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北师大版九年级数学下册 专题2.12 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与性质（附答案）
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这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.12 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与性质（附答案），共24页。
会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【要点梳理】
要点一、二次函数与之间的相互关系
顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
特别说明：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点二、二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
特别说明：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
要点三、二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
要点四、求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
特别说明：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
特别说明：
【典型例题】
1．已知抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）（2）（1，4）
解：（1）∵抛物线经过点A（3，0），B（－1，0），
∴抛物线的解析式为；，即，
（2）∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．
（1）根据抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式．
（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．
举一反三：
【变式1】 用配方法把二次函数y=x2–4x+5化为y=a(x+m)2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，－3)．
【分析】用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．
解：∵ y＝x2－4x＋5＝(x－4)2－3，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，－3)．
【点拨】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
【变式2】已知二次函数．
用配方法将其化为的形式；
在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．
【答案】（1）；（2）见解析.
【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；（2）利用描点法画出二次函数图象即可．
解：
=
=
，
顶点坐标为，对称轴方程为．
函数二次函数的开口向上，顶点坐标为，与x轴的交点为，，
其图象为：
故答案为（1）；（2）见解析.
【点拨】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．
【变式3】 已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积．
【答案】（1）y＝﹣2x2﹣4x+4；（2）对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）△CAO的面积为2．
【分析】（1）利用待定系数法把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c中，可以解得b，c的值，从而求得函数关系式即可；（2）利用配方法求出图象的对称轴和顶点坐标；（3）由（2）可得顶点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO的面积．
解：（1）把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c，
得：c=4-2×12+b+c=-2，解得：b=-4c=4，
所以此抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+4；
（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+4
＝﹣2（x2+2x）+4
＝﹣2[（x+1）2﹣1]+4
＝﹣2（x+1）2+6，
∴此抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；
（3）由（2）知：顶点C（﹣1，6），
∵点A（0，4），∴OA＝4，
∴S△CAO＝12OA•|xc|＝12×4×1＝2，
即△CAO的面积为2．
故答案为：（1）y＝﹣2x2﹣4x+4；
（2）对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；
（3）△CAO的面积为2．
【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键．
2．已知：二次函数
（1）求出该函数图象的顶点坐标；
（2）在所提供的网格中画出该函数的草图．
【答案】（1） (－2，－1)；（2）见解析
【分析】
（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）利用五点法画二次函数的图象即可．
解：（1）化为顶点式为
则该函数图象的顶点坐标为；
（2）先求出自变量x在处的函数值，再列出表格
当和时，
当和时，
当时，
列出表格如下：
由此画出该函数的草图如下：
【点拨】本题考查了二次函数的顶点式、画二次函数的图象，掌握函数图象的画法是解题关键．
举一反三：
【变式1】已知二次函数y=﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y=﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
【答案】（1）对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）见解析；（3）x＜0或x＞4．
试题分析：（1）把一般式化成顶点式即可求得；
（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．
（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．
解：（1）∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；
（2）列表得：
描点，连线．
（3）由图象可知，
当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．
【变式2】 已知二次函数y＝x2﹣x﹣．
（1）在平面直角坐标系内，画出该二次函数的图象；
（2）根据图象写出：①当x 时，y＞0；
②当0＜x＜4时，y的取值范围为 ．
【答案】（1）见解析；（2）①x＜﹣1或x＞3；②﹣2≤y＜．
【分析】（1）先把解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（1，2）；再分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；
（2）①利用函数图象写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；②先确定x＝4时，y＝，然后利用函数图象写出当0＜x＜4时对应的函数值的范围．
解：（1）∵y＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）；
当x＝0时，y＝x2﹣x﹣＝﹣，则抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣）
当y＝0时， x2﹣x﹣＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），
如图，
（2）①当x＜﹣1或x＞3时，y＞0；
②当0＜x＜4时，﹣2≤y＜；
故答案为x＜﹣1或x＞3；﹣2≤y＜．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
【变式3】已知抛物线．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点，在抛物线上，若，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）或；（3）当a＞0时，；当a＜0时，或．
【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到的值，进而得到其解析式；（3）根据抛物线的对称性求得点Q关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到的取值范围．
解：（1）∵，
∴，
∴其对称轴为：．
（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：，
∵抛物线顶点在轴上，
∴，
解得：或，
当时，其解析式为：，
当时，其解析式为：，
综上，二次函数解析式为：或．
（3）由（1）知，抛物线的对称轴为，
∴关于的对称点为，
当a＞0时，若，
则-1＜m＜3；
当a＜0时，若，
则m＜-1或m＞3.
【点拨】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键．
3、把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．
（1）直接写出抛物线的函数关系式；
（2）动点能否在拋物线上？请说明理由；
（3）若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2）不在，见解析；（3），见解析
【分析】（1）先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；（2）根据抛物线的顶点的纵坐标为，即可判断点不在拋物线上；（3）根据抛物线的增减性质即可解答．
解：（1）抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为(-1，2)，
根据题意，抛物线的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，-3)，
∴抛物线的函数关系式为：；
（2）动点P不在抛物线上．
理由如下：
∵抛物线的顶点为，开口向上，
∴抛物线的最低点的纵坐标为．
∵，
∴动点P不在抛物线上；
（3）．
理由如下：
由（1）知抛物线的对称轴是，且开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小．
∵点都在抛物线上，且，
∴．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当时，的最大值与最小值的差；
（3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）利用待定系数法将点，代入解析式中解方程组即可；
（2）根据（1）中函数关系式得到对称轴，从而知在中，当x=-2时，y有最大值，当时，y有最小值，求之相减即可；
（3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出>0，根据根与系数的关系可得出a，b的值，然后根据，整理得出m的取值范围．
解：（1）∵的图象过点，，
∴
解得
∴
（2）由（1）得，二次函数对称轴为
∴当时，y的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,
y的最小值为
∴的最大值与最小值的差为；
（3）由题意及（1）得
整理得
即
∵一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，
∴
化简得
即
解得m≠5
∴a，b为方程的两个解
又∵
∴a=-1，b=4-m
即4-m>3
∴m<1
综上所述，m的取值范围为．
【点拨】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质．
【变式2】如图，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点．
（1）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．
【答案】(1) ﹣4≤y＜0;(2) P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）
分析：(1)、首先将抛物线配成顶点式，然后根据x的取值范围，从而得出y的取值范围；(2)、根据题意得出AB的长度，然后根据面积求出点P的纵坐标，根据抛物线的解析式求出点P的坐标．
解：（1）∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4），由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
（2）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0， 解得：x1=-1 x2=3
∵A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴AB=4．
设P（x，y），则S△PAB=AB•|y|=2|y|=10， ∴|y|=5， ∴y=±5．
①当y=5时，x2﹣2x﹣3=5，解得：x1=﹣2，x2=4，
此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；
②当y=﹣5时，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程无解；
综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．
点拨：本题主要考查的是二次函数的性质，属于基础题型．求函数值取值范围时，一定要注意自变量的取值范围是否是在对称轴的一边．
【变式3】已知抛物线y=ax2+bx+c 如图所示，直线x=-1是其对称轴，
（1）确定a，b，c， Δ=b2-4ac的符号，
（2）求证：a-b+c>0，
（3）当x取何值时，y>0；当x取何值时y<0.
【答案】（1）a<0，b<0，c>0，b2-4ac>0； （2）a-b+c>0； （3）当-30 ，∴当x<-3或x>1时，y<0.
【解析】思路点拨：（1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定b2-4ac的符号；（2）根据图象和x=-1的函数值确定a-b+c与0的关系；（3）抛物线在x轴上方时y＞0；抛物线在x轴下方时y＜0．
解：由抛物线的开口向下，得a<0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方，得c>0，
又由<0，∴>0，
∴a、b同号，由a<0得b<0.
由抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴Δ=b2-4ac>0
（2）由抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为x=-1.
∴当x=-1时，y=a-b+c>0
（3）由图象可知：当-30 ，
∴当x<-3或x>1时，y<0
考点：二次函数的图象与系数的关系
4、如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．
（1）m的值为________；
（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；
（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；
（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．
【答案】（1）3；（2）x＞1；（3）-1＜x＜3；（4）-5≤y≤4
【分析】根据函数的图象和性质即可求解．
解：（1）将（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，3＝m，
故答案为3；
（2）m＝3时，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
函数的对称轴为直线x＝＝1，
∵﹣1＜0，故抛物线开口向下，
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
故答案为x＞1；
（3）令y＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或3，
从图象看，当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方；
故答案为﹣1＜x＜3；
（4）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，
而抛物线的顶点坐标为（1，4），
故当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4，
故答案为﹣5≤y≤4．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③2a+b﹣c＜0；④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣ ，y1）和（ ，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是_____（填入正确结论的序号）
【答案】②③④
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右边，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故②正确；
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，c＞0，
∴﹣=1，
∴2a+b=0，
∴2a+b＜c，
∴2a+b﹣c＜0，故③正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，故④正确；
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴抛物线上x=﹣时的点与当x=时的点对称，
∵x＞1，y随x的增大而减小，
∴y1＜y2，故⑤错误；
故答案为：②③④．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
5、如图，已知直线=-2x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求m的值；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是x轴上一点，当△ABP为直角三角形时直接写出点P的坐标．
【答案】（1）m＝6；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）点P的坐标为（7，0）或（1，0）．
【分析】（1）将点A坐标代入y=-2x+m，即可求解；（2）y=-2x+6，令y=0，则x=3，故点B（3，0），则二次函数表达式为：y=a（x-1）2+4，将点B的坐标代入上式，即可求解；（3）分∠BAP=90°、∠AP（P′）B=90°两种情况，求解即可．
解：（1）将点A坐标代入y＝﹣2x+m得：4＝﹣2+m，解得：m＝6；
（2）y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，故点B（3，0），
则二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
将点B的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（3）①当∠BAP＝90°时，
直线AB的表达式为：y＝﹣2x+6，
则直线PB的表达式中的k值为，
设直线PB的表达式为：y＝x+b，
将点A的坐标代入上式得：4＝×1+b，
解得：b＝，
即直线PB的表达式为：y＝x+，
当y＝0时，x＝﹣7，
即点P（7，0）；
②当∠AP（P′）B＝90°时，
点P′（1，0）；
故点P的坐标为（7，0）或（1，0）．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本知识，要注意类讨论，避免遗漏，本题较为简单．
举一反三：
【变式1】已知二次函数．
如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
如图，二次函数的图象过，点，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
【答案】（1）且；（2）P点坐标为．
解：（1）根据题意得且；（2）先求二次函数的解析式，再求抛物线的对称轴，用待定系数法求直线AB的解析式，再求AB与对称轴的交点P.
解：根据题意得且，
所以且；
把代入得，
解得，
所以抛物线解析式为，
所以抛物线的对称轴为直线，
当时，，则，
设直线AB的解析式为，
把，代入得，解得，
所以直线AB的解析式为，
当时，，
所以P点坐标为．
【点拨】本题考核知识点：二次函数与一次函数. 解题关键点：理解二次函数图象的交点问题.
【变式2】如图所示，已知直线y=x与抛物线y=交于A、B两点，点C是抛物线的顶点．
(1)求出点A、B的坐标；
(2)求出△ABC的面积；
(3)在AB段的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A、B的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)30；(3)当a＝1时，△ABP的面积最大，此时点P的坐标为(1，)．
【分析】
（1）由直线与抛物线交于A、B两点，可得方程，解方程即可求得点A、B的坐标；
（2）首先由点C是抛物线的顶点，即可求得点C的坐标，又由S△ABC=S△OBC+S△OAC即可求得答案；
（3）首先过点P作PD∥OC，交AB于D，然后设，即可求得点D的坐标，可得PD的长，又由S△ABP=S△BDP+S△ADP，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案．
解：(1)∵直线与抛物线交于A、B两点，
∴，
解得：x＝6或x＝﹣4，
当x＝6时，y＝﹣3，
当x＝﹣4时，y＝2，
∴点A、B的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；
∵点C是抛物线的顶点．
∴点C的坐标为(0，6)，
∴S△ABC＝S△OBC+S△OAC＝×6×4+×6×6＝30；
(3)存在．
过点P作PD∥OC，交AB于D，
设P(a，﹣a2+6)，
则D(a，﹣a)，
∴PD＝﹣a2+6+a，
∴S△ABP＝S△BDP+S△ADP
＝×(﹣a2+6+a)×(a+4)+×(﹣a2+6+a)×(6﹣a)
＝ (﹣4＜a＜6)，
∴当a＝1时，△ABP的面积最大，
此时点P的坐标为(1，)．
【点拨】此题考查了二次函数与一次函数的交点问题，三角形面积的求解以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用． 函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
x
…
-1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
-5
0
3
4
3
0
-5
…
会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【要点梳理】
要点一、二次函数与之间的相互关系
顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
特别说明：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点二、二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
特别说明：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
要点三、二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
要点四、求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
特别说明：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
特别说明：
【典型例题】
1．已知抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）（2）（1，4）
解：（1）∵抛物线经过点A（3，0），B（－1，0），
∴抛物线的解析式为；，即，
（2）∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．
（1）根据抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式．
（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．
举一反三：
【变式1】 用配方法把二次函数y=x2–4x+5化为y=a(x+m)2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，－3)．
【分析】用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．
解：∵ y＝x2－4x＋5＝(x－4)2－3，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，－3)．
【点拨】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
【变式2】已知二次函数．
用配方法将其化为的形式；
在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．
【答案】（1）；（2）见解析.
【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；（2）利用描点法画出二次函数图象即可．
解：
=
=
，
顶点坐标为，对称轴方程为．
函数二次函数的开口向上，顶点坐标为，与x轴的交点为，，
其图象为：
故答案为（1）；（2）见解析.
【点拨】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．
【变式3】 已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积．
【答案】（1）y＝﹣2x2﹣4x+4；（2）对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）△CAO的面积为2．
【分析】（1）利用待定系数法把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c中，可以解得b，c的值，从而求得函数关系式即可；（2）利用配方法求出图象的对称轴和顶点坐标；（3）由（2）可得顶点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO的面积．
解：（1）把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c，
得：c=4-2×12+b+c=-2，解得：b=-4c=4，
所以此抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+4；
（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+4
＝﹣2（x2+2x）+4
＝﹣2[（x+1）2﹣1]+4
＝﹣2（x+1）2+6，
∴此抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；
（3）由（2）知：顶点C（﹣1，6），
∵点A（0，4），∴OA＝4，
∴S△CAO＝12OA•|xc|＝12×4×1＝2，
即△CAO的面积为2．
故答案为：（1）y＝﹣2x2﹣4x+4；
（2）对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；
（3）△CAO的面积为2．
【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键．
2．已知：二次函数
（1）求出该函数图象的顶点坐标；
（2）在所提供的网格中画出该函数的草图．
【答案】（1） (－2，－1)；（2）见解析
【分析】
（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）利用五点法画二次函数的图象即可．
解：（1）化为顶点式为
则该函数图象的顶点坐标为；
（2）先求出自变量x在处的函数值，再列出表格
当和时，
当和时，
当时，
列出表格如下：
由此画出该函数的草图如下：
【点拨】本题考查了二次函数的顶点式、画二次函数的图象，掌握函数图象的画法是解题关键．
举一反三：
【变式1】已知二次函数y=﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y=﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
【答案】（1）对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）见解析；（3）x＜0或x＞4．
试题分析：（1）把一般式化成顶点式即可求得；
（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．
（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．
解：（1）∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；
（2）列表得：
描点，连线．
（3）由图象可知，
当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．
【变式2】 已知二次函数y＝x2﹣x﹣．
（1）在平面直角坐标系内，画出该二次函数的图象；
（2）根据图象写出：①当x 时，y＞0；
②当0＜x＜4时，y的取值范围为 ．
【答案】（1）见解析；（2）①x＜﹣1或x＞3；②﹣2≤y＜．
【分析】（1）先把解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（1，2）；再分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；
（2）①利用函数图象写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；②先确定x＝4时，y＝，然后利用函数图象写出当0＜x＜4时对应的函数值的范围．
解：（1）∵y＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）；
当x＝0时，y＝x2﹣x﹣＝﹣，则抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣）
当y＝0时， x2﹣x﹣＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），
如图，
（2）①当x＜﹣1或x＞3时，y＞0；
②当0＜x＜4时，﹣2≤y＜；
故答案为x＜﹣1或x＞3；﹣2≤y＜．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
【变式3】已知抛物线．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点，在抛物线上，若，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）或；（3）当a＞0时，；当a＜0时，或．
【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到的值，进而得到其解析式；（3）根据抛物线的对称性求得点Q关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到的取值范围．
解：（1）∵，
∴，
∴其对称轴为：．
（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：，
∵抛物线顶点在轴上，
∴，
解得：或，
当时，其解析式为：，
当时，其解析式为：，
综上，二次函数解析式为：或．
（3）由（1）知，抛物线的对称轴为，
∴关于的对称点为，
当a＞0时，若，
则-1＜m＜3；
当a＜0时，若，
则m＜-1或m＞3.
【点拨】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键．
3、把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．
（1）直接写出抛物线的函数关系式；
（2）动点能否在拋物线上？请说明理由；
（3）若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2）不在，见解析；（3），见解析
【分析】（1）先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；（2）根据抛物线的顶点的纵坐标为，即可判断点不在拋物线上；（3）根据抛物线的增减性质即可解答．
解：（1）抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为(-1，2)，
根据题意，抛物线的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，-3)，
∴抛物线的函数关系式为：；
（2）动点P不在抛物线上．
理由如下：
∵抛物线的顶点为，开口向上，
∴抛物线的最低点的纵坐标为．
∵，
∴动点P不在抛物线上；
（3）．
理由如下：
由（1）知抛物线的对称轴是，且开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小．
∵点都在抛物线上，且，
∴．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当时，的最大值与最小值的差；
（3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）利用待定系数法将点，代入解析式中解方程组即可；
（2）根据（1）中函数关系式得到对称轴，从而知在中，当x=-2时，y有最大值，当时，y有最小值，求之相减即可；
（3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出>0，根据根与系数的关系可得出a，b的值，然后根据，整理得出m的取值范围．
解：（1）∵的图象过点，，
∴
解得
∴
（2）由（1）得，二次函数对称轴为
∴当时，y的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,
y的最小值为
∴的最大值与最小值的差为；
（3）由题意及（1）得
整理得
即
∵一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，
∴
化简得
即
解得m≠5
∴a，b为方程的两个解
又∵
∴a=-1，b=4-m
即4-m>3
∴m<1
综上所述，m的取值范围为．
【点拨】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质．
【变式2】如图，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点．
（1）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．
【答案】(1) ﹣4≤y＜0;(2) P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）
分析：(1)、首先将抛物线配成顶点式，然后根据x的取值范围，从而得出y的取值范围；(2)、根据题意得出AB的长度，然后根据面积求出点P的纵坐标，根据抛物线的解析式求出点P的坐标．
解：（1）∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4），由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
（2）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0， 解得：x1=-1 x2=3
∵A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴AB=4．
设P（x，y），则S△PAB=AB•|y|=2|y|=10， ∴|y|=5， ∴y=±5．
①当y=5时，x2﹣2x﹣3=5，解得：x1=﹣2，x2=4，
此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；
②当y=﹣5时，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程无解；
综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．
点拨：本题主要考查的是二次函数的性质，属于基础题型．求函数值取值范围时，一定要注意自变量的取值范围是否是在对称轴的一边．
【变式3】已知抛物线y=ax2+bx+c 如图所示，直线x=-1是其对称轴，
（1）确定a，b，c， Δ=b2-4ac的符号，
（2）求证：a-b+c>0，
（3）当x取何值时，y>0；当x取何值时y<0.
【答案】（1）a<0，b<0，c>0，b2-4ac>0； （2）a-b+c>0； （3）当-3
【解析】思路点拨：（1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定b2-4ac的符号；（2）根据图象和x=-1的函数值确定a-b+c与0的关系；（3）抛物线在x轴上方时y＞0；抛物线在x轴下方时y＜0．
解：由抛物线的开口向下，得a<0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方，得c>0，
又由<0，∴>0，
∴a、b同号，由a<0得b<0.
由抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴Δ=b2-4ac>0
（2）由抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为x=-1.
∴当x=-1时，y=a-b+c>0
（3）由图象可知：当-3
∴当x<-3或x>1时，y<0
考点：二次函数的图象与系数的关系
4、如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．
（1）m的值为________；
（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；
（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；
（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．
【答案】（1）3；（2）x＞1；（3）-1＜x＜3；（4）-5≤y≤4
【分析】根据函数的图象和性质即可求解．
解：（1）将（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，3＝m，
故答案为3；
（2）m＝3时，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
函数的对称轴为直线x＝＝1，
∵﹣1＜0，故抛物线开口向下，
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
故答案为x＞1；
（3）令y＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或3，
从图象看，当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方；
故答案为﹣1＜x＜3；
（4）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，
而抛物线的顶点坐标为（1，4），
故当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4，
故答案为﹣5≤y≤4．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③2a+b﹣c＜0；④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣ ，y1）和（ ，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是_____（填入正确结论的序号）
【答案】②③④
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右边，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故②正确；
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，c＞0，
∴﹣=1，
∴2a+b=0，
∴2a+b＜c，
∴2a+b﹣c＜0，故③正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，故④正确；
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴抛物线上x=﹣时的点与当x=时的点对称，
∵x＞1，y随x的增大而减小，
∴y1＜y2，故⑤错误；
故答案为：②③④．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
5、如图，已知直线=-2x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求m的值；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是x轴上一点，当△ABP为直角三角形时直接写出点P的坐标．
【答案】（1）m＝6；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）点P的坐标为（7，0）或（1，0）．
【分析】（1）将点A坐标代入y=-2x+m，即可求解；（2）y=-2x+6，令y=0，则x=3，故点B（3，0），则二次函数表达式为：y=a（x-1）2+4，将点B的坐标代入上式，即可求解；（3）分∠BAP=90°、∠AP（P′）B=90°两种情况，求解即可．
解：（1）将点A坐标代入y＝﹣2x+m得：4＝﹣2+m，解得：m＝6；
（2）y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，故点B（3，0），
则二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
将点B的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（3）①当∠BAP＝90°时，
直线AB的表达式为：y＝﹣2x+6，
则直线PB的表达式中的k值为，
设直线PB的表达式为：y＝x+b，
将点A的坐标代入上式得：4＝×1+b，
解得：b＝，
即直线PB的表达式为：y＝x+，
当y＝0时，x＝﹣7，
即点P（7，0）；
②当∠AP（P′）B＝90°时，
点P′（1，0）；
故点P的坐标为（7，0）或（1，0）．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本知识，要注意类讨论，避免遗漏，本题较为简单．
举一反三：
【变式1】已知二次函数．
如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
如图，二次函数的图象过，点，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
【答案】（1）且；（2）P点坐标为．
解：（1）根据题意得且；（2）先求二次函数的解析式，再求抛物线的对称轴，用待定系数法求直线AB的解析式，再求AB与对称轴的交点P.
解：根据题意得且，
所以且；
把代入得，
解得，
所以抛物线解析式为，
所以抛物线的对称轴为直线，
当时，，则，
设直线AB的解析式为，
把，代入得，解得，
所以直线AB的解析式为，
当时，，
所以P点坐标为．
【点拨】本题考核知识点：二次函数与一次函数. 解题关键点：理解二次函数图象的交点问题.
【变式2】如图所示，已知直线y=x与抛物线y=交于A、B两点，点C是抛物线的顶点．
(1)求出点A、B的坐标；
(2)求出△ABC的面积；
(3)在AB段的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A、B的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)30；(3)当a＝1时，△ABP的面积最大，此时点P的坐标为(1，)．
【分析】
（1）由直线与抛物线交于A、B两点，可得方程，解方程即可求得点A、B的坐标；
（2）首先由点C是抛物线的顶点，即可求得点C的坐标，又由S△ABC=S△OBC+S△OAC即可求得答案；
（3）首先过点P作PD∥OC，交AB于D，然后设，即可求得点D的坐标，可得PD的长，又由S△ABP=S△BDP+S△ADP，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案．
解：(1)∵直线与抛物线交于A、B两点，
∴，
解得：x＝6或x＝﹣4，
当x＝6时，y＝﹣3，
当x＝﹣4时，y＝2，
∴点A、B的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；
∵点C是抛物线的顶点．
∴点C的坐标为(0，6)，
∴S△ABC＝S△OBC+S△OAC＝×6×4+×6×6＝30；
(3)存在．
过点P作PD∥OC，交AB于D，
设P(a，﹣a2+6)，
则D(a，﹣a)，
∴PD＝﹣a2+6+a，
∴S△ABP＝S△BDP+S△ADP
＝×(﹣a2+6+a)×(a+4)+×(﹣a2+6+a)×(6﹣a)
＝ (﹣4＜a＜6)，
∴当a＝1时，△ABP的面积最大，
此时点P的坐标为(1，)．
【点拨】此题考查了二次函数与一次函数的交点问题，三角形面积的求解以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用． 函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
x
…
-1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
-5
0
3
4
3
0
-5
…
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