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北师大版九年级数学下册 专题2.13 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与性质（附答案）
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这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.13 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与性质（附答案），共31页。试卷主要包含了已知二次函数与，写出其中正确结论的序号等内容，欢迎下载使用。
6．已知二次函数与．
（1）随着系数和的变化，分别说出这两个二次函数图像的变与不变；
（2）若这两个函数图像的形状相同，则______；若抛物线沿轴向下平移2个单位就能与的图像完全重合，则______．
（3）二次函数中、的几组对应值如下表：
表中、、的大小关系为______．（用“”连接）．
【答案】（1）见解析；（2），；（3）
【分析】
（1）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项的变化会影响开口大小，开口方向，对称轴和顶点坐标，根据二次函数的性质即可得出图像的具体影响．
（2）由于函数图像形状相同，可以得到；根据二次函数平移规律上加下减可求得函数，再由题意就可得到c=-2．
（3）将表中数值代入二次函数即可分别得到m、n、p含未知数c的代数式，比较大小即可．
解：（1）二次函数的图像随着的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数的图像随着的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变．（只要学生答对变与不变各一个点就给满分）．
（2）由于函数与函数的形状相同，
所以，即．
抛物线沿y轴向下平移两个单位，即得到抛物线．
因为该抛物线与的图像完全重合
所以
故答案为；
（3）表中数值代入二次函数可得;
,,
因为<<
所以．
故答案为
【点拨】本题考查二次函数的性质，二次函数图像与几何变换，二次函数上点的坐标特征．特别注意（2）时两个函数图像形状相同．
举一反三：
【变式】 如图，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
⑴当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；
⑵若a、b、c满足了
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．
【答案】解：（1） C（3，0）；
（2）①抛物线，令=0，则=，
∴A点坐标（0，c）．
∵，∴，
∴点P的坐标为（）．
∵PD⊥轴于D，∴点D的坐标为（）．
根据题意，得a=a′，c= c′，∴抛物线F′的解析式为．
又∵抛物线F′经过点D（），∴．
∴．
又∵，∴．
∴b:b′=．
②由①得，抛物线F′为．
令y=0，则．
∴．
∵点D的横坐标为∴点C的坐标为（）．
设直线OP的解析式为．
∵点P的坐标为（），
∴，∴，∴．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，∴．
∴．
∵点P的横坐标为，∴点B的横坐标为．
把代入，得．
∴点B的坐标为．
∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC =OA），
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．
【解析】（1）先求出抛物线解析式，再根据平移的特征即可得到点C的坐标；（2）①根据抛物线顶点坐标的表达式及抛物线与坐标轴的交点坐标的特征即可得到结果；②根据抛物线与坐标轴的交点坐标及抛物线与直线OP的交点坐标的特征即可得到结果；
7．如图，二次函数的图像开口向上，图像经过点和，且与轴相交于负半轴．
第问：给出四个结论：①；②；③；④．写出其中正确结论的序号（答对得分，少选、错选均不得分）
第 问：给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1．写出其中正确结论的序号．
【答案】（1）正确的序号为①④；（2）正确的序号为②③④．
【分析】
（1）根据抛物线开口向上对①进行判断；根据抛物线对称轴x=-在y轴右侧对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方对③进行判断；根据x=1时，y=0对④进行判断；
（2）有（1）得到a>0，b<0，c<0，则可对①进行判断；根据0<-<1可对②进行判断；把点(-1,2)和(1,0)代入解析式得a﹣b+c=2，a+b+c=0,整理有a+c=1，则可对③进行判断；根据a=1-c，c<0可对④进行判断．
解：（1）①由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，正确；
②因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=＞0．
又∵a＞0，∴b＜0，错误；
③由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，错误；
④由图像可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，正确．
故（1）中，正确结论的序号是①④．
（2）①∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，错误；
②由图像可知：对称轴x=＞0且对称轴x=＜1，∴2a+b＞0，正确；
③由图像可知：当x=﹣1时y=2，∴a﹣b+c=2，当x=1时y=0，∴a+b+c=0；
a﹣b+c=2与a+b+c=0相加得2a+2c=2，解得：a+c=1，正确；
④∵a+c=1，移项得：a=1﹣c．
又∵c＜0，∴a＞1，正确．
故（2）中，正确结论的序号是②③④．
【点拨】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0；没有交点，b2﹣4ac＜0．
举一反三：
【变式1】抛物线的图像如图所示：
（1）判断，，，的符号；
（2）当时，求，，满足的关系．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据图形，开口向下得a＜0，x=0时可得c＞0，由对称轴可得b＞0，与x轴有两个不同交点可得b2﹣4ac＞0；2）由于B点坐标可以表示为：（0，c），|OA|=|OB|，可知A（﹣c，0）即可进行求解．
解：（1）由图像可知，抛物线开口向下，可得：a＜0；
x=0时，y=c＞0；
∵对称轴x=，a＜0，∴b＞0；
图像与x轴有两个不同交点可得b2﹣4ac＞0；
（2）当|OA|=|OB|时，即A点坐标为（﹣c，0），代入抛物线方程得y=ac2﹣bc+c两边同时除以c得：ac﹣b+1=0．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，难度一般，关键在已知条件下表示出A点的坐标代入抛物线方程．
【变式2】已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴，
确定，，，的符号；
求证：；
当取何值时，，当取何值时．
【答案】（1），，，；（2）详见解析；（3）当时，；当或时，．
【分析】（1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定b2-4ac的符号；
（2）根据图像和x=-1的函数值确定a-b+c与0的关系；
（3）抛物线在x轴上方时y＞0；抛物线在x轴下方时y＜0．
解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的上方，
∴，
∵抛物线与轴有两个交点，
∴；
证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为，
∴当时，；
根据图像可知，
当时，；当或时，．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图像与系数的关系.
8．已知二次函数y=ax2+bx的图像过点（6，0），（﹣2，8）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）y=x2﹣3x；（2）对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣）．
【分析】（1）根据图像过点（6，0），（﹣2，8）列方程组求出a、b的值即可，（2）把解析式配方后即可确定对称轴和顶点坐标．
解：（1）∵y=ax2+bx的图像过点（6，0），（﹣2，8）．
∴ ，
解得： ，
∴二次函数解析式为y=x2﹣3x；
∵ y=x2﹣3x=（x﹣3）2﹣，
∴抛物线的对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣）．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的三种形式．将二次函数的一般解析式转化为顶点式时，可采用了“配方法”．灵活运用二次函数的三种形式是解题关键.
举一反三：
【变式1】 已知二次函数，函数值与自变量之间的部分对应值如表：
（1）写出二次函数图像的对称轴．
（2）求二次函数的表达式．
（3）当时，写出函数值的取值范围．
【答案】（1）x=2；（2）；（3）
【分析】
（1）二次函数是轴对称图形，而（-4，-2），（0，-2）关于对称轴对此，利用中点坐标公式可求，
（2）求二次函数解析式，可知b,c待定，但（-4，-2），（0，-2）只能取一点，取两点坐标（-1，1），（0，-2）代入解之即可，
（3）由于对称轴与x轴交点横坐标，在，说明x=-4与x=-1取值不是最大值，为此x=-4与x=-1对应的函数值的最小值与x=-2时函数值即可．
解：（1）∵二次函数是轴对称图形，、时的函数值相等，都是，对称轴是（-4，-2），（0，-2）两点连结的中垂线，
∴此函数图像的对称轴为直线；
（2）由点（-1，1），（0，-2）在抛物线上
将，代入，
得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为：；
（3）∵，
∴当时，取得最大值2，
由表可知当时，当时，
∴当时，．
【点拨】本题考查利用列表求对称轴表示式，二次函数解析式，函数值范围，关键利用数形结合思想，掌握二次函数的性质，函数值的求法，抛物线最值．
【变式2】已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数图像的对称轴是直线x＝ ；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图像上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图像，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）1；（2）y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；（3）﹣1≤t≤2
【分析】
（1）由对称轴是直线x＝，可求解；
（2）分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
（3）利用函数图像的性质可求解．
解：（1）由题意可得：对称轴是直线x＝＝1，
故答案为：1；
（2）当a＞0时，∵对称轴为x＝1，
当x＝1时，y有最小值为﹣a，当x＝3时，y有最大值为3a，
∴3a﹣（﹣a）＝4．
∴a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x；
当a＜0时，同理可得
y有最大值为﹣a； y有最小值为3a，
∴﹣a﹣3a＝4，
∴a＝﹣1，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x；
综上所述，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；
（3）∵a＜0，对称轴为x＝1，
∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，
∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，
∴t≥﹣1，t+1≤3，
∴﹣1≤t≤2．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征等知识点的综合应用，能利用分类思想解决问题是本题的关键．
【变式3】 如图，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点E与点C关于抛物线的对称轴对称，求梯形AOCE的面积.
【答案】（1）A（-4,0），B（2,0），C,0,4）；（2）12
【分析】
（1）在抛物线的解析式中，令x=0可以求出点C的坐标，令y=0可以求出A、B点的坐标；（2）先求出E点坐标，然后求出OA，OC，CE的长计算面积即可.
解：（1）当y=0时，-x+4=0，解得x1=－4，x2=2，
∴A（－4，0），B（2，0），当x=0时，y=4，∴C（0，4）；
（2）y=﹣x+4=（x+1）2+，
∴抛物线y=﹣x+4的对称轴是直线x=－1，
∴E的坐标为（－2，4），则OA=4，OC=4，CE=2，
S梯形AOCE=
【点拨】本题是对二次函数的基础考查，熟练掌握二次函数与x轴，y轴交点坐标的求解及梯形面积知识是解决本题的关键.
9．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用点、求解一次函数的解析式，再求的坐标，再求反比例函数解析式；
（2）设 则再表示的长度，列出三角形面积与的函数关系式，利用函数的性质可得答案．
解：（1）设直线AB为
把点、代入解析式得：
解得：
直线为
把代入得：
把代入：
，
（2）设 轴，
则 由＜＜，
即当时，
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图像经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＜1时，y随x增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．
【分析】（1）将（1，﹣4）和（﹣1，0）代入解析式中，即可求出结论；（2）将二次函数的表达式转化为顶点式，然后根据二次函数的图像及性质即可求出结论．
解：（1）根据题意得，
解得，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
∵a＞0，
∴当x＜1时，y随x增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．
【点拨】此题考查的是二次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像及性质是解决此题的关键．
【变式2】已知二次函数的图像经过三点（1,0)，
(1)求二次函数的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点；
(3)当x为何值时，函数有最大值或最小值？最大值或最小值是多少？
【答案】(1)；(2)顶点，对称轴，交点：；(3)时函数有最小值为．
【分析】（1）抛物线的点过（1,0)，可以设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x+3)，把点代入解得a即可；（2）由配方法，得出抛物线解析式的顶点式，可得顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点；（3）由抛物线的开口向上，可得函数有最小值，顶点坐标的纵坐标是函数的最小值．
解：(1)设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)，
将代入，解得，
所以抛物线解析式为，
故答案为：；
（2）抛物线解析式为，
配方可得，，
∴顶点 ，对称轴，
由（1）知，交点：，
故答案为：顶点，对称轴，交点：；
(3)由（2）可知，函数解析式为，开口向上，函数有最小值，当 时函数有最小值为，
故答案为：时函数有最小值为．
【点拨】本题考查了二次函数的解析式求法，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（﹣4，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得△QAC的周长最小．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4（2）Q（﹣，）
【分析】
（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4），即可求解；
（2）点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，即可求解．
解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4）＝﹣x2﹣3x+4；
（2）抛物线的对称轴为：x＝﹣，
点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，
点C（0，4），将点B、C坐标代入一次函数表达式：y＝kx+m得：，解得：，
故直线BC的表达式为：y＝x+4，
当x＝﹣时，y＝，
则点Q（﹣，）．
【点拨】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，周长最小本质上考查抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得QA+QC最短，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，原理是是两点之间线段最短
举一反三：
【变式1】 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（﹣4，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得△QAC的周长最小．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4（2）Q（﹣，）
【分析】（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4），即可求解；（2）点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，即可求解．
解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4）＝﹣x2﹣3x+4；
（2）抛物线的对称轴为：x＝﹣，
点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，
点C（0，4），将点B、C坐标代入一次函数表达式：y＝kx+m得：，解得：，
故直线BC的表达式为：y＝x+4，
当x＝﹣时，y＝，
则点Q（﹣，）．
【点拨】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，周长最小本质上考查抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得QA+QC最短，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，原理是是两点之间线段最短
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线l1：y＝x2+bx+c过点C(0，﹣3)，且与抛物线l2：y＝﹣x2﹣x+2的一个交点为A，已知点A的横坐标为2．点P、Q分别是抛物线l1、抛物线l2上的动点．
（1）求抛物线l1对应的函数表达式；
（2）若点P在点Q下方，且PQ∥y轴，求PQ长度的最大值；
（3）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）(﹣1，0)或(3，0)或(，)或(﹣3，12)
【分析】
（1）将x＝2代入y＝﹣x2﹣x+2，从而得出点A的坐标，再将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解得b与c的值，即可求得抛物线l1对应的函数表达式；
（2）设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则可得点Q的坐标为（m，﹣m2﹣m+2），从而PQ等于点Q的纵坐标减去点P的纵坐标，利用二次函数的性质求解即可；
（3）设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），分两类情况：第一种情况：AC为平行四边形的一条边；第二种情况：AC为平行四边形的一条对角线．分别根据平行四边形的性质及点在抛物线上，得出关于n的方程，解得n的值，则点P的坐标可得．
解：（1）将x＝2代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣3，
∴点A的坐标为（2，﹣3）．
将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线l1对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵点P、Q分别是抛物线l1、抛物线l2上的动点．
∴设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵点P在点Q下方，PQ∥y轴，
∴点Q的坐标为（m，﹣m2﹣m+2），
∴PQ＝﹣m2﹣m+2﹣（m2﹣2m﹣3），
＝﹣m2+m+5，
∴当m＝﹣时，PQ长度有最大值，最大值为：﹣++5＝；
∴PQ长度的最大值为；
（3）设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），
第一种情况：AC为平行四边形的一条边．AC=2
①当点Q在点P右侧时，点Q的坐标为（n+2，﹣（n+2）2﹣（n+2）+2），
将Q的坐标代入y＝﹣x2﹣x+2，，得n2﹣2n﹣3＝﹣（n+2）2﹣（n+2）+2，
解得，n＝0或n＝﹣1．
∵n＝0时，点P与点C重合，不符合题意，舍去，
∴n＝﹣1，
∴点P的坐标为（﹣1，0）；
②当点Q在点P左侧时，点Q的坐标为（n﹣2，﹣（n﹣2）2﹣（n﹣2）+2），
将Q的坐标代入y＝﹣x2﹣x+2，得n2﹣2n﹣3＝﹣（n﹣2）2﹣（n﹣2）+2，
解得n＝3或n＝﹣．
∴此时点P的坐标为（3，0）或（﹣，）；
第二种情况：AC为平行四边形的一条对角线．
Q点的纵坐标yQ，n2-2n-3-(-3)=-3-yQ，
yQ=-n2+2n-3，
点Q的坐标为（2﹣n，﹣n2+2n﹣3），
将Q的坐标代入y＝﹣x2﹣x+2，得﹣n2+2n﹣3＝﹣（2﹣n）2﹣（2﹣n）+2，
解得，n＝0或n＝﹣3．
∵n＝0时，点P与点C重合，不符合题意，舍去，
∴n＝﹣3，
∴点P的坐标为（﹣3，12）．
综上所述，点P的坐标为(﹣1，0)或(3，0)或(，)或(﹣3，12)．
【点拨】本题考查抛物线解析式，平行y轴线段的最值，平行四边形的性质，掌握抛物线解析式，平行y轴线段的最值，平行四边形的性质，利用平形四边形的性质构造方程是解题关键．
【变式3】 如图，抛物线与直线分别相交于、两点，其中点在轴上，且此抛物线与轴的一个交点为．
（1）求抛物线的解析式
（2）在抛物线对称轴上找一点，使的周长最小，请求出这个周长的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用的解析式求解的坐标，把，代入，利用待定系数法列方程组，解方程组可得答案；
（2）联立两个函数解析式，求解的坐标，线段的长度， 如图，要使的周长最小，则最小，设二次函数与轴的另一交点为，抛物线的对称轴为： 点，连接 交对称轴于 ，此时，最小，再利用勾股定理求解，从而可得答案．
.解：（1）抛物线与直线交于轴上一点，
令 则
点
把，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式是；
（2）将直线与二次函数联立得方程组：
解得：或，
，
如图，要使的周长最小，则最小，
设二次函数与轴的另一交点为，
抛物线的对称轴为：
点，
连接 交对称轴于
，
此时，最小，
此时：，
的周长最小值为．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值，掌握以上知识是解题的关键．
11．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．
【答案】（1）y=﹣x2+2x﹣3；（2）需将抛物线向上平移4个单位
【分析】
（1）把点B和点C的坐标代入函数解析式解方程组即可；
（2）求出原抛物线上x＝－2时，y的值为－5，则抛物线上点（－2，－5）平移后的对应点为（－2，－1），根据纵坐标的变化可得平移的方向和平移的距离．
解：（1）把B（﹣1，0）和点C（2，3）代入y＝﹣x2＋bx＋c
得，
解得，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x﹣3；
（2）把x＝﹣2代入y＝﹣x2＋2x﹣3得y＝﹣4﹣4＋3＝﹣5，
点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），
所以需将抛物线向上平移4个单位．
点拨：本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的平移，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 已知抛物线经过点（1，0），（0，）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）抛物线可以由抛物线怎样平移得到？请写出一种平移的方法．
【答案】（1）；（2）先向左平移1单位，再向上平移2个单位
【分析】
（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；
（2）先将抛物线的一般式转化为顶点式，然后指出满足题意的平移方法即可．
解：（1）把，代入抛物线解析式得：
，
解得：，
则抛物线解析式为；
（2）抛物线解析式为，
抛物线可以由抛物线先向左平移1单位，再向上平移2个单位．
【点拨】本题考查了二次函数图像与几何变换，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
【变式2】已知二次函数y＝x2－4x＋3．
（1）直接写出函数图像的顶点坐标、与x轴交点的坐标；
（2）将图像先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得到新的函数图像，直接写出平移后的图像与轴交点的坐标．
【答案】（1）顶点坐标为，与轴的交点坐标为，；（2）．
【分析】
（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据函数值为零，可得相应自变量的值；
（2）根据图像向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减，可得平移后的解析式，根据自变量与函数值的关系，可得答案．
解：解：（1），顶点坐标为，
当时，，解得或，
即图像与轴的交点坐标为，；
（2）图像先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得
，
化简得，
当时，，
即平移后的图像与轴交点的坐标．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，利用配方法得出顶点坐标，利用图像向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减得出平移后的解析式是解题关键．
12．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点,,．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在点，使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形？若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）
【答案】（1），函数的对称轴为：；（2）点；（3）存在，点的坐标为或．
【分析】根据点的坐标可设二次函数表达式为：，由C点坐标即可求解；连接交对称轴于点，此时的值为最小，即可求解；
，则，将该坐标代入二次函数表达式即可求解．
解：根据点,的坐标设二次函数表达式为：，
∵抛物线经过点，
则，解得：，
抛物线的表达式为： ，
函数的对称轴为：；
连接交对称轴于点，此时的值为最小，
设BC的解析式为：，
将点的坐标代入一次函数表达式：得：
解得：
直线的表达式为：，
当时，，
故点；
存在，理由：
四边形是以为对角线且面积为的平行四边形，
则 ，
点在第四象限，故：则，
将该坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：或，
故点的坐标为或．
【点拨】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中，求线段和的最小值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法．
举一反三：
【变式1】 已知抛物线y＝ax2+bx+3过A(﹣3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C,
(1)求该抛物线的表达式．
(2)设P是该抛物线上的动点，当△PAB的面积等于△ABC的面积时，求P点的坐标．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)P点坐标为(﹣1+，﹣3)或(﹣1﹣，﹣3)．
【分析】（1）把A与B坐标代入求出a与b的值，即可确定出表达式；（2）先求出点C的坐标，从而确定△ABC的面积，再根据△PAB的面积等于△ABC的面积求出P的坐标即可．
解：(1)把A与B坐标代入得：，
解得：，
则该抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
(2)由抛物线解析式得：C(0，3)，
∴△PAB面积为6，即×|yP纵坐标|×4＝6，即yP纵坐标＝3或﹣3，
当yP纵坐标＝3时，可得3＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x＝﹣2或x＝0(舍去)，
此时P坐标为(﹣2，3)；
当yP纵坐标＝﹣3时，可得﹣3＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x＝﹣1±，
此时P坐标为(﹣1+，﹣3)或(﹣1﹣，﹣3)．
【点拨】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【变式2】已知m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且my=－x2+bx+c的图像经过点A(m,0)、B(0,n)．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；
(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．
【答案】(1)、y=－x2－4x+5；(2)、15；(3)、(－,0)或(－,0).
【详解】试题分析：(1)、首先求出方程的解得出点A和点B的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式；(2)、根据二次函数的解析式得出点C的坐标和顶点坐标，过D作x轴的垂线交x轴于M，从而求出△DMC、梯形MDBO和△BOC的面积，然后得出面积；(3)、设P点的坐标为（a,0），得出直线BC的方程，则PH与直线BC的交点坐标为(a，a+5)，PH与抛物线的交点坐标为H(a,－a2－4a+5)，然后根据EH=EP和EH=EP两种情况分别求出点P的坐标.
试题解析：(1)、解方程x2－6x+5=0，得x1=5,x2=1.由m所以点A、B的坐标分别为A（1，0）,B（0，5）．将A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入y=－x2+bx+c,
得解这个方程组得
所以，抛物线的解析式为y=－x2－4x+5.
(2)、 由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0，解这个方程得x1=－5,x2=1,
所以C点的坐标为（－5，0）．由顶点坐标公式计算得点D（－2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M．则S△DMC=×9×(5－2)=，
S梯形MDBO=×2×(9+5)=14，S△BOC=×5×5=，
所以，S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC－S△BOC=14+－=15．
(3)、设P点的坐标为（a,0），
因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．
那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5)，
PH与抛物线y=－x2－4x+5的交点坐标为H(a,－a2－4a+5)．
由题意，得①EH=EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)=(a+5).
解这个方程，得a=－或a=－5（舍去）.
② EH=EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)=(a+5)，
解这个方程,得a=－或a=－5（舍去），
∴P点的坐标为(－,0)或(－,0)．
考点：二次函数的综合应用
【变式3】 如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．
（1）求A，B，C，D的坐标；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣4），D（0，﹣3）；（2）9．
【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得A，B，C，D的坐标；
（2）根据（1）中求得的点A，B，C，D的坐标，可以求得四边形ABCD的面积．
解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝（x﹣1）2﹣4，
∴当y＝0时，x1＝3，x2＝﹣1，当x＝0时，y＝﹣3，该函数的顶点坐标为（1，﹣4），
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（0，﹣3）；
（2）连接OC，如图所示，
∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（0，﹣3），
∴四边形ABCD的面积是：S△AOD+S△ODC+S△OCB＝．
【点拨】本题考查了二次函数中点的特征以及四边形的面积，掌握二次函数的性质是解题的关键1
5
…
0
1
…
…
1
…
6．已知二次函数与．
（1）随着系数和的变化，分别说出这两个二次函数图像的变与不变；
（2）若这两个函数图像的形状相同，则______；若抛物线沿轴向下平移2个单位就能与的图像完全重合，则______．
（3）二次函数中、的几组对应值如下表：
表中、、的大小关系为______．（用“”连接）．
【答案】（1）见解析；（2），；（3）
【分析】
（1）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项的变化会影响开口大小，开口方向，对称轴和顶点坐标，根据二次函数的性质即可得出图像的具体影响．
（2）由于函数图像形状相同，可以得到；根据二次函数平移规律上加下减可求得函数，再由题意就可得到c=-2．
（3）将表中数值代入二次函数即可分别得到m、n、p含未知数c的代数式，比较大小即可．
解：（1）二次函数的图像随着的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数的图像随着的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变．（只要学生答对变与不变各一个点就给满分）．
（2）由于函数与函数的形状相同，
所以，即．
抛物线沿y轴向下平移两个单位，即得到抛物线．
因为该抛物线与的图像完全重合
所以
故答案为；
（3）表中数值代入二次函数可得;
,,
因为<<
所以．
故答案为
【点拨】本题考查二次函数的性质，二次函数图像与几何变换，二次函数上点的坐标特征．特别注意（2）时两个函数图像形状相同．
举一反三：
【变式】 如图，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
⑴当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；
⑵若a、b、c满足了
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．
【答案】解：（1） C（3，0）；
（2）①抛物线，令=0，则=，
∴A点坐标（0，c）．
∵，∴，
∴点P的坐标为（）．
∵PD⊥轴于D，∴点D的坐标为（）．
根据题意，得a=a′，c= c′，∴抛物线F′的解析式为．
又∵抛物线F′经过点D（），∴．
∴．
又∵，∴．
∴b:b′=．
②由①得，抛物线F′为．
令y=0，则．
∴．
∵点D的横坐标为∴点C的坐标为（）．
设直线OP的解析式为．
∵点P的坐标为（），
∴，∴，∴．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，∴．
∴．
∵点P的横坐标为，∴点B的横坐标为．
把代入，得．
∴点B的坐标为．
∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC =OA），
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．
【解析】（1）先求出抛物线解析式，再根据平移的特征即可得到点C的坐标；（2）①根据抛物线顶点坐标的表达式及抛物线与坐标轴的交点坐标的特征即可得到结果；②根据抛物线与坐标轴的交点坐标及抛物线与直线OP的交点坐标的特征即可得到结果；
7．如图，二次函数的图像开口向上，图像经过点和，且与轴相交于负半轴．
第问：给出四个结论：①；②；③；④．写出其中正确结论的序号（答对得分，少选、错选均不得分）
第 问：给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1．写出其中正确结论的序号．
【答案】（1）正确的序号为①④；（2）正确的序号为②③④．
【分析】
（1）根据抛物线开口向上对①进行判断；根据抛物线对称轴x=-在y轴右侧对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方对③进行判断；根据x=1时，y=0对④进行判断；
（2）有（1）得到a>0，b<0，c<0，则可对①进行判断；根据0<-<1可对②进行判断；把点(-1,2)和(1,0)代入解析式得a﹣b+c=2，a+b+c=0,整理有a+c=1，则可对③进行判断；根据a=1-c，c<0可对④进行判断．
解：（1）①由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，正确；
②因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=＞0．
又∵a＞0，∴b＜0，错误；
③由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，错误；
④由图像可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，正确．
故（1）中，正确结论的序号是①④．
（2）①∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，错误；
②由图像可知：对称轴x=＞0且对称轴x=＜1，∴2a+b＞0，正确；
③由图像可知：当x=﹣1时y=2，∴a﹣b+c=2，当x=1时y=0，∴a+b+c=0；
a﹣b+c=2与a+b+c=0相加得2a+2c=2，解得：a+c=1，正确；
④∵a+c=1，移项得：a=1﹣c．
又∵c＜0，∴a＞1，正确．
故（2）中，正确结论的序号是②③④．
【点拨】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0；没有交点，b2﹣4ac＜0．
举一反三：
【变式1】抛物线的图像如图所示：
（1）判断，，，的符号；
（2）当时，求，，满足的关系．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据图形，开口向下得a＜0，x=0时可得c＞0，由对称轴可得b＞0，与x轴有两个不同交点可得b2﹣4ac＞0；2）由于B点坐标可以表示为：（0，c），|OA|=|OB|，可知A（﹣c，0）即可进行求解．
解：（1）由图像可知，抛物线开口向下，可得：a＜0；
x=0时，y=c＞0；
∵对称轴x=，a＜0，∴b＞0；
图像与x轴有两个不同交点可得b2﹣4ac＞0；
（2）当|OA|=|OB|时，即A点坐标为（﹣c，0），代入抛物线方程得y=ac2﹣bc+c两边同时除以c得：ac﹣b+1=0．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，难度一般，关键在已知条件下表示出A点的坐标代入抛物线方程．
【变式2】已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴，
确定，，，的符号；
求证：；
当取何值时，，当取何值时．
【答案】（1），，，；（2）详见解析；（3）当时，；当或时，．
【分析】（1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定b2-4ac的符号；
（2）根据图像和x=-1的函数值确定a-b+c与0的关系；
（3）抛物线在x轴上方时y＞0；抛物线在x轴下方时y＜0．
解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的上方，
∴，
∵抛物线与轴有两个交点，
∴；
证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为，
∴当时，；
根据图像可知，
当时，；当或时，．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图像与系数的关系.
8．已知二次函数y=ax2+bx的图像过点（6，0），（﹣2，8）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）y=x2﹣3x；（2）对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣）．
【分析】（1）根据图像过点（6，0），（﹣2，8）列方程组求出a、b的值即可，（2）把解析式配方后即可确定对称轴和顶点坐标．
解：（1）∵y=ax2+bx的图像过点（6，0），（﹣2，8）．
∴ ，
解得： ，
∴二次函数解析式为y=x2﹣3x；
∵ y=x2﹣3x=（x﹣3）2﹣，
∴抛物线的对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣）．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的三种形式．将二次函数的一般解析式转化为顶点式时，可采用了“配方法”．灵活运用二次函数的三种形式是解题关键.
举一反三：
【变式1】 已知二次函数，函数值与自变量之间的部分对应值如表：
（1）写出二次函数图像的对称轴．
（2）求二次函数的表达式．
（3）当时，写出函数值的取值范围．
【答案】（1）x=2；（2）；（3）
【分析】
（1）二次函数是轴对称图形，而（-4，-2），（0，-2）关于对称轴对此，利用中点坐标公式可求，
（2）求二次函数解析式，可知b,c待定，但（-4，-2），（0，-2）只能取一点，取两点坐标（-1，1），（0，-2）代入解之即可，
（3）由于对称轴与x轴交点横坐标，在，说明x=-4与x=-1取值不是最大值，为此x=-4与x=-1对应的函数值的最小值与x=-2时函数值即可．
解：（1）∵二次函数是轴对称图形，、时的函数值相等，都是，对称轴是（-4，-2），（0，-2）两点连结的中垂线，
∴此函数图像的对称轴为直线；
（2）由点（-1，1），（0，-2）在抛物线上
将，代入，
得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为：；
（3）∵，
∴当时，取得最大值2，
由表可知当时，当时，
∴当时，．
【点拨】本题考查利用列表求对称轴表示式，二次函数解析式，函数值范围，关键利用数形结合思想，掌握二次函数的性质，函数值的求法，抛物线最值．
【变式2】已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数图像的对称轴是直线x＝ ；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图像上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图像，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）1；（2）y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；（3）﹣1≤t≤2
【分析】
（1）由对称轴是直线x＝，可求解；
（2）分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
（3）利用函数图像的性质可求解．
解：（1）由题意可得：对称轴是直线x＝＝1，
故答案为：1；
（2）当a＞0时，∵对称轴为x＝1，
当x＝1时，y有最小值为﹣a，当x＝3时，y有最大值为3a，
∴3a﹣（﹣a）＝4．
∴a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x；
当a＜0时，同理可得
y有最大值为﹣a； y有最小值为3a，
∴﹣a﹣3a＝4，
∴a＝﹣1，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x；
综上所述，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；
（3）∵a＜0，对称轴为x＝1，
∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，
∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，
∴t≥﹣1，t+1≤3，
∴﹣1≤t≤2．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征等知识点的综合应用，能利用分类思想解决问题是本题的关键．
【变式3】 如图，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点E与点C关于抛物线的对称轴对称，求梯形AOCE的面积.
【答案】（1）A（-4,0），B（2,0），C,0,4）；（2）12
【分析】
（1）在抛物线的解析式中，令x=0可以求出点C的坐标，令y=0可以求出A、B点的坐标；（2）先求出E点坐标，然后求出OA，OC，CE的长计算面积即可.
解：（1）当y=0时，-x+4=0，解得x1=－4，x2=2，
∴A（－4，0），B（2，0），当x=0时，y=4，∴C（0，4）；
（2）y=﹣x+4=（x+1）2+，
∴抛物线y=﹣x+4的对称轴是直线x=－1，
∴E的坐标为（－2，4），则OA=4，OC=4，CE=2，
S梯形AOCE=
【点拨】本题是对二次函数的基础考查，熟练掌握二次函数与x轴，y轴交点坐标的求解及梯形面积知识是解决本题的关键.
9．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用点、求解一次函数的解析式，再求的坐标，再求反比例函数解析式；
（2）设 则再表示的长度，列出三角形面积与的函数关系式，利用函数的性质可得答案．
解：（1）设直线AB为
把点、代入解析式得：
解得：
直线为
把代入得：
把代入：
，
（2）设 轴，
则 由＜＜，
即当时，
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图像经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＜1时，y随x增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．
【分析】（1）将（1，﹣4）和（﹣1，0）代入解析式中，即可求出结论；（2）将二次函数的表达式转化为顶点式，然后根据二次函数的图像及性质即可求出结论．
解：（1）根据题意得，
解得，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
∵a＞0，
∴当x＜1时，y随x增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．
【点拨】此题考查的是二次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像及性质是解决此题的关键．
【变式2】已知二次函数的图像经过三点（1,0)，
(1)求二次函数的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点；
(3)当x为何值时，函数有最大值或最小值？最大值或最小值是多少？
【答案】(1)；(2)顶点，对称轴，交点：；(3)时函数有最小值为．
【分析】（1）抛物线的点过（1,0)，可以设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x+3)，把点代入解得a即可；（2）由配方法，得出抛物线解析式的顶点式，可得顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点；（3）由抛物线的开口向上，可得函数有最小值，顶点坐标的纵坐标是函数的最小值．
解：(1)设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)，
将代入，解得，
所以抛物线解析式为，
故答案为：；
（2）抛物线解析式为，
配方可得，，
∴顶点 ，对称轴，
由（1）知，交点：，
故答案为：顶点，对称轴，交点：；
(3)由（2）可知，函数解析式为，开口向上，函数有最小值，当 时函数有最小值为，
故答案为：时函数有最小值为．
【点拨】本题考查了二次函数的解析式求法，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（﹣4，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得△QAC的周长最小．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4（2）Q（﹣，）
【分析】
（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4），即可求解；
（2）点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，即可求解．
解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4）＝﹣x2﹣3x+4；
（2）抛物线的对称轴为：x＝﹣，
点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，
点C（0，4），将点B、C坐标代入一次函数表达式：y＝kx+m得：，解得：，
故直线BC的表达式为：y＝x+4，
当x＝﹣时，y＝，
则点Q（﹣，）．
【点拨】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，周长最小本质上考查抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得QA+QC最短，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，原理是是两点之间线段最短
举一反三：
【变式1】 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（﹣4，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得△QAC的周长最小．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4（2）Q（﹣，）
【分析】（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4），即可求解；（2）点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，即可求解．
解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4）＝﹣x2﹣3x+4；
（2）抛物线的对称轴为：x＝﹣，
点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，
点C（0，4），将点B、C坐标代入一次函数表达式：y＝kx+m得：，解得：，
故直线BC的表达式为：y＝x+4，
当x＝﹣时，y＝，
则点Q（﹣，）．
【点拨】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，周长最小本质上考查抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得QA+QC最短，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，原理是是两点之间线段最短
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线l1：y＝x2+bx+c过点C(0，﹣3)，且与抛物线l2：y＝﹣x2﹣x+2的一个交点为A，已知点A的横坐标为2．点P、Q分别是抛物线l1、抛物线l2上的动点．
（1）求抛物线l1对应的函数表达式；
（2）若点P在点Q下方，且PQ∥y轴，求PQ长度的最大值；
（3）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）(﹣1，0)或(3，0)或(，)或(﹣3，12)
【分析】
（1）将x＝2代入y＝﹣x2﹣x+2，从而得出点A的坐标，再将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解得b与c的值，即可求得抛物线l1对应的函数表达式；
（2）设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则可得点Q的坐标为（m，﹣m2﹣m+2），从而PQ等于点Q的纵坐标减去点P的纵坐标，利用二次函数的性质求解即可；
（3）设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），分两类情况：第一种情况：AC为平行四边形的一条边；第二种情况：AC为平行四边形的一条对角线．分别根据平行四边形的性质及点在抛物线上，得出关于n的方程，解得n的值，则点P的坐标可得．
解：（1）将x＝2代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣3，
∴点A的坐标为（2，﹣3）．
将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线l1对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵点P、Q分别是抛物线l1、抛物线l2上的动点．
∴设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵点P在点Q下方，PQ∥y轴，
∴点Q的坐标为（m，﹣m2﹣m+2），
∴PQ＝﹣m2﹣m+2﹣（m2﹣2m﹣3），
＝﹣m2+m+5，
∴当m＝﹣时，PQ长度有最大值，最大值为：﹣++5＝；
∴PQ长度的最大值为；
（3）设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），
第一种情况：AC为平行四边形的一条边．AC=2
①当点Q在点P右侧时，点Q的坐标为（n+2，﹣（n+2）2﹣（n+2）+2），
将Q的坐标代入y＝﹣x2﹣x+2，，得n2﹣2n﹣3＝﹣（n+2）2﹣（n+2）+2，
解得，n＝0或n＝﹣1．
∵n＝0时，点P与点C重合，不符合题意，舍去，
∴n＝﹣1，
∴点P的坐标为（﹣1，0）；
②当点Q在点P左侧时，点Q的坐标为（n﹣2，﹣（n﹣2）2﹣（n﹣2）+2），
将Q的坐标代入y＝﹣x2﹣x+2，得n2﹣2n﹣3＝﹣（n﹣2）2﹣（n﹣2）+2，
解得n＝3或n＝﹣．
∴此时点P的坐标为（3，0）或（﹣，）；
第二种情况：AC为平行四边形的一条对角线．
Q点的纵坐标yQ，n2-2n-3-(-3)=-3-yQ，
yQ=-n2+2n-3，
点Q的坐标为（2﹣n，﹣n2+2n﹣3），
将Q的坐标代入y＝﹣x2﹣x+2，得﹣n2+2n﹣3＝﹣（2﹣n）2﹣（2﹣n）+2，
解得，n＝0或n＝﹣3．
∵n＝0时，点P与点C重合，不符合题意，舍去，
∴n＝﹣3，
∴点P的坐标为（﹣3，12）．
综上所述，点P的坐标为(﹣1，0)或(3，0)或(，)或(﹣3，12)．
【点拨】本题考查抛物线解析式，平行y轴线段的最值，平行四边形的性质，掌握抛物线解析式，平行y轴线段的最值，平行四边形的性质，利用平形四边形的性质构造方程是解题关键．
【变式3】 如图，抛物线与直线分别相交于、两点，其中点在轴上，且此抛物线与轴的一个交点为．
（1）求抛物线的解析式
（2）在抛物线对称轴上找一点，使的周长最小，请求出这个周长的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用的解析式求解的坐标，把，代入，利用待定系数法列方程组，解方程组可得答案；
（2）联立两个函数解析式，求解的坐标，线段的长度， 如图，要使的周长最小，则最小，设二次函数与轴的另一交点为，抛物线的对称轴为： 点，连接 交对称轴于 ，此时，最小，再利用勾股定理求解，从而可得答案．
.解：（1）抛物线与直线交于轴上一点，
令 则
点
把，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式是；
（2）将直线与二次函数联立得方程组：
解得：或，
，
如图，要使的周长最小，则最小，
设二次函数与轴的另一交点为，
抛物线的对称轴为：
点，
连接 交对称轴于
，
此时，最小，
此时：，
的周长最小值为．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值，掌握以上知识是解题的关键．
11．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．
【答案】（1）y=﹣x2+2x﹣3；（2）需将抛物线向上平移4个单位
【分析】
（1）把点B和点C的坐标代入函数解析式解方程组即可；
（2）求出原抛物线上x＝－2时，y的值为－5，则抛物线上点（－2，－5）平移后的对应点为（－2，－1），根据纵坐标的变化可得平移的方向和平移的距离．
解：（1）把B（﹣1，0）和点C（2，3）代入y＝﹣x2＋bx＋c
得，
解得，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x﹣3；
（2）把x＝﹣2代入y＝﹣x2＋2x﹣3得y＝﹣4﹣4＋3＝﹣5，
点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），
所以需将抛物线向上平移4个单位．
点拨：本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的平移，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 已知抛物线经过点（1，0），（0，）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）抛物线可以由抛物线怎样平移得到？请写出一种平移的方法．
【答案】（1）；（2）先向左平移1单位，再向上平移2个单位
【分析】
（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；
（2）先将抛物线的一般式转化为顶点式，然后指出满足题意的平移方法即可．
解：（1）把，代入抛物线解析式得：
，
解得：，
则抛物线解析式为；
（2）抛物线解析式为，
抛物线可以由抛物线先向左平移1单位，再向上平移2个单位．
【点拨】本题考查了二次函数图像与几何变换，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
【变式2】已知二次函数y＝x2－4x＋3．
（1）直接写出函数图像的顶点坐标、与x轴交点的坐标；
（2）将图像先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得到新的函数图像，直接写出平移后的图像与轴交点的坐标．
【答案】（1）顶点坐标为，与轴的交点坐标为，；（2）．
【分析】
（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据函数值为零，可得相应自变量的值；
（2）根据图像向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减，可得平移后的解析式，根据自变量与函数值的关系，可得答案．
解：解：（1），顶点坐标为，
当时，，解得或，
即图像与轴的交点坐标为，；
（2）图像先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得
，
化简得，
当时，，
即平移后的图像与轴交点的坐标．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，利用配方法得出顶点坐标，利用图像向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减得出平移后的解析式是解题关键．
12．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点,,．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在点，使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形？若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）
【答案】（1），函数的对称轴为：；（2）点；（3）存在，点的坐标为或．
【分析】根据点的坐标可设二次函数表达式为：，由C点坐标即可求解；连接交对称轴于点，此时的值为最小，即可求解；
，则，将该坐标代入二次函数表达式即可求解．
解：根据点,的坐标设二次函数表达式为：，
∵抛物线经过点，
则，解得：，
抛物线的表达式为： ，
函数的对称轴为：；
连接交对称轴于点，此时的值为最小，
设BC的解析式为：，
将点的坐标代入一次函数表达式：得：
解得：
直线的表达式为：，
当时，，
故点；
存在，理由：
四边形是以为对角线且面积为的平行四边形，
则 ，
点在第四象限，故：则，
将该坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：或，
故点的坐标为或．
【点拨】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中，求线段和的最小值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法．
举一反三：
【变式1】 已知抛物线y＝ax2+bx+3过A(﹣3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C,
(1)求该抛物线的表达式．
(2)设P是该抛物线上的动点，当△PAB的面积等于△ABC的面积时，求P点的坐标．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)P点坐标为(﹣1+，﹣3)或(﹣1﹣，﹣3)．
【分析】（1）把A与B坐标代入求出a与b的值，即可确定出表达式；（2）先求出点C的坐标，从而确定△ABC的面积，再根据△PAB的面积等于△ABC的面积求出P的坐标即可．
解：(1)把A与B坐标代入得：，
解得：，
则该抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
(2)由抛物线解析式得：C(0，3)，
∴△PAB面积为6，即×|yP纵坐标|×4＝6，即yP纵坐标＝3或﹣3，
当yP纵坐标＝3时，可得3＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x＝﹣2或x＝0(舍去)，
此时P坐标为(﹣2，3)；
当yP纵坐标＝﹣3时，可得﹣3＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x＝﹣1±，
此时P坐标为(﹣1+，﹣3)或(﹣1﹣，﹣3)．
【点拨】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【变式2】已知m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；
(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．
【答案】(1)、y=－x2－4x+5；(2)、15；(3)、(－,0)或(－,0).
【详解】试题分析：(1)、首先求出方程的解得出点A和点B的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式；(2)、根据二次函数的解析式得出点C的坐标和顶点坐标，过D作x轴的垂线交x轴于M，从而求出△DMC、梯形MDBO和△BOC的面积，然后得出面积；(3)、设P点的坐标为（a,0），得出直线BC的方程，则PH与直线BC的交点坐标为(a，a+5)，PH与抛物线的交点坐标为H(a,－a2－4a+5)，然后根据EH=EP和EH=EP两种情况分别求出点P的坐标.
试题解析：(1)、解方程x2－6x+5=0，得x1=5,x2=1.由m
得解这个方程组得
所以，抛物线的解析式为y=－x2－4x+5.
(2)、 由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0，解这个方程得x1=－5,x2=1,
所以C点的坐标为（－5，0）．由顶点坐标公式计算得点D（－2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M．则S△DMC=×9×(5－2)=，
S梯形MDBO=×2×(9+5)=14，S△BOC=×5×5=，
所以，S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC－S△BOC=14+－=15．
(3)、设P点的坐标为（a,0），
因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．
那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5)，
PH与抛物线y=－x2－4x+5的交点坐标为H(a,－a2－4a+5)．
由题意，得①EH=EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)=(a+5).
解这个方程，得a=－或a=－5（舍去）.
② EH=EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)=(a+5)，
解这个方程,得a=－或a=－5（舍去），
∴P点的坐标为(－,0)或(－,0)．
考点：二次函数的综合应用
【变式3】 如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．
（1）求A，B，C，D的坐标；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣4），D（0，﹣3）；（2）9．
【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得A，B，C，D的坐标；
（2）根据（1）中求得的点A，B，C，D的坐标，可以求得四边形ABCD的面积．
解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝（x﹣1）2﹣4，
∴当y＝0时，x1＝3，x2＝﹣1，当x＝0时，y＝﹣3，该函数的顶点坐标为（1，﹣4），
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（0，﹣3）；
（2）连接OC，如图所示，
∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（0，﹣3），
∴四边形ABCD的面积是：S△AOD+S△ODC+S△OCB＝．
【点拨】本题考查了二次函数中点的特征以及四边形的面积，掌握二次函数的性质是解题的关键1
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