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北师大版九年级数学下册 专题2.25 二次函数与一元二次方程（专项练习1）（附答案）
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这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.25 二次函数与一元二次方程（专项练习1）（附答案），共29页。试卷主要包含了抛物线，二次函数图像与y轴的交点坐标是等内容，欢迎下载使用。
1．如图，是函数（0≤x≤4）的图像，通过观察图像得出了如下结论：
（1）当x>3时，y随x的增大而增大； （2）该函数图像与x轴有三个交点；
（3）该函数的最大值是6，最小值是﹣6； （4）当x > 0时，y随x的增大而增大．
以上结论中正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，过点作交轴于，若点从点出发，沿着直线上方抛物线运动到点，则点经过的路径长为（ ）
A． B． C．3 D．
3．a、b、c为△ABC三边，b＞a，a是c+b，c﹣b的比例中项，抛物线y=x2﹣（sinA+sinB）x﹣（a+b+c）的对称轴是x=，交y轴于（0，﹣30），则方程ax2﹣cx+b=0的根的情况是（ ）
A．有两不等实根B．有两相等实根
C．无实根D．以上都不对
4．抛物线（m是常数）与坐标轴交点的个数为（ ）
A．0B．1C．2或3D．3
5．二次函数图像与y轴的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若S△ABC＝3，则a＝（ ）
A．B．C．﹣1D．1
7．如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20
8．已知二次函数的自变量与函数的部分对应值列表如下：
则关于的方程的解是（ ）
A．，B．
C．D．不能确定
9．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表：
利用该二次函数的图像判断，当函数值y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜8B．x＜0或x＞8C．﹣2＜x＜4D．x＜﹣2或x＞4
10．如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（ ）
A．1.2B．2.3C．3.4D．4.5
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0
B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间
C．2a+b＞0
D．若点（5，y1）、（﹣，y2）都在函数图像上，则y1＜y2
12．下表是满足二次函数y＝ax2＋bx＋c的五组数据，x1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（ ）
A．1.6＜x1＜1.8B．2.0＜x1＜2.2C．1.8＜x1＜2.0D．2.2＜x1＜2.4
13．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（ ）
A．B．C．且D．x＜－1或x＞5
14．如图，已知二次函数的图像与正比例函数的图像交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2B．0＜x＜3C．2＜x＜3D．x＜0或x＞3
15．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像，y0时自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣1x5 B．x﹣1或 x5
C．x﹣1且x5 D．x﹣1或x5
填空题
16．已知，，满足，，则二次函数的图像的对称轴为_______．
17．已知抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是________．
18．已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），则线段的长为______．
19．若函数的图像与坐标轴有三个交点，则c的取值范围是________．
20．抛物线与y轴的交点坐标为__________．
21．抛物线与轴的交点坐标是______．
22．抛物线y=x2+2x﹣2018过点（m，0），则代数式m2+2m+1=_____．
23．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣2的根是_____．
24．已知：二次函数图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示，那么方程（，，，为常数）的根是________．
25．二次函数（a≠0，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表：
一元二次方程（a≠0，a，b，c是常数）的两个根的取值范围是下列选项中的哪一个 ______ （填序号）
① ②
③ ④
26．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像过点A(3，0)，对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②a+b+c≥ax2+bx+c；③若为函数图像上的两点，则y1＜y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有2个．其中正确的有___．
27．二次函数的图像如图所示，若方程的一个近似根是，则方程的另一个近似根为__________．（结果精确到0.1）
28．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与轴的两个交点分别为A（-1，0）和B（2，0），当y＜0时，x的取值范围是___________．
29．二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图像如图所示，由图像可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为______．
30．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，当y＜3时，x的取值范围是____．
解答题
31．已知二次函数的图像经过点和．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求出函数图像与坐标轴的交点．
32．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．
（1）求这个二次函数图像的顶点坐标．
（2）求这个二次函数图像与x轴的交点坐标．
（3）直接写出这个二次函数图像与y轴的交点坐标 ．
33．已知二次函数的图像经过点P（﹣3，1），对称轴是直线 ．
（1）求m、n的值；
（2）如图，一次函数y=kx+b的图像经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图像相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．
34．小帆同学根据函数的学习经验，对函数进行探究，已知函数过，，．
（1）求函数解析式；
（2）如图1，在平面直角坐标系中画的图像，根据函数图像，写出函数的一条性质 ；
（3）结合函数图像回答下列问题：
①方程的近似解的取值范围(精确到个位)是 ；
②若一次函数与有且仅有两个交点，则的取值范围是 ．
35．二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ；
（3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为 ．
参考答案
1．C
【分析】
根据函数图像的性质进行逐项分析即可．
解：由题中图像可知，该函数图像与x轴有三个交点，故（2）正确；
令，
解得：，，，
即该函数图像与x轴的三个交点坐标分别为，，，
∴结合图形可知，当x>3时，y随x的增大而增大，故（1）正确；
∵自变量的范围是0≤x≤4，
∴结合图像可知，当时，函数取得最大值，最大值为，
当时，函数取得最小值，最小值为，故（3）正确；
由图像可知，当x > 0时，函数图像既有上升的部分，也有下降的部分，
∴在x > 0时，增减性不是唯一的，故（4）错误；
故选：C．
【点拨】本题考查函数图像的性质，掌握函数图像与坐标轴的交点的求法与意义，理解判断函数性质的方法是解题关键．
2．D
【分析】分别求出A，B的坐标，运用待定系数法求出直线AB，PQ的解析式，再求出它们与y轴的交点坐标即可解决问题．
解：对于，
令x=0，则y=3，
∴
令y=0，则
解得，
∵点A在点C的左侧，
∴A（-3，0）
设AB所在直线解析式为，
把A，B点坐标代入得，解得
所以，直线AB的解析式为：y=x+3，
∵PQ//AB
∴设PQ的解析式为：y=x+a
∵点经过的路径长是直线PQ经过抛物线的切点与y轴的交点和点B的距离的2倍，
∴方程有两个相等的实数根，
∴
解得，
∴点Q的坐标为（0，）
当点P与点A重合时，点Q与点B重合，此时点Q的坐标为（0，3）
点经过的路径长为
故选：D．
【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点的求法．
3．C
【分析】首先证明△ABC是直角三角形，想办法求出a，b，c的值，利用判别式即可解决问题．
解：∵a是c+b，c﹣b的比例中项，
∴a2=（c+b）（c﹣b），
∴a2=c2﹣b2，
∴a2+b2=c2①
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴sinA+sinB=，
由题意：，
解得c=13，
a+b=17 ②，
由①②，
∵b＞a，可得a=5，b=12，
对于方程ax2﹣cx+b=0，
=c2﹣4ab=169﹣4×12×5=﹣71＜0，
∴方程没有实数根，
故选：C．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、比例线段、解直角三角形、二次函数图像与系数的关系．
4．C
【分析】先计算判别式的值可判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，再讨论是否有重合的点，可得结果．
解：令，
则，
∴抛物线与x轴有2个公共点，
∵x=0时，y=，
若m=±1，则抛物线与y轴交于原点，
此时抛物线与坐标轴有2个交点，
若m≠±1，则抛物线与y轴交于（0，），
此时抛物线与坐标轴有3个交点，
故选C．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，同时也考查了抛物线与y轴的交点．
5．D
【分析】根据y轴上点的坐标特征，计算自变量为0时的函数值即可得到交点坐标．
解：根据题意，
令，则，
∴二次函数图像与y轴的交点坐标是；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足其解析式．
6．D
【分析】由根与系数的关系求得AB的长度，由抛物线解析式求得点C的坐标，然后根据列出关于的方程，解方程即可
令，则ax2﹣4ax+3＝0，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝，
∴AB＝|x1﹣x2|＝，
令x＝0，y＝3，
∴OC＝3，
∴S△ABC＝AB•OC＝，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数与坐标轴交点的问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程跟与系数的关系是解题关键．
7．C
【分析】由x=6.18时，y=-0.01<0，x=6.19时，y=0.02>0，根据函数的连续性知，6.18解：x=6.18时，y=-0.01<0，x=6.19时，y=0.02>0，
根据函数的连续性知，6.18则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是C．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质即连续性以及增减性是解题关键．
8．A
【分析】根据题意得到函数对称轴为直线x=1，而因此得到m=0，据此即可判断．
由题意得：函数的对称轴为直线x=1
∴当x=2时y的值，和x=0时y的值相等
∴m=0
∴方程的解为，．
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，与不等式的关系是解决二次函数重难点题型的关键．
9．C
【分析】观察表格得出抛物线顶点坐标是(1，9)，对称轴为直线x=1，而当x=-2时，y=0，则抛物线与x轴的另一交点为(4，0)，由表格即可得出结论．
由表中的数据知，抛物线顶点坐标是(1，9)，对称轴为直线x=1.当x＜1时，y的值随x的增大而增大，当x＞1时，y的值随x的增大而减小，则该抛物线开口方向向上，
所以根据抛物线的对称性质知，点(﹣2，0)关于直线直线x=1对称的点的坐标是(4，0)．
所以，当函数值y＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜4．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解答本题的关键是要认真观察，利用表格中的信息解决问题．
10．B
【分析】根据二次函数的图像特征解答．
解：观察表格得：方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根在2和3之间，
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的图像，熟练掌握二次函数与x轴的交点坐标特征是解题关键．
11．B
【分析】利用表中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可得x＝﹣1和x＝4的函数值相等，则可对B进行判断；利用x＝0和x＝3时函数值相等可得到抛物线的对称轴方程，则可对C进行判断；利用二次函数的性质则可对D进行判断．
解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，
∴抛物线的开口向下，
∴a＜0，
故A正确；
∵x＝﹣1时，y＝﹣3，
∴x＝4时，y＝﹣3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为﹣2时，﹣1＜x＜0或3＜x＜4，
即方程ax2+bx+c＝﹣2的负根在﹣1与0之间，正根在3与4之间，
故B错误；
∵抛物线过点（0，1）和（3，1），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴﹣＝＞1，
∴2a+b＞0，
故C正确；
∵（﹣，y2）关于直线x＝的对称点为（，y2），
∵＜5，
∴y1＜y2，
故D正确；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、抛物线与x轴的交点、图像法求一元二次方程的近似根、根的判别式、二次函数图像与系数的关系，准确计算是解题的关键．
12．B
【分析】根据二次函数的增减性，可得答案．
解：由表格中的数据，得：在1.6＜x＜2.4范围内，y随x的增大而增大．
当x＝2.0时，y＝−0.20＜0，当x＝2.2时，y＝0.22＞0，
所以方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1的取值范围是2.0＜x1＜2.2，
故选B．
【点拨】本题考查了图像法求一元二次方程的近似解，解答此题的关键是利用函数的增减性．
13．D
【解析】利用二次函数的对称性，可得出图像与x轴的另一个交点坐标，结合图像可得出的解集：
由图像得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图像与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）．
由图像可知：的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5．故选D．
14．C
解：∵二次函数的图像与正比例函数的图像交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），
∴由图像得：若，
则x的取值范围是：2＜x＜3．
故选C．
15．D
【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点坐交点坐标，根据图像即可解决问题．
解：由图像可知，抛物线的对称轴是x=2，与x轴的一个交点坐标为 (5，0)，
设与x轴的另一个交点横坐标为x，
则2-x=5-2，
∴x=-1，
∴与x轴的另一个交点坐标为(-1，0)，
∴y＜0时，x的取值范围为x＜-1或x＞5．
故选：D．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点，对称轴等知识，解题的关键是学会根据图像确定自变量的取值范围，属于中考常考题型．
16．直线
【分析】根据函数的系数与方程根的关系，可以根据已知条件a+b+c=0，4a+c=2b，可以令x=1和x=-2求出函数图像与x轴的交点．
解：已知函数解析式：，
∵，
令x=1得，，
令x=-2得，，
∴二次函数的图像与x轴的交点坐标为（1，0）、（-2，0），
∴抛物线对称轴．
故答案为: ．
【点拨】本题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．
17．
【分析】先求出抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，列不等式，解不等式即可．
解：∵抛物线，
∴当y=0时，，
解得，
∵抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查抛物线与x轴交点区间求参数范围，掌握先求抛物线与x轴交点，列不等式，解不等式是解题关键．
18．4
【分析】
求出y=0时x的值即可得．
解：令y=0，则有：
解得，，
∵点A在点B左侧
∴
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，求抛物线与x轴的交点只需令y=0解方程即可．
19．且
【分析】由抛物线与坐标轴有三个公共点，与y轴有一个交点，易知抛物线不过原点且与x轴有两个交点，继而根据根的判别式即可求解．
解：∵抛物线与坐标轴有三个公共点，
∵抛物线与y轴有一个交点（0，c）,c≠0，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴＞0，且，
解得：且，
故答案为：且．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是利用一元二次方程的判别式来判断抛物线与坐标轴的交点个数．
20．
【分析】
根据y轴上点的横坐标为0，令x=0，进行计算即可得解．
解：当x=0时，y=02-5=4-5=-5，
所以，抛物线y=x2-5与y轴的交点坐标为（0，-5）．
故答案为：（0，-5）．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键．
21．．
【分析】把代入抛物线，即得抛物线与 轴的交点坐标．
由题意得，当时，抛物线与 轴相交，
把代入，得，
∴抛物线与 轴的交点坐标为，
故答案为．
【点拨】本题考查了二次函数，求抛物线与轴的交点坐标，令代入抛物线是解题的关键．
22．
【分析】利用二次函数图像上的坐标特征得到，然后利用整体代入得方法即可求解．
将点（m，0）代入抛物线y=x2+2x﹣2018可得：，
∴
∴
故答案为：2019
【点拨】本题考查二次函数图像上的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数图像上的坐标满足二次函数解析式．
23．x1＝0，x2＝﹣4
【分析】从表格看，函数的对称轴为x＝−2，根据函数的对称性，当x＝0时和x＝−2时，y均为−2，即可求解．
解：从表格看，函数二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为x＝−2，
根据函数的对称性，当x＝0时和x＝−2时，y均为−2．
故一元二次方程ax2＋bx＋c＝−2的根x＝0或−4．
故答案为：x1＝0，x2＝−4．
【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，确定函数的对称轴是解题的关键．
24．，
【分析】根据表格可知：点，，在二次函数图像上，则可得二次函数的对称轴为直线即，进而可根据函数的对称性可求解．
解：根据表格可知：
点，，在二次函数图像上，
∴二次函数的对称轴为即，
∴点关于对称轴的对称点为，
∴方程的根为，；
故答案为，．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
25．③
【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0两个根的范围．
解：函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点的纵坐标为0．
由表中数据可知：y=0在y=与y=1之间，
∴-＜x1＜0，2＜x2＜时y的值最接近0，
的取值范围是：-＜x1＜0；2＜x2＜．
故答案为：③．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，掌握函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．
26．①②④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，再根据对称轴方程可判断与0的关系，从而可判断①，由对称轴方程可得：当时，函数取最大值，可判断②，由＞，可得的位置，结合二次函数的性质可判断③，先求解，再由函数图像得当0＜y≤时，＜x＜3，其中x为整数时，x=0，1，2，从而可判断④．
解：∵抛物线开口向下， a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线＞0，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∴当x=1时，y最大，即，故②正确；
∵＞
在对称轴上或右侧，随的增大而减小，
∴＞，故③错误；
∵抛物线的对称轴是x=1，与x轴的一个交点是（3，0），
∴抛物线与x轴的另个交点是（-1，0），
把（3，0）代入得，0=9a+3b+c，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴， 解得，．
∴（a＜0），
∴顶点坐标为，
由图像得当0＜y≤时，-1＜x＜3，其中x为整数时，x=0，1，2，
又∵x=0与x=2时，关于直线x=1轴对称 当x=1时，直线y=p恰好过抛物线顶点．
所以p值可以有2个．故④正确；
故答案为①②④．
【点拨】本题考查的是抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图像与一元二次方程的整数根的情况判断，掌握以上知识是解题的关键．
27．0.2．
【分析】利用抛物线的对称性进行求解即可．
解：由图可知，抛物线的对称轴为：x=-1，
∵方程的一个根为x=-2.2，
∴另一个根为：-1×2-（-2.2）=0.2，
故答案为：0.2．
【点拨】此题考查了图像法求一元二次方程的近似根，弄清题中的数据关系是解本题的关键．
28．x＜-1或x＞2
【分析】直接从图上可以分析：y＜0时，图像在x轴的下方，共有2部分：一是A的左边，即x＜−1；二是B的右边，即x＞2．
观察图像可知，抛物线与x轴两交点为（−1，0），（2，0），y＜0，图像在x轴的下方，所以答案是x＜−1或x＞2．
故答案为x＜-1或x＞2
【点拨】考查了二次函数的图像与函数值之间的联系，函数图像所表现的位置与y值对应的关系，典型的数形结合题型．
29．x<−1或x>5.
【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为(5,0)，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
所以不等式−x2+bx+c<0的解集为x<−1或x>5.
故答案为x<−1或x>5.
考点：二次函数图像的性质
30．－1＜x＜3
【分析】根据图像，写出函数图像在y=3下方部分的x的取值范围即可．
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点拨】本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
31．（1）；（2）（0，-3），（-1，0），（3，0）
【分析】
（1）将（1，-4），（-1，0）代入，用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）分别令x=0，y=0，求出对应的y值与x值，进而得出此二次函数与坐标轴的交点坐标．
解：（1）把（1，-4），（-1，0）代入，
得：，解得：，
∴二次函数的表达式为为；
（2）令x=0，得y=-3，
令y=0，得，
解得：x=-1或x=3，
∴抛物线与坐标轴的交点为（0，-3），（-1，0），（3，0）．
【点拨】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
32．（1）（﹣1，4）；（2）（﹣3，0），（1，0）；（3）（0，3）
【分析】
（1）将二次函数解析式改为顶点式即可知顶点坐标．
（2）令，即得方程-x2-2x+3＝0，求解即可．
（3）令，即得，即坐标为(0，3)．
（1）∵二次函数解析式为y＝-x2-2x+3＝-(x+1)2+4，
∴二次函数的图像的顶点坐标为(-1，4)．
（2）∵令y＝0，即-x2-2x+3＝0，解得x＝-3或1，
∴二次函数的图像与x轴的交点坐标为：(-3，0)，(1，0)．
（3）∵当x＝0时，y＝3，
∴这个二次函数图像与y轴的交点坐标是(0，3)，
故答案为(0，3)．
【点拨】本题考查二次函数的一般式转化成顶点式，抛物线与x轴、y轴交点坐标的求解．
33．（1）m=2，n=﹣2；（2）一次函数的表达式为y=x+4
【分析】
（1）根据抛物线的对称轴可求得m的值，把点P的横、纵坐标代入抛物线解析式，可求得n的值；（2）过点P作PC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于D，利用相似三角形的对应边成比例，可求点B的坐标，进而用待定系数法求得一次函数的解析式．
解：（1）∵抛物线的对称轴是直线，
∴﹣=﹣1，
∴m=2
∵二次函数y=x2+mx+n的图像经过点P（﹣3，1），
∴9﹣3m+n=1，得出n=3m﹣8．
∴n=3m﹣8=﹣2．
（2）∵m=2，n=﹣2，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣2．
过点P作PC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于D，则PC∥BD，如图所示．
∴．
∴．
∵P（﹣3，1），
∴PC=1．
∵PA：PB=1：5，
∴=．
∴BD=6．
∴点B的纵坐标为6．
把y=6代入y=x2+2x﹣2得，6=x2+2x﹣2．
解得x1=2，x2=﹣4（舍去）．
∴B（2，6）．
∵一次函数的图像经过点P和点B，
∴，解得．
∴一次函数的表达式为y=x+4．
【点拨】本题考查了一次函数、二次函数、相似三角形、待定系数法等知识点，构造相似三角形和待定系数法是解题的关键．
34．（1）；（2）图像见详解，当时，函数有最大值，函数无最小值；（3）①或；②或．
【分析】
（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）画出反比例函数图像和二次函数的图像，即可得到函数的性质；
（3）①画出函数y1与y=的图像，它们的交点的横坐标，就是方程的解，进而即可得到解的取值范围；
②结合一次函数与的图像，即可求解．
（1）将点，代入，
可得，解得，
∴，
将点代入，
可得，解得，
∴，
∴；
（2）函数图像如图所示，由图像可知：当时，函数有最大值，函数无最小值，
故答案是：当时，函数有最大值，函数无最小值；
（3）①画出y=的图像，可得函数y1与y=的图像的交点位置，如图所示，
∴方程的近似解的取值范围(精确到个位)是：或，
故答案是：或；
②由题意可知：的图像过点(0，2)，
当k＞0时，一次函数与有且仅有两个交点，
当的图像与的图像相切时，一次函数与有且仅有两个交点，
∴=有两个相等的根，即：∆=，
∴k=，
综上所述：或．
故答案是：或．
【点拨】本题主要考查二次函数，反比例函数，一次函数的图像和性质，熟练掌握画函数图像以及函数图像的交点与方程的解的关系，是解题的关键．
35．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）m≥﹣4．
【分析】
（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c解方程组即可得到结论；
（2）根据图像即可得到结论；
（3）设y＝ax2+bx+c和y＝m，方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，即二次函数图像与直线y＝m有两个交点或一个交点，结合一元二次方程根的判别式即可求出m的取值范围．
解：（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由函数图像可知抛物线和x轴的两个交点横坐标为﹣1，3，
所以不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜﹣1或x＞3；
（3）设y＝ax2+bx+c和y＝m，
方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，则二次函数图像与直线y＝m有两个交点或一个交点，
即有两个实数根，
∴，即，
解得m≥﹣4．
【点拨】本题考查二次函数与不等式，抛物线与x轴的交点问题，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视． x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
…
0
1
2
3
…
…
3
0
3
…
x
1
2
3
4
y
﹣3
﹣1
3
9
x
…
﹣1
0
1
3
…
y
…
﹣3
1
3
1
…
x
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
y
－0.80
－0.54
－0.20
0.22
0.72
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
…
y
…
0
﹣2
﹣5
﹣6
﹣5
…
…
-1
0
1
2
3
…
0
3
4
3
0
x
-1
-
0
1
2
3
y
-2
1
2
1
-2
1．如图，是函数（0≤x≤4）的图像，通过观察图像得出了如下结论：
（1）当x>3时，y随x的增大而增大； （2）该函数图像与x轴有三个交点；
（3）该函数的最大值是6，最小值是﹣6； （4）当x > 0时，y随x的增大而增大．
以上结论中正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，过点作交轴于，若点从点出发，沿着直线上方抛物线运动到点，则点经过的路径长为（ ）
A． B． C．3 D．
3．a、b、c为△ABC三边，b＞a，a是c+b，c﹣b的比例中项，抛物线y=x2﹣（sinA+sinB）x﹣（a+b+c）的对称轴是x=，交y轴于（0，﹣30），则方程ax2﹣cx+b=0的根的情况是（ ）
A．有两不等实根B．有两相等实根
C．无实根D．以上都不对
4．抛物线（m是常数）与坐标轴交点的个数为（ ）
A．0B．1C．2或3D．3
5．二次函数图像与y轴的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若S△ABC＝3，则a＝（ ）
A．B．C．﹣1D．1
7．如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20
8．已知二次函数的自变量与函数的部分对应值列表如下：
则关于的方程的解是（ ）
A．，B．
C．D．不能确定
9．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表：
利用该二次函数的图像判断，当函数值y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜8B．x＜0或x＞8C．﹣2＜x＜4D．x＜﹣2或x＞4
10．如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（ ）
A．1.2B．2.3C．3.4D．4.5
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0
B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间
C．2a+b＞0
D．若点（5，y1）、（﹣，y2）都在函数图像上，则y1＜y2
12．下表是满足二次函数y＝ax2＋bx＋c的五组数据，x1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（ ）
A．1.6＜x1＜1.8B．2.0＜x1＜2.2C．1.8＜x1＜2.0D．2.2＜x1＜2.4
13．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（ ）
A．B．C．且D．x＜－1或x＞5
14．如图，已知二次函数的图像与正比例函数的图像交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2B．0＜x＜3C．2＜x＜3D．x＜0或x＞3
15．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像，y0时自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣1x5 B．x﹣1或 x5
C．x﹣1且x5 D．x﹣1或x5
填空题
16．已知，，满足，，则二次函数的图像的对称轴为_______．
17．已知抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是________．
18．已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），则线段的长为______．
19．若函数的图像与坐标轴有三个交点，则c的取值范围是________．
20．抛物线与y轴的交点坐标为__________．
21．抛物线与轴的交点坐标是______．
22．抛物线y=x2+2x﹣2018过点（m，0），则代数式m2+2m+1=_____．
23．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣2的根是_____．
24．已知：二次函数图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示，那么方程（，，，为常数）的根是________．
25．二次函数（a≠0，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表：
一元二次方程（a≠0，a，b，c是常数）的两个根的取值范围是下列选项中的哪一个 ______ （填序号）
① ②
③ ④
26．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像过点A(3，0)，对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②a+b+c≥ax2+bx+c；③若为函数图像上的两点，则y1＜y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有2个．其中正确的有___．
27．二次函数的图像如图所示，若方程的一个近似根是，则方程的另一个近似根为__________．（结果精确到0.1）
28．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与轴的两个交点分别为A（-1，0）和B（2，0），当y＜0时，x的取值范围是___________．
29．二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图像如图所示，由图像可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为______．
30．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，当y＜3时，x的取值范围是____．
解答题
31．已知二次函数的图像经过点和．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求出函数图像与坐标轴的交点．
32．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．
（1）求这个二次函数图像的顶点坐标．
（2）求这个二次函数图像与x轴的交点坐标．
（3）直接写出这个二次函数图像与y轴的交点坐标 ．
33．已知二次函数的图像经过点P（﹣3，1），对称轴是直线 ．
（1）求m、n的值；
（2）如图，一次函数y=kx+b的图像经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图像相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．
34．小帆同学根据函数的学习经验，对函数进行探究，已知函数过，，．
（1）求函数解析式；
（2）如图1，在平面直角坐标系中画的图像，根据函数图像，写出函数的一条性质 ；
（3）结合函数图像回答下列问题：
①方程的近似解的取值范围(精确到个位)是 ；
②若一次函数与有且仅有两个交点，则的取值范围是 ．
35．二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ；
（3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为 ．
参考答案
1．C
【分析】
根据函数图像的性质进行逐项分析即可．
解：由题中图像可知，该函数图像与x轴有三个交点，故（2）正确；
令，
解得：，，，
即该函数图像与x轴的三个交点坐标分别为，，，
∴结合图形可知，当x>3时，y随x的增大而增大，故（1）正确；
∵自变量的范围是0≤x≤4，
∴结合图像可知，当时，函数取得最大值，最大值为，
当时，函数取得最小值，最小值为，故（3）正确；
由图像可知，当x > 0时，函数图像既有上升的部分，也有下降的部分，
∴在x > 0时，增减性不是唯一的，故（4）错误；
故选：C．
【点拨】本题考查函数图像的性质，掌握函数图像与坐标轴的交点的求法与意义，理解判断函数性质的方法是解题关键．
2．D
【分析】分别求出A，B的坐标，运用待定系数法求出直线AB，PQ的解析式，再求出它们与y轴的交点坐标即可解决问题．
解：对于，
令x=0，则y=3，
∴
令y=0，则
解得，
∵点A在点C的左侧，
∴A（-3，0）
设AB所在直线解析式为，
把A，B点坐标代入得，解得
所以，直线AB的解析式为：y=x+3，
∵PQ//AB
∴设PQ的解析式为：y=x+a
∵点经过的路径长是直线PQ经过抛物线的切点与y轴的交点和点B的距离的2倍，
∴方程有两个相等的实数根，
∴
解得，
∴点Q的坐标为（0，）
当点P与点A重合时，点Q与点B重合，此时点Q的坐标为（0，3）
点经过的路径长为
故选：D．
【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点的求法．
3．C
【分析】首先证明△ABC是直角三角形，想办法求出a，b，c的值，利用判别式即可解决问题．
解：∵a是c+b，c﹣b的比例中项，
∴a2=（c+b）（c﹣b），
∴a2=c2﹣b2，
∴a2+b2=c2①
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴sinA+sinB=，
由题意：，
解得c=13，
a+b=17 ②，
由①②，
∵b＞a，可得a=5，b=12，
对于方程ax2﹣cx+b=0，
=c2﹣4ab=169﹣4×12×5=﹣71＜0，
∴方程没有实数根，
故选：C．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、比例线段、解直角三角形、二次函数图像与系数的关系．
4．C
【分析】先计算判别式的值可判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，再讨论是否有重合的点，可得结果．
解：令，
则，
∴抛物线与x轴有2个公共点，
∵x=0时，y=，
若m=±1，则抛物线与y轴交于原点，
此时抛物线与坐标轴有2个交点，
若m≠±1，则抛物线与y轴交于（0，），
此时抛物线与坐标轴有3个交点，
故选C．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，同时也考查了抛物线与y轴的交点．
5．D
【分析】根据y轴上点的坐标特征，计算自变量为0时的函数值即可得到交点坐标．
解：根据题意，
令，则，
∴二次函数图像与y轴的交点坐标是；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足其解析式．
6．D
【分析】由根与系数的关系求得AB的长度，由抛物线解析式求得点C的坐标，然后根据列出关于的方程，解方程即可
令，则ax2﹣4ax+3＝0，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝，
∴AB＝|x1﹣x2|＝，
令x＝0，y＝3，
∴OC＝3，
∴S△ABC＝AB•OC＝，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数与坐标轴交点的问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程跟与系数的关系是解题关键．
7．C
【分析】由x=6.18时，y=-0.01<0，x=6.19时，y=0.02>0，根据函数的连续性知，6.18
根据函数的连续性知，6.18
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质即连续性以及增减性是解题关键．
8．A
【分析】根据题意得到函数对称轴为直线x=1，而因此得到m=0，据此即可判断．
由题意得：函数的对称轴为直线x=1
∴当x=2时y的值，和x=0时y的值相等
∴m=0
∴方程的解为，．
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，与不等式的关系是解决二次函数重难点题型的关键．
9．C
【分析】观察表格得出抛物线顶点坐标是(1，9)，对称轴为直线x=1，而当x=-2时，y=0，则抛物线与x轴的另一交点为(4，0)，由表格即可得出结论．
由表中的数据知，抛物线顶点坐标是(1，9)，对称轴为直线x=1.当x＜1时，y的值随x的增大而增大，当x＞1时，y的值随x的增大而减小，则该抛物线开口方向向上，
所以根据抛物线的对称性质知，点(﹣2，0)关于直线直线x=1对称的点的坐标是(4，0)．
所以，当函数值y＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜4．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解答本题的关键是要认真观察，利用表格中的信息解决问题．
10．B
【分析】根据二次函数的图像特征解答．
解：观察表格得：方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根在2和3之间，
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的图像，熟练掌握二次函数与x轴的交点坐标特征是解题关键．
11．B
【分析】利用表中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可得x＝﹣1和x＝4的函数值相等，则可对B进行判断；利用x＝0和x＝3时函数值相等可得到抛物线的对称轴方程，则可对C进行判断；利用二次函数的性质则可对D进行判断．
解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，
∴抛物线的开口向下，
∴a＜0，
故A正确；
∵x＝﹣1时，y＝﹣3，
∴x＝4时，y＝﹣3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为﹣2时，﹣1＜x＜0或3＜x＜4，
即方程ax2+bx+c＝﹣2的负根在﹣1与0之间，正根在3与4之间，
故B错误；
∵抛物线过点（0，1）和（3，1），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴﹣＝＞1，
∴2a+b＞0，
故C正确；
∵（﹣，y2）关于直线x＝的对称点为（，y2），
∵＜5，
∴y1＜y2，
故D正确；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、抛物线与x轴的交点、图像法求一元二次方程的近似根、根的判别式、二次函数图像与系数的关系，准确计算是解题的关键．
12．B
【分析】根据二次函数的增减性，可得答案．
解：由表格中的数据，得：在1.6＜x＜2.4范围内，y随x的增大而增大．
当x＝2.0时，y＝−0.20＜0，当x＝2.2时，y＝0.22＞0，
所以方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1的取值范围是2.0＜x1＜2.2，
故选B．
【点拨】本题考查了图像法求一元二次方程的近似解，解答此题的关键是利用函数的增减性．
13．D
【解析】利用二次函数的对称性，可得出图像与x轴的另一个交点坐标，结合图像可得出的解集：
由图像得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图像与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）．
由图像可知：的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5．故选D．
14．C
解：∵二次函数的图像与正比例函数的图像交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），
∴由图像得：若，
则x的取值范围是：2＜x＜3．
故选C．
15．D
【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点坐交点坐标，根据图像即可解决问题．
解：由图像可知，抛物线的对称轴是x=2，与x轴的一个交点坐标为 (5，0)，
设与x轴的另一个交点横坐标为x，
则2-x=5-2，
∴x=-1，
∴与x轴的另一个交点坐标为(-1，0)，
∴y＜0时，x的取值范围为x＜-1或x＞5．
故选：D．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点，对称轴等知识，解题的关键是学会根据图像确定自变量的取值范围，属于中考常考题型．
16．直线
【分析】根据函数的系数与方程根的关系，可以根据已知条件a+b+c=0，4a+c=2b，可以令x=1和x=-2求出函数图像与x轴的交点．
解：已知函数解析式：，
∵，
令x=1得，，
令x=-2得，，
∴二次函数的图像与x轴的交点坐标为（1，0）、（-2，0），
∴抛物线对称轴．
故答案为: ．
【点拨】本题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．
17．
【分析】先求出抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，列不等式，解不等式即可．
解：∵抛物线，
∴当y=0时，，
解得，
∵抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查抛物线与x轴交点区间求参数范围，掌握先求抛物线与x轴交点，列不等式，解不等式是解题关键．
18．4
【分析】
求出y=0时x的值即可得．
解：令y=0，则有：
解得，，
∵点A在点B左侧
∴
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，求抛物线与x轴的交点只需令y=0解方程即可．
19．且
【分析】由抛物线与坐标轴有三个公共点，与y轴有一个交点，易知抛物线不过原点且与x轴有两个交点，继而根据根的判别式即可求解．
解：∵抛物线与坐标轴有三个公共点，
∵抛物线与y轴有一个交点（0，c）,c≠0，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴＞0，且，
解得：且，
故答案为：且．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是利用一元二次方程的判别式来判断抛物线与坐标轴的交点个数．
20．
【分析】
根据y轴上点的横坐标为0，令x=0，进行计算即可得解．
解：当x=0时，y=02-5=4-5=-5，
所以，抛物线y=x2-5与y轴的交点坐标为（0，-5）．
故答案为：（0，-5）．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键．
21．．
【分析】把代入抛物线，即得抛物线与 轴的交点坐标．
由题意得，当时，抛物线与 轴相交，
把代入，得，
∴抛物线与 轴的交点坐标为，
故答案为．
【点拨】本题考查了二次函数，求抛物线与轴的交点坐标，令代入抛物线是解题的关键．
22．
【分析】利用二次函数图像上的坐标特征得到，然后利用整体代入得方法即可求解．
将点（m，0）代入抛物线y=x2+2x﹣2018可得：，
∴
∴
故答案为：2019
【点拨】本题考查二次函数图像上的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数图像上的坐标满足二次函数解析式．
23．x1＝0，x2＝﹣4
【分析】从表格看，函数的对称轴为x＝−2，根据函数的对称性，当x＝0时和x＝−2时，y均为−2，即可求解．
解：从表格看，函数二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为x＝−2，
根据函数的对称性，当x＝0时和x＝−2时，y均为−2．
故一元二次方程ax2＋bx＋c＝−2的根x＝0或−4．
故答案为：x1＝0，x2＝−4．
【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，确定函数的对称轴是解题的关键．
24．，
【分析】根据表格可知：点，，在二次函数图像上，则可得二次函数的对称轴为直线即，进而可根据函数的对称性可求解．
解：根据表格可知：
点，，在二次函数图像上，
∴二次函数的对称轴为即，
∴点关于对称轴的对称点为，
∴方程的根为，；
故答案为，．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
25．③
【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0两个根的范围．
解：函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点的纵坐标为0．
由表中数据可知：y=0在y=与y=1之间，
∴-＜x1＜0，2＜x2＜时y的值最接近0，
的取值范围是：-＜x1＜0；2＜x2＜．
故答案为：③．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，掌握函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．
26．①②④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，再根据对称轴方程可判断与0的关系，从而可判断①，由对称轴方程可得：当时，函数取最大值，可判断②，由＞，可得的位置，结合二次函数的性质可判断③，先求解，再由函数图像得当0＜y≤时，＜x＜3，其中x为整数时，x=0，1，2，从而可判断④．
解：∵抛物线开口向下， a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线＞0，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∴当x=1时，y最大，即，故②正确；
∵＞
在对称轴上或右侧，随的增大而减小，
∴＞，故③错误；
∵抛物线的对称轴是x=1，与x轴的一个交点是（3，0），
∴抛物线与x轴的另个交点是（-1，0），
把（3，0）代入得，0=9a+3b+c，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴， 解得，．
∴（a＜0），
∴顶点坐标为，
由图像得当0＜y≤时，-1＜x＜3，其中x为整数时，x=0，1，2，
又∵x=0与x=2时，关于直线x=1轴对称 当x=1时，直线y=p恰好过抛物线顶点．
所以p值可以有2个．故④正确；
故答案为①②④．
【点拨】本题考查的是抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图像与一元二次方程的整数根的情况判断，掌握以上知识是解题的关键．
27．0.2．
【分析】利用抛物线的对称性进行求解即可．
解：由图可知，抛物线的对称轴为：x=-1，
∵方程的一个根为x=-2.2，
∴另一个根为：-1×2-（-2.2）=0.2，
故答案为：0.2．
【点拨】此题考查了图像法求一元二次方程的近似根，弄清题中的数据关系是解本题的关键．
28．x＜-1或x＞2
【分析】直接从图上可以分析：y＜0时，图像在x轴的下方，共有2部分：一是A的左边，即x＜−1；二是B的右边，即x＞2．
观察图像可知，抛物线与x轴两交点为（−1，0），（2，0），y＜0，图像在x轴的下方，所以答案是x＜−1或x＞2．
故答案为x＜-1或x＞2
【点拨】考查了二次函数的图像与函数值之间的联系，函数图像所表现的位置与y值对应的关系，典型的数形结合题型．
29．x<−1或x>5.
【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为(5,0)，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
所以不等式−x2+bx+c<0的解集为x<−1或x>5.
故答案为x<−1或x>5.
考点：二次函数图像的性质
30．－1＜x＜3
【分析】根据图像，写出函数图像在y=3下方部分的x的取值范围即可．
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点拨】本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
31．（1）；（2）（0，-3），（-1，0），（3，0）
【分析】
（1）将（1，-4），（-1，0）代入，用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）分别令x=0，y=0，求出对应的y值与x值，进而得出此二次函数与坐标轴的交点坐标．
解：（1）把（1，-4），（-1，0）代入，
得：，解得：，
∴二次函数的表达式为为；
（2）令x=0，得y=-3，
令y=0，得，
解得：x=-1或x=3，
∴抛物线与坐标轴的交点为（0，-3），（-1，0），（3，0）．
【点拨】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
32．（1）（﹣1，4）；（2）（﹣3，0），（1，0）；（3）（0，3）
【分析】
（1）将二次函数解析式改为顶点式即可知顶点坐标．
（2）令，即得方程-x2-2x+3＝0，求解即可．
（3）令，即得，即坐标为(0，3)．
（1）∵二次函数解析式为y＝-x2-2x+3＝-(x+1)2+4，
∴二次函数的图像的顶点坐标为(-1，4)．
（2）∵令y＝0，即-x2-2x+3＝0，解得x＝-3或1，
∴二次函数的图像与x轴的交点坐标为：(-3，0)，(1，0)．
（3）∵当x＝0时，y＝3，
∴这个二次函数图像与y轴的交点坐标是(0，3)，
故答案为(0，3)．
【点拨】本题考查二次函数的一般式转化成顶点式，抛物线与x轴、y轴交点坐标的求解．
33．（1）m=2，n=﹣2；（2）一次函数的表达式为y=x+4
【分析】
（1）根据抛物线的对称轴可求得m的值，把点P的横、纵坐标代入抛物线解析式，可求得n的值；（2）过点P作PC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于D，利用相似三角形的对应边成比例，可求点B的坐标，进而用待定系数法求得一次函数的解析式．
解：（1）∵抛物线的对称轴是直线，
∴﹣=﹣1，
∴m=2
∵二次函数y=x2+mx+n的图像经过点P（﹣3，1），
∴9﹣3m+n=1，得出n=3m﹣8．
∴n=3m﹣8=﹣2．
（2）∵m=2，n=﹣2，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣2．
过点P作PC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于D，则PC∥BD，如图所示．
∴．
∴．
∵P（﹣3，1），
∴PC=1．
∵PA：PB=1：5，
∴=．
∴BD=6．
∴点B的纵坐标为6．
把y=6代入y=x2+2x﹣2得，6=x2+2x﹣2．
解得x1=2，x2=﹣4（舍去）．
∴B（2，6）．
∵一次函数的图像经过点P和点B，
∴，解得．
∴一次函数的表达式为y=x+4．
【点拨】本题考查了一次函数、二次函数、相似三角形、待定系数法等知识点，构造相似三角形和待定系数法是解题的关键．
34．（1）；（2）图像见详解，当时，函数有最大值，函数无最小值；（3）①或；②或．
【分析】
（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）画出反比例函数图像和二次函数的图像，即可得到函数的性质；
（3）①画出函数y1与y=的图像，它们的交点的横坐标，就是方程的解，进而即可得到解的取值范围；
②结合一次函数与的图像，即可求解．
（1）将点，代入，
可得，解得，
∴，
将点代入，
可得，解得，
∴，
∴；
（2）函数图像如图所示，由图像可知：当时，函数有最大值，函数无最小值，
故答案是：当时，函数有最大值，函数无最小值；
（3）①画出y=的图像，可得函数y1与y=的图像的交点位置，如图所示，
∴方程的近似解的取值范围(精确到个位)是：或，
故答案是：或；
②由题意可知：的图像过点(0，2)，
当k＞0时，一次函数与有且仅有两个交点，
当的图像与的图像相切时，一次函数与有且仅有两个交点，
∴=有两个相等的根，即：∆=，
∴k=，
综上所述：或．
故答案是：或．
【点拨】本题主要考查二次函数，反比例函数，一次函数的图像和性质，熟练掌握画函数图像以及函数图像的交点与方程的解的关系，是解题的关键．
35．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）m≥﹣4．
【分析】
（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c解方程组即可得到结论；
（2）根据图像即可得到结论；
（3）设y＝ax2+bx+c和y＝m，方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，即二次函数图像与直线y＝m有两个交点或一个交点，结合一元二次方程根的判别式即可求出m的取值范围．
解：（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由函数图像可知抛物线和x轴的两个交点横坐标为﹣1，3，
所以不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜﹣1或x＞3；
（3）设y＝ax2+bx+c和y＝m，
方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，则二次函数图像与直线y＝m有两个交点或一个交点，
即有两个实数根，
∴，即，
解得m≥﹣4．
【点拨】本题考查二次函数与不等式，抛物线与x轴的交点问题，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视． x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
…
0
1
2
3
…
…
3
0
3
…
x
1
2
3
4
y
﹣3
﹣1
3
9
x
…
﹣1
0
1
3
…
y
…
﹣3
1
3
1
…
x
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
y
－0.80
－0.54
－0.20
0.22
0.72
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
…
y
…
0
﹣2
﹣5
﹣6
﹣5
…
…
-1
0
1
2
3
…
0
3
4
3
0
x
-1
-
0
1
2
3
y
-2
1
2
1
-2
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