北师大版九年级数学下册 专题2.7 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图像与性质（知识讲解）（附答案）

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理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；
会用描点法画出二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；
掌握二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像的性质，掌握二次函数与y=ax2+k(a≠0)之间的关系；（上加下减）.
【要点梳理】
要点一、二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像及性质
1.二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像
（1）
（2）
2.二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像的性质
关于二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图像，将其性质列表归纳如下：
3.二次函数与y=ax2+k(a≠0)之间的关系；（上加下减）.
的图像向上（k＞0）【或向下（k＜0）】平移│k│个单位得到y=ax2+k(a≠0)的图像.
特别说明：抛物线y=ax2+k(a≠0)的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．函数y=ax2+k(a≠0)的图像是由函数的图像向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，k)．
抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．
【典型例题】
类型一、
1．如图，已知抛物线．
（1）该抛物线顶点坐标为________；
（2）在坐标系中画出此抛物线y的大致图像（不要求列表）；
（3）该抛物线可由抛物线向________平移________个单位得到；
（4）当时，求x的取值范围．
【答案】解：（1）；（2）见解析；（3）上，4；（4）．．
【分析】
（1）求出对称轴得到抛物线的顶点坐标；
（2）先确定抛物线与y轴的交点为（0，4），与x轴交点为（-2，0）和（2，0），然后利用描点法画函数图像；
（3）根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解；
（4）结合函数图像，写出函数图像上x轴上方所对应的自变量的范围即可．
解：（1）抛物线的对称轴为：x=-=0
令x=0，y=4
则顶点坐标为（0，4）；
（2）由（1）得，抛物线与y轴的交点为（0，4），
令y=0，
x=±2，
则抛物线与x轴交点为（-2，0）和（2，0），画图得：
（3）由上加下减的原则可得，y=-x向上平移4个单位可得出y=-x+4；
（4）根据图像得，当y>0时，x的取值范围为：-2【点拨】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质和抛物线的平移等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
举一反三：
【变式1】已知二次函数与．
（1）随着系数和的变化，分别说出这两个二次函数图像的变与不变；
（2）若这两个函数图像的形状相同，则______；若抛物线沿轴向下平移2个单位就能与的图像完全重合，则______．
（3）二次函数中、的几组对应值如下表：
表中、、的大小关系为______．（用“”连接）．
【答案】（1）见解析；（2），；（3）
【分析】
（1）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项的变化会影响开口大小，开口方向，对称轴和顶点坐标，根据二次函数的性质即可得出图像的具体影响．
（2）由于函数图像形状相同，可以得到；根据二次函数平移规律上加下减可求得函数，再由题意就可得到c=-2．
（3）将表中数值代入二次函数即可分别得到m、n、p含未知数c的代数式，比较大小即可．
解：（1）二次函数的图像随着的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数的图像随着的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变．（只要学生答对变与不变各一个点就给满分）．
（2）由于函数与函数的形状相同，
所以，即．
抛物线沿y轴向下平移两个单位，即得到抛物线．
因为该抛物线与的图像完全重合
所以
故答案为；
（3）表中数值代入二次函数可得;
,,
因为<<
所以．
故答案为
【点拨】本题考查二次函数的性质，二次函数图像与几何变换，二次函数上点的坐标特征．特别注意（2）时两个函数图像形状相同．
【变式2】在同一平面直角坐标系中画出函数和的图像，并根据图像回答下列问题：
（1）抛物线经过怎样的平移才能得到抛物线？
（2）函数，当x_______时，y随x的增大而减小；当x________时，函数有最大值，最大值是_____________；其图像与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是________________.
（3）试说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【答案】（1）抛物线向下平移1个单位长度才能得到抛物线;（2）>0；=0，1；（0，1），（-1，0）和（1，0）;（3）抛物线的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，-3）.
【分析】
（1）根据作出的图像，即可得到平移方向和单位；
（2）由，结合二次函数的图像和性质，即可得到答案；
（3）根据二次函数的图像和性质，即可得到答案.
解：函数和的图像如图所示.
（1）抛物线向下平移1个单位长度才能得到抛物线.
（2）函数，当时，y随x的增大而减小；当时，函数有最大值，最大值是1；其图像与y轴的交点坐标是（0，1），与x轴的交点坐标是（-1，0）和（1，0）；
故答案为：>0；=0；1；（0，1）；（-1，0）和（1，0）.
（3）抛物线的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，-3）.
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，做出图像后即可得到平移的单位和方向．解题的关键是掌握二次函数的图像和性质.
2．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图像的变与不变；
（2）若这两个函数图像的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图像完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
【答案】（1）二次函数y＝ax2的图像随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图像随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n
【分析】
(1)根据二次函数的性质即可得到结论；
(2)由函数图像的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数 y =ax2-2，根据完全重合，得到c =-2．
(3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断．
解：（1）二次函数y＝ax2的图像随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图像随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；
（2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，
∴a＝±2，
∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图像完全重合，
∴c＝﹣2，
故答案为：±2，﹣2．
（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，
∴p＜m＜n，
故答案为：p＜m＜n．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像与几何变换，二次函数图像上点的坐标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
举一反三：
【变式1】在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图像的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图像的性质的相同点与不同点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）根据二次函数的图像解答即可；
（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.
解：（1）解：如图：
，
与图像的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
与图像的不同点是：开口向上，顶点坐标是（0，1），开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；
（2）解：两个函数图像的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；
不同点：，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图像与性质是解答的关键.
【变式2】 二次函数图像上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）m= ；
（2）在图中画出这个二次函数的图像；
（3）当时，x的取值范围是 ；
（4）当时，y的取值范围是 .
【答案】（1）0；（2）见解析；（3）x≤-4或x≥2；（4）-4≤y＜5．
【分析】
（1）先确定出对称轴，根据抛物线的对称性即可求得；
（2）根据二次函数图像的画法作出图像即可；
（3）根据抛物线的对称性，（-4，5）关于直线x=-1的对称点是（2，5），根据图像即可求得结论，
（4）根据函数图像，写y的取值范围即可．
解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（-1，-4），
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵（-3，0）关于直线x=-1的对称点是（1，0），
∴m=0，
故答案为：0；
（2）函数图像如图所示；
（3）∵（-4，5）关于直线x=-1的对称点是（2，5），
由图像可知当y≥5时，x的取值范围是x≤-4或x≥2，
故答案为x≤-4或x≥2；
（4）由图像可知当-4＜x＜1时，y的取值范围是-4≤y＜5，
故答案为-4≤y＜5．
【点拨】此题考查二次函数的图像，二次函数的性质，解题关键在于数形结合．
类型二、
3．如图，在平面直角坐标系中，y轴上一点A（0,2），在x轴上有一动点B，连结AB，过B点作直线l⊥x轴，交AB的垂直平分线于点P(x,y)，在B点运动过程中，P点的运动轨迹是________,y关于x的函数解析式是________.
【答案】抛物线 y=x2+1
【分析】当点B在x轴的正半轴上时，如图1，连接PA，作AC⊥PB于点C， 则四边形AOBC是矩形，由 P在AB的垂直平分线上可得PA=PB，进而可用y的代数式表示出PC、AP，在Rt△APC中根据勾股定理即可得出y与x的关系式；当点B在x轴的负半轴上时，用同样的方法求解即可.
解：当点B在x轴的正半轴上时，如图1，连接PA，作AC⊥PB于点C， 则四边形AOBC是矩形，
∴AC=OB=x，BC=OA=2，
∵P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB=y，
在Rt△APC中，AC2+PC2=AP2，∴x2+(y−2)2=y2，整理得y=x2+1；
当点B在x轴的负半轴上时，如图2，同理可得y ，x满足的关系式是：y=x2+1，
∴y ，x满足的关系式是：y=x2+1.
故答案为：抛物线、y=x2+1.
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理和求解图形中的二次函数关系式，难度不大，构建直角三角形、熟练掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解题关键.
举一反三：
【变式1】在线段上取点，分别以、为边在的同一侧构造正方形和正方形，点、分别是、的中点，连接，若，则线段的最小值为______．
【答案】4
【分析】过点Q作QH⊥BG，垂足为H，求出PH，设CG=2x，利用勾股定理表示出PQ，根据x的值即可求出PQ的最小值．
解：如图，过点Q作QH⊥BG，垂足为H，
∵P，Q分别为BC，EF的中点，BG=8，
∴H为CG中点，
∴PH=4，设CG=2x，
则CH=HG=EQ=x，QH=2x，
∴PQ===，
则当x=0时，PQ最小，且为4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，勾股定理，线段最值问题，解题的关键是表示出PQ的长．
【变式2】请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向下；②与轴的交点坐标为.此二次函数的解析式可以是______________
【答案】
【分析】根据二次函数图像和性质得a0,c=3,即可设出解析式.
解：根据题意可知a0,c=3,
故二次函数解析式可以是
【点拨】本题考查了二次函数的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
【变式3】写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_____．
【答案】y=x2+2，答案不唯一．
【分析】对称轴是y轴，即直线x=−=0，所以b=0，只要抛物线的解析式中缺少一次项即可．
解：∵抛物线对称轴为y轴，即直线x=0，只要解析式一般式缺少一次项即可，如y=x2+2，答案不唯一.
故答案为y=x2+2.
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质. 函数
图像
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(0，k)
(0，k)
对称轴
y轴
y轴
函数变化
当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小.
当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大.
最大（小）值
当时，
当时，
1
5
x
﹣2
1
5
y
m
n
p
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
…
…
5
0
-3
-4
-3
m
…