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北师大版九年级数学下册 专题2.16 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与性质（附答案）
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这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.16 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与性质（附答案），共56页。试卷主要包含了在抛物线y＝a，二次函数的最大值为，关于二次函数，下列说法错误的是，二次函数的最小值是等内容，欢迎下载使用。
1．已知二次函数 ，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当x取时的函数值为（ ）
A．-1B．-2C．2D．1
2．在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图像上有三点（x1，m）、（x2，m）、（x3，m），则x1+x2+x3的结果是（ ）
A．B．0C．1D．2
3．已知关于的二次函数的图像关于直线对称，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．的函数值一定大于的函数值
D．若，则当时，
4．对于二次函数y＝ax2+bx+c，令f（x）＝ax2+bx+c，则f（x0）表示当自变量x＝x0时的函数值．若f（5）＝f（﹣3），且f（﹣2018）＝2020，则f（2020）＝（ ）
A．2020B．2018C．﹣2018D．﹣2020
5．对于二次函数y=x2﹣2mx+3m﹣3，以下说法：①图像过定点（），②函数图像与x轴一定有两个交点，③若x=1时与x=2017时函数值相等，则当x=2018时的函数值为﹣3，④当m=﹣1时，直线y=﹣x+1与直线y=x+3关于此二次函数对称轴对称，其中正确命题是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．①③④
6．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图像时，列出下面的表格：
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
-11B．-2C．1D．-5
7．二次函数的最大值为（ ）
A．3B．4
C．5D．6
8．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．若将图像向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点，则
B．当时，y有最小值
C．对应的函数值比最小值大7
D．当时，图像与x轴有两个不同的交点
9．二次函数的最小值是 （ ）
A．2B．2C．1D．1
10．已知二次函数 (为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( )
A．3或6B．1或6C．1或3D．4或6
11．点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图像上．则m﹣n的最大值等于（ ）
A．B．4C．﹣D．﹣
12．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（ ）
A．的最小值为1
B．图像顶点坐标为（2，1），对称轴为直线
C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小
D．它的图像可以由的图像向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
13．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0,2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3,6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．5B．9C．11D．13
14．如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（ ）
A．（0.0）B．（0，）C．（0，2）D．（0，）
15．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为( )
A．10B．8C．7.5D．5
16．如图,抛物线与直线交于两点,点为轴上点,当周长最短时;周长的值为（ ）
A．B．
C．D．
17．如图，抛物线y=12x2+bx-2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A（-1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是（ ）
A．58B．2441C．2340D．2541
18．二次函数y=-（x-1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值2n，则m+n的值等于（ ）
A．0B．C．D．
19．已知二次函数的图像经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（ ）
A．y=-6x2+3x+4B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4D．y=2x2+3x-4
20．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝－2(x－1)2＋3B．y＝－2(x＋1)2＋3
C．y＝－(2x＋1)2＋3D．y＝－(2x－1)2＋3
21．抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+3B．y＝（x+1）2+3
C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
22．2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=－x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（ ）
B．
D．
23．抛物线的图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图像的函数解析式为，则b、c的值为
A．b=2，c=﹣6B．b=2，c=0C．b=﹣6，c=8D．b=﹣6，c=2
24．一个二次函数的图像的顶点坐标为，与轴的交点，这个二次函数的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
25．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A．；B．；
C．；D．.
26．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
27．若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )
A．B．C．D．
28．将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3
29．抛物线的对称轴是直线，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：
①且；
②；
③；
④；
⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则.其中正确的个数有( )
A．5个B．4个C．3个D．2个
30．对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（ ）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
31．如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图像大致为（ ）
B．
C．D．
32．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）
A．点B坐标为(5，4)B．AB＝ADC．a＝D．OC•OD＝16
填空题
33．如图，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)经过点A（-3，0），对称轴为直线x= -1，则(a+b)(4a-2b+1)的值为____________．
34．若、是抛物线上的两个点，则它的对称轴是______.
35．已知点（2，6），（4，6）是抛物线上的两点， 则这条抛物线的对称轴是_________．
36．抛物线过和两点，那么该抛物线的对称轴是_________．
37．若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点,且过点A(m－1,n)、B(m＋3,n),则n＝___
38．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图像如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．
39．若抛物线C1：y＝x2+mx+2与抛物线C2：y＝x2﹣3x+n关于y轴对称，则m+n＝_____．
40．已知抛物线 y= -x2+ mx +2m ，当-1 ≤ x ≤ 2时，对应的函数值y的最大值是6，则 m的值是___________．
41．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积为______．
42．如图，菱形ABCD的三个顶点在二次函数的图像上，点A、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为____________．
43．当 __________时，二次函数 有最小值___________.
44．二次函数的最大值是__________．
45．二次函数的最大值是__________．
46．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为__
47．对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：）9.9，10.1，10.0，若用作为这条线段长度的近以值，当______时，最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），若用作为这条线段长度的近似值，当_____时，最小．
48．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为_____．
49．如图，已知二次函数的图像与轴交于点，，与轴交于点，顶点关于轴的对称点为．点为轴上的一个动点，连接，则的最小值为__________．
50．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于点C，点P为抛物线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是_____．
51．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为_______．
52．已知抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴l上的一个动点，则PAPC的最小值是__________．
53．下表中与的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为__________．
54．设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为______.
55．如图，平行四边形ABCD中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为__________________．
56．请任意写出一个图像开口向下且顶点坐标为（﹣2，1）的二次函数解析式：_____．
57．一抛物线和另一抛物线y＝﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为_____．
58．抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为____________．
59．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为________________．
60．把抛物线y=x2﹣2x+3沿x轴向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为 ．
61．已知二次函数的图像经过点，顶点为将该图像向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为__．
62．如图，抛物线的顶点为P(－2，2)与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为_____
63．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像与轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是_____．
64．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与交于点A．过点A作轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C(点B在点A左侧，点C在点A右侧)，则线段BC的长为____．
65．对于函数，我们定义（为常数）.
例如，则.
已知：.
（1）若方程有两个相等实数根，则的值为___________；
（2）若方程有两个正数根，则的取值范围为__________.
66．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________．
67．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图像过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是________．
68．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-1的顶点为A，直线l过点P（0，m）且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C．若AB=AC，∠BAC=90°，则m=______．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质和二次函数图像具有对称性，可以求得x1+x2的值，从而可以求得相应的y的值．
【详解】
∵y4x24x1，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，
∴x1+x2=-1，
∴=,
∴当x取时，y=4×（）2+4×()-1=1-2-1=-2，
故选B．
【点睛】
本题考查二次函数图像上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．D
【分析】
根据二次函数的对称性和一次函数图像上点的坐标特征即可求得结果．
【详解】
解：如图，在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图像上有三点A（x1，m）、B（x2，m）、C（x3，m），
∵y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）
∴抛物线的对称轴为直线x＝m+1，
∴＝m+1，
∴x2+x3＝2m+2，
∵A（x1，m）在直线y＝﹣x上，
∴m＝﹣x1，
∴x1＝﹣2m，
∴x1+x2+x3＝﹣2m+2m+2＝2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的对称性和一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形．
3．C
【分析】
根据函数的对称性，函数图像与x轴交点的个数，抛物线的性质进行依次判断即可.
【详解】
∵二次函数的图像关于直线对称，
∴,
∴b=-4，故A错误；
∵不能判断出图像与x轴交点的个数，故不能确定，故B错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，开口方向向上，故离对称轴近的点低，离对称轴远的点高，故的函数值一定大于的函数值，即C正确；
若，则当时，y<0，故D错误；
故选：C.
【点睛】
此题考查抛物线的性质，抛物线的对称性，抛物线与x轴交点个数的计算方法，正确理解解析式中各系数与抛物线的性质的关系是解题的关键.
4．A
【分析】
根据f（5）＝f（﹣3）求得函数对称轴，然后利用对称轴即可求解．
【详解】
∵f（5）＝f（﹣3）
∴函数对称轴为直线，即直线
∴，解得
∴f（2020）＝f（﹣2018）=2020
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的对称性，虽然题目形式较为新颖，但是考查的依然是二次函数的基本知识点点：利用对称性求对称轴和函数值．
5．C
【解析】
【分析】
把x=代入即可验证①的对错；令y=0，求出∆的值即可判断②的对错；由函数的对称性可知，当x=0和x=2018时的函数值相等，据此求解，即可判断③的对错；先求出抛物线的对称轴，然后验证即可判断④的对错.
【详解】
①当x=时，y=﹣2m×+3m﹣3=，所以图像过定点（，﹣），命题①正确；
②当y=0时，x2﹣2mx+3m﹣3=0，
△=（﹣2m）2﹣4×1×（3m﹣3）=4m2﹣12m+12=4（m﹣）2+3＞0，
∴函数图像与x轴一定有两个交点，
命题②正确；
③∵当x=1时的函数值与x=2017时的函数值相等，
∴当x=0和x=2018时的函数值相等，
∵当x=0时， y=x2﹣2mx+3m﹣3=3m﹣3，
∴当x=2018时，y=x2﹣2mx﹣3的函数值为﹣3，
命题③正确；
④当m=﹣1时，抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣6，
对称轴是：x=﹣1，
设y1=﹣x+1，y2=x+3，
当x=﹣1时，y1=1+1=2，y2=﹣1+3=2，
当y=0时，x1=1，x2=﹣3，
∴直线y=﹣x+1与直线y=x+3关于此二次函数对称轴对称，
命题④正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性等知识，熟练掌握二次函数的相关知识点是解答本题的关键.
6．D
【解析】
【分析】
由已知可得函数图像关于y轴对称，则错误应出现在x=-2或x=2时，根据正确的数据求出函数的解析式，进而可得答案．
【详解】
解：由已知中的数据，可得函数图像关于y轴对称，
则错误应出现在x=-2或x=2时，
故函数的顶点坐标为（0，1），
y=ax2+1，当x=±1时，y=a+1=-2，
故a=-3，
故y=-3x2+1，
当x=±2时，y=4a+1=-11，
故错误的数值为-5，
故选D．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解答的关键．
7．C
【分析】
先利用配方法得到y=﹣（x﹣1）2+5，然后根据二次函数的最值问题求解．
【详解】
解：y=﹣（x﹣1）2+5，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为5．
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数的最值，掌握配方法正确计算，利用数形结合思想解题是关键．
8．C
【分析】
求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D.
【详解】
解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：=，
若过点（4，5），
则，解得：a=-5，故选项正确；
B、∵，开口向上，
∴当时，y有最小值，故选项正确；
C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-（a-9）=25，即对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△==9-a，当a＜0时，9-a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图像与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系.
9．B
【解析】
试题分析：对于二次函数的顶点式y=a+k而言，函数的最小值为k.
考点：二次函数的性质.
10．B
【解析】
分析：分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
详解：如图，
当h＜2时，有-（2-h）2=-1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有-（5-h）2=-1，
解得：h3=4（舍去），h4=6．
综上所述：h的值为1或6．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．
11．C
【分析】
根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值．
【详解】
解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图像上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．C
【分析】
根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】
解：二次函数，，
∴该函数的图像开口向上，对称轴为直线，顶点为，当时，有最小值1，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小；
故选项A、B的说法正确，C的说法错误；
根据平移的规律，的图像向右平移2个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到；
故选项D的说法正确，
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图像与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13．C
【分析】
过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线于点P，由PF=PE结合三角形三边关系，即可得出此时△PMF周长最小，再由点F、M的坐标即可得出MF、ME的长度，进而得出△PMF周长的最小值.
【详解】
如图
过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线于点P，此时△PMF周长最小
∵F（0,2）M（3,6），
∴ME=6，FM
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11
故选C
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和最短路径问题，熟练掌握各个知识点是解题关键.，
14．D
【详解】
解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1，
连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
当x＝2时，y＝﹣4，
所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
设直线A′B为
当x=0时，y=-2
即C（0，-2）
故选D
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键．
15．A
【分析】
写出周长的解析式，用配方法表示顶点式，即可得出周长的最大值.
【详解】
解：设P(x，x2﹣x﹣4)，
四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2(x2﹣x﹣4)+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2(x﹣1)2+10，
当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10.
故选A．
【点睛】
考核知识点：二次函数的最值运用.用配方法表示出顶点式，得出周长的最大值是解题的关键.
16．B
【分析】
联立方程先求出抛物线和直线的交点坐标，然后已知在中的边的长已经确定，只需要求出的最小值即可，可以做B点关于y轴的对称点,连接交y轴于点C，此时就为的最小值，所以周长最短为的长，求出即可.
【详解】
解：根据题意联立方程得：
，得出，把横坐标分别代入表达式得出交点坐标，
即：,,
已知在中的边的长已经确定，
做B点关于y轴的对称点,连接交y轴于点C,如图所示，
此时就为的最小值,
，
,
周长最小为：;
故选B.
【点睛】
本题考查的是两个函数图像的交点问题，以及求线段的最小值问题，需要根据题意去解读信息，借助于勾股定理去求最终结果.
17．B
【解析】
试题分析：∵点A（-1，0）在抛物线y=12x2+bx-2上，
∴12×（-1）2+b×（-1）-2=0，
∴b=-32，
∴抛物线的解析式为y=12x2-32x-2，
∴顶点D的坐标为（32，-258），
作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2
连接C′D交x轴于点M，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．
设抛物线的对称轴交x轴于点E．
∵ED∥y轴，
∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴OMEM=OC'ED，
即m32-m=2258，
∴m=2441．
故选B．
考点：1.轴对称-最短路线问题；2.二次函数的性质；3.相似三角形的判定与性质．
18．B
【分析】
由题意可得m＜0，n＞0，则y的最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．
最大值为2n分两种情况：①结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出n=2.5，结合图像最小值只能由x=m时求出；②结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图像最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．
【详解】
二次函数y=-（x-1）2+5的大致图像如下：
．
①当m＜0≤x≤n＜1时，当x=m时，y取最小值，即2m=-（m-1）2+5，
解得：m=-2，m=2(舍去)．
当x=n时，y取最大值，即2n=-（n-1）2+5，
解得：n=2或n=-2（均不合题意，舍去）；
②当m＜0≤x≤1≤n时，当x=m时，y取最小值，即2m=-（m-1）2+5，
解得：m=-2．
当x=1时，y取最大值，即2n=-（1-1）2+5，
解得：n=2.5，
或x=n时，y取最小值，x=1时，y取最大值，
2m=-（n-1）2+5，n=2.5，
∴m=，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n=-2+2.5=0.5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键．
19．D
【分析】
利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
【详解】
解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，
得：解得
所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4．
故选D
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识．
20．B
【分析】
由题意可知：该抛物线的解析式为y=-2（x-h）2+k，然后将顶点坐标代入即可求出解析式．
【详解】
解：由题意可知：该抛物线的解析式为y=-2（x-h）2+k，
又∵顶点坐标（-1，3），
∴y=-2（x+1）2+3，
故答案为y=-2（x+1）2+3．
故选B．
【点睛】
本题考查待定系数法求解析式，若两抛物线形状与开口方向相同，则它们二次项系数必定相同．
21．D
【分析】
先确定原抛物线的顶点坐标（1，3），根据对称性得到关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，即可列出函数关系式.
【详解】
∵y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），
∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣3．
故选：D．
【点睛】
此题考查函数图像的对称性，可由原图像确定某些特殊点的坐标，例如：与坐标轴的交点，图像的顶点坐标，由对称性即可得到对称的抛物线上的点的坐标，由此来求解析式.
22．A
【详解】
解：∵出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，
∴B点的坐标为：（0，1），A点坐标为（4，0），
将两点代入解析式得：，
解得：,
∴这条抛物线的解析式是：y=
故选A．
23．B
【详解】
函数的顶点坐标为（1，﹣4），
∵函数的图像由的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，
∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，即平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．
∴平移前的抛物线为，即y=x2+2x．
∴b=2，c=0．故选B．
24．B
【分析】
由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣3）2﹣1，然后把（0，﹣4）代入求出a的值即可得到抛物线解析式．
【详解】
解:设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2﹣1，把（0，﹣4）代入得：a•（﹣3）2﹣1=﹣4，解得：a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣3）2﹣1=﹣x2+2x﹣4．
故选B．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
25．B
【分析】
根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.
【详解】
解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.
26．D
【解析】
分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图像．
故选D．
点睛：本题考查二次函数图像平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．
27．B
【详解】
分析：根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图像上点的坐标特征即可找出结论．
详解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，
∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），
∴该抛物线解析式为y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1．
将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4．
当x=-3时，y=（x+1）2-4=0，
∴得到的新抛物线过点（-3，0）．
故选B．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图像上点的坐标特征、二次函数图像与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．
28．A
【详解】
分析：直接利用二次函数图像与几何变换的性质分别平移得出答案．
详解：将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1．
故选A．
点睛：此题主要考查了二次函数图像与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
29．C
【分析】
根据对称轴的位置及图像与y轴的交点位置可对①进行判断；由图像过点（1，0）及对称轴可得图像与x轴的另一个交点坐标，由抛物线开口方向可得a<0，可得x=-2时y>0，可对②进行判断；由对称轴方程可得b=2a，由图像过点（1，0）可知a+b+c=0，即可得出3a+c=0，可对③④进行判断；由ax2+bx+c=2x+2可得ax2+(b-2)x+c-2=0，根据一元二次方程根与系数的故选可对⑤进行判断，综上即可得答案.
【详解】
∵对称轴在y轴左侧，图像与y轴交于y轴正半轴，
∴ab>0，c>0，故①错误，
∵图像过点（1，0），对称轴为x=-1，
∴图像与x轴的另一个交点为（-3，0），
∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
∴x=-2时，4a-b+c>0，故②正确，
∵对称轴x==-1，
∴b=2a，
∵x=1时，a+b+c=0，
∴3a+c=0，
∴8a+c=5a<0，故③错误，
∵3a+c=0，
∴c=-3a，
∴3a-3b=3a-3×2a=-3a=c，故④正确，
ax2+bx+c=2x+2，
整理得：ax2+(b-2)x+c-2=0，
∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，
∴x1+x2+x1x2=+==-5，故⑤正确，
综上所述：正确的结论为②④⑤，共3个.
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数图像与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
30．D
【分析】
分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，△=0求得c=1，②当抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得c=3，4，5，故c=3，4，5
【详解】
解：∵抛物线L：y=-x（x-3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点.
∴①如图1，抛物线与直线相切，
联立解析式
得x2-2x+2-c=0
△=（-2）2-4（2-c）=0
解得：c=1，
当c=1时，相切时只有一个交点，和题目相符 所以不用舍去；
②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点
此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上
∴c的最小值=2，但取不到，c的最大值=5，能取到
∴2＜c≤5
又∵c为整数
∴c=3，4，5
综上，c=1，3，4，5，所以甲乙合在一起也不正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图像上点的坐标特征和一次函数图像上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，数形结合是解此题的关键．
31．B
【分析】
依据a和b同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得到当0≤t＜1时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分，当1≤t＜2时，函数图像为开口向下的抛物线的一部分，当2≤t≤3时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分．
【详解】
如图①，当0≤t＜1时，BE=t，DE=t，
∴s=S△BDE=×t×t=t2；
如图②，当1≤t＜2时，CE=2-t，BG=t-1，
∴DE=（2-t），FG=（t-1），
∴s=S五边形AFGED=S△ABC-S△BGF-S△CDE=×2×-×（t-1）×（t-1）-×（2-t）×（2-t）=-t2+3t-；
如图③，当2≤t≤3时，CG=3-t，GF=（3-t），
∴s=S△CFG=×（3-t）×（3-t）=t2-3t+，
综上所述，当0≤t＜1时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t＜2时，函数图像为开口向下的抛物线的一部分；当2≤t≤3时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了动点问题的函数图像，函数图像是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
32．D
【分析】
由抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知∠ACO=∠ACB，再结合平行线的性质可判断∠BAC=∠ACB，从而可知AB=AD；过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性可得点D的坐标，则OC•OD的值可计算；由勾股定理可得AD的长，由交点式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可．
【详解】
解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，所以A（0，4）．因为对称轴为直线x＝，AB∥x轴，所以B（5，4），选项A正确，不符合题意．如答图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5．因为AB∥x轴，所以∠BAC＝∠ACO．因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，所以∠ACO＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以BC＝AB＝5．在Rt△BCE中，由勾股定理得EC＝3，所以C（8，0），因为对称轴为直线x＝，所以D（－3，0）．在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，所以AD＝5，所以AB＝AD，选项B正确，不符合题意．设y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将A（0，4）代入得4＝a(0＋3)(0－8)，解得a＝，选项C正确，不符合题意．因为OC＝8，OD＝3，所以OC•OD＝24，选项D错误，符合题意，因此本题选D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键．
33．-1
【解析】
【分析】由“对称轴是直线x=-1，且经过点P（-3，0）”可知抛物线与x轴的另一个交点是（1，0），代入抛物线方程即可解得．
【详解】因为抛物线对称轴x=-1且经过点P（-3，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点是（1，0），
代入抛物线解析式y=ax2+bx+1中，得a+b+1=0．
所以a+b=-1，
又因为，
所以2a-b=0,
所以(a+b)(4a-2b+1)=-1(0+1)=-1
故正确答案为：-1
【点睛】本题考核知识点：二次函数的对称轴. 解题关键：利用抛物线的对称性，找出抛物线与x轴的另一个交点.
34．
【分析】
根据抛物线的对称性可知，对称轴即为与x轴的两点交点横坐标的平均数．
【详解】
∵、两点是抛物线与x轴的两交点，
∴抛物线的对称轴为．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了抛物线的对称性，对称轴的求法．抛物线是关于对称轴成轴对称图形．
35．直线
【分析】
根据题意及抛物线的对称性可直接进行求解．
【详解】
解：由点（2，6），（4，6）是抛物线上的两点，可得：
点（2，6），（4，6）关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为：直线；
故答案为直线．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性求解对称轴是解题的关键．
36．x=2
【解析】
【分析】
根据抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性即可求解.
【详解】
∵抛物线与x轴交于和两点
∴对称轴为x=2，
故答案为x=2.
【点睛】
此题主要考查抛物线的图像和性质，解题的关键是熟知抛物线的对称性.
37．4
【分析】
根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是，故设抛物线解析式为，直接将点A代入，即可求得n.
【详解】
解：∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(m－1,n)、B(m＋3,n),
∴对称轴是
又∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点
∴设抛物线解析式为，
把点A(m－1,n)代入，得：
故答案为：4
【点睛】
本题考查二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握抛物线的图像及性质是解题关键.
38．－3＜x＜1
【解析】
试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图像求出y＞0时，x的范围．
解：根据抛物线的图像可知：
抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），
所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为﹣3＜x＜1．
考点：二次函数的图像．
39．5．
【分析】
根据关于y轴对称的点的坐标规律，将解析式中的x换成-x，y不变，化简即可得出答案.
【详解】
抛物线C1：y＝x2+mx+2与抛物线C2：y＝x2﹣3x+n关于y轴对称
x2+mx+2=（-x）2-3（-x）+n= x2+3x+n
m=3，n=2
m+n=3+2=5
故答案为5
【点睛】
本题考查了二次函数图像与几何变换，掌握关于y轴对称的点的坐标规律是解题的关键.
40．
【分析】
求出抛物线的对称轴，分，，三种情况进行讨论即可．
【详解】
抛物线开口向下，对称轴为直线x=
①当时，即m< -2时，x=-1时，y最大=-1+m=6，解得m=7（舍）；
②当时，即时，x=时，y最大=，解得，（舍）；
③当时，即时，x=2时，y最大=，解得m=（舍）.
综上所述：
故答案为．
【点睛】
考查二次函数的图像与性质，注意分类讨论，不要漏解．
41．4
【分析】
由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE，即可求解．
【详解】
令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，
则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，
S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝4．
故：答案为4．
【点睛】
本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S阴影部分图形＝S四边形BDFE是本题的关键．
42．（2， ）．
【详解】
解：由题意可知：抛物线y＝ax2－2ax＋(a＜0)的对称轴是直线x＝1，
与y轴的交点坐标是（2，），
即点B的坐标是（2，）
由菱形ABCD的三个顶点在二次函数y＝ax2－2ax＋(a＜0)的图像上，
点A，B分别是抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，
∴点B与点D关于直线x＝1对称，得到点D的坐标为（2，）．
故答案为（2，）．
43．1 5
【解析】
二次函数配方，得：，所以，当x＝1时，y有最小值5，
故答案为1，5.
44．7
【分析】
将二次函数化为顶点式，即可求解.
【详解】
解：，
即二次函数的最大值是7，
故答案为7．
【点睛】
本题考查的是二次函数的最大值，熟练掌握配方法求二次函数的最值是解题的关键.
45．8
【分析】
二次函数的顶点式在x=h时有最值，a>0时有最小值，a<0时有最大值，题中函数 ，故其在时有最大值.
【详解】
解：∵，
∴有最大值，
当时，有最大值8．
故答案为8．
【点睛】
本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确定方法是解题的关键.
46．6
【分析】
设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C=-2（x-1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．
【详解】
解：∵y=﹣x2+x+2，
∴当y=0时，﹣x2+x+2=0即﹣（x﹣2）（x+1）=0，
解得 x=2或x=﹣1
故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），
∴C=2（x+y）=2（x﹣x2+x+2）=﹣2（x﹣1）2+6．
∴当x=1时，C最大值=6．
即：四边形OAPB周长的最大值为6．
【点睛】
本题主要考查二次函数的最值以及二次函数图像上点的坐标特征．设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C=﹣2（x﹣1）2+6．最后根据根据二次函数的性质来求最值是关键．
47．10.0； ．
【分析】
（1）把整理得：，设，利用二次函数性质求出当时有最小值；
（2）把整理得：， 设，利用二次函数的性质即可求出当 取最小值时的值．
【详解】
解：（1）整理得：，
设，
由二次函数的性质可知：当时，函数有最小值，
即：当时，的值最小，
故答案为：10.0；
（2）整理得：，
设，由二次函数性质可知：
当时，有最小值，
即：当时，的值最小，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数模型的应用，关键是设，整理成二次函数，利用二次函数的性质—何时取最小值来解决即可．
48． +
【分析】
根据抛物线解析式求得点D（1，4）、点E（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（-1，4）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-3），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案．
【详解】
解：如图，
在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为x＝1，顶点D（1，4），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3），
作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），
连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，
四边形EDFG的周长＝DE+DF+FG+GE
＝DE+D′F+FG+GE′
＝DE+D′E′
＝.
∴四边形EDFG的周长的最小值为： +．
故答案是： +．
【点睛】
本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键．
49．
【分析】
过点作，交AC的延长线与H，交轴于点P，则点P为所求， ，故的最小值为：，即可求解.
【详解】
令，则，解得, 则
令 ，则,则
函数的顶点D的坐标为 ，则点
连接AC，则 ,
过点作，交AC的延长线与H，交轴于点P，则点P为所求，如图所示：
故的最小值为：
∴,则直线的函数表达式为：，将点的坐标代入上式子解得：
∴直线的函数表达式为：
同理直线的函数表达式为：
联立解得 ，故点
∴的最小值为：
故答案为：
【点睛】
本题考查了抛物线与轴的交点，主要考查了函数图像上点的坐标特征，解题的关键是确定，也是这一类题目的一般解题方法.
50．+5
【分析】
先连接AP、AC、BC，根据两点之间，线段最短得到△APC周长最小=BC+AC，根据二次函数解析式，求出A、B、C三点坐标，用勾股定理求出BC、AC即可.
【详解】
解：如图，连接AP、AC、BC，
由线段垂直平分线性质，得AP＝BP，
∴△APC周长=AP+PC+AC=BP+PC+AC,
∴当BC与对称轴交点则为点P时，
△APC周长=BP+PC+AC=BC+AC最小，
抛物线y＝-x2+x+3中，令y＝0，解得x＝4或x＝-2；令x＝0，解得y＝3，
∴A（-2，0），B（4，0），C（0，3），
∴OA＝2，OB＝4，OC＝3，
在Rt△AOC中，有AC＝＝，
在Rt△BOC中，有BC＝＝5，
∴△APC的周长的最小值为：+5，
故答案为+5．
【点睛】
本题是二次函数动点问题中的最短路径问题，用对称解决最短路径问题是解题的关键.
51．1
【分析】
根据矩形的性质得到BD=AC，所以求BD的最小值就是求AC的最小值，当点A在抛物线顶点的时候AC是最小的．
【详解】
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查矩形的性质和二次函数图像的性质，解题的关键是通过矩形的性质将要求的BD转化成可以求最小值的AC．
52．
【分析】
点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接CB交抛物线对称轴于点P，则点P 为所求，而的最小值就是BC．
【详解】
解：，
令，解得：或3，令，则，
故点、、的坐标分别为：、、，函数的对称轴为：，
点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，点为所求，
则的最小值，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是轴对称最短路径问题以及求函数图像与坐标轴的交点，正确确定出P点的位置是解题的关键．
53．
【分析】
根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中的点(-1，0)、(0，3)、(1，4)、(3，0)任取三个点带入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常数项即可求得答案．
【详解】
解：根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中(-1，0)、(0，3)、(1，4)三个点带入函数关系式，得：
解得：，
∴函数的表达式为：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了函数的表达式，解题的关键是掌握函数的三种表达方式：列表法、解析式法、图像法，本题就是将列表法转变为解析式法．
54．y=18x2-14x+2或y=-18x2+34x+2.
【解析】
试题分析：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0，2)，∴y=ax2+bx+2(a≠0).
∵抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)过B(4，3)，∴16a+4b+2=3.
∵抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)过C，且点C在直线x=2上，点C到抛物线对称轴的距离等于1，
∴|2-(-b2a)|=1.
∴16a+4b+2=32-(-b2a)=1或16a+4b+2=32-(-b2a)=-1，解得a=18b=-14或a=-18b=34.
∴抛物线的函数解析式为y=18x2-14x+2或y=-18x2+34x+2.
考点：1.二次函数的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系.
55．
【分析】
根据平行四边形的性质得到CD=AB=4，即C点坐标为，进而得到A点坐标为，B点坐标为，利用待定系数法即可求得函数解析式．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形
∴CD=AB=4
∴C点坐标为
∴A点坐标为，B点坐标为
设函数解析式为，代入C点坐标有
解得
∴函数解析式为，即
故答案为．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，和待定系数法求二次函数解析式，问题的关键是求出A点或B点的坐标．
56．y=﹣（x+2）2+1（答案不唯一）
【解析】
【分析】
写出一个抛物线开口向下，经过已知点坐标即可．
【详解】
设抛物线解析式为y=−（x+2）2+1，
故答案为： y=−（x+2）2+1（答案不唯一）
【点睛】
本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练的掌握待定系数法求二次函数解析式.
57．y＝﹣2（x+2）2+1．
【分析】
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由条件可以得出a＝﹣2，再将定点坐标代入解析式就可以求出结论．
【详解】
解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y＝﹣2x2相同，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣h）2+k，
∵顶点坐标是（﹣2，1），
∴y＝﹣2（x+2）2+1，
∴这个函数解析式为y＝﹣2（x+2）2+1，
故答案为y＝﹣2（x+2）2+1．
【点睛】
本题考查了根据顶点时运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，再解答时运用抛物线的性质求出a值是关健．
58．y=x2-8x+20．
【分析】
根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【详解】
= +2,其顶点坐标为(1,2).
向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为(4,4),
得到的抛物线的解析式是y=+4.
故答案为.
【点睛】
本题考查二次函数图像与几何变换.
59．
【解析】
【分析】
先确定抛物线y的顶点坐标为（0，-1），再把点（0，-1）先向右平移3个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（3，2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【详解】
解：抛物线y=的顶点坐标为（0，-1），把点（0，-1）先向右平移3个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（3，2），所以所得的抛物线的解析式为y=.
故答案为y=．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
60．y=（x﹣3）2+2
【分析】
根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【详解】
解：y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，其顶点坐标为（1，2）．
向右平移2个单位长度后的顶点坐标为（3，2），得到的抛物线的解析式是y=（x﹣3）2+2，
故答案为y=（x﹣3）2+2．
【点睛】
此题主要考查了次函数图像与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
61．．
【分析】
设原来的抛物线解析式为：．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点的坐标代入即可．
【详解】
设原来的抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得，
故原来的抛物线解析式是：，
设平移后的抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得(舍去)或，
所以平移后抛物线的解析式是：，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与几何变换，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．
62．12．
【详解】
如图，连接AP，，则根据平移的性质，图中两个绿色区域面积相等，
∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积等于平行四边形的面积．
由勾股定理，得，
过点A作AB⊥于点B，则．
∴阴影部分的面积为．
63．x1＝﹣2，x2＝1．
【分析】
根据函数图像和二次函数的性质可以得到点B的坐标，从而可以得到该函数图像与x轴的交点坐标，进而得到一元二次方程ax2+bx+c=0的根即可．
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图像与轴交于A（﹣2，0）、B两点，顶点为C（，﹣），
∴点B的坐标为（1，0），
∴当y＝0时，即0＝ax2+bx+c，此时x＝﹣2或x＝1，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣2，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣2，x2＝1．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
64．6
【分析】
设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，由抛物线的对称性可得BC═2（AE+AF），即可求出结论．
【详解】
解：设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，如图所示．
由抛物线的对称性，可知：BE＝AE，CF＝AF，
∵抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴为直线x＝2，
∴BC＝BE+AE+AF+CF＝2（AE+AF）＝2×[2﹣（﹣1）]＝6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图像的对称性解决问题是解题的关键．
65．（1）； （2）且.
【详解】
解：根据题意得y′=，（1）∵方程有两个相等实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=0，解得：m=，故答案为；
（2），即=，化简得：，∵方程有两个正数根，∴，解得：m≤且m≠．
故答案为m≤且m≠．
66．
【分析】
根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决．
【详解】
解：点的坐标为，点的坐标为，
，
抛物线、为常数）与线段交于、两点，且，
设点的坐标为，则点的坐标为，，
抛物线，
解得，．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
67．－2．
【分析】
设正方形的对角线OA长为2m，根据正方形的性质则可得出B、C坐标，代入二次函数y=ax2+c中，即可求出a和c，从而求积．
【详解】
设正方形的对角线OA长为2m，则B（﹣m，m），C（m，m），A（0，2m）；
把A，C的坐标代入解析式可得：c=2m①，am2+c=m②，
①代入②得：am2+2m=m，
解得：a=-，
则ac=-2m=-2．
考点：二次函数综合题．
68．3
【解析】
【分析】
设直线l与对称轴的交点为点D，则根据等腰直角三角形的性质可得BD=AD，根据韦达定理可表示出x1+x2与x1x2，进而表示出BC的长度和BD的长度，根据BD=AD可列出方程求出m的值.
【详解】
设直线l与对称轴的交点为点D，则根据等腰直角三角形的性质可得BD=AD，抛物线的顶点坐标为A（3，-1），
由题意得直线l的表达式为直线y=m，
当y=m时，可得方程
原方程整理可得，
由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，x1x2=，
（x1-x2）2=（x1+x2）2-4 x1x2=36-20+16m=16+16m
∵直线l与抛物线交于点B和点C，
故m＞-1，
∵BC2=16+16m，AD=m+1,BD==AD,
∴BC=2AD，BC2=4AD2，
16+16m =4（m+1）2
整理得，m2-2m-3=0
解得m=3或m=-1（舍去）
即m=3.
故答案为3.
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系和等腰三角形的性质，解题的关键是运用韦达定理正确表示出BC的长度.……
……
……
……
1．已知二次函数 ，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当x取时的函数值为（ ）
A．-1B．-2C．2D．1
2．在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图像上有三点（x1，m）、（x2，m）、（x3，m），则x1+x2+x3的结果是（ ）
A．B．0C．1D．2
3．已知关于的二次函数的图像关于直线对称，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．的函数值一定大于的函数值
D．若，则当时，
4．对于二次函数y＝ax2+bx+c，令f（x）＝ax2+bx+c，则f（x0）表示当自变量x＝x0时的函数值．若f（5）＝f（﹣3），且f（﹣2018）＝2020，则f（2020）＝（ ）
A．2020B．2018C．﹣2018D．﹣2020
5．对于二次函数y=x2﹣2mx+3m﹣3，以下说法：①图像过定点（），②函数图像与x轴一定有两个交点，③若x=1时与x=2017时函数值相等，则当x=2018时的函数值为﹣3，④当m=﹣1时，直线y=﹣x+1与直线y=x+3关于此二次函数对称轴对称，其中正确命题是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．①③④
6．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图像时，列出下面的表格：
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
-11B．-2C．1D．-5
7．二次函数的最大值为（ ）
A．3B．4
C．5D．6
8．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．若将图像向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点，则
B．当时，y有最小值
C．对应的函数值比最小值大7
D．当时，图像与x轴有两个不同的交点
9．二次函数的最小值是 （ ）
A．2B．2C．1D．1
10．已知二次函数 (为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( )
A．3或6B．1或6C．1或3D．4或6
11．点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图像上．则m﹣n的最大值等于（ ）
A．B．4C．﹣D．﹣
12．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（ ）
A．的最小值为1
B．图像顶点坐标为（2，1），对称轴为直线
C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小
D．它的图像可以由的图像向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
13．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0,2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3,6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．5B．9C．11D．13
14．如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（ ）
A．（0.0）B．（0，）C．（0，2）D．（0，）
15．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为( )
A．10B．8C．7.5D．5
16．如图,抛物线与直线交于两点,点为轴上点,当周长最短时;周长的值为（ ）
A．B．
C．D．
17．如图，抛物线y=12x2+bx-2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A（-1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是（ ）
A．58B．2441C．2340D．2541
18．二次函数y=-（x-1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值2n，则m+n的值等于（ ）
A．0B．C．D．
19．已知二次函数的图像经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（ ）
A．y=-6x2+3x+4B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4D．y=2x2+3x-4
20．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝－2(x－1)2＋3B．y＝－2(x＋1)2＋3
C．y＝－(2x＋1)2＋3D．y＝－(2x－1)2＋3
21．抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+3B．y＝（x+1）2+3
C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
22．2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=－x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（ ）
B．
D．
23．抛物线的图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图像的函数解析式为，则b、c的值为
A．b=2，c=﹣6B．b=2，c=0C．b=﹣6，c=8D．b=﹣6，c=2
24．一个二次函数的图像的顶点坐标为，与轴的交点，这个二次函数的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
25．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A．；B．；
C．；D．.
26．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
27．若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )
A．B．C．D．
28．将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3
29．抛物线的对称轴是直线，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：
①且；
②；
③；
④；
⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则.其中正确的个数有( )
A．5个B．4个C．3个D．2个
30．对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（ ）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
31．如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图像大致为（ ）
B．
C．D．
32．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）
A．点B坐标为(5，4)B．AB＝ADC．a＝D．OC•OD＝16
填空题
33．如图，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)经过点A（-3，0），对称轴为直线x= -1，则(a+b)(4a-2b+1)的值为____________．
34．若、是抛物线上的两个点，则它的对称轴是______.
35．已知点（2，6），（4，6）是抛物线上的两点， 则这条抛物线的对称轴是_________．
36．抛物线过和两点，那么该抛物线的对称轴是_________．
37．若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点,且过点A(m－1,n)、B(m＋3,n),则n＝___
38．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图像如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．
39．若抛物线C1：y＝x2+mx+2与抛物线C2：y＝x2﹣3x+n关于y轴对称，则m+n＝_____．
40．已知抛物线 y= -x2+ mx +2m ，当-1 ≤ x ≤ 2时，对应的函数值y的最大值是6，则 m的值是___________．
41．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积为______．
42．如图，菱形ABCD的三个顶点在二次函数的图像上，点A、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为____________．
43．当 __________时，二次函数 有最小值___________.
44．二次函数的最大值是__________．
45．二次函数的最大值是__________．
46．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为__
47．对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：）9.9，10.1，10.0，若用作为这条线段长度的近以值，当______时，最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），若用作为这条线段长度的近似值，当_____时，最小．
48．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为_____．
49．如图，已知二次函数的图像与轴交于点，，与轴交于点，顶点关于轴的对称点为．点为轴上的一个动点，连接，则的最小值为__________．
50．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于点C，点P为抛物线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是_____．
51．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为_______．
52．已知抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴l上的一个动点，则PAPC的最小值是__________．
53．下表中与的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为__________．
54．设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为______.
55．如图，平行四边形ABCD中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为__________________．
56．请任意写出一个图像开口向下且顶点坐标为（﹣2，1）的二次函数解析式：_____．
57．一抛物线和另一抛物线y＝﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为_____．
58．抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为____________．
59．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为________________．
60．把抛物线y=x2﹣2x+3沿x轴向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为 ．
61．已知二次函数的图像经过点，顶点为将该图像向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为__．
62．如图，抛物线的顶点为P(－2，2)与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为_____
63．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像与轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是_____．
64．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与交于点A．过点A作轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C(点B在点A左侧，点C在点A右侧)，则线段BC的长为____．
65．对于函数，我们定义（为常数）.
例如，则.
已知：.
（1）若方程有两个相等实数根，则的值为___________；
（2）若方程有两个正数根，则的取值范围为__________.
66．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________．
67．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图像过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是________．
68．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-1的顶点为A，直线l过点P（0，m）且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C．若AB=AC，∠BAC=90°，则m=______．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质和二次函数图像具有对称性，可以求得x1+x2的值，从而可以求得相应的y的值．
【详解】
∵y4x24x1，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，
∴x1+x2=-1，
∴=,
∴当x取时，y=4×（）2+4×()-1=1-2-1=-2，
故选B．
【点睛】
本题考查二次函数图像上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．D
【分析】
根据二次函数的对称性和一次函数图像上点的坐标特征即可求得结果．
【详解】
解：如图，在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图像上有三点A（x1，m）、B（x2，m）、C（x3，m），
∵y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）
∴抛物线的对称轴为直线x＝m+1，
∴＝m+1，
∴x2+x3＝2m+2，
∵A（x1，m）在直线y＝﹣x上，
∴m＝﹣x1，
∴x1＝﹣2m，
∴x1+x2+x3＝﹣2m+2m+2＝2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的对称性和一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形．
3．C
【分析】
根据函数的对称性，函数图像与x轴交点的个数，抛物线的性质进行依次判断即可.
【详解】
∵二次函数的图像关于直线对称，
∴,
∴b=-4，故A错误；
∵不能判断出图像与x轴交点的个数，故不能确定，故B错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，开口方向向上，故离对称轴近的点低，离对称轴远的点高，故的函数值一定大于的函数值，即C正确；
若，则当时，y<0，故D错误；
故选：C.
【点睛】
此题考查抛物线的性质，抛物线的对称性，抛物线与x轴交点个数的计算方法，正确理解解析式中各系数与抛物线的性质的关系是解题的关键.
4．A
【分析】
根据f（5）＝f（﹣3）求得函数对称轴，然后利用对称轴即可求解．
【详解】
∵f（5）＝f（﹣3）
∴函数对称轴为直线，即直线
∴，解得
∴f（2020）＝f（﹣2018）=2020
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的对称性，虽然题目形式较为新颖，但是考查的依然是二次函数的基本知识点点：利用对称性求对称轴和函数值．
5．C
【解析】
【分析】
把x=代入即可验证①的对错；令y=0，求出∆的值即可判断②的对错；由函数的对称性可知，当x=0和x=2018时的函数值相等，据此求解，即可判断③的对错；先求出抛物线的对称轴，然后验证即可判断④的对错.
【详解】
①当x=时，y=﹣2m×+3m﹣3=，所以图像过定点（，﹣），命题①正确；
②当y=0时，x2﹣2mx+3m﹣3=0，
△=（﹣2m）2﹣4×1×（3m﹣3）=4m2﹣12m+12=4（m﹣）2+3＞0，
∴函数图像与x轴一定有两个交点，
命题②正确；
③∵当x=1时的函数值与x=2017时的函数值相等，
∴当x=0和x=2018时的函数值相等，
∵当x=0时， y=x2﹣2mx+3m﹣3=3m﹣3，
∴当x=2018时，y=x2﹣2mx﹣3的函数值为﹣3，
命题③正确；
④当m=﹣1时，抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣6，
对称轴是：x=﹣1，
设y1=﹣x+1，y2=x+3，
当x=﹣1时，y1=1+1=2，y2=﹣1+3=2，
当y=0时，x1=1，x2=﹣3，
∴直线y=﹣x+1与直线y=x+3关于此二次函数对称轴对称，
命题④正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性等知识，熟练掌握二次函数的相关知识点是解答本题的关键.
6．D
【解析】
【分析】
由已知可得函数图像关于y轴对称，则错误应出现在x=-2或x=2时，根据正确的数据求出函数的解析式，进而可得答案．
【详解】
解：由已知中的数据，可得函数图像关于y轴对称，
则错误应出现在x=-2或x=2时，
故函数的顶点坐标为（0，1），
y=ax2+1，当x=±1时，y=a+1=-2，
故a=-3，
故y=-3x2+1，
当x=±2时，y=4a+1=-11，
故错误的数值为-5，
故选D．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解答的关键．
7．C
【分析】
先利用配方法得到y=﹣（x﹣1）2+5，然后根据二次函数的最值问题求解．
【详解】
解：y=﹣（x﹣1）2+5，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为5．
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数的最值，掌握配方法正确计算，利用数形结合思想解题是关键．
8．C
【分析】
求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D.
【详解】
解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：=，
若过点（4，5），
则，解得：a=-5，故选项正确；
B、∵，开口向上，
∴当时，y有最小值，故选项正确；
C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-（a-9）=25，即对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△==9-a，当a＜0时，9-a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图像与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系.
9．B
【解析】
试题分析：对于二次函数的顶点式y=a+k而言，函数的最小值为k.
考点：二次函数的性质.
10．B
【解析】
分析：分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
详解：如图，
当h＜2时，有-（2-h）2=-1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有-（5-h）2=-1，
解得：h3=4（舍去），h4=6．
综上所述：h的值为1或6．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．
11．C
【分析】
根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值．
【详解】
解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图像上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．C
【分析】
根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】
解：二次函数，，
∴该函数的图像开口向上，对称轴为直线，顶点为，当时，有最小值1，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小；
故选项A、B的说法正确，C的说法错误；
根据平移的规律，的图像向右平移2个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到；
故选项D的说法正确，
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图像与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13．C
【分析】
过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线于点P，由PF=PE结合三角形三边关系，即可得出此时△PMF周长最小，再由点F、M的坐标即可得出MF、ME的长度，进而得出△PMF周长的最小值.
【详解】
如图
过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线于点P，此时△PMF周长最小
∵F（0,2）M（3,6），
∴ME=6，FM
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11
故选C
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和最短路径问题，熟练掌握各个知识点是解题关键.，
14．D
【详解】
解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1，
连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
当x＝2时，y＝﹣4，
所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
设直线A′B为
当x=0时，y=-2
即C（0，-2）
故选D
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键．
15．A
【分析】
写出周长的解析式，用配方法表示顶点式，即可得出周长的最大值.
【详解】
解：设P(x，x2﹣x﹣4)，
四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2(x2﹣x﹣4)+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2(x﹣1)2+10，
当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10.
故选A．
【点睛】
考核知识点：二次函数的最值运用.用配方法表示出顶点式，得出周长的最大值是解题的关键.
16．B
【分析】
联立方程先求出抛物线和直线的交点坐标，然后已知在中的边的长已经确定，只需要求出的最小值即可，可以做B点关于y轴的对称点,连接交y轴于点C，此时就为的最小值，所以周长最短为的长，求出即可.
【详解】
解：根据题意联立方程得：
，得出，把横坐标分别代入表达式得出交点坐标，
即：,,
已知在中的边的长已经确定，
做B点关于y轴的对称点,连接交y轴于点C,如图所示，
此时就为的最小值,
，
,
周长最小为：;
故选B.
【点睛】
本题考查的是两个函数图像的交点问题，以及求线段的最小值问题，需要根据题意去解读信息，借助于勾股定理去求最终结果.
17．B
【解析】
试题分析：∵点A（-1，0）在抛物线y=12x2+bx-2上，
∴12×（-1）2+b×（-1）-2=0，
∴b=-32，
∴抛物线的解析式为y=12x2-32x-2，
∴顶点D的坐标为（32，-258），
作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2
连接C′D交x轴于点M，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．
设抛物线的对称轴交x轴于点E．
∵ED∥y轴，
∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴OMEM=OC'ED，
即m32-m=2258，
∴m=2441．
故选B．
考点：1.轴对称-最短路线问题；2.二次函数的性质；3.相似三角形的判定与性质．
18．B
【分析】
由题意可得m＜0，n＞0，则y的最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．
最大值为2n分两种情况：①结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出n=2.5，结合图像最小值只能由x=m时求出；②结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图像最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．
【详解】
二次函数y=-（x-1）2+5的大致图像如下：
．
①当m＜0≤x≤n＜1时，当x=m时，y取最小值，即2m=-（m-1）2+5，
解得：m=-2，m=2(舍去)．
当x=n时，y取最大值，即2n=-（n-1）2+5，
解得：n=2或n=-2（均不合题意，舍去）；
②当m＜0≤x≤1≤n时，当x=m时，y取最小值，即2m=-（m-1）2+5，
解得：m=-2．
当x=1时，y取最大值，即2n=-（1-1）2+5，
解得：n=2.5，
或x=n时，y取最小值，x=1时，y取最大值，
2m=-（n-1）2+5，n=2.5，
∴m=，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n=-2+2.5=0.5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键．
19．D
【分析】
利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
【详解】
解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，
得：解得
所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4．
故选D
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识．
20．B
【分析】
由题意可知：该抛物线的解析式为y=-2（x-h）2+k，然后将顶点坐标代入即可求出解析式．
【详解】
解：由题意可知：该抛物线的解析式为y=-2（x-h）2+k，
又∵顶点坐标（-1，3），
∴y=-2（x+1）2+3，
故答案为y=-2（x+1）2+3．
故选B．
【点睛】
本题考查待定系数法求解析式，若两抛物线形状与开口方向相同，则它们二次项系数必定相同．
21．D
【分析】
先确定原抛物线的顶点坐标（1，3），根据对称性得到关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，即可列出函数关系式.
【详解】
∵y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），
∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣3．
故选：D．
【点睛】
此题考查函数图像的对称性，可由原图像确定某些特殊点的坐标，例如：与坐标轴的交点，图像的顶点坐标，由对称性即可得到对称的抛物线上的点的坐标，由此来求解析式.
22．A
【详解】
解：∵出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，
∴B点的坐标为：（0，1），A点坐标为（4，0），
将两点代入解析式得：，
解得：,
∴这条抛物线的解析式是：y=
故选A．
23．B
【详解】
函数的顶点坐标为（1，﹣4），
∵函数的图像由的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，
∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，即平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．
∴平移前的抛物线为，即y=x2+2x．
∴b=2，c=0．故选B．
24．B
【分析】
由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣3）2﹣1，然后把（0，﹣4）代入求出a的值即可得到抛物线解析式．
【详解】
解:设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2﹣1，把（0，﹣4）代入得：a•（﹣3）2﹣1=﹣4，解得：a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣3）2﹣1=﹣x2+2x﹣4．
故选B．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
25．B
【分析】
根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.
【详解】
解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.
26．D
【解析】
分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图像．
故选D．
点睛：本题考查二次函数图像平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．
27．B
【详解】
分析：根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图像上点的坐标特征即可找出结论．
详解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，
∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），
∴该抛物线解析式为y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1．
将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4．
当x=-3时，y=（x+1）2-4=0，
∴得到的新抛物线过点（-3，0）．
故选B．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图像上点的坐标特征、二次函数图像与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．
28．A
【详解】
分析：直接利用二次函数图像与几何变换的性质分别平移得出答案．
详解：将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1．
故选A．
点睛：此题主要考查了二次函数图像与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
29．C
【分析】
根据对称轴的位置及图像与y轴的交点位置可对①进行判断；由图像过点（1，0）及对称轴可得图像与x轴的另一个交点坐标，由抛物线开口方向可得a<0，可得x=-2时y>0，可对②进行判断；由对称轴方程可得b=2a，由图像过点（1，0）可知a+b+c=0，即可得出3a+c=0，可对③④进行判断；由ax2+bx+c=2x+2可得ax2+(b-2)x+c-2=0，根据一元二次方程根与系数的故选可对⑤进行判断，综上即可得答案.
【详解】
∵对称轴在y轴左侧，图像与y轴交于y轴正半轴，
∴ab>0，c>0，故①错误，
∵图像过点（1，0），对称轴为x=-1，
∴图像与x轴的另一个交点为（-3，0），
∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
∴x=-2时，4a-b+c>0，故②正确，
∵对称轴x==-1，
∴b=2a，
∵x=1时，a+b+c=0，
∴3a+c=0，
∴8a+c=5a<0，故③错误，
∵3a+c=0，
∴c=-3a，
∴3a-3b=3a-3×2a=-3a=c，故④正确，
ax2+bx+c=2x+2，
整理得：ax2+(b-2)x+c-2=0，
∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，
∴x1+x2+x1x2=+==-5，故⑤正确，
综上所述：正确的结论为②④⑤，共3个.
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数图像与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
30．D
【分析】
分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，△=0求得c=1，②当抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得c=3，4，5，故c=3，4，5
【详解】
解：∵抛物线L：y=-x（x-3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点.
∴①如图1，抛物线与直线相切，
联立解析式
得x2-2x+2-c=0
△=（-2）2-4（2-c）=0
解得：c=1，
当c=1时，相切时只有一个交点，和题目相符 所以不用舍去；
②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点
此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上
∴c的最小值=2，但取不到，c的最大值=5，能取到
∴2＜c≤5
又∵c为整数
∴c=3，4，5
综上，c=1，3，4，5，所以甲乙合在一起也不正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图像上点的坐标特征和一次函数图像上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，数形结合是解此题的关键．
31．B
【分析】
依据a和b同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得到当0≤t＜1时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分，当1≤t＜2时，函数图像为开口向下的抛物线的一部分，当2≤t≤3时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分．
【详解】
如图①，当0≤t＜1时，BE=t，DE=t，
∴s=S△BDE=×t×t=t2；
如图②，当1≤t＜2时，CE=2-t，BG=t-1，
∴DE=（2-t），FG=（t-1），
∴s=S五边形AFGED=S△ABC-S△BGF-S△CDE=×2×-×（t-1）×（t-1）-×（2-t）×（2-t）=-t2+3t-；
如图③，当2≤t≤3时，CG=3-t，GF=（3-t），
∴s=S△CFG=×（3-t）×（3-t）=t2-3t+，
综上所述，当0≤t＜1时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t＜2时，函数图像为开口向下的抛物线的一部分；当2≤t≤3时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了动点问题的函数图像，函数图像是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
32．D
【分析】
由抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知∠ACO=∠ACB，再结合平行线的性质可判断∠BAC=∠ACB，从而可知AB=AD；过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性可得点D的坐标，则OC•OD的值可计算；由勾股定理可得AD的长，由交点式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可．
【详解】
解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，所以A（0，4）．因为对称轴为直线x＝，AB∥x轴，所以B（5，4），选项A正确，不符合题意．如答图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5．因为AB∥x轴，所以∠BAC＝∠ACO．因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，所以∠ACO＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以BC＝AB＝5．在Rt△BCE中，由勾股定理得EC＝3，所以C（8，0），因为对称轴为直线x＝，所以D（－3，0）．在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，所以AD＝5，所以AB＝AD，选项B正确，不符合题意．设y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将A（0，4）代入得4＝a(0＋3)(0－8)，解得a＝，选项C正确，不符合题意．因为OC＝8，OD＝3，所以OC•OD＝24，选项D错误，符合题意，因此本题选D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键．
33．-1
【解析】
【分析】由“对称轴是直线x=-1，且经过点P（-3，0）”可知抛物线与x轴的另一个交点是（1，0），代入抛物线方程即可解得．
【详解】因为抛物线对称轴x=-1且经过点P（-3，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点是（1，0），
代入抛物线解析式y=ax2+bx+1中，得a+b+1=0．
所以a+b=-1，
又因为，
所以2a-b=0,
所以(a+b)(4a-2b+1)=-1(0+1)=-1
故正确答案为：-1
【点睛】本题考核知识点：二次函数的对称轴. 解题关键：利用抛物线的对称性，找出抛物线与x轴的另一个交点.
34．
【分析】
根据抛物线的对称性可知，对称轴即为与x轴的两点交点横坐标的平均数．
【详解】
∵、两点是抛物线与x轴的两交点，
∴抛物线的对称轴为．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了抛物线的对称性，对称轴的求法．抛物线是关于对称轴成轴对称图形．
35．直线
【分析】
根据题意及抛物线的对称性可直接进行求解．
【详解】
解：由点（2，6），（4，6）是抛物线上的两点，可得：
点（2，6），（4，6）关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为：直线；
故答案为直线．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性求解对称轴是解题的关键．
36．x=2
【解析】
【分析】
根据抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性即可求解.
【详解】
∵抛物线与x轴交于和两点
∴对称轴为x=2，
故答案为x=2.
【点睛】
此题主要考查抛物线的图像和性质，解题的关键是熟知抛物线的对称性.
37．4
【分析】
根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是，故设抛物线解析式为，直接将点A代入，即可求得n.
【详解】
解：∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(m－1,n)、B(m＋3,n),
∴对称轴是
又∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点
∴设抛物线解析式为，
把点A(m－1,n)代入，得：
故答案为：4
【点睛】
本题考查二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握抛物线的图像及性质是解题关键.
38．－3＜x＜1
【解析】
试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图像求出y＞0时，x的范围．
解：根据抛物线的图像可知：
抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），
所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为﹣3＜x＜1．
考点：二次函数的图像．
39．5．
【分析】
根据关于y轴对称的点的坐标规律，将解析式中的x换成-x，y不变，化简即可得出答案.
【详解】
抛物线C1：y＝x2+mx+2与抛物线C2：y＝x2﹣3x+n关于y轴对称
x2+mx+2=（-x）2-3（-x）+n= x2+3x+n
m=3，n=2
m+n=3+2=5
故答案为5
【点睛】
本题考查了二次函数图像与几何变换，掌握关于y轴对称的点的坐标规律是解题的关键.
40．
【分析】
求出抛物线的对称轴，分，，三种情况进行讨论即可．
【详解】
抛物线开口向下，对称轴为直线x=
①当时，即m< -2时，x=-1时，y最大=-1+m=6，解得m=7（舍）；
②当时，即时，x=时，y最大=，解得，（舍）；
③当时，即时，x=2时，y最大=，解得m=（舍）.
综上所述：
故答案为．
【点睛】
考查二次函数的图像与性质，注意分类讨论，不要漏解．
41．4
【分析】
由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE，即可求解．
【详解】
令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，
则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，
S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝4．
故：答案为4．
【点睛】
本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S阴影部分图形＝S四边形BDFE是本题的关键．
42．（2， ）．
【详解】
解：由题意可知：抛物线y＝ax2－2ax＋(a＜0)的对称轴是直线x＝1，
与y轴的交点坐标是（2，），
即点B的坐标是（2，）
由菱形ABCD的三个顶点在二次函数y＝ax2－2ax＋(a＜0)的图像上，
点A，B分别是抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，
∴点B与点D关于直线x＝1对称，得到点D的坐标为（2，）．
故答案为（2，）．
43．1 5
【解析】
二次函数配方，得：，所以，当x＝1时，y有最小值5，
故答案为1，5.
44．7
【分析】
将二次函数化为顶点式，即可求解.
【详解】
解：，
即二次函数的最大值是7，
故答案为7．
【点睛】
本题考查的是二次函数的最大值，熟练掌握配方法求二次函数的最值是解题的关键.
45．8
【分析】
二次函数的顶点式在x=h时有最值，a>0时有最小值，a<0时有最大值，题中函数 ，故其在时有最大值.
【详解】
解：∵，
∴有最大值，
当时，有最大值8．
故答案为8．
【点睛】
本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确定方法是解题的关键.
46．6
【分析】
设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C=-2（x-1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．
【详解】
解：∵y=﹣x2+x+2，
∴当y=0时，﹣x2+x+2=0即﹣（x﹣2）（x+1）=0，
解得 x=2或x=﹣1
故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），
∴C=2（x+y）=2（x﹣x2+x+2）=﹣2（x﹣1）2+6．
∴当x=1时，C最大值=6．
即：四边形OAPB周长的最大值为6．
【点睛】
本题主要考查二次函数的最值以及二次函数图像上点的坐标特征．设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C=﹣2（x﹣1）2+6．最后根据根据二次函数的性质来求最值是关键．
47．10.0； ．
【分析】
（1）把整理得：，设，利用二次函数性质求出当时有最小值；
（2）把整理得：， 设，利用二次函数的性质即可求出当 取最小值时的值．
【详解】
解：（1）整理得：，
设，
由二次函数的性质可知：当时，函数有最小值，
即：当时，的值最小，
故答案为：10.0；
（2）整理得：，
设，由二次函数性质可知：
当时，有最小值，
即：当时，的值最小，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数模型的应用，关键是设，整理成二次函数，利用二次函数的性质—何时取最小值来解决即可．
48． +
【分析】
根据抛物线解析式求得点D（1，4）、点E（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（-1，4）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-3），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案．
【详解】
解：如图，
在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为x＝1，顶点D（1，4），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3），
作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），
连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，
四边形EDFG的周长＝DE+DF+FG+GE
＝DE+D′F+FG+GE′
＝DE+D′E′
＝.
∴四边形EDFG的周长的最小值为： +．
故答案是： +．
【点睛】
本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键．
49．
【分析】
过点作，交AC的延长线与H，交轴于点P，则点P为所求， ，故的最小值为：，即可求解.
【详解】
令，则，解得, 则
令 ，则,则
函数的顶点D的坐标为 ，则点
连接AC，则 ,
过点作，交AC的延长线与H，交轴于点P，则点P为所求，如图所示：
故的最小值为：
∴,则直线的函数表达式为：，将点的坐标代入上式子解得：
∴直线的函数表达式为：
同理直线的函数表达式为：
联立解得 ，故点
∴的最小值为：
故答案为：
【点睛】
本题考查了抛物线与轴的交点，主要考查了函数图像上点的坐标特征，解题的关键是确定，也是这一类题目的一般解题方法.
50．+5
【分析】
先连接AP、AC、BC，根据两点之间，线段最短得到△APC周长最小=BC+AC，根据二次函数解析式，求出A、B、C三点坐标，用勾股定理求出BC、AC即可.
【详解】
解：如图，连接AP、AC、BC，
由线段垂直平分线性质，得AP＝BP，
∴△APC周长=AP+PC+AC=BP+PC+AC,
∴当BC与对称轴交点则为点P时，
△APC周长=BP+PC+AC=BC+AC最小，
抛物线y＝-x2+x+3中，令y＝0，解得x＝4或x＝-2；令x＝0，解得y＝3，
∴A（-2，0），B（4，0），C（0，3），
∴OA＝2，OB＝4，OC＝3，
在Rt△AOC中，有AC＝＝，
在Rt△BOC中，有BC＝＝5，
∴△APC的周长的最小值为：+5，
故答案为+5．
【点睛】
本题是二次函数动点问题中的最短路径问题，用对称解决最短路径问题是解题的关键.
51．1
【分析】
根据矩形的性质得到BD=AC，所以求BD的最小值就是求AC的最小值，当点A在抛物线顶点的时候AC是最小的．
【详解】
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查矩形的性质和二次函数图像的性质，解题的关键是通过矩形的性质将要求的BD转化成可以求最小值的AC．
52．
【分析】
点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接CB交抛物线对称轴于点P，则点P 为所求，而的最小值就是BC．
【详解】
解：，
令，解得：或3，令，则，
故点、、的坐标分别为：、、，函数的对称轴为：，
点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，点为所求，
则的最小值，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是轴对称最短路径问题以及求函数图像与坐标轴的交点，正确确定出P点的位置是解题的关键．
53．
【分析】
根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中的点(-1，0)、(0，3)、(1，4)、(3，0)任取三个点带入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常数项即可求得答案．
【详解】
解：根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中(-1，0)、(0，3)、(1，4)三个点带入函数关系式，得：
解得：，
∴函数的表达式为：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了函数的表达式，解题的关键是掌握函数的三种表达方式：列表法、解析式法、图像法，本题就是将列表法转变为解析式法．
54．y=18x2-14x+2或y=-18x2+34x+2.
【解析】
试题分析：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0，2)，∴y=ax2+bx+2(a≠0).
∵抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)过B(4，3)，∴16a+4b+2=3.
∵抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)过C，且点C在直线x=2上，点C到抛物线对称轴的距离等于1，
∴|2-(-b2a)|=1.
∴16a+4b+2=32-(-b2a)=1或16a+4b+2=32-(-b2a)=-1，解得a=18b=-14或a=-18b=34.
∴抛物线的函数解析式为y=18x2-14x+2或y=-18x2+34x+2.
考点：1.二次函数的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系.
55．
【分析】
根据平行四边形的性质得到CD=AB=4，即C点坐标为，进而得到A点坐标为，B点坐标为，利用待定系数法即可求得函数解析式．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形
∴CD=AB=4
∴C点坐标为
∴A点坐标为，B点坐标为
设函数解析式为，代入C点坐标有
解得
∴函数解析式为，即
故答案为．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，和待定系数法求二次函数解析式，问题的关键是求出A点或B点的坐标．
56．y=﹣（x+2）2+1（答案不唯一）
【解析】
【分析】
写出一个抛物线开口向下，经过已知点坐标即可．
【详解】
设抛物线解析式为y=−（x+2）2+1，
故答案为： y=−（x+2）2+1（答案不唯一）
【点睛】
本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练的掌握待定系数法求二次函数解析式.
57．y＝﹣2（x+2）2+1．
【分析】
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由条件可以得出a＝﹣2，再将定点坐标代入解析式就可以求出结论．
【详解】
解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y＝﹣2x2相同，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣h）2+k，
∵顶点坐标是（﹣2，1），
∴y＝﹣2（x+2）2+1，
∴这个函数解析式为y＝﹣2（x+2）2+1，
故答案为y＝﹣2（x+2）2+1．
【点睛】
本题考查了根据顶点时运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，再解答时运用抛物线的性质求出a值是关健．
58．y=x2-8x+20．
【分析】
根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【详解】
= +2,其顶点坐标为(1,2).
向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为(4,4),
得到的抛物线的解析式是y=+4.
故答案为.
【点睛】
本题考查二次函数图像与几何变换.
59．
【解析】
【分析】
先确定抛物线y的顶点坐标为（0，-1），再把点（0，-1）先向右平移3个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（3，2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【详解】
解：抛物线y=的顶点坐标为（0，-1），把点（0，-1）先向右平移3个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（3，2），所以所得的抛物线的解析式为y=.
故答案为y=．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
60．y=（x﹣3）2+2
【分析】
根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【详解】
解：y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，其顶点坐标为（1，2）．
向右平移2个单位长度后的顶点坐标为（3，2），得到的抛物线的解析式是y=（x﹣3）2+2，
故答案为y=（x﹣3）2+2．
【点睛】
此题主要考查了次函数图像与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
61．．
【分析】
设原来的抛物线解析式为：．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点的坐标代入即可．
【详解】
设原来的抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得，
故原来的抛物线解析式是：，
设平移后的抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得(舍去)或，
所以平移后抛物线的解析式是：，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与几何变换，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．
62．12．
【详解】
如图，连接AP，，则根据平移的性质，图中两个绿色区域面积相等，
∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积等于平行四边形的面积．
由勾股定理，得，
过点A作AB⊥于点B，则．
∴阴影部分的面积为．
63．x1＝﹣2，x2＝1．
【分析】
根据函数图像和二次函数的性质可以得到点B的坐标，从而可以得到该函数图像与x轴的交点坐标，进而得到一元二次方程ax2+bx+c=0的根即可．
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图像与轴交于A（﹣2，0）、B两点，顶点为C（，﹣），
∴点B的坐标为（1，0），
∴当y＝0时，即0＝ax2+bx+c，此时x＝﹣2或x＝1，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣2，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣2，x2＝1．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
64．6
【分析】
设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，由抛物线的对称性可得BC═2（AE+AF），即可求出结论．
【详解】
解：设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，如图所示．
由抛物线的对称性，可知：BE＝AE，CF＝AF，
∵抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴为直线x＝2，
∴BC＝BE+AE+AF+CF＝2（AE+AF）＝2×[2﹣（﹣1）]＝6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图像的对称性解决问题是解题的关键．
65．（1）； （2）且.
【详解】
解：根据题意得y′=，（1）∵方程有两个相等实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=0，解得：m=，故答案为；
（2），即=，化简得：，∵方程有两个正数根，∴，解得：m≤且m≠．
故答案为m≤且m≠．
66．
【分析】
根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决．
【详解】
解：点的坐标为，点的坐标为，
，
抛物线、为常数）与线段交于、两点，且，
设点的坐标为，则点的坐标为，，
抛物线，
解得，．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
67．－2．
【分析】
设正方形的对角线OA长为2m，根据正方形的性质则可得出B、C坐标，代入二次函数y=ax2+c中，即可求出a和c，从而求积．
【详解】
设正方形的对角线OA长为2m，则B（﹣m，m），C（m，m），A（0，2m）；
把A，C的坐标代入解析式可得：c=2m①，am2+c=m②，
①代入②得：am2+2m=m，
解得：a=-，
则ac=-2m=-2．
考点：二次函数综合题．
68．3
【解析】
【分析】
设直线l与对称轴的交点为点D，则根据等腰直角三角形的性质可得BD=AD，根据韦达定理可表示出x1+x2与x1x2，进而表示出BC的长度和BD的长度，根据BD=AD可列出方程求出m的值.
【详解】
设直线l与对称轴的交点为点D，则根据等腰直角三角形的性质可得BD=AD，抛物线的顶点坐标为A（3，-1），
由题意得直线l的表达式为直线y=m，
当y=m时，可得方程
原方程整理可得，
由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，x1x2=，
（x1-x2）2=（x1+x2）2-4 x1x2=36-20+16m=16+16m
∵直线l与抛物线交于点B和点C，
故m＞-1，
∵BC2=16+16m，AD=m+1,BD==AD,
∴BC=2AD，BC2=4AD2，
16+16m =4（m+1）2
整理得，m2-2m-3=0
解得m=3或m=-1（舍去）
即m=3.
故答案为3.
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系和等腰三角形的性质，解题的关键是运用韦达定理正确表示出BC的长度.……
……
……
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