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北师大版九年级数学下册 专题2.8 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图像与性质（基础篇）（附答案）
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这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.8 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图像与性质（基础篇）（附答案），共23页。试卷主要包含了下列各点中，在抛物线上的是，关于二次函数，下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标、对称轴是（ ）
A．（0，3），x＝3B．（0，﹣3），x＝0C．（3，0），x＝3D．（3，0），x＝0
2．下列各点中，在抛物线上的是（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线y＝-3x2＋4的开口方向和顶点坐标分别是（ ）．
A．向下，（0，-4）B．向下，（0，4）
C．向上，（0，4）D．向上，（0，-4）
4．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图像开口方向向上B．它的图像顶点坐标为（0，4）
C．它的图像对称轴是y轴D．当时，y有最大值4
5．若在同一直角坐标系中，作，，的图像，则它们（ ）
A．都关于y轴对称B．开口方向相同
C．都经过原点D．互相可以通过平移得到
6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x．点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，则n的取值范围是（ ）
A．n＞3或n＜﹣1B．n＞3C．n＜1D．n＞3或n＜1
7．已知函数y=x2﹣2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ）
A．x＜2B．x＞0C．x＞﹣2D．x＜0
8．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是( )
A．
B．
C．
D．
9．点，，均在二次函数的图像上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
10．已知点在同一个函数的图像上，这个函数可能是（ ）
A．B．C．D．
11．的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数则下列图像正确的是（ ）
A．B．
C．D．
13．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2的大致图像可能是（）
A．B．C．D．
14．二次函数y＝－x2－1的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
15．二次函数y=-x2-2的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
16．下列关于抛物线y＝2x2﹣3的说法，正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴是直线x＝1
C．抛物线与x轴有两个交点
D．抛物线y＝2x2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y＝2（x﹣2）2﹣3
17．二次函数的图像是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下B．当时，函数的最大值是
C．抛物线的对称轴是直线D．抛物线与x轴有两个交点
18．关于二次函数y＝﹣2x2+1，以下说法正确的是（ ）
A．开口方向向上B．顶点坐标是（﹣2，1）
C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．当x＝0时，y有最大值﹣
19．二次函数的图像是一条抛物线，下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线开口向下B．抛物线经过点
C．抛物线的对称轴是直线D．抛物线与轴有两个交点
20．关于二次函数，则下列说法正确的是（ ）
A．开口方向向上B．当＜0时，随的增大而增大
C．顶点坐标是（-2，1）D．当=0时，有最小值1
21．直线y=ax+c与抛物线y=ax2+c的图像画在同一个直角坐标系中，可能是下面的（ ）
A．B．C．D．
22．函数与在同一直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
23．用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数，则y的图像为( )
A．B．C．D．
24．二次函数y＝x2＋1的图像大致是( )
A．B．C．D．
25．二次函数y＝x2＋1的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
26．在同一直角坐标系中与图像大致为
A．B．C．D．
27．点均在抛物线上，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
填空题
28．抛物线的开口方向_______，对称轴是_____，顶点坐标是_______．
29．通过_______法画出和的图像：
通过图像可知：
的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．
的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．
30．写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线的方向相反，形状相同的抛物线解析式_________________________．
31．抛物线的图像相当于把抛物线的图像______（k＞0）或______（k＜0）平移______个单位．
32．一抛物线的形状，开口方向与相同，顶点在(－2，3)，则此抛物线的解析式为_______．
33．已知点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）都在二次函数y＝﹣x2+c的图像上，那么y1与y2的大小关系是_____．
34．已知二次函数y＝－x2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是－5，最大值是_________.
35．当m=______时抛物线开口向下，对称轴是________，在对称轴左侧部分是________的（填“上升”或“下降”）．
36．已知二次函数y＝2x2+bx，当x＞1时，y随x增大而增大，则b的取值范围为______．
37．设点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y=﹣x2+a上的三点，则y1、y2、y3的从小到大排列为__________.
三、解答题
38．在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图像的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图像的性质的相同点与不同点．
39．如图，已知抛物线．
（1）该抛物线顶点坐标为________；
（2）在坐标系中画出此抛物线y的大致图像（不要求列表）；
（3）该抛物线可由抛物线向________平移________个单位得到；
（4）当时，求x的取值范围．
40．已知二次函数．
求函数图像的对称轴和顶点坐标；
求这个函数图像与轴的交点坐标．
参考答案
1．B
【分析】按照二次函数y＝ax2+k顶点坐标（0，k），对称轴y轴即可求解．
解：∵y＝x2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），对称轴为y轴；
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，以及顶点坐标和对称轴，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
2．B
【分析】分别把x=±1代入抛物线解析式，计算对应的函数值，然后进行判断．
解：∵当x=-1时，y=x2-4=-3；
当x=1时，y=x2-4=-3；
∴点（-1，-3）在抛物线上，点（1，3）、（1，-5）、（-1，-5）都不在抛物线上．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足二次函数的解析式．
3．B
【分析】根据二次函数的性质分析，即可得到答案．
解：抛物线y＝-3x2＋4
∵
∴抛物线y＝-3x2＋4开口向下
当时，y＝-3x2＋4取最大值，即y＝4
∴顶点坐标为
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．
4．D
【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、函数的最值即可判断．
解：∵，
∴抛物线开口向上，
对称轴为直线x＝0，顶点为（0，4），当x＝0时，有最小值4，
故A、B、C正确，D错误；
故选：D．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x−h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
5．A
【分析】根据二次函数的图像和性质逐项分析即可．
解：A.因为，，这三个二次函数的图像对称轴为，所以都关于轴对称，故选项A正确，符合题意；
B.抛物线，的图像开口向上，抛物线的图像开口向下，故选项B错误，不符合题意；
C.抛物线，的图像不经过原点，故选项C错误，不符合题意；
D.因为抛物线，，的二次项系数不相等，故不能通过平移其它二次函数的图像，故D选项错误，不符合题意；
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，熟记二次函数的图像和性质是解题的关键．
6．A
【解析】
【分析】由抛物线的对称轴找到E点的对称点，抛物线开口向下，y1＜y2时结合图像求解；
解：∵抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴为x＝1，
E（3，y2）关于对称轴对称的点（﹣1，y2），
∵抛物线开口向下，
∴y1＜y2时，n＞3或n＜﹣1，
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图像的性质；找到E点关于对称轴的对称点是解题的关键．
7．D
【解析】
∵y=x2-2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握y=ax2+c的图像的开口方向、对称轴及增减性是解题的关键．
8．B
【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断
解：A、，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，错误；
B、（x＞0），故当图像在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，正确；
C、，k=1＞0，分别在一、．三象限里，y随x的增大而减小，错误；
D、（x＞0），故当图像在对称轴右侧，y随着x的增大而减小，错误．
故选B．
【点拨】本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想解题是本题的解题关键.
9．D
【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可．
解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴时，随的增大而增大，
∵的对称点为，且，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点的理解和掌握，熟练运用二次函数的性质进行推理是解决本题的关键．
10．B
【分析】由点A（-5，m），B（5，m）的坐标特点，于是排除选项A、B；再根据A（-5，m），C（-2，m+n2+1）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a＜0，可得结果．
解：∵A（-5，m），B（5，m），
∴点A与点B关于y轴对称；
由于y=x+2不关于y轴对称，的图像关于原点对称，因此选项A、D错误；
∵n2＞0，
∴m+n2+1＞m；
由A（-5，m），C（-2，m+n2+1）可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
对于二次函数只有a＜0时，满足条件，
∴B选项正确，
故选：B．
【点拨】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图像和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．
11．D
【分析】根据二次函数的对称轴进行判断即可．
解：二次函数的对称轴为
观察四个选项可知，只有选项D的图像符合
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质（对称性），掌握二次函数的图像与性质是解题关键．
12．C
【分析】根据所给解析式判断出正确函数图像，注意自变量的取值范围．
解：A选项错误，两个函数图像都不符合自变量的取值范围；
B选项错误，反比例函数的图像不符合自变量的取值范围；
C选项正确；
D选项错误，当时，图像不应该是一条直线．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数和反比例函数的图像，解题的关键是掌握二次函数和反比例函数的图像．
13．C
【分析】根据函数解析式，二次项系数交点判别式小于0，所以排除A、B、D，故选C．
解：A选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，A错误；
B选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，B错误；
C选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，C正确；
D选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，D错误．
【点拨】本题考考察的是二次函数图像的基本性质，根据解析式，判断开口方向及交点个数，判断图像的形状．
14．C
【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解．
解：二次函数y＝－x2－1的图像开口向下，且顶点坐标为(0，－1)，
故选项C符合题意．
【点拨】此题主要考查二次函数的图像判断，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质．
15．D
【分析】根据抛物线与解析式中系数的关系可知开口向下，对称轴是y轴，与y轴交于（0，-2），观察图像进行选择．
解：∵a=-1＜0，图像开口向下，可以排除A、B；
∵二次函数y=-x2-2的顶点坐标是（0，-2），可以排除C．
故选D．
主要考查了二次函数图像的性质
16．C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质及二次函数图像“左加右减，上加下减”的平移规律逐一判断即可得答案.
解：∵2>0，
∴抛物线y＝2x2﹣3的开口向上，故A选项错误，
∵y＝2x2﹣3是二次函数的顶点式，
∴对称轴是y轴，故B选项错误，
∵-3<0，抛物线开口向上，
∴抛物线与x轴有两个交点，故C选项正确，
抛物线y＝2x2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y＝2（x+2）2﹣3，故D选项错误，
故选：C.
【点拨】此题考查二次函数的性质及二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的性质及“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键.
17．D
【分析】根据二次函数的图像和性质，逐一判断选项，即可.
解：∵a=1>0，
∴抛物线开口向上，
故A错误，
∵当时，函数的最小值是，
∴B错误，
∵抛物线的对称轴是y轴，
∴C错误，
∵∆=，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴D正确，
故选D.
【点拨】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键.
18．C
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵二次函数y＝﹣2x2+1，
∴该函数图像开口向下，故选项A错误；
顶点坐标为（0，1），故选项B错误；
当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C正确；
当x＝0时，y有最大值1，故选项D错误；
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
19．D
【分析】根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图像上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2-1=0解的情况对D进行判断．
解：A. a=2,则抛物线y=2x2−1的开口向上，所以A选项错误；
B. 当x=1时,y=2×1−1=1,则抛物线不经过点(1,-1)，所以B选项错误；
C. 抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；
D. 当y=0时,2x2−1=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确.
故选D.
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，结合图像是解题的关键.
20．B
【分析】根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可.
解：因为，所以二次函数图像开口向下，故A选项错误；
因为抛物线开口向下，对称轴为y轴，所以当＜0时，随的增大而增大，故B选项正确；
二次函数的顶点为（0,1），故C选项错误；
因为二次函数开口向下，对称轴为y轴，所以当=0时，有最大值1，故D选项错误.
故选B.
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握图像与性质是解题的关键.
21．A
【解析】
两图像与y轴的交点相同,故排除了B、D,若a>0,选A,C中两个函数中的a符号相反.
22．B
【分析】分a>0与a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项.
解：当a>时，函数的图像位于一、三象限，的开口向下，交y轴的负半轴，选项B符合；
当a<时，函数的图像位于二、四象限，的开口向上，交y轴的正半轴，没有符合的选项.
故答案为：B.
【点拨】本题考查的知识点是反比例函数的图像与二次函数的图像，理解掌握函数图像的性质是解此题的关键.
23．C
【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题.
解：根据题意，min{x2+1，1-x2}表示x2+1与1-x2中的最小数，
不论x取何值，都有x2+1≥1-x2，
所以y=1-x2；
可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1；
则函数图像与x轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y轴的交点坐标为（0，1）．
故选C．
【点拨】考核知识点：二次函数的性质.
24．C
【解析】
二次函数y=x2+1中，
a=1>0,图像开口向上,顶点坐标为(0,1)，
符合条件的图像是C.
故选C.
25．B
【分析】利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图像找出答案即可．
解：二次函数y＝x2＋1中，
a＝1＞0，图像开口向上，顶点坐标为（0，1），
符合条件的图像是B．
故选B．
【点拨】此题考查二次函数的图像，掌握二次函数的性质，图像的开口方向和顶点坐标是解决问题的关键．
26．A
【分析】本题由一次函数图像得到字母系数的正负，再与二次函数的图像相比较看是否一致．
解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确；
B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误．
故选A．
【点拨】本题考查了一次函数和二次函数的图像解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图像的性质．
27．D
解：由图像，根据二次函数的性质，有
A．若，则，原说法错误；
B．若，则，原说法错误；
C．若，则，原说法错误；
D．若，则，原说法正确．
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的图像和性质．
28．下 y轴 （0，－3）
解：略
29．描点 向上 y轴 （0，1） 向上 y轴 （0，－1）
解：略
30．
【分析】根据开口方向与抛物线的方向相反，形状相同可得，再利用顶点坐标即可写出解析式．
解：∵抛物线与的方向相反，形状相同，且顶点坐标（0，-3）
∴设抛物线解析式为：，
代入顶点坐标（0，-3）得：
∴解析式为
故答案为．
【点拨】本题考查求抛物线解析式，熟记抛物线顶点式是解题的关键．
31．向上 向下 |k|
解：略
32．
【分析】根据二次函数的图像与性质即可得．
解：抛物线的顶点为
可设此抛物线的解析式为
又此抛物线的形状，开口方向与相同
则此抛物线的解析式为
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，熟记二次函数的图像与性质是解题关键．
33．y1＜y2
【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质解答即可．
解：∵二次函数y＝﹣x2+c的开口向下，对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵﹣2＜﹣1，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
34．4.
【解析】
【分析】根据所给二次函数的解析式结合“自变量的取值范围”进行分析解答即可.
解：∵在中：，
∴其图像开口向下，顶点坐标为（0，4），
∴其最大值为4.
故答案为：4.
【点拨】熟记“二次函数的图像的顶点坐标为”是解答本题的关键.
35． y轴 上升
【分析】根据二次函数的指数是2列出方程求出的值，再根据抛物线开口方向向下可得，然后求解即可．
解：由题意得，且，
解得，且，
∴，
对称轴是轴，
∵
∴在对称轴左侧部分是上升；
故答案是：，轴，上升．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的定义，熟记性质和概念是解题的关键．
36．b≥﹣4
【分析】先表示出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式求解即可．
解：二次函数y＝2x2+bx对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∵a＝2＞0，x＞1时，y随x增大而增大，
∴﹣≤1，
解得b≥﹣4．
故答案为：b≥﹣4．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的性质与二次函数的对称轴，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的增减性．
37．y1>y2>y3
【解析】
【分析】由题意可得对称轴为y轴，则（-1，y1）关于y轴的对称点为（1，y1），根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系．
解：∵抛物线y=-x2+a，
∴对称轴为y轴，
∴（-1，y1）关于对称轴y轴对称点为（1，y1），
∵a=-1＜0，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵1＜2＜3，
∴y1＞y2＞y3，
故答案为y1＞y2＞y3．
【点拨】本题考查了二次函数图像上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小是本题的关键.
38．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据二次函数的图像解答即可；
（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.
解：（1）解：如图：
，
与图像的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
与图像的不同点是：开口向上，顶点坐标是（0，1），开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；
（2）解：两个函数图像的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；
不同点：，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图像与性质是解答的关键.
39．解：（1）；（2）见解析；（3）上，4；（4）．．
【分析】（1）求出对称轴得到抛物线的顶点坐标；
（2）先确定抛物线与y轴的交点为（0，4），与x轴交点为（-2，0）和（2，0），然后利用描点法画函数图像；
（3）根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解；
（4）结合函数图像，写出函数图像上x轴上方所对应的自变量的范围即可．
解：（1）抛物线的对称轴为：x=-=0
令x=0，y=4
则顶点坐标为（0，4）；
（2）由（1）得，抛物线与y轴的交点为（0，4），
令y=0，
x=±2，
则抛物线与x轴交点为（-2，0）和（2，0），画图得：
（3）由上加下减的原则可得，y=-x向上平移4个单位可得出y=-x+4；
（4）根据图像得，当y>0时，x的取值范围为：-2【点拨】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质和抛物线的平移等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
40．（1）对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）图像与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．
【解析】
试题分析：（1）可根据配方法的解题步骤，将一般式转化为顶点式，根据顶点式可确定对称轴及顶点坐标；
（2）令y=0，解一元二次方程可求抛物线与x轴两交点的坐标．
试题解析：（1）y=-（x2-4x）=-（x-2）2+4，
对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）
（2）当y=0时，-x2+4x=0，解得x=0或4，
∴图像与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．
考点：1.二次函数的三种形式；2.二次函数的性质；3．抛物线与x轴的交点．
1．抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标、对称轴是（ ）
A．（0，3），x＝3B．（0，﹣3），x＝0C．（3，0），x＝3D．（3，0），x＝0
2．下列各点中，在抛物线上的是（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线y＝-3x2＋4的开口方向和顶点坐标分别是（ ）．
A．向下，（0，-4）B．向下，（0，4）
C．向上，（0，4）D．向上，（0，-4）
4．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图像开口方向向上B．它的图像顶点坐标为（0，4）
C．它的图像对称轴是y轴D．当时，y有最大值4
5．若在同一直角坐标系中，作，，的图像，则它们（ ）
A．都关于y轴对称B．开口方向相同
C．都经过原点D．互相可以通过平移得到
6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x．点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，则n的取值范围是（ ）
A．n＞3或n＜﹣1B．n＞3C．n＜1D．n＞3或n＜1
7．已知函数y=x2﹣2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ）
A．x＜2B．x＞0C．x＞﹣2D．x＜0
8．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是( )
A．
B．
C．
D．
9．点，，均在二次函数的图像上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
10．已知点在同一个函数的图像上，这个函数可能是（ ）
A．B．C．D．
11．的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数则下列图像正确的是（ ）
A．B．
C．D．
13．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2的大致图像可能是（）
A．B．C．D．
14．二次函数y＝－x2－1的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
15．二次函数y=-x2-2的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
16．下列关于抛物线y＝2x2﹣3的说法，正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴是直线x＝1
C．抛物线与x轴有两个交点
D．抛物线y＝2x2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y＝2（x﹣2）2﹣3
17．二次函数的图像是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下B．当时，函数的最大值是
C．抛物线的对称轴是直线D．抛物线与x轴有两个交点
18．关于二次函数y＝﹣2x2+1，以下说法正确的是（ ）
A．开口方向向上B．顶点坐标是（﹣2，1）
C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．当x＝0时，y有最大值﹣
19．二次函数的图像是一条抛物线，下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线开口向下B．抛物线经过点
C．抛物线的对称轴是直线D．抛物线与轴有两个交点
20．关于二次函数，则下列说法正确的是（ ）
A．开口方向向上B．当＜0时，随的增大而增大
C．顶点坐标是（-2，1）D．当=0时，有最小值1
21．直线y=ax+c与抛物线y=ax2+c的图像画在同一个直角坐标系中，可能是下面的（ ）
A．B．C．D．
22．函数与在同一直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
23．用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数，则y的图像为( )
A．B．C．D．
24．二次函数y＝x2＋1的图像大致是( )
A．B．C．D．
25．二次函数y＝x2＋1的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
26．在同一直角坐标系中与图像大致为
A．B．C．D．
27．点均在抛物线上，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
填空题
28．抛物线的开口方向_______，对称轴是_____，顶点坐标是_______．
29．通过_______法画出和的图像：
通过图像可知：
的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．
的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．
30．写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线的方向相反，形状相同的抛物线解析式_________________________．
31．抛物线的图像相当于把抛物线的图像______（k＞0）或______（k＜0）平移______个单位．
32．一抛物线的形状，开口方向与相同，顶点在(－2，3)，则此抛物线的解析式为_______．
33．已知点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）都在二次函数y＝﹣x2+c的图像上，那么y1与y2的大小关系是_____．
34．已知二次函数y＝－x2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是－5，最大值是_________.
35．当m=______时抛物线开口向下，对称轴是________，在对称轴左侧部分是________的（填“上升”或“下降”）．
36．已知二次函数y＝2x2+bx，当x＞1时，y随x增大而增大，则b的取值范围为______．
37．设点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y=﹣x2+a上的三点，则y1、y2、y3的从小到大排列为__________.
三、解答题
38．在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图像的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图像的性质的相同点与不同点．
39．如图，已知抛物线．
（1）该抛物线顶点坐标为________；
（2）在坐标系中画出此抛物线y的大致图像（不要求列表）；
（3）该抛物线可由抛物线向________平移________个单位得到；
（4）当时，求x的取值范围．
40．已知二次函数．
求函数图像的对称轴和顶点坐标；
求这个函数图像与轴的交点坐标．
参考答案
1．B
【分析】按照二次函数y＝ax2+k顶点坐标（0，k），对称轴y轴即可求解．
解：∵y＝x2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），对称轴为y轴；
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，以及顶点坐标和对称轴，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
2．B
【分析】分别把x=±1代入抛物线解析式，计算对应的函数值，然后进行判断．
解：∵当x=-1时，y=x2-4=-3；
当x=1时，y=x2-4=-3；
∴点（-1，-3）在抛物线上，点（1，3）、（1，-5）、（-1，-5）都不在抛物线上．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足二次函数的解析式．
3．B
【分析】根据二次函数的性质分析，即可得到答案．
解：抛物线y＝-3x2＋4
∵
∴抛物线y＝-3x2＋4开口向下
当时，y＝-3x2＋4取最大值，即y＝4
∴顶点坐标为
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．
4．D
【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、函数的最值即可判断．
解：∵，
∴抛物线开口向上，
对称轴为直线x＝0，顶点为（0，4），当x＝0时，有最小值4，
故A、B、C正确，D错误；
故选：D．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x−h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
5．A
【分析】根据二次函数的图像和性质逐项分析即可．
解：A.因为，，这三个二次函数的图像对称轴为，所以都关于轴对称，故选项A正确，符合题意；
B.抛物线，的图像开口向上，抛物线的图像开口向下，故选项B错误，不符合题意；
C.抛物线，的图像不经过原点，故选项C错误，不符合题意；
D.因为抛物线，，的二次项系数不相等，故不能通过平移其它二次函数的图像，故D选项错误，不符合题意；
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，熟记二次函数的图像和性质是解题的关键．
6．A
【解析】
【分析】由抛物线的对称轴找到E点的对称点，抛物线开口向下，y1＜y2时结合图像求解；
解：∵抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴为x＝1，
E（3，y2）关于对称轴对称的点（﹣1，y2），
∵抛物线开口向下，
∴y1＜y2时，n＞3或n＜﹣1，
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图像的性质；找到E点关于对称轴的对称点是解题的关键．
7．D
【解析】
∵y=x2-2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握y=ax2+c的图像的开口方向、对称轴及增减性是解题的关键．
8．B
【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断
解：A、，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，错误；
B、（x＞0），故当图像在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，正确；
C、，k=1＞0，分别在一、．三象限里，y随x的增大而减小，错误；
D、（x＞0），故当图像在对称轴右侧，y随着x的增大而减小，错误．
故选B．
【点拨】本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想解题是本题的解题关键.
9．D
【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可．
解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴时，随的增大而增大，
∵的对称点为，且，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点的理解和掌握，熟练运用二次函数的性质进行推理是解决本题的关键．
10．B
【分析】由点A（-5，m），B（5，m）的坐标特点，于是排除选项A、B；再根据A（-5，m），C（-2，m+n2+1）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a＜0，可得结果．
解：∵A（-5，m），B（5，m），
∴点A与点B关于y轴对称；
由于y=x+2不关于y轴对称，的图像关于原点对称，因此选项A、D错误；
∵n2＞0，
∴m+n2+1＞m；
由A（-5，m），C（-2，m+n2+1）可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
对于二次函数只有a＜0时，满足条件，
∴B选项正确，
故选：B．
【点拨】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图像和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．
11．D
【分析】根据二次函数的对称轴进行判断即可．
解：二次函数的对称轴为
观察四个选项可知，只有选项D的图像符合
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质（对称性），掌握二次函数的图像与性质是解题关键．
12．C
【分析】根据所给解析式判断出正确函数图像，注意自变量的取值范围．
解：A选项错误，两个函数图像都不符合自变量的取值范围；
B选项错误，反比例函数的图像不符合自变量的取值范围；
C选项正确；
D选项错误，当时，图像不应该是一条直线．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数和反比例函数的图像，解题的关键是掌握二次函数和反比例函数的图像．
13．C
【分析】根据函数解析式，二次项系数交点判别式小于0，所以排除A、B、D，故选C．
解：A选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，A错误；
B选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，B错误；
C选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，C正确；
D选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，D错误．
【点拨】本题考考察的是二次函数图像的基本性质，根据解析式，判断开口方向及交点个数，判断图像的形状．
14．C
【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解．
解：二次函数y＝－x2－1的图像开口向下，且顶点坐标为(0，－1)，
故选项C符合题意．
【点拨】此题主要考查二次函数的图像判断，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质．
15．D
【分析】根据抛物线与解析式中系数的关系可知开口向下，对称轴是y轴，与y轴交于（0，-2），观察图像进行选择．
解：∵a=-1＜0，图像开口向下，可以排除A、B；
∵二次函数y=-x2-2的顶点坐标是（0，-2），可以排除C．
故选D．
主要考查了二次函数图像的性质
16．C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质及二次函数图像“左加右减，上加下减”的平移规律逐一判断即可得答案.
解：∵2>0，
∴抛物线y＝2x2﹣3的开口向上，故A选项错误，
∵y＝2x2﹣3是二次函数的顶点式，
∴对称轴是y轴，故B选项错误，
∵-3<0，抛物线开口向上，
∴抛物线与x轴有两个交点，故C选项正确，
抛物线y＝2x2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y＝2（x+2）2﹣3，故D选项错误，
故选：C.
【点拨】此题考查二次函数的性质及二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的性质及“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键.
17．D
【分析】根据二次函数的图像和性质，逐一判断选项，即可.
解：∵a=1>0，
∴抛物线开口向上，
故A错误，
∵当时，函数的最小值是，
∴B错误，
∵抛物线的对称轴是y轴，
∴C错误，
∵∆=，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴D正确，
故选D.
【点拨】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键.
18．C
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵二次函数y＝﹣2x2+1，
∴该函数图像开口向下，故选项A错误；
顶点坐标为（0，1），故选项B错误；
当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C正确；
当x＝0时，y有最大值1，故选项D错误；
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
19．D
【分析】根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图像上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2-1=0解的情况对D进行判断．
解：A. a=2,则抛物线y=2x2−1的开口向上，所以A选项错误；
B. 当x=1时,y=2×1−1=1,则抛物线不经过点(1,-1)，所以B选项错误；
C. 抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；
D. 当y=0时,2x2−1=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确.
故选D.
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，结合图像是解题的关键.
20．B
【分析】根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可.
解：因为，所以二次函数图像开口向下，故A选项错误；
因为抛物线开口向下，对称轴为y轴，所以当＜0时，随的增大而增大，故B选项正确；
二次函数的顶点为（0,1），故C选项错误；
因为二次函数开口向下，对称轴为y轴，所以当=0时，有最大值1，故D选项错误.
故选B.
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握图像与性质是解题的关键.
21．A
【解析】
两图像与y轴的交点相同,故排除了B、D,若a>0,选A,C中两个函数中的a符号相反.
22．B
【分析】分a>0与a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项.
解：当a>时，函数的图像位于一、三象限，的开口向下，交y轴的负半轴，选项B符合；
当a<时，函数的图像位于二、四象限，的开口向上，交y轴的正半轴，没有符合的选项.
故答案为：B.
【点拨】本题考查的知识点是反比例函数的图像与二次函数的图像，理解掌握函数图像的性质是解此题的关键.
23．C
【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题.
解：根据题意，min{x2+1，1-x2}表示x2+1与1-x2中的最小数，
不论x取何值，都有x2+1≥1-x2，
所以y=1-x2；
可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1；
则函数图像与x轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y轴的交点坐标为（0，1）．
故选C．
【点拨】考核知识点：二次函数的性质.
24．C
【解析】
二次函数y=x2+1中，
a=1>0,图像开口向上,顶点坐标为(0,1)，
符合条件的图像是C.
故选C.
25．B
【分析】利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图像找出答案即可．
解：二次函数y＝x2＋1中，
a＝1＞0，图像开口向上，顶点坐标为（0，1），
符合条件的图像是B．
故选B．
【点拨】此题考查二次函数的图像，掌握二次函数的性质，图像的开口方向和顶点坐标是解决问题的关键．
26．A
【分析】本题由一次函数图像得到字母系数的正负，再与二次函数的图像相比较看是否一致．
解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确；
B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误．
故选A．
【点拨】本题考查了一次函数和二次函数的图像解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图像的性质．
27．D
解：由图像，根据二次函数的性质，有
A．若，则，原说法错误；
B．若，则，原说法错误；
C．若，则，原说法错误；
D．若，则，原说法正确．
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的图像和性质．
28．下 y轴 （0，－3）
解：略
29．描点 向上 y轴 （0，1） 向上 y轴 （0，－1）
解：略
30．
【分析】根据开口方向与抛物线的方向相反，形状相同可得，再利用顶点坐标即可写出解析式．
解：∵抛物线与的方向相反，形状相同，且顶点坐标（0，-3）
∴设抛物线解析式为：，
代入顶点坐标（0，-3）得：
∴解析式为
故答案为．
【点拨】本题考查求抛物线解析式，熟记抛物线顶点式是解题的关键．
31．向上 向下 |k|
解：略
32．
【分析】根据二次函数的图像与性质即可得．
解：抛物线的顶点为
可设此抛物线的解析式为
又此抛物线的形状，开口方向与相同
则此抛物线的解析式为
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，熟记二次函数的图像与性质是解题关键．
33．y1＜y2
【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质解答即可．
解：∵二次函数y＝﹣x2+c的开口向下，对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵﹣2＜﹣1，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
34．4.
【解析】
【分析】根据所给二次函数的解析式结合“自变量的取值范围”进行分析解答即可.
解：∵在中：，
∴其图像开口向下，顶点坐标为（0，4），
∴其最大值为4.
故答案为：4.
【点拨】熟记“二次函数的图像的顶点坐标为”是解答本题的关键.
35． y轴 上升
【分析】根据二次函数的指数是2列出方程求出的值，再根据抛物线开口方向向下可得，然后求解即可．
解：由题意得，且，
解得，且，
∴，
对称轴是轴，
∵
∴在对称轴左侧部分是上升；
故答案是：，轴，上升．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的定义，熟记性质和概念是解题的关键．
36．b≥﹣4
【分析】先表示出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式求解即可．
解：二次函数y＝2x2+bx对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∵a＝2＞0，x＞1时，y随x增大而增大，
∴﹣≤1，
解得b≥﹣4．
故答案为：b≥﹣4．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的性质与二次函数的对称轴，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的增减性．
37．y1>y2>y3
【解析】
【分析】由题意可得对称轴为y轴，则（-1，y1）关于y轴的对称点为（1，y1），根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系．
解：∵抛物线y=-x2+a，
∴对称轴为y轴，
∴（-1，y1）关于对称轴y轴对称点为（1，y1），
∵a=-1＜0，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵1＜2＜3，
∴y1＞y2＞y3，
故答案为y1＞y2＞y3．
【点拨】本题考查了二次函数图像上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小是本题的关键.
38．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据二次函数的图像解答即可；
（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.
解：（1）解：如图：
，
与图像的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
与图像的不同点是：开口向上，顶点坐标是（0，1），开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；
（2）解：两个函数图像的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；
不同点：，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图像与性质是解答的关键.
39．解：（1）；（2）见解析；（3）上，4；（4）．．
【分析】（1）求出对称轴得到抛物线的顶点坐标；
（2）先确定抛物线与y轴的交点为（0，4），与x轴交点为（-2，0）和（2，0），然后利用描点法画函数图像；
（3）根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解；
（4）结合函数图像，写出函数图像上x轴上方所对应的自变量的范围即可．
解：（1）抛物线的对称轴为：x=-=0
令x=0，y=4
则顶点坐标为（0，4）；
（2）由（1）得，抛物线与y轴的交点为（0，4），
令y=0，
x=±2，
则抛物线与x轴交点为（-2，0）和（2，0），画图得：
（3）由上加下减的原则可得，y=-x向上平移4个单位可得出y=-x+4；
（4）根据图像得，当y>0时，x的取值范围为：-2
40．（1）对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）图像与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．
【解析】
试题分析：（1）可根据配方法的解题步骤，将一般式转化为顶点式，根据顶点式可确定对称轴及顶点坐标；
（2）令y=0，解一元二次方程可求抛物线与x轴两交点的坐标．
试题解析：（1）y=-（x2-4x）=-（x-2）2+4，
对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）
（2）当y=0时，-x2+4x=0，解得x=0或4，
∴图像与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．
考点：1.二次函数的三种形式；2.二次函数的性质；3．抛物线与x轴的交点．
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北师大版九年级数学下册 专题2.9 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图像与性质（巩固篇）（附答案）： 这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.9 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图像与性质（巩固篇）（附答案），共35页。试卷主要包含了抛物线y＝x2+1的对称轴是，若二次函数y=mx2-，抛物线y＝－1＋3x2，抛物线的顶点坐标是，二次函数在内的最小值是，已知函数经过A等内容，欢迎下载使用。
