D，则，
∴．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形，一元二次方程根与系数的关系，三角形三边关系，等腰三角形的判定，准确计算是解题的关键．
【变式3】.在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，．
（1）求直线的解析式；
（2）在线段上有一点P，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，在直线的第一象限上取一点D，连接，若，，求点D的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）（6，12）．
【分析】（1）先根据解析式求出点B坐标，再用三角函数求出点A坐标，代入解析式即可；
（2）用t表示点P的纵坐标，利用三角形面积公式列出函数解析式即可；
（3）根据求出点P坐标，得出，作AE⊥OD于E，作EF⊥OA于F，设点D坐标为（a，2a），点E坐标为（b，2b），根据勾股定理列出方程即可．
解：（1）当x=0时，，点B的坐标为（0，），OB=，
∵，
∴，OA=10，A点坐标为（10，0），代入得，，解得，，
直线的解析式为；
（2）把点P的横坐标t代入得，，
∵点P在线段上，
∴，即；
（3）当时，，解得，，代入得，，
点P的坐标为（6，-3），
∵点B的坐标为（0，），
∴BP= ，
∴BP=OB，
∴，
，
∵，
∴，
作AE⊥OD于E，作EF⊥OA于F，设点D坐标为（a，2a），点E坐标为（b，2b），
，AF=10-b，
∵，
∴，解得，（舍去），，
则点E坐标为（2，4），AE=DE= ，
OD= ，
∵点D坐标为（a，2a），
∴，解得，，（舍去），
D点坐标为（6，12）．
【点拨】本题考查了一次函数的综合，解题关键是求出函数解析式，利用函数图象上点的坐标，根据勾股定理列出方程．
类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合
1． 如图，在中，为边上的中线，过点作于，过点作的平行线与的延长线交于点，连接．四边形的面积为24，，求的长．
【答案】5．
【分析】求出四边形是平行四边形，推出，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，求，可得四边形为菱形，设，，求出，，根据菱形的面积公式求出，求出和，根据勾股定理求出即可．
解：，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
为的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
四边形是菱形；
，
设，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形的面积为24，
，
，
解得：（负数舍去），
，，
，
，
，
由勾股定理得：．
【点拨】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，能熟练应用相关性质是解此题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在中，，是边延长线上一点，是边上一点，，，．
（1）求证：；
（2），的面积分别记为，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）128
【分析】（1）只需要根据，证明即可得到答案；
（2）作于点，由三线合一定理得到，，在利用三角函数求出AB的长，从而求出AH的长，再利用，得到即，由此求解即可．
解：（1），
．
，
．
．
（2）过A作于点，
，，
，．
，
，
．
．
在中，．
过作，交于，
，
，
又
，
．
．
．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三线合一定理，勾股定理和解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
【变式2】.如图，在平行四边形中，
（1）尺规作图：过点C作，交于点E．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，若，求平行四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据线段垂直平分线的基本作图完成即可；
（2）利用平行四边形的性质，特殊角的三角函数值，求得CB的长，CE的长即可．
解：解（1）如图
结论：就是所求作的图形
（2）如图，∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形
∴
∴，，
∴，
∴
∴．
【点拨】本题考查了垂线段的基本作图，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值，三角函数问题，熟练掌握平行四边形的性质，三角函数是解题的关键．
【变式3】.如图，在平行四边形中，点为中点，连接并延长交延长线于点，连接、，若，
（1）求证：四边形为矩形．
（2）在的延长线上取一点，连接交于点，若，，，求．
【答案】（1）见解析（2）
【分析】（1）由平行四边形的性质得CP＝BD，BPCD，BP＝CD，证△AOB≌△COD（AAS），得AB＝CD，证出四边形ABCD是平行四边形，再证出AC＝BD，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得OA＝OB，由勾股定理得AC＝15，则OA＝，作OG⊥AB于G，证出OG是△ABD的中位线，得GOAD，GO＝AD＝6，再求出EG，根据正切的定义即可求解．
解：（1）证明：∵四边形BPCD是平行四边形，
∴CP＝BD，BPCD，BP＝CD，
∴∠OAB＝∠OCD，ABCD，
∵点O为BD中点，
∴OB＝OD，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AB＝CD，
∵ABCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝CP，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝12，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∴OA＝OB，AC＝＝15，
∴OA＝，
作OG⊥AB于G，如图所示：
则AG＝BG＝=，
∴OG是△ABD的中位线，
∴GOAD，GO＝AD＝6，
∵AE＝3，
∴GE＝AE＋AG＝3＋＝，
∵GOAD
∴
∴=．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等和三角形的中位线是解题的关键．
类型五 、利用三角函数解决实际问题
1． 如图，在东西方向的海岸线上的两个码头和相距54海里，现有一货轮从码头出发沿正北方向航行9海里到达点处，测得灯塔在点的北偏西方向上，已知灯塔在码头的北偏东方向，求此时货轮与灯塔的距离．
【答案】海里
【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为.设，可得，，在中，利用勾股定理求得CD，即可得货轮与灯塔的距离．
解：过点作，垂足为，过点作，垂足为；
设，
在中，，所以，，
由题意可得，四边形为矩形，所以，，
在中，，，
所以，
因为，
所以，．
解得，，
所以，，
此时货轮与灯塔的距离为海里．
【点拨】本题考查了勾股定理的实际应用，正确做辅助线构造出直角三角形是解题关键．
举一反三：
【变式1】“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，村村民欲修建一条水泥公路，将村与区级公路相连．在公路处测得村在北偏东60°方向，沿区级公路前进，在处测得村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．
【答案】画图见解析，米
【分析】在中，据题意有，求得，在中，据题意有，求得，又由，从而解得．
解：如图过点作，垂足落在的延长线上，即为所修公路，的长度即为公路长度．
在中，据题意有，
，
，
在中，据题意有，
，
，
又，
，
解得=．
答：所修公路长度约为米．
【点拨】本题考查了直角三角形的方位角问题，在中，据题意有，求得，在中，据题意有，求得，从而解得．
【变式2】.如图，在斜坡PA的坡顶平台处有一座信号塔BC，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°，在坡底的点P处测得塔顶B的仰角为45°，已知斜坡长PA＝26m，坡度为1：2.4，点A与点C在同一水平面上，且ACPQ，BC⊥AC．请解答以下问题：
（1）求坡顶A到地面PQ的距离；
（2）求信号塔BC的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.00）
【答案】（1）10m；（2）19m
【分析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为H，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，利用勾股定理即可求出结果；
（2）延长BC交PQ于点D，根据题意可得四边形AHDC是矩形，设BC＝x，则x+10＝24+DH．AC＝DH＝（x﹣14）m．利用正切列出方程即可求解．
解：（1）如图，过点A作AH⊥PQ，垂足为H，
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，
∴,
设AH＝5k，则PH＝12k，
在Rt△AHP中，由勾股定理，得，
∴13k＝26，
解得k＝2．
∴AH＝10（m）．
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．；
（2）如图，延长BC交PQ于点D，
由题意可知四边形AHDC是矩形，
∴CD＝AH＝10m，AC＝DH．
∵∠BPD＝45°，∠BDP＝90°，
∴PD＝BD．
∵PH＝12×2＝24（m），
设BC＝x，则x+10＝24+DH．
∴AC＝DH＝（x﹣14）m．
在Rt△ABC中，即，
解得x≈19（m）．
答：信号塔BC的高度约为19m．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
【变式3】.邓州杏山地质公园位于河南省邓州市西南约50公里处，紧邻丹江口水库南水北调渠首，面积32.5平方公里．公园地质景观及自然景观为原始状态，是一座集岩溶地貌、典型底层剖面和地质构造为主，水体为辅、人文和生态相互辉映的综合性公园（如图1）．双休日期间，小明携带测量工具随妈妈到杏山地质公园游览，为测量杏山主峰的高度，如图2，小明在坡角为的斜坡C处测得峰顶A的仰角为，沿斜坡CD走到平坦地面上点D处，测得峰顶A的仰角为．
（1）求主峰到地面的高度AB（结果保留整数，参考数据）
（2）妈妈借助手机某项功能得到杏山主峰海拔为，所测水平地面的海拔为，请你算出小明测量主峰高度的误差，并帮助他提一条减小误差的方法．
【答案】（1）主峰到地面高度AB约为；（2）误差：2m，见解析．
【分析】（1）过点C作于点F，作于点G，设AB为x，然后在中运用三角函数求得CG、DG,再用x表示出BD、AB、AF、CF,最后根据三角函数列方程求出x即可；
（2）用杏山主峰海拔减去主峰高度和水平地面的海拔即可求出误差，减小误差的主要方法为多次测量求平均值．
解：（1）过点C作于点F，作于点G，
设AB为x，在中，BF=
在中，
在中,CF=BG=DG+BD=+x，AF=AB-BF=x-40
，
即，
解得：．
答：主峰到地面高度AB约为m；
（2）误差：（m）
减小误差，合理即可：如多次测量，取测量数据的平均值．

【点拨】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，灵活应用三角函数以及理解海拔的概念成为解答本题的关键．∠A
30°
45°
60°
sinA
csA
tanA
1
已知条件
解法步骤
Rt△ABC
两
边
两直角边(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，