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北师大版九年级数学下册 专题2.22 用待定系数法确定二次函数表达式（专项练习）（附答案）
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这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.22 用待定系数法确定二次函数表达式（专项练习）（附答案），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ）
A．y＝2x2＋4x﹣1B．y＝x2＋4x﹣2
C．y＝-2x2＋4x+1D．y＝2x2＋4x+1
2．已知抛物线与轴交点的横坐标为和，且过点，它对应的函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知抛物线顶点在轴上，抛物线与直线相交于、两点．点在轴上，点的横坐标为，那么抛物线顶点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知二次函数y＝x2+bx+c的最小值是﹣6，它的图像经过点（4，c），则c的值是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．6
5．下表中所列的，的6对值是二次函数的图像上的点所对应的坐标：
若，是该函数图像上的两点，根据表中信息，以下论断正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．该函数的最小值为3D．当，时（为常数），
6．已知二次函数y＝﹣+bx+c的图像经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（ ）
A．5B．7C．12D．﹣7
7．已知二次函数的与的部分对应值如下表：
当时，的值是（ ）
A．B．C．2D．6
8．在“探索函数的系数，，与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图像，发现这些图像对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（ ）
A．B．C．D．
9．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图像如图所示，以下结论：①abc＞0； ②方程x2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3； ③抛物线上有三点（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3），则y1＞y3＞y2；④若﹣1＜x＜2，则y的取值范围是﹣4≤y＜0；其中正确的有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
10．如图，抛物线与抛物线交于点，且它们分别与轴交于点、．过点作轴的平行线，分别与两抛物线交于点、，则以下结论：
①无论取何值，总是负数；
②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当时，随着的增大，的值先增大后减小；
④四边形为正方形．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②④C．③④D．①②③
11．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点P（1，1）、（﹣2，﹣2）、（0.5，0.5）…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2+7x+c（a≠0）的图像上有且只有一个和谐点（﹣1，﹣1），则此二次函数的解析式为（ ）
A．y＝3x2+7x+3B．y＝2x2+7x+4C．y＝x2+7x+5D．y＝4x2+7x+2
12．已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，下列关于x的函数：①；②；③；④．其中是“H函数”的为________．（填上序号即可）
14．如图，二次函数的图像经过一个顶点在原点的正方形的另三个顶点，则_______．
15．若二次函数的图像经过点，则代数式的值等于______．
16．二次函数的图像与轴的交点如图所示，根据图中信息可得______．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为____________．
18．把抛物线平移后经过点（1，1）和（-1，-5），则平移后的抛物线解析式为_____．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-4ax+3a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为（2，-4）；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为_____．
20．一次函数与二次函数的图像的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图像的顶点，则______，_______，_______．
21．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐级小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”。在特定条件下，“可食用率”与加工煎炸时间（单位：min）近似满足的函数关系为：（；，，是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数关系和实验数据，可以得到与的解析式为________；并得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为_______．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝_____．
23．有一个二次函数的图像，三位同学分别说出了它的一些特点：甲：开口向下；乙：对称轴是直线；丙：与轴的交点到原点的距离为2，满足上述全部特点的二次函数的解析式为______．
24．当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2﹣2mx＋2n＋1的最小值是﹣4，最大值是0，则m、n的值分别是_____．
三、解答题
25．已知二次函数y＝ax2﹣bx+3（a≠0）的图像过点A(2，3)，交y轴于点B．
（1）求点B的坐标及二次函数图像的对称轴；
（2）若抛物线最高点的纵坐标为4，求二次函数的表达式；
（3）已知点(m，y1)，(n，y2)在函数图像上且0＜m＜n＜1，试比较y1和y2的大小．
26．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0，b＜0）交x轴于O，A两点，顶点为B（2，－4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+m（k＞0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C．过点D作DE⊥x轴于点E，连接AB，CE．
①若k＝1，求△CDE的面积；
②求证：CE∥AB．
27．已知抛物线y＝ax2＋bx＋1（a≠0）经过点(1，－2)、(－2，19)，
（1）求a、b的值；
（2）若A(m，p)和B(n，p)是抛物线上不同的两点，且，求m、n的值．
28．已知y＝y1+y2，其中y1与x﹣3成正比例，y2与x2+1成正比例，且当x＝0时，y＝﹣4，当x＝﹣1时，y＝﹣6．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）判断点A（1，﹣4）是否在此函数图像上，并说明理由．
参考答案
1．A
【分析】将2组x、y值代入函数，得到关于a、c的二元一次方程，求解可得函数表达式．
解：根据题意得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝2x2＋4x﹣1．
故选：A．
【点拨】本题考查根据二次函数经过的点的信息，求得函数中的位置参数．
2．D
【分析】设函数解析式为，将点代入即可求得a的值，可得结果．
解：设抛物线函数解析式为：，
∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
整理得：，
故选：D．
【点拨】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，设出二次函数的交点式是解题的关键．
3．D
【分析】根据直线的解析式求出点A和点B的坐标，再求出抛物线的解析式，即可求出顶点M的坐标．
解：∵点A在x轴上，
取y＝0，得：0＝x＋1，
∴x＝−1，
∴A（−1，0），
∵点B的横坐标为2，
取x＝2，得y＝2＋1＝3，
∴B（2，3）
又∵抛物线的顶点在y轴上，设y＝ax2＋b，
代入A（−1，0），B（2，3），
得，
解得，
∴y＝x2−1，
∴M（0，−1），
故选：D．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，关键是要会用待定系数法求出抛物线的解析式，然后根据解析式求出顶点．
4．B
【分析】把点（4，c）代入y＝x2+bx+c即可得b＝-4，再把y＝x2+bx+c，化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得c．
解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图像经过点（4，c），
∴c＝16+4b+c，
∴b＝-4．
∴，
∵最小值是﹣6
∴-4+c=-6
∴c=-2
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，以及二次函数的性质，把函数y＝x2+bx+c的解析式化成顶点式是解题的关键．
5．D
【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图像与系数之间的关系以及二次函数的性质进行判断即可．
解：（1）把（-1，6），（0，3），（3，6）代入y=ax2+bx+c，
得，
解得，
所以抛物线解析式为y=x2-2x+3=，
∵，
∴当， 该函数的最小值为2，故选项C不符合题意；
当时，则，故选项A不符合题意；
当时，不能比较与的大小，故选项B不符合题意；
当时，，
时，，
∴，故选项D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
6．B
【分析】先利用待定系数法确定二次函数解析式，从而确定b,c的值，化简给出的方程，利用一元二次方程根的定义求解即可
解：∵二次函数y＝﹣+bx+c的图像经过（﹣1，0）与（5，0）两点，
∴，
解得：，
将b＝4，c＝5代入方程﹣+bx+c+d＝0，
得：﹣+4x+5+d＝0，
又∵关于x的方程﹣+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，
∴把x＝6代入方程﹣+4x+5+d＝0，
得：﹣36+4×6+5+d＝0，
解得：d＝7，
经验证d＝7时，△＞0，符合题意，
∴d＝7．
故选：B．
【点拨】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一元二次方程根的定义，根的判别式，熟练掌握待定系数法和一元二次方程根的定义是解题的关键．
7．A
【分析】运用待定系数法求出函数解析式，再把代入求出的值即可．
解：把（2，-6），（0，2），（2，6）三点坐标代入，得
解得，
∴二次函数解析式为
∴当时，
故选：A
【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求出函数解析式，以及二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．．
8．A
【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法，求过，，，中的三个点的二次函数解析式，继而解题．
解：设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
最大为，
故选：A．
【点拨】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．C
【分析】根据函数图像经过（﹣1，0）和（0，﹣3）两点，求出函数解析式，然后进行逐一判断即可得到答案.
解：把（﹣1，0）和（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：
解得：
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴abc＝1×（﹣2）×（﹣3）＞0，故①正确；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；
把（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3）分别代入y＝x2﹣2x﹣3得：y1＝0，y2＝﹣4，y3＝5，
∴y3＞y1＞y2，故③错误；
∵﹣1＜x＜2，对称轴为x＝1，
∴y的最小值为﹣4，
当x＝﹣1时，y＝0，当x＝2时，y＝﹣3，
∴y的取值范围为﹣4≤y＜0，故，④正确；
故选C．
【点拨】本题主要考查了二次函数的相关知识点，解题的关键在于能够准确求出二次函数解析式，然后进行判断求解.
10．B
【分析】①根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；②先求抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可．
解：①，
，
，
无论取何值，总是负数，
故①正确；
②抛物线与抛物线交于点，
，
即，
解得，
抛物线，
抛物线的顶点，抛物线的顶点为，
将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为，
即将抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位可得到抛物线，
故②正确；
③，
将代入抛物线，
解得，
，
将代入抛物线，
解得，
，
，从图像可知抛物线的图像在抛物线图像的上方，
当，随着的增大，的值减小，
故③不正确；
④设与轴交于点，
，
，
由③可知
，，
，，
当时，，
即，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是正方形，
故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，综合运用以上知识是解题的关键．
11．A
【分析】设和谐点为（t，t），把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t，则△＝62﹣4ac＝0，所以ac＝9，再把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得c＝6﹣a，然后解关于a、c的方程组即可．
解：设和谐点为（t，t），
把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t，
整理得at2+6t+c＝0，
∵t有且只有一个值，
∴△＝62﹣4ac＝0，即ac＝9，
把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得a﹣7+c＝﹣1，即c＝6﹣a，
把c＝6﹣a代入ac＝9得a（6﹣a）＝9，解得a＝3，
∴c＝6﹣3＝3，
∴此二次函数的解析式为y＝3x2+7x+3．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，把和谐点（t，t）代入y＝ax2+7x+c得到关于t的方程有两相等的实数根是解题关键．
12．D
【分析】根据抛物线图像性质可得A点是抛物线顶点坐标，再根据顶点坐标公式进行求解即可.
解：∵抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是，
∴，
解得，
经检验均符合
∴该抛物线的解析式为.
故选D.
【点拨】本题主要考查抛物线的性质和顶点坐标公式，解决本题的关键是要熟练掌握抛物线的性质和顶点坐标公式.
13．①②
【分析】设函数上一个点的坐标为，先根据关于原点对称的点坐标变换规律可得对称点的坐标为，再代入函数的解析式逐个检验即可得．
解：设函数上一个点的坐标为，则其关于原点对称的点坐标为，
①将点代入得：，
当时，，即点在函数上，
则函数是“函数”；
②将点代入得：，
当时，，即点在函数上，
则函数是“函数”；
③将点代入得：，即，
当时，，
则点不在函数上，此函数不是“函数”；
④将点代入得：，
当时，，
则点不在函数上，此函数不是“函数”；
综上，是“函数”的为①②，
故答案为：①②．
【点拨】本题考查了关于原点对称的点坐标变换规律，理解“函数”的定义是解题关键．
14．
【分析】如图，由题意易得点A、B关于y轴对称，点，进而根据正方形的性质可得点，然后代入二次函数解析式进行求解即可．
解：如图，
∴A、B关于y轴对称，
∵四边形AOBC是正方形，
∴，AB与OC相互平分，
令x=0时，则有，
∴点，
∴，
∴点，
把点A代入得：，解得：，
∵，
∴；
故答案为．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与正方形的性质是解题的关键．
15．2017
【分析】由题意可把点代入二次函数解析式得，则有，进而整体代入求值即可．
解：∵二次函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴；
故答案为2017．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
16．3
【分析】由图像得，抛物线过点（1，0），将点代入即可得出答案．
解：∵抛物线过点（1，0），
∴1﹣b+2＝0，
∴b＝3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，还考查了学生的识图能力，要熟练掌握．
17．
【分析】求出A点坐标和对称轴，根据对称性求出M点坐标，利用中点，求出B点坐标，进而求出P点坐标，代入求 a即可．
解：由题意得：对称轴为直线，P点横坐标为1，
当x=0时，y=3,
∴A点坐标为：，根据对称性可知，M点坐标为 ，
∵M为AB中点，
∴B点坐标为：
设OB解析式为y=kx，
把B代入得，
3=4k
解得，k=，
∴直线OB解析式为，
把代入得，，
∴P点坐标为，
代入抛物线得：，
解得，，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数和二次函数的综合，解题关键是根据二次函数的性质求出B点坐标，求出一次函数解析式．
18．y=2x²+3x-4
【分析】根据函数图像平移不改变图像的形状，可得二次项的系数不变，根据待定系数法，可得函数解析式．
解：∵设抛物线平移后经过点（1，1）和（-1，-5）的解析式为
∴ ，
∴ ，
∴平移后的抛物线解析式为．
故答案为：．
【点拨】考查了求二次函数图像的解析式和平移，解题关键是利用函数图像平移不改变图像的形状得出二次项的系数不变．
19．
【分析】当CD⊥y轴时，线段CD最短．根据点C的坐标求得点D的坐标，将点D的坐标代入二次函数解析式来求a的值；最后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，可以直接得到抛物线的顶点纵坐标．
解：根题意知，当CD⊥y轴时，线段CD最短．
∵点C的坐标为（2，﹣4），
∴点D的坐标为（0，﹣4）．
将其代入，得3a=-4，
解得．
∴该抛物线解析式是：，
∵．
∴该抛物线的顶点坐标是（2，）．
∴抛物线顶点纵坐标为．
故答案是：．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，求抛物线顶点坐标时，也可以直接利用顶点坐标公式求解．
20．-2 -2 4
【分析】把代入一次函数可求k，把抛物线顶点（0，c）代入一次函数解析式可求c，再代入可求a．
解：把代入得，，
解得，
一次函数解析式为，
又∵二次函数顶点为，
代入得，
，
把代入二次函数表达式得，
解得，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数与二次函数综合，解题关键是熟练运用待定系数法求函数解析式，根据抛物线的特征确定顶点坐标．
21． 3.75
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，确定顶点横坐标的值即为加工煎炸臭豆腐的最佳时间．
解：将（3,0.8），（4,0.9），（5,0.6）代入中，得
，
解得，
∴，
当时，P有最大值，
∴加工煎炸臭豆腐的最佳时间为3.75，
故答案为：，3.75．
【点拨】此题考查待定系数法求二次函数解析式，函数的顶点坐标的计算，二次函数的实际应用，正确理解题意正确计算是解题的关键．
22．
【分析】根据等腰直角三角形的性质求得A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，然后把O、A、B的坐标代入，根据待定系数法即可求得a、b、c的值，进而即可求得a+b+c的值．
解：∵等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，
∴A（4，0），B（2，﹣2），
抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，
∵平移后恰好能同时经过O、A、B三点，
∴，
解得，
∴a+b+c2+4，
故答案为．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，二次函数的图像与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．
23．
【分析】由开口向下，可知a＜0，对称轴是直线x=2，可得k=2，与y轴的交点到原点的距离为2，可得与y轴的交点的坐标为（0，±2），利用待定系数法求出解析式．
解：∵二次函数y=a（x-k）2的图像开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=2，
∴k=2，
∴二次函数y=a（x-k）2的解析式为y=a（x-2）2，
∵与y轴的交点到原点的距离为2，
∴与y轴交于点（0，2）或（0，-2），
把（0，2）代入得，2=4a，
∴（舍去），
把（0，-2）代入得，-2=4a，
∴，
∴解析式为：．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查用待定系数法求二次函数的解析式，此题是开放题，解题的关键理解题意．注意利用待定系数法求函数解析式．
24．﹣1，﹣1或1，﹣1
【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以求得m、n的值．
解：∵函数 ，
∴该函数图像开口向下，对称轴为直线 ，
∵当时，函数的最小值是-4，最大值是0，
∴当时，即时，则有当时，，当时，，
即 ，解得，不符合，故此种情况不存在；
当时，，
时，，当时，或时，，
即 或，解得或；
当时，，当时，，时，，
即，解得，不符合，故此种情况不存在；
由上可得，m、n的值分别是-1，1或1，-1，
故答案为：-1，1或1，-1．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
25．（1）；（2）；（3）当时，，当时，．
【分析】（1）将将代入解析式即可求得点的坐标，将点的坐标代入，即可求得对称轴；
（2）根据（1）的结论可得顶点坐标，设顶点式，将点的坐标代入，求得即可求得解析式；
（3）分类讨论，根据开口方向及二次函数图像与性质即可比较y1和y2的大小．
解：（1）交y轴于点B，
将代入，解得，
，
过，
，
即，
；
（2）对称轴为，
若抛物线最高点的纵坐标为4，
则顶点坐标为：，
设二次函数的表达式为，
将代入，
解得，
，
即；
（3）分情况讨论，当时，抛物线的开口朝上，在对称轴的左侧是随的增加而减小，
点(m，y1)，(n，y2)在函数图像上，且，
，
当时，抛物线的开口朝下，在对称轴的左侧是随的增加而增大，
点(m，y1)，(n，y2)在函数图像上，且，
，
综上所述，当时，，当时，．
【点拨】本题考查了二次函数图像与性质，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数图像与性质是解题的关键．
26．（1）y=x2-4x；（2）①；②见解析
【分析】（1）先求出A点的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）①先求出直线BD的解析式，然后得到D点的坐标，由此求解即可；
②过点B作BF⊥x轴于F，则∠AFB=∠COE=90°，由（1）得A（4，0），B（2，-4），则AF=2，BF=4，，联立得，，求得，从而可以得到，即可证明△AFB∽△EOC，得到∠FAB=∠OEC，由此即可证明．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a＞0，b＜0）交x轴于O，A两点，顶点为B（2，－4）
∴抛物线的对称轴为，
∴A（4，0）
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）①当k=1时，直线的解析式为，
∵直线经过B（2，-4），
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
解得或（舍去）
∴D（3，-3），
∴DE=3，OE=3，
∴；
②如图，过点B作BF⊥x轴于F，
∴∠AFB=∠COE=90°，
由（1）得A（4，0），B（2，-4），
∴F（2，0），
∴AF=2，BF=4，
∴
联立得，
∴，
∴，
∴OE=，
∵C是直线与y轴的交点，
∴C（0，m），
∴OC=-m，
∴，
∴，
∴△AFB∽△EOC，
∴∠FAB=∠OEC，
∴AB//CE．
【点拨】本题主要考查了一次函数和二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，平行线的判定，一元二次方程根与系数的关系等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
27．（1）；（2）
【分析】（1）把点，代入解方程组即可得到结论；
（2）把分别代入得到，联立即可求解．
解：（1）把点，代入得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为，
把分别代入得，
，
①②得：，
，
，
，
，
联立，
解得：．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解方程组，解题的关键是正确的理解题意．
28．（1）y＝﹣x2+x﹣4；（2）在，见解析
【分析】（1）根据题意设出关系式，利用待定系数法求出即可；
（2）把A的坐标代入检验即可．
解：（1）设y1＝k1（x﹣3），y2＝k（x2+1），
∵y＝y1+y2，
∴y＝k1（x﹣3）+k（x2+1），
把x＝0，y＝﹣4；x＝﹣1，y＝﹣6分别代入y＝k1（x﹣3）+k（x2+1），
得：，
解得：，
则y＝x﹣3﹣（x2+1）＝﹣x2+x﹣4；
（2）点A（1，﹣4）在此函数图像上，理由如下：
把x＝1代入y＝﹣x2+x﹣4，
得：y＝﹣1+1﹣4＝﹣4，
∴A（1，﹣4）在此函数图像上．
【点拨】此题考查了待定系数法求函数解析式，正比例函数的定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 0
3
4
11
6
3
6
11
…
0
2
6
…
…
2
6
2
…
1．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ）
A．y＝2x2＋4x﹣1B．y＝x2＋4x﹣2
C．y＝-2x2＋4x+1D．y＝2x2＋4x+1
2．已知抛物线与轴交点的横坐标为和，且过点，它对应的函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知抛物线顶点在轴上，抛物线与直线相交于、两点．点在轴上，点的横坐标为，那么抛物线顶点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知二次函数y＝x2+bx+c的最小值是﹣6，它的图像经过点（4，c），则c的值是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．6
5．下表中所列的，的6对值是二次函数的图像上的点所对应的坐标：
若，是该函数图像上的两点，根据表中信息，以下论断正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．该函数的最小值为3D．当，时（为常数），
6．已知二次函数y＝﹣+bx+c的图像经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（ ）
A．5B．7C．12D．﹣7
7．已知二次函数的与的部分对应值如下表：
当时，的值是（ ）
A．B．C．2D．6
8．在“探索函数的系数，，与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图像，发现这些图像对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（ ）
A．B．C．D．
9．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图像如图所示，以下结论：①abc＞0； ②方程x2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3； ③抛物线上有三点（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3），则y1＞y3＞y2；④若﹣1＜x＜2，则y的取值范围是﹣4≤y＜0；其中正确的有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
10．如图，抛物线与抛物线交于点，且它们分别与轴交于点、．过点作轴的平行线，分别与两抛物线交于点、，则以下结论：
①无论取何值，总是负数；
②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当时，随着的增大，的值先增大后减小；
④四边形为正方形．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②④C．③④D．①②③
11．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点P（1，1）、（﹣2，﹣2）、（0.5，0.5）…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2+7x+c（a≠0）的图像上有且只有一个和谐点（﹣1，﹣1），则此二次函数的解析式为（ ）
A．y＝3x2+7x+3B．y＝2x2+7x+4C．y＝x2+7x+5D．y＝4x2+7x+2
12．已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，下列关于x的函数：①；②；③；④．其中是“H函数”的为________．（填上序号即可）
14．如图，二次函数的图像经过一个顶点在原点的正方形的另三个顶点，则_______．
15．若二次函数的图像经过点，则代数式的值等于______．
16．二次函数的图像与轴的交点如图所示，根据图中信息可得______．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为____________．
18．把抛物线平移后经过点（1，1）和（-1，-5），则平移后的抛物线解析式为_____．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-4ax+3a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为（2，-4）；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为_____．
20．一次函数与二次函数的图像的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图像的顶点，则______，_______，_______．
21．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐级小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”。在特定条件下，“可食用率”与加工煎炸时间（单位：min）近似满足的函数关系为：（；，，是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数关系和实验数据，可以得到与的解析式为________；并得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为_______．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝_____．
23．有一个二次函数的图像，三位同学分别说出了它的一些特点：甲：开口向下；乙：对称轴是直线；丙：与轴的交点到原点的距离为2，满足上述全部特点的二次函数的解析式为______．
24．当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2﹣2mx＋2n＋1的最小值是﹣4，最大值是0，则m、n的值分别是_____．
三、解答题
25．已知二次函数y＝ax2﹣bx+3（a≠0）的图像过点A(2，3)，交y轴于点B．
（1）求点B的坐标及二次函数图像的对称轴；
（2）若抛物线最高点的纵坐标为4，求二次函数的表达式；
（3）已知点(m，y1)，(n，y2)在函数图像上且0＜m＜n＜1，试比较y1和y2的大小．
26．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0，b＜0）交x轴于O，A两点，顶点为B（2，－4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+m（k＞0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C．过点D作DE⊥x轴于点E，连接AB，CE．
①若k＝1，求△CDE的面积；
②求证：CE∥AB．
27．已知抛物线y＝ax2＋bx＋1（a≠0）经过点(1，－2)、(－2，19)，
（1）求a、b的值；
（2）若A(m，p)和B(n，p)是抛物线上不同的两点，且，求m、n的值．
28．已知y＝y1+y2，其中y1与x﹣3成正比例，y2与x2+1成正比例，且当x＝0时，y＝﹣4，当x＝﹣1时，y＝﹣6．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）判断点A（1，﹣4）是否在此函数图像上，并说明理由．
参考答案
1．A
【分析】将2组x、y值代入函数，得到关于a、c的二元一次方程，求解可得函数表达式．
解：根据题意得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝2x2＋4x﹣1．
故选：A．
【点拨】本题考查根据二次函数经过的点的信息，求得函数中的位置参数．
2．D
【分析】设函数解析式为，将点代入即可求得a的值，可得结果．
解：设抛物线函数解析式为：，
∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
整理得：，
故选：D．
【点拨】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，设出二次函数的交点式是解题的关键．
3．D
【分析】根据直线的解析式求出点A和点B的坐标，再求出抛物线的解析式，即可求出顶点M的坐标．
解：∵点A在x轴上，
取y＝0，得：0＝x＋1，
∴x＝−1，
∴A（−1，0），
∵点B的横坐标为2，
取x＝2，得y＝2＋1＝3，
∴B（2，3）
又∵抛物线的顶点在y轴上，设y＝ax2＋b，
代入A（−1，0），B（2，3），
得，
解得，
∴y＝x2−1，
∴M（0，−1），
故选：D．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，关键是要会用待定系数法求出抛物线的解析式，然后根据解析式求出顶点．
4．B
【分析】把点（4，c）代入y＝x2+bx+c即可得b＝-4，再把y＝x2+bx+c，化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得c．
解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图像经过点（4，c），
∴c＝16+4b+c，
∴b＝-4．
∴，
∵最小值是﹣6
∴-4+c=-6
∴c=-2
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，以及二次函数的性质，把函数y＝x2+bx+c的解析式化成顶点式是解题的关键．
5．D
【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图像与系数之间的关系以及二次函数的性质进行判断即可．
解：（1）把（-1，6），（0，3），（3，6）代入y=ax2+bx+c，
得，
解得，
所以抛物线解析式为y=x2-2x+3=，
∵，
∴当， 该函数的最小值为2，故选项C不符合题意；
当时，则，故选项A不符合题意；
当时，不能比较与的大小，故选项B不符合题意；
当时，，
时，，
∴，故选项D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
6．B
【分析】先利用待定系数法确定二次函数解析式，从而确定b,c的值，化简给出的方程，利用一元二次方程根的定义求解即可
解：∵二次函数y＝﹣+bx+c的图像经过（﹣1，0）与（5，0）两点，
∴，
解得：，
将b＝4，c＝5代入方程﹣+bx+c+d＝0，
得：﹣+4x+5+d＝0，
又∵关于x的方程﹣+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，
∴把x＝6代入方程﹣+4x+5+d＝0，
得：﹣36+4×6+5+d＝0，
解得：d＝7，
经验证d＝7时，△＞0，符合题意，
∴d＝7．
故选：B．
【点拨】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一元二次方程根的定义，根的判别式，熟练掌握待定系数法和一元二次方程根的定义是解题的关键．
7．A
【分析】运用待定系数法求出函数解析式，再把代入求出的值即可．
解：把（2，-6），（0，2），（2，6）三点坐标代入，得
解得，
∴二次函数解析式为
∴当时，
故选：A
【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求出函数解析式，以及二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．．
8．A
【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法，求过，，，中的三个点的二次函数解析式，继而解题．
解：设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
最大为，
故选：A．
【点拨】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．C
【分析】根据函数图像经过（﹣1，0）和（0，﹣3）两点，求出函数解析式，然后进行逐一判断即可得到答案.
解：把（﹣1，0）和（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：
解得：
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴abc＝1×（﹣2）×（﹣3）＞0，故①正确；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；
把（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3）分别代入y＝x2﹣2x﹣3得：y1＝0，y2＝﹣4，y3＝5，
∴y3＞y1＞y2，故③错误；
∵﹣1＜x＜2，对称轴为x＝1，
∴y的最小值为﹣4，
当x＝﹣1时，y＝0，当x＝2时，y＝﹣3，
∴y的取值范围为﹣4≤y＜0，故，④正确；
故选C．
【点拨】本题主要考查了二次函数的相关知识点，解题的关键在于能够准确求出二次函数解析式，然后进行判断求解.
10．B
【分析】①根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；②先求抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可．
解：①，
，
，
无论取何值，总是负数，
故①正确；
②抛物线与抛物线交于点，
，
即，
解得，
抛物线，
抛物线的顶点，抛物线的顶点为，
将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为，
即将抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位可得到抛物线，
故②正确；
③，
将代入抛物线，
解得，
，
将代入抛物线，
解得，
，
，从图像可知抛物线的图像在抛物线图像的上方，
当，随着的增大，的值减小，
故③不正确；
④设与轴交于点，
，
，
由③可知
，，
，，
当时，，
即，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是正方形，
故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，综合运用以上知识是解题的关键．
11．A
【分析】设和谐点为（t，t），把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t，则△＝62﹣4ac＝0，所以ac＝9，再把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得c＝6﹣a，然后解关于a、c的方程组即可．
解：设和谐点为（t，t），
把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t，
整理得at2+6t+c＝0，
∵t有且只有一个值，
∴△＝62﹣4ac＝0，即ac＝9，
把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得a﹣7+c＝﹣1，即c＝6﹣a，
把c＝6﹣a代入ac＝9得a（6﹣a）＝9，解得a＝3，
∴c＝6﹣3＝3，
∴此二次函数的解析式为y＝3x2+7x+3．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，把和谐点（t，t）代入y＝ax2+7x+c得到关于t的方程有两相等的实数根是解题关键．
12．D
【分析】根据抛物线图像性质可得A点是抛物线顶点坐标，再根据顶点坐标公式进行求解即可.
解：∵抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是，
∴，
解得，
经检验均符合
∴该抛物线的解析式为.
故选D.
【点拨】本题主要考查抛物线的性质和顶点坐标公式，解决本题的关键是要熟练掌握抛物线的性质和顶点坐标公式.
13．①②
【分析】设函数上一个点的坐标为，先根据关于原点对称的点坐标变换规律可得对称点的坐标为，再代入函数的解析式逐个检验即可得．
解：设函数上一个点的坐标为，则其关于原点对称的点坐标为，
①将点代入得：，
当时，，即点在函数上，
则函数是“函数”；
②将点代入得：，
当时，，即点在函数上，
则函数是“函数”；
③将点代入得：，即，
当时，，
则点不在函数上，此函数不是“函数”；
④将点代入得：，
当时，，
则点不在函数上，此函数不是“函数”；
综上，是“函数”的为①②，
故答案为：①②．
【点拨】本题考查了关于原点对称的点坐标变换规律，理解“函数”的定义是解题关键．
14．
【分析】如图，由题意易得点A、B关于y轴对称，点，进而根据正方形的性质可得点，然后代入二次函数解析式进行求解即可．
解：如图，
∴A、B关于y轴对称，
∵四边形AOBC是正方形，
∴，AB与OC相互平分，
令x=0时，则有，
∴点，
∴，
∴点，
把点A代入得：，解得：，
∵，
∴；
故答案为．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与正方形的性质是解题的关键．
15．2017
【分析】由题意可把点代入二次函数解析式得，则有，进而整体代入求值即可．
解：∵二次函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴；
故答案为2017．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
16．3
【分析】由图像得，抛物线过点（1，0），将点代入即可得出答案．
解：∵抛物线过点（1，0），
∴1﹣b+2＝0，
∴b＝3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，还考查了学生的识图能力，要熟练掌握．
17．
【分析】求出A点坐标和对称轴，根据对称性求出M点坐标，利用中点，求出B点坐标，进而求出P点坐标，代入求 a即可．
解：由题意得：对称轴为直线，P点横坐标为1，
当x=0时，y=3,
∴A点坐标为：，根据对称性可知，M点坐标为 ，
∵M为AB中点，
∴B点坐标为：
设OB解析式为y=kx，
把B代入得，
3=4k
解得，k=，
∴直线OB解析式为，
把代入得，，
∴P点坐标为，
代入抛物线得：，
解得，，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数和二次函数的综合，解题关键是根据二次函数的性质求出B点坐标，求出一次函数解析式．
18．y=2x²+3x-4
【分析】根据函数图像平移不改变图像的形状，可得二次项的系数不变，根据待定系数法，可得函数解析式．
解：∵设抛物线平移后经过点（1，1）和（-1，-5）的解析式为
∴ ，
∴ ，
∴平移后的抛物线解析式为．
故答案为：．
【点拨】考查了求二次函数图像的解析式和平移，解题关键是利用函数图像平移不改变图像的形状得出二次项的系数不变．
19．
【分析】当CD⊥y轴时，线段CD最短．根据点C的坐标求得点D的坐标，将点D的坐标代入二次函数解析式来求a的值；最后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，可以直接得到抛物线的顶点纵坐标．
解：根题意知，当CD⊥y轴时，线段CD最短．
∵点C的坐标为（2，﹣4），
∴点D的坐标为（0，﹣4）．
将其代入，得3a=-4，
解得．
∴该抛物线解析式是：，
∵．
∴该抛物线的顶点坐标是（2，）．
∴抛物线顶点纵坐标为．
故答案是：．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，求抛物线顶点坐标时，也可以直接利用顶点坐标公式求解．
20．-2 -2 4
【分析】把代入一次函数可求k，把抛物线顶点（0，c）代入一次函数解析式可求c，再代入可求a．
解：把代入得，，
解得，
一次函数解析式为，
又∵二次函数顶点为，
代入得，
，
把代入二次函数表达式得，
解得，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数与二次函数综合，解题关键是熟练运用待定系数法求函数解析式，根据抛物线的特征确定顶点坐标．
21． 3.75
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，确定顶点横坐标的值即为加工煎炸臭豆腐的最佳时间．
解：将（3,0.8），（4,0.9），（5,0.6）代入中，得
，
解得，
∴，
当时，P有最大值，
∴加工煎炸臭豆腐的最佳时间为3.75，
故答案为：，3.75．
【点拨】此题考查待定系数法求二次函数解析式，函数的顶点坐标的计算，二次函数的实际应用，正确理解题意正确计算是解题的关键．
22．
【分析】根据等腰直角三角形的性质求得A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，然后把O、A、B的坐标代入，根据待定系数法即可求得a、b、c的值，进而即可求得a+b+c的值．
解：∵等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，
∴A（4，0），B（2，﹣2），
抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，
∵平移后恰好能同时经过O、A、B三点，
∴，
解得，
∴a+b+c2+4，
故答案为．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，二次函数的图像与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．
23．
【分析】由开口向下，可知a＜0，对称轴是直线x=2，可得k=2，与y轴的交点到原点的距离为2，可得与y轴的交点的坐标为（0，±2），利用待定系数法求出解析式．
解：∵二次函数y=a（x-k）2的图像开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=2，
∴k=2，
∴二次函数y=a（x-k）2的解析式为y=a（x-2）2，
∵与y轴的交点到原点的距离为2，
∴与y轴交于点（0，2）或（0，-2），
把（0，2）代入得，2=4a，
∴（舍去），
把（0，-2）代入得，-2=4a，
∴，
∴解析式为：．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查用待定系数法求二次函数的解析式，此题是开放题，解题的关键理解题意．注意利用待定系数法求函数解析式．
24．﹣1，﹣1或1，﹣1
【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以求得m、n的值．
解：∵函数 ，
∴该函数图像开口向下，对称轴为直线 ，
∵当时，函数的最小值是-4，最大值是0，
∴当时，即时，则有当时，，当时，，
即 ，解得，不符合，故此种情况不存在；
当时，，
时，，当时，或时，，
即 或，解得或；
当时，，当时，，时，，
即，解得，不符合，故此种情况不存在；
由上可得，m、n的值分别是-1，1或1，-1，
故答案为：-1，1或1，-1．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
25．（1）；（2）；（3）当时，，当时，．
【分析】（1）将将代入解析式即可求得点的坐标，将点的坐标代入，即可求得对称轴；
（2）根据（1）的结论可得顶点坐标，设顶点式，将点的坐标代入，求得即可求得解析式；
（3）分类讨论，根据开口方向及二次函数图像与性质即可比较y1和y2的大小．
解：（1）交y轴于点B，
将代入，解得，
，
过，
，
即，
；
（2）对称轴为，
若抛物线最高点的纵坐标为4，
则顶点坐标为：，
设二次函数的表达式为，
将代入，
解得，
，
即；
（3）分情况讨论，当时，抛物线的开口朝上，在对称轴的左侧是随的增加而减小，
点(m，y1)，(n，y2)在函数图像上，且，
，
当时，抛物线的开口朝下，在对称轴的左侧是随的增加而增大，
点(m，y1)，(n，y2)在函数图像上，且，
，
综上所述，当时，，当时，．
【点拨】本题考查了二次函数图像与性质，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数图像与性质是解题的关键．
26．（1）y=x2-4x；（2）①；②见解析
【分析】（1）先求出A点的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）①先求出直线BD的解析式，然后得到D点的坐标，由此求解即可；
②过点B作BF⊥x轴于F，则∠AFB=∠COE=90°，由（1）得A（4，0），B（2，-4），则AF=2，BF=4，，联立得，，求得，从而可以得到，即可证明△AFB∽△EOC，得到∠FAB=∠OEC，由此即可证明．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a＞0，b＜0）交x轴于O，A两点，顶点为B（2，－4）
∴抛物线的对称轴为，
∴A（4，0）
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）①当k=1时，直线的解析式为，
∵直线经过B（2，-4），
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
解得或（舍去）
∴D（3，-3），
∴DE=3，OE=3，
∴；
②如图，过点B作BF⊥x轴于F，
∴∠AFB=∠COE=90°，
由（1）得A（4，0），B（2，-4），
∴F（2，0），
∴AF=2，BF=4，
∴
联立得，
∴，
∴，
∴OE=，
∵C是直线与y轴的交点，
∴C（0，m），
∴OC=-m，
∴，
∴，
∴△AFB∽△EOC，
∴∠FAB=∠OEC，
∴AB//CE．
【点拨】本题主要考查了一次函数和二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，平行线的判定，一元二次方程根与系数的关系等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
27．（1）；（2）
【分析】（1）把点，代入解方程组即可得到结论；
（2）把分别代入得到，联立即可求解．
解：（1）把点，代入得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为，
把分别代入得，
，
①②得：，
，
，
，
，
联立，
解得：．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解方程组，解题的关键是正确的理解题意．
28．（1）y＝﹣x2+x﹣4；（2）在，见解析
【分析】（1）根据题意设出关系式，利用待定系数法求出即可；
（2）把A的坐标代入检验即可．
解：（1）设y1＝k1（x﹣3），y2＝k（x2+1），
∵y＝y1+y2，
∴y＝k1（x﹣3）+k（x2+1），
把x＝0，y＝﹣4；x＝﹣1，y＝﹣6分别代入y＝k1（x﹣3）+k（x2+1），
得：，
解得：，
则y＝x﹣3﹣（x2+1）＝﹣x2+x﹣4；
（2）点A（1，﹣4）在此函数图像上，理由如下：
把x＝1代入y＝﹣x2+x﹣4，
得：y＝﹣1+1﹣4＝﹣4，
∴A（1，﹣4）在此函数图像上．
【点拨】此题考查了待定系数法求函数解析式，正比例函数的定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 0
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