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北师大版九年级数学下册 专题2.26 二次函数与一元二次方程（附答案）
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这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.26 二次函数与一元二次方程（附答案），共38页。试卷主要包含了如图，己知抛物线经过点，，如图，抛物线与直线的交点为，关于二次函数，下列说法错误的是，已知抛物线等内容，欢迎下载使用。
1．如图，己知抛物线经过点，．当抛物线的开口向上时，的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
2．如图，抛物线与直线的交点为．当时，的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图像如图所示，其对称轴为直线x＝2，图像和x轴的一个交点坐标为(5，0)，由图像可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是（ ）
A．－1＜x＜5B．x＞5C．x＜－1且x＞5D．x＜－1或x＞5
4．在平面直角坐标系中，已知点，，抛物线：，当与线段有公共点时，的取值范围是（ ）
A．B．
C．，D．或
5．关于的一元二次方程没有实数根，抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数图像开口向上B．当时，
C．当时，y随x的增大而增大D．函数图像与x轴有两个交点
7．已知二次函数的图像如图所示，则下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图像在同一坐标系下如图所示，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知抛物线（，，是常数，）经过点，其对称轴为直线．有下列结论：①；②；③关于的方程有两个不等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．抛物线经过，对称轴直线，关于的方程在的范围有实数根，则的范围（ ）
A．B．C．D．
11．二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表：
下列结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程的一个根；④当时，．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
12．如图是抛物线，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，下列结论：
①；
②；
③；
④；
⑤关于x的方程的另一个解在和之间，
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7
14．老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，3）；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．如图，抛物线（是常数，）与轴交于两点，顶点给出下列结论：①；②若在抛物线上，则；③关于的方程有实数解，则；④当时，为等腰直角三角形，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
16．对于每个非零的自然数，抛物线与轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ）
A．B．C．D．
填空题
17．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像，由图像可知，满足不等式ax2+bx+c≤0的x的取值范围是_____．
18．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是________．
19．如图，直线与抛物线（）相交于，两点，点是抛物线上位于直线下方的点，则点的横坐标的取值范围是___________．
20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0； ③m（am+b）﹣b＜a（m≠1）； ④若点A的坐标为（﹣2，0），则3a+c＜0； ⑤若点B的坐标为（4，0），则当x＜﹣2或x＞6时，y＜0； ⑥若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；⑦M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2； ⑧若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为_____．
21．抛物线经过坐标系（-1，0）和（0，3）两点，对称轴，如图所示，则当时，x的取值范围是________．
22．抛物线图像与轴无交点，则的取值范围为；
23．如图为二次函数的图像，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的为______．（填序号）
24．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，抛物线的顶点P在线段上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为、，且．若的最小值是，则的最大值是_____．
25．二次函数的大致图像如图所示，则关于的方程的解是__________．
26．二次函数的图像如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为________
27．如图，若关于的二次函数的图像与轴交于两点，那么方程 的解是 ______ ．
28．已知二次函数（a，b，c为常数，）的部分图像如图所示，对称轴为直线，且与x轴的一个交点在点和之间．下列结论：①；②若点，在此抛物线上，则；③；④对于任意实数m，总有；⑤对于a的每一确定值，若一元二次方程（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是__________（填写序号）．
29．如图，抛物线向下平移个单位后，交轴于，A两点，则的长为______．
30．已知抛物线与轴交于、两点，设抛物线顶点为，若，则的值为________．
31．抛物线y=x2﹣5x+6与x轴交于A、B两点，则AB的长为__．
32．若抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC＝2，S△ABC＝3，则b＝______．
解答题
33．根据图像，解决下列问题：
（1）求函数解析式．
（2）当，求的取值范围？
34．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2ax－1（a＜0）．
（1）抛物线的对称轴为 ，抛物线与y轴的交点坐标为 ；
（2）试说明直线y＝x－2与抛物线y＝ax2－2ax－1（a＜0）一定存在两个交点；
（3）若当－2≤x≤2时，y的最大值是1，求当-2≤x≤2时，y的最小值是多少？
35．阅读理解：如果联列函数与得关于x的一元二次方程（p≠0，p、q、r均为常数），则函数与图像的交点横坐标就是的两个实数根，此时有．二次函数的图像如图所示，且与一次函数的图像有两个交点和．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若，试判断：与有大小关系，并说明理由；
（3）若，求n的范围．
36．定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果=k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点，叫做黄金分割数．
理解：（1）利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数；
应用：（2）如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图像与x轴交于A、B两点（OA参考答案
1．A
【分析】根据抛物线经过点，求出，由抛物线的开口向上，可得，可得即可．
【详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，，
∵抛物线的开口向上，
∴，，
∴．
故选择A．
【点拨】本题考查抛物线性质，利用抛物线经过点求出关于t的代数式，利用抛物线开口方向确定是解题关键．
2．D
【分析】由，则抛物线在直线的上方，利用图像，即可得到的取值范围．
【详解】
解：由，则抛物线在直线的上方，
∵抛物线与直线的交点坐标为A（1，3），B（6，1），
∴的取值范围是：或；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是掌握抛物线与直线的交点进行解题．
3．D
【分析】先根据抛物线的对称性得到另一点坐标（−1，0），由y＝ax2＋bx＋c＜0得函数值为负数，即抛物线在x轴下方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．
【详解】
∵对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点A与B（5，0）关于直线x＝2对称，
∴另一点的坐标为（−1，0）．
∵不等式ax2＋bx＋c＜0，即y＝ax2＋bx＋c＜0，
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的图形在x轴下方，
∴不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是x＜−1或x＞5．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的性质：a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；抛物线的对称轴为直线x＝−；当b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，当b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点，即顶点在x轴上，当b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．D
【分析】根据题意知线段AB平行于y轴，故根据二次函数与线段交点的情况列式求解即可．
【详解】
根据题意知：
∵点，，
故对于二次函数与线段有公共点时，
即当x=4时，，
即，
解得：或；
故选：D．
【点拨】此题考查二次函数与线段交点问题，主要理解函数图像与线段有交点的真实含义，难度一般，主要是计算．
5．B
【分析】求出抛物线的对称轴-1，可知顶点在y轴的基侧，根据没有实数根，可知开口向上的与x轴没有交点，据此即可判断抛物线在第二象限．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴，
∴可知抛物线的顶点在y轴左侧，
又∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴开口向上的与x轴没有交点，
∴抛物线的顶点在第二象限．
故选：B．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点个数与相应一元二次方程的解的个数的关系，熟悉二次函数的性质是解题的关键．
6．D
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：A．a=1＞0，故函数图像开口向上，正确，不符合题意；
B．当x=6时，y=x2-4x+5=36-24+5=17正确，不符合题意；
C．函数的对称轴为直线x=2，函数图像开口向上，
故当x＞2时，y随x的增大而增大，正确，不符合题意；
D．△=（-4）2-4×1×5＜0，故抛物线和x轴没有交点，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．D
【分析】由抛物线开口向下，可判断a符号，再由对称轴在y轴左侧，得到b的符号，又抛物线与y轴交于正半轴，得到c的符号，即可判断①；根据图像知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，即可判断②错误；根据图像知，对称轴在y轴左侧，得到，即，据此判断③；根据图像与x轴有两个不同的交点，得到，据此判断④．
【详解】
解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵对称轴在y轴左侧，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
根据图像知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，得到②错误；
根据图像知，对称轴在y轴左侧，得到，即，解得，得到③正确；
根据图像与x轴有两个不同的交点，得到，从而得出结论，得到④正确，
则其中正确的有3个，为①③④，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来说，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；此外还要注意利用抛物线的对称性解题．
8．D
【分析】根据函数图像交点与方程的关系解答．
【详解】
解：∵一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图像的交点在第二象限，
∴两个交点的横坐标都是负数，
∴函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴的交点的横坐标都为负数，
∴函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴的负半轴有两个交点，
故选：D．
【点拨】本题考查函数图像的应用，熟练掌握函数图像交点与方程的关系是解题关键．
9．C
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣4a，则可对①进行判断；利用x＝﹣3时，y＜0可对②进行判断；过点（0，-3）作x轴的平行线，由该直线与抛物线有两个交点，可得出方程有两个不相等的实数根，结论③正确；
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线x2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵
∴
由题意得：过点（0，-3）作x轴的平行线，如图所示．
∵该直线y=-3与抛物线有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，结论③正确；
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是二次函数的图像与系数的关系、抛物线与x轴的交点，二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的性质以及数形结合是解题的关键．
10．C
【分析】由题意先得出抛物线的解析式，进而利用根的判别式以及二次函数图像的性质进行分析计算即可．
【详解】
解：∵抛物线经过，
∴将代入可得，
∵对称轴直线，
∴，解得，
∴抛物线为，
∴，
∵关于的方程在的范围有实数根，
∴，解得，
且同时满足当，以及当，解得（舍去），
或者当，以及当，解得，
综上可得的范围为：．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数与一元二次方程的结合，熟练掌握二次函数图像的性质并运用数形结合思维分析是解题的关键．
11．C
【分析】①函数的对称轴为：x=(0+3)=，对称轴左侧y随x的增大而增大，故a＜0，x=0，y=3=c＞0，即可求解；
②函数的对称轴为x=，故②错误，不符合题意；
③ax2+(b-1)x+c=0，则ax2+bx+c=x，当x=3时，ax2+bx+c=3，即可求解；
④由③知，3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为1，即可求解．
【详解】
解：①函数的对称轴为：x=(0+3)=，
对称轴左侧y随x的增大而增大，故a＜0，x=0，y=3=c＞0，
故①正确，符合题意；
②函数的对称轴为x=，对称轴左侧，即时，y随x的增大而增大，故②错误，不符合题意；
③ax2+(b-1)x+c=0，则ax2+bx+c=x，
当x=3时，ax2+bx+c=3，故③正确，符合题意；
④由③知，3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为-1，
故当-1＜x＜3时，ax2+(b-1)x+c>0，故④正确，符合题意；
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，主要要求学生通过观察函数图像的方式来求解方程或不等式．
12．D
【分析】根据抛物线开口方向和对称轴可以对①②进行判断；利用抛物线的对称性可得当时，，于是可对③进行判断；根据顶点即可对④进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的一个交点在和之间，则关于x的方程的另一个解在和之间，于是可对⑤进行判断．
【详解】
∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴直线，
∴，
∴，
故①②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点与关于直线对称，
∵时，，
∴时，，即，
故③正确；
∵抛物线，其顶点坐标为，
∴，
故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间，
∴关于x的方程的另一个解在和之间，
故⑤错误；
∴正确结论的有①②③④共4个，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与系数间的关系，涉及了抛物线的开口方向，对称轴、与x轴的交点等问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．
13．C
【分析】根据顶点P在线段AB上移动，又知点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），分别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．
【详解】
解：根据题意知，
点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B点，点N的横坐标最大，此时的M点坐标为（﹣2，0），
当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为（1，0），M点的坐标为（﹣5，0），
故点M的横坐标的最小值为﹣5，
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图像与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．
14．C
【分析】首先求出抛物线的解析式，然后逐一进行判断即可得出答案．
【详解】
解：∵抛物线过（1,0），对称轴是x＝2，
∴ ，解得a＝1，b＝－4，
∴y＝x2－4x＋3，
当x＝3时，y＝0，所以小华正确，
当x＝4时，y＝3，小彬正确，
a＝1，小明也正确，
抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点(1,0)，则可得另一点为(－1,0)或(3,0)，所以对称轴为y轴或x＝2，此时答案不唯一，所以小颖也错误，
故答案为：C．
【点拨】本题主要考查抛物线，掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．D
【分析】利用二次函数的图像及性质一一判断即可．
【详解】
解:∵-＜，a＞0，
∴a＞-b，
∴2a=a＋a＞a－b
∵x=-1时，y＞0，
∴a-b+c＞0，
∴2a+c＞a-b+c＞0，故①错误；
若，，在抛物线上，
由图像法可知，y1＞y2＞y3；故②正确；
∵抛物线与直线y=t有交点时，方程ax2+bx+c=t有解，t≥n，
∴ax2+bx+c-t=0有实数解
要使得ax2+bx+k=0有实数解，则k=c-t≤c-n；故③错误；
设抛物线的对称轴交x轴于H．
∵，
∴b2-4ac=4，
∴x=，
∴|x1-x2|=，
∴AB=2PH，
∵BH=AH，
∴PH=BH=AH，
∴是直角三角形，
∵PA=PB，
∴是等腰直角三角形，故④正确．
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的图像及性质、二次函数与坐标轴的交点等知识，此题难度较大，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
16．D
【分析】根据抛物线的解析式，抛物线与x轴交点的横坐标，一个是,另一个是，，根据x轴上两点间的距离公式，得AnBn=－，再代入计算即可．
【详解】
解：令时，，
解得：，
∴抛物线与x轴交点的横坐标是和，
∴AnBn=－
∴ ＝．
故选D．
【点拨】本题考查了找规律的题目，考查了抛物线与x轴的交点问题，令y=0，方程的两个实数根正好是抛物线与x轴交点的横坐标．
17．x≥5或x≤-1
【分析】根据二次函数的对称性求出函数图像与x轴的另一交点，再写出函数图像在x轴上方部分的x的取值范围即可．
【详解】
解：由图可知，二次函数图像为直线x=2，
所以，函数图像与x轴的另一交点为（-1，0），
所以，ax2+bx+c≤0时x的取值范围是x≥5或x≤-1．
故答案为：x≥5或x≤-1．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式，此类题目一般都利用数形结合的思想求解，本题求出函数图像与x轴的另一个交点是解题的关键．
18．-1＜x＜2
【分析】观察两函数图像的上下位置关系，即可得出结论．
【详解】
解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（-1，p），B（2，q）两点，
观察函数图像可知：当-1＜x＜2时，抛物线y=ax2+c在直线y=mx+n的上方，
∴不等式ax2+c＞mx+n的解集为-1＜x＜2，
即不等式ax2-mx+c＞n的解集是-1＜x＜2．
故答案为：-1＜x＜2．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图像的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
19．
【分析】先求出直线AB的解析式为：，点是抛物线上位于直线下方的点，点P的横坐标满足，由的两根为x1=-2，x2=5，不等式的解集是，点的横坐标的取值范围即可求出．
【详解】
解：直线与抛物线（）相交于，两点，
设直线AB的解析式为：，
由直线过A、B代入解析式得，
解得，
直线AB的解析式为：，
点是抛物线上位于直线下方的点，
点P的横坐标满足，
由的两根为x1=-2，x2=5，
不等式的解集是．
∴点的横坐标的取值范围是．
故答案为：．
【点拨】本题考查直线解析式的求法，方程的解，利用图像解不等式，掌握直线解析式的求法，方程的解，利用图像解不等式，根据点P的位置构造不等式是解题关键．
20．①②③⑤⑧
【分析】根据函数的图像和性质即可求解.
【详解】
解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故4ac﹣b2＜0，故正确；
③x＝1时，函数有最大值，则am2+bm+c＜a+b+c（m≠1），故m（am+b）﹣b＜a（m≠1），故正确；
④若点A的坐标为（﹣2，0），则x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴3a+c＞0，故错误；
⑤若点B的坐标为（4，0），则A的坐标为（﹣2，0），
∴当x＜﹣2或x＞4时，y＜0，
∴当x＜﹣2或x＞6时，y＜0，故正确；
⑥△ABC的面积＝AB•yC＝AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图像不符，故错误；
⑦函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故错误；
⑧抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），
根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，故⑧正确；
故答案为①②③⑤⑧.
【点拨】本题考查抛物线的应用，熟练掌握抛物线的图像与性质是解题关键 ．
21．或．
【分析】函数的对称轴为x=1，抛物线和x轴的一个交点为（-1，0），则抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（3，0），进而求解．
【详解】
∵函数的对称轴为，抛物线和x轴的一个交点为（-1，0），
∴抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（3，0），
则根据函数图像，当时，x的取值范围是或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
22．．
【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以得到顶点的纵坐标小于0，然后代入数据计算即可．
【详解】
解：∵抛物线图像与轴无交点，
∴该抛物线开口向下，且，
即： ，解之得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征，明确题意，利用二次函数的性质解答是解答本题的关键．
23．②③
【分析】根据图像的开口方向可判断a的符号，由抛物线与x轴的交点坐标可得对称轴为直线x=1，从而可判断b与2a的关系，当x=1时，根据图像可判断此时函数值a+b+c的符号，根据图像与x轴的交点可判断的符号，从而可对结果作出判断．
【详解】
观察图像知，抛物线的开口向下，所以a<0，故①错误；
由抛物线与x轴的交点坐标分别为(-1,0)和(3,0)，由于抛物线的对称轴为直线x=，所以有： ，即，所以，故②正确；
当x=1时，y=a+b+c，由图像知，，故③正确；
观察图像知，抛物线与x轴有两个不同的交点，所以，故④错误．
综上所述，正确的为②③．
故答案为：②③．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，本题的关键是数形结合，此类题的常用方法：看抛物线的开口方向定a的符号；看抛物线的对称轴在y轴的左边还是右边，定b的符号；看抛物线与y轴的交点定c的符号；看抛物线与x轴的交点定判别式的符号．
24．3
【分析】根据题意得出当P与A点重合时，取得最小值-2，即A(-1，-1)是该抛物线的顶点，且经过点(-2，0)，求得该抛物线的解析式，同理得出当P与B点重合时，取得最大值，利用二次函数与x轴的交点问题，即可求解．
【详解】
解：如图，
当P与A点重合时，取得最小值-2，
此时，设抛物线的解析式为，
根据题意知A(-1，-1)是该抛物线的顶点，且经过点(-2，0)，
∴，
解得：，
∴此时抛物线的解析式为，
当P与B点重合时，取得最大值，如图：
根据题意知B (2，-1)是该抛物线的顶点，
∴此时抛物线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴的最大值为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的最值，正确得出抛物线解析式是解题关键．
25．0或2．
【分析】由题意可知，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的交点为，令即，根据抛物线的对称性解题即可．
【详解】
解：根据题意得，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的交点为，
当即时，
根据抛物线的对称性可得，
点关于直线对称的点为，
的解是或，
故答案为：0或2．
【点拨】本题考查二次函数与一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
26．-3
【分析】如图，画直线 由图像可得：当直线与函数的图像有交点时，则方程有实数根，从而可得到答案．
【详解】
解：如图，画直线
当直线与函数的图像有交点时，
则方程有实数根，
由图像可得：当直线过的顶点时，有最小值，
此时：
故答案为：
【点拨】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，掌握利用图像法解一元二次方程是解题的关键．
27．，．
【分析】根据二次函数与轴的交点即可直接求得方程的解．
【详解】
解：根据图像与轴交于两点，，则方程一元二次方程的解是，，
故答案是，．
【点拨】本题考查了二次函数与轴的交点与一元二次方程的解的关系，熟悉相关性质是解题的关键．
28．①④⑤
【分析】根据函数图像得到开口方向，对称轴，从而得到a，b，c的符号，再结合二次函数的性质分别判断即可．
【详解】
解：由图可知：抛物线开口向下，
∴a＜0，
与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴为直线x=，即b=-2a，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵，，
∴点C离对称轴近，
∴，故②错误；
∵b=-2a，
∴2a+b+c=2a-2a+c=c＞0，故③错误；
当x=1时，，
当x=m时，，
∵当x=1时，取最大值，
∴，
∴，故④正确；
若p＞0，且方程的根为整数，
则根只能为0，1，2，
第一种情况：根为0，2，
第二种情况：两根相等且为1，
则p的值只有两个，故⑤正确；
故答案为：①④⑤．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的图像与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
29．4
【分析】首先根据图像的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，然后令，求出两个x的值，即可求解．
【详解】
抛物线向下平移个单位后的解析式为,
令，
解得，
∴的长为4，
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查二次函数的平移及与二次函数与一元二次方程，掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键．
30．
【分析】解答此题可分以下几步:①设A、B点坐标分别为、,求出用、表示的AB长度的表达式;
②求出抛物线顶点纵坐标表达式,其绝对值即为△APB的高;
③根据∠PAB=30°通过三角函数建立起AB的长度与△APB的高的关系式;
④将看做一个整体,解方程即可得到正确答案.
【详解】
解:如图,
作PD⊥x轴于设A、B点坐标分别为、，
AB==＝=；
抛物线顶点坐标为(，)
则DP的长为，
由抛物线是轴对称图形可知,△APB为等腰三角形,
∠PAD=30°,
DP=tan30° AD=tan30° AB,
即＝ ，
两边平方得：＝，
去分母得：，
移项得：，，
解得：＝0或＝0，
由于抛物线y=a+bx+c与x轴交于A,B两点,故△>0
即: ＝，
故答案：．
【点拨】此题考查了抛物线与x轴的交点横坐标与两点间的距离的关系、抛物线顶点坐标及等腰三角形的性质和三角函数的相关知识,综合性较强.
31．1
【分析】首先求出抛物线与x轴的交点，进而得出AB的长．
【详解】
当y=0，则0=x2﹣5x+6，
解得：x1=2，x2=3，
故AB的长为：3﹣2=1．
【点拨】考点：抛物线与x轴的交点．此题主要考查了抛物线与x轴的交点，得出图像与x轴交点是解题关键．
32．b＝－4
【解析】
【分析】由S△ABC＝3及BC＝2可确定A点坐标，从而确定c；再令抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1、x2且x1＞x2，可得x1-x2=2，则x1+x2=，再运用韦达定理即可求解.
【详解】
解：由题意可得A点纵坐标为3×2÷2=3，故A(0，3)，代入抛物线中可得c=3，则抛物线解析式为：y＝x2＋bx＋3.
令抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1、x2且x1＞x2，由BC=2可得x1-x2=2，
则-b=x1+x2=，即b=-4，
故答案为：-4.
【点拨】本题结合韦达定理考查了抛物线解析式的求解，熟练掌握一元二次方程与二次函数之间的关系是解题关键.
33．（1）；（2）x＜-1或x＞3
【分析】（1）设抛物线的解析式为：，将点（0，-3）代入即可求解；
（2）求出抛物线与x轴的交点，结合图像判断．
【详解】
解：（1）由图像可知：抛物线的顶点为（1，-4），且过点（0，-3），
∴设抛物线的解析式为：，
将（0，-3）代入，
得-3=a-4，
∴a=1，
∴函数解析式为；
（2）由（1）可知：，
∴当y=0时，即，
解得：x=-1或x=3，
即抛物线与x轴交于（-1，0）和（3，0），
由图可知：
当y＞0时，x的取值范围是x＜-1或x＞3．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求不等式的解集更简便．
34．（1）直线x＝1，（0，－1）；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）将抛物线解析式转化为顶点式解析式，得到对称轴，当时，可解得抛物线与y轴的交点坐标；
（2）将y＝x－2代入二次函数解析式，得到关于x的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式解题即可；
（3）将抛物线解析式转化为顶点式，得到对称轴为直线x＝1，根据抛物线的图像与性质解题即可．
【详解】
解：（1）抛物线y＝ax2－2ax－1 ，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线y＝ax2－2ax－1中，当时，，
抛物线与y轴的交点坐标为：
故答案为：直线x＝1，；
（2）将y＝x－2代入二次函数解析式，得x－2 ＝ ax2－2ax－1，
则原方程可化为 ax2－（2a ＋1）x ＋1＝0，
由根的判别式可得
＝
∴直线y＝x－2与抛物线y＝ax2－2ax－1（a ＜ 0）一定存在两个交点；
（3）∵抛物线的开口向下，对称轴直线为x＝1，顶点坐标为，
∴当－2≤x≤2时，
∵y的最大值是1，
∴顶点坐标为（1， 1），
∴当x ＜ 1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵比离对称轴更远一些，
即x＝－2时，y有最小值，
∴最小值是，
即y的最小值是 .
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质、一次函数与二次函数的交点问题，涉及二次函数的最值等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.
35．（1）；（2），见解析；（3）2≤
【分析】解：（1）由图可知抛物线的顶点坐标（1，4），过y轴点C（0，3），利用抛物线顶点式，把点C代入得，求得即可；
（2）抛物线的对称轴为x=1，<0，开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小， 由，在对称轴右侧y随x的增大而减小， 可得；
（3）联立函数消去y得由方程恒有两个实根，知△>0，即△=（m-2）2-4(n-3)，由（m-2）2≥0，则-4(n-3)>0则n<3，由，，可得即，△=16-4（8-2n）=8n-16≥0，n≥2，即可得出结论．
【详解】
（1）由图可知抛物线的顶点坐标（1，4），过y轴点C（0，3），
抛物线，把点C代入得，
，所以a=-1，
，
所以；
（2）抛物线的对称轴为x=1，<0，开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小，
当，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
与有大小关系为：；
（3）联立函数，
消去y得，
就是的两个实数根，
方程恒有两个不等实根，
则△>0，
△=（m-2）2-4(n-3)，
（m-2）2≥0，-4(n-3)>0，则n<3，
∴，
∵，
，
即，
，
∴△=16-4（8-2n）=8n-16≥0，
n≥2．
∴2≤n<3．
【点拨】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一元二次方程的根与系数关系，掌握待定系数法求二次函数解析式的方法，二次函数的性质增减性，一元二次方程的根与系数关系是解题关键．
36．（1）证明见解析；（2）①；②，．
【分析】（1）设，，从而可得，再根据黄金分割点的定义建立方程，然后利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）①设，，从而可得，，，再根据一元二次方程根与系数的关系可得，，然后根据黄金分割点的定义可得，从而可得，由此化简即可得；
②根据①的结论，利用黄金分割点的定义分别求出OA、OB的长，由此即可得．
【详解】
（1）设，，则，
由得：，
即，
解得，
∵，
∴，
；
（2）①设，，则，，，
由二次函数与一元二次方程的联系得：，是方程的两根，
∴，，
∵原点是线段的黄金分割点，且，
∴，即，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
即；
②由（2）①得：，
由黄金分割点的定义得：，
解得，
则，
故，．
【点拨】本题考查了解一元二次方程、二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程根与系数的关系等知识点，正确理解黄金分割点的定义是解题关键． x
0
1
3
y
3
5
3
1．如图，己知抛物线经过点，．当抛物线的开口向上时，的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
2．如图，抛物线与直线的交点为．当时，的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图像如图所示，其对称轴为直线x＝2，图像和x轴的一个交点坐标为(5，0)，由图像可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是（ ）
A．－1＜x＜5B．x＞5C．x＜－1且x＞5D．x＜－1或x＞5
4．在平面直角坐标系中，已知点，，抛物线：，当与线段有公共点时，的取值范围是（ ）
A．B．
C．，D．或
5．关于的一元二次方程没有实数根，抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数图像开口向上B．当时，
C．当时，y随x的增大而增大D．函数图像与x轴有两个交点
7．已知二次函数的图像如图所示，则下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图像在同一坐标系下如图所示，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知抛物线（，，是常数，）经过点，其对称轴为直线．有下列结论：①；②；③关于的方程有两个不等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．抛物线经过，对称轴直线，关于的方程在的范围有实数根，则的范围（ ）
A．B．C．D．
11．二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表：
下列结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程的一个根；④当时，．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
12．如图是抛物线，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，下列结论：
①；
②；
③；
④；
⑤关于x的方程的另一个解在和之间，
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7
14．老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，3）；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．如图，抛物线（是常数，）与轴交于两点，顶点给出下列结论：①；②若在抛物线上，则；③关于的方程有实数解，则；④当时，为等腰直角三角形，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
16．对于每个非零的自然数，抛物线与轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ）
A．B．C．D．
填空题
17．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像，由图像可知，满足不等式ax2+bx+c≤0的x的取值范围是_____．
18．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是________．
19．如图，直线与抛物线（）相交于，两点，点是抛物线上位于直线下方的点，则点的横坐标的取值范围是___________．
20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0； ③m（am+b）﹣b＜a（m≠1）； ④若点A的坐标为（﹣2，0），则3a+c＜0； ⑤若点B的坐标为（4，0），则当x＜﹣2或x＞6时，y＜0； ⑥若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；⑦M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2； ⑧若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为_____．
21．抛物线经过坐标系（-1，0）和（0，3）两点，对称轴，如图所示，则当时，x的取值范围是________．
22．抛物线图像与轴无交点，则的取值范围为；
23．如图为二次函数的图像，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的为______．（填序号）
24．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，抛物线的顶点P在线段上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为、，且．若的最小值是，则的最大值是_____．
25．二次函数的大致图像如图所示，则关于的方程的解是__________．
26．二次函数的图像如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为________
27．如图，若关于的二次函数的图像与轴交于两点，那么方程 的解是 ______ ．
28．已知二次函数（a，b，c为常数，）的部分图像如图所示，对称轴为直线，且与x轴的一个交点在点和之间．下列结论：①；②若点，在此抛物线上，则；③；④对于任意实数m，总有；⑤对于a的每一确定值，若一元二次方程（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是__________（填写序号）．
29．如图，抛物线向下平移个单位后，交轴于，A两点，则的长为______．
30．已知抛物线与轴交于、两点，设抛物线顶点为，若，则的值为________．
31．抛物线y=x2﹣5x+6与x轴交于A、B两点，则AB的长为__．
32．若抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC＝2，S△ABC＝3，则b＝______．
解答题
33．根据图像，解决下列问题：
（1）求函数解析式．
（2）当，求的取值范围？
34．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2ax－1（a＜0）．
（1）抛物线的对称轴为 ，抛物线与y轴的交点坐标为 ；
（2）试说明直线y＝x－2与抛物线y＝ax2－2ax－1（a＜0）一定存在两个交点；
（3）若当－2≤x≤2时，y的最大值是1，求当-2≤x≤2时，y的最小值是多少？
35．阅读理解：如果联列函数与得关于x的一元二次方程（p≠0，p、q、r均为常数），则函数与图像的交点横坐标就是的两个实数根，此时有．二次函数的图像如图所示，且与一次函数的图像有两个交点和．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若，试判断：与有大小关系，并说明理由；
（3）若，求n的范围．
36．定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果=k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点，叫做黄金分割数．
理解：（1）利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数；
应用：（2）如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图像与x轴交于A、B两点（OA
1．A
【分析】根据抛物线经过点，求出，由抛物线的开口向上，可得，可得即可．
【详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，，
∵抛物线的开口向上，
∴，，
∴．
故选择A．
【点拨】本题考查抛物线性质，利用抛物线经过点求出关于t的代数式，利用抛物线开口方向确定是解题关键．
2．D
【分析】由，则抛物线在直线的上方，利用图像，即可得到的取值范围．
【详解】
解：由，则抛物线在直线的上方，
∵抛物线与直线的交点坐标为A（1，3），B（6，1），
∴的取值范围是：或；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是掌握抛物线与直线的交点进行解题．
3．D
【分析】先根据抛物线的对称性得到另一点坐标（−1，0），由y＝ax2＋bx＋c＜0得函数值为负数，即抛物线在x轴下方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．
【详解】
∵对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点A与B（5，0）关于直线x＝2对称，
∴另一点的坐标为（−1，0）．
∵不等式ax2＋bx＋c＜0，即y＝ax2＋bx＋c＜0，
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的图形在x轴下方，
∴不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是x＜−1或x＞5．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的性质：a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；抛物线的对称轴为直线x＝−；当b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，当b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点，即顶点在x轴上，当b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．D
【分析】根据题意知线段AB平行于y轴，故根据二次函数与线段交点的情况列式求解即可．
【详解】
根据题意知：
∵点，，
故对于二次函数与线段有公共点时，
即当x=4时，，
即，
解得：或；
故选：D．
【点拨】此题考查二次函数与线段交点问题，主要理解函数图像与线段有交点的真实含义，难度一般，主要是计算．
5．B
【分析】求出抛物线的对称轴-1，可知顶点在y轴的基侧，根据没有实数根，可知开口向上的与x轴没有交点，据此即可判断抛物线在第二象限．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴，
∴可知抛物线的顶点在y轴左侧，
又∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴开口向上的与x轴没有交点，
∴抛物线的顶点在第二象限．
故选：B．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点个数与相应一元二次方程的解的个数的关系，熟悉二次函数的性质是解题的关键．
6．D
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：A．a=1＞0，故函数图像开口向上，正确，不符合题意；
B．当x=6时，y=x2-4x+5=36-24+5=17正确，不符合题意；
C．函数的对称轴为直线x=2，函数图像开口向上，
故当x＞2时，y随x的增大而增大，正确，不符合题意；
D．△=（-4）2-4×1×5＜0，故抛物线和x轴没有交点，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．D
【分析】由抛物线开口向下，可判断a符号，再由对称轴在y轴左侧，得到b的符号，又抛物线与y轴交于正半轴，得到c的符号，即可判断①；根据图像知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，即可判断②错误；根据图像知，对称轴在y轴左侧，得到，即，据此判断③；根据图像与x轴有两个不同的交点，得到，据此判断④．
【详解】
解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵对称轴在y轴左侧，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
根据图像知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，得到②错误；
根据图像知，对称轴在y轴左侧，得到，即，解得，得到③正确；
根据图像与x轴有两个不同的交点，得到，从而得出结论，得到④正确，
则其中正确的有3个，为①③④，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来说，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；此外还要注意利用抛物线的对称性解题．
8．D
【分析】根据函数图像交点与方程的关系解答．
【详解】
解：∵一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图像的交点在第二象限，
∴两个交点的横坐标都是负数，
∴函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴的交点的横坐标都为负数，
∴函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴的负半轴有两个交点，
故选：D．
【点拨】本题考查函数图像的应用，熟练掌握函数图像交点与方程的关系是解题关键．
9．C
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣4a，则可对①进行判断；利用x＝﹣3时，y＜0可对②进行判断；过点（0，-3）作x轴的平行线，由该直线与抛物线有两个交点，可得出方程有两个不相等的实数根，结论③正确；
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线x2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵
∴
由题意得：过点（0，-3）作x轴的平行线，如图所示．
∵该直线y=-3与抛物线有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，结论③正确；
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是二次函数的图像与系数的关系、抛物线与x轴的交点，二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的性质以及数形结合是解题的关键．
10．C
【分析】由题意先得出抛物线的解析式，进而利用根的判别式以及二次函数图像的性质进行分析计算即可．
【详解】
解：∵抛物线经过，
∴将代入可得，
∵对称轴直线，
∴，解得，
∴抛物线为，
∴，
∵关于的方程在的范围有实数根，
∴，解得，
且同时满足当，以及当，解得（舍去），
或者当，以及当，解得，
综上可得的范围为：．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数与一元二次方程的结合，熟练掌握二次函数图像的性质并运用数形结合思维分析是解题的关键．
11．C
【分析】①函数的对称轴为：x=(0+3)=，对称轴左侧y随x的增大而增大，故a＜0，x=0，y=3=c＞0，即可求解；
②函数的对称轴为x=，故②错误，不符合题意；
③ax2+(b-1)x+c=0，则ax2+bx+c=x，当x=3时，ax2+bx+c=3，即可求解；
④由③知，3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为1，即可求解．
【详解】
解：①函数的对称轴为：x=(0+3)=，
对称轴左侧y随x的增大而增大，故a＜0，x=0，y=3=c＞0，
故①正确，符合题意；
②函数的对称轴为x=，对称轴左侧，即时，y随x的增大而增大，故②错误，不符合题意；
③ax2+(b-1)x+c=0，则ax2+bx+c=x，
当x=3时，ax2+bx+c=3，故③正确，符合题意；
④由③知，3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为-1，
故当-1＜x＜3时，ax2+(b-1)x+c>0，故④正确，符合题意；
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，主要要求学生通过观察函数图像的方式来求解方程或不等式．
12．D
【分析】根据抛物线开口方向和对称轴可以对①②进行判断；利用抛物线的对称性可得当时，，于是可对③进行判断；根据顶点即可对④进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的一个交点在和之间，则关于x的方程的另一个解在和之间，于是可对⑤进行判断．
【详解】
∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴直线，
∴，
∴，
故①②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点与关于直线对称，
∵时，，
∴时，，即，
故③正确；
∵抛物线，其顶点坐标为，
∴，
故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间，
∴关于x的方程的另一个解在和之间，
故⑤错误；
∴正确结论的有①②③④共4个，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与系数间的关系，涉及了抛物线的开口方向，对称轴、与x轴的交点等问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．
13．C
【分析】根据顶点P在线段AB上移动，又知点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），分别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．
【详解】
解：根据题意知，
点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B点，点N的横坐标最大，此时的M点坐标为（﹣2，0），
当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为（1，0），M点的坐标为（﹣5，0），
故点M的横坐标的最小值为﹣5，
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图像与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．
14．C
【分析】首先求出抛物线的解析式，然后逐一进行判断即可得出答案．
【详解】
解：∵抛物线过（1,0），对称轴是x＝2，
∴ ，解得a＝1，b＝－4，
∴y＝x2－4x＋3，
当x＝3时，y＝0，所以小华正确，
当x＝4时，y＝3，小彬正确，
a＝1，小明也正确，
抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点(1,0)，则可得另一点为(－1,0)或(3,0)，所以对称轴为y轴或x＝2，此时答案不唯一，所以小颖也错误，
故答案为：C．
【点拨】本题主要考查抛物线，掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．D
【分析】利用二次函数的图像及性质一一判断即可．
【详解】
解:∵-＜，a＞0，
∴a＞-b，
∴2a=a＋a＞a－b
∵x=-1时，y＞0，
∴a-b+c＞0，
∴2a+c＞a-b+c＞0，故①错误；
若，，在抛物线上，
由图像法可知，y1＞y2＞y3；故②正确；
∵抛物线与直线y=t有交点时，方程ax2+bx+c=t有解，t≥n，
∴ax2+bx+c-t=0有实数解
要使得ax2+bx+k=0有实数解，则k=c-t≤c-n；故③错误；
设抛物线的对称轴交x轴于H．
∵，
∴b2-4ac=4，
∴x=，
∴|x1-x2|=，
∴AB=2PH，
∵BH=AH，
∴PH=BH=AH，
∴是直角三角形，
∵PA=PB，
∴是等腰直角三角形，故④正确．
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的图像及性质、二次函数与坐标轴的交点等知识，此题难度较大，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
16．D
【分析】根据抛物线的解析式，抛物线与x轴交点的横坐标，一个是,另一个是，，根据x轴上两点间的距离公式，得AnBn=－，再代入计算即可．
【详解】
解：令时，，
解得：，
∴抛物线与x轴交点的横坐标是和，
∴AnBn=－
∴ ＝．
故选D．
【点拨】本题考查了找规律的题目，考查了抛物线与x轴的交点问题，令y=0，方程的两个实数根正好是抛物线与x轴交点的横坐标．
17．x≥5或x≤-1
【分析】根据二次函数的对称性求出函数图像与x轴的另一交点，再写出函数图像在x轴上方部分的x的取值范围即可．
【详解】
解：由图可知，二次函数图像为直线x=2，
所以，函数图像与x轴的另一交点为（-1，0），
所以，ax2+bx+c≤0时x的取值范围是x≥5或x≤-1．
故答案为：x≥5或x≤-1．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式，此类题目一般都利用数形结合的思想求解，本题求出函数图像与x轴的另一个交点是解题的关键．
18．-1＜x＜2
【分析】观察两函数图像的上下位置关系，即可得出结论．
【详解】
解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（-1，p），B（2，q）两点，
观察函数图像可知：当-1＜x＜2时，抛物线y=ax2+c在直线y=mx+n的上方，
∴不等式ax2+c＞mx+n的解集为-1＜x＜2，
即不等式ax2-mx+c＞n的解集是-1＜x＜2．
故答案为：-1＜x＜2．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图像的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
19．
【分析】先求出直线AB的解析式为：，点是抛物线上位于直线下方的点，点P的横坐标满足，由的两根为x1=-2，x2=5，不等式的解集是，点的横坐标的取值范围即可求出．
【详解】
解：直线与抛物线（）相交于，两点，
设直线AB的解析式为：，
由直线过A、B代入解析式得，
解得，
直线AB的解析式为：，
点是抛物线上位于直线下方的点，
点P的横坐标满足，
由的两根为x1=-2，x2=5，
不等式的解集是．
∴点的横坐标的取值范围是．
故答案为：．
【点拨】本题考查直线解析式的求法，方程的解，利用图像解不等式，掌握直线解析式的求法，方程的解，利用图像解不等式，根据点P的位置构造不等式是解题关键．
20．①②③⑤⑧
【分析】根据函数的图像和性质即可求解.
【详解】
解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故4ac﹣b2＜0，故正确；
③x＝1时，函数有最大值，则am2+bm+c＜a+b+c（m≠1），故m（am+b）﹣b＜a（m≠1），故正确；
④若点A的坐标为（﹣2，0），则x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴3a+c＞0，故错误；
⑤若点B的坐标为（4，0），则A的坐标为（﹣2，0），
∴当x＜﹣2或x＞4时，y＜0，
∴当x＜﹣2或x＞6时，y＜0，故正确；
⑥△ABC的面积＝AB•yC＝AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图像不符，故错误；
⑦函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故错误；
⑧抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），
根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，故⑧正确；
故答案为①②③⑤⑧.
【点拨】本题考查抛物线的应用，熟练掌握抛物线的图像与性质是解题关键 ．
21．或．
【分析】函数的对称轴为x=1，抛物线和x轴的一个交点为（-1，0），则抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（3，0），进而求解．
【详解】
∵函数的对称轴为，抛物线和x轴的一个交点为（-1，0），
∴抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（3，0），
则根据函数图像，当时，x的取值范围是或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
22．．
【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以得到顶点的纵坐标小于0，然后代入数据计算即可．
【详解】
解：∵抛物线图像与轴无交点，
∴该抛物线开口向下，且，
即： ，解之得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征，明确题意，利用二次函数的性质解答是解答本题的关键．
23．②③
【分析】根据图像的开口方向可判断a的符号，由抛物线与x轴的交点坐标可得对称轴为直线x=1，从而可判断b与2a的关系，当x=1时，根据图像可判断此时函数值a+b+c的符号，根据图像与x轴的交点可判断的符号，从而可对结果作出判断．
【详解】
观察图像知，抛物线的开口向下，所以a<0，故①错误；
由抛物线与x轴的交点坐标分别为(-1,0)和(3,0)，由于抛物线的对称轴为直线x=，所以有： ，即，所以，故②正确；
当x=1时，y=a+b+c，由图像知，，故③正确；
观察图像知，抛物线与x轴有两个不同的交点，所以，故④错误．
综上所述，正确的为②③．
故答案为：②③．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，本题的关键是数形结合，此类题的常用方法：看抛物线的开口方向定a的符号；看抛物线的对称轴在y轴的左边还是右边，定b的符号；看抛物线与y轴的交点定c的符号；看抛物线与x轴的交点定判别式的符号．
24．3
【分析】根据题意得出当P与A点重合时，取得最小值-2，即A(-1，-1)是该抛物线的顶点，且经过点(-2，0)，求得该抛物线的解析式，同理得出当P与B点重合时，取得最大值，利用二次函数与x轴的交点问题，即可求解．
【详解】
解：如图，
当P与A点重合时，取得最小值-2，
此时，设抛物线的解析式为，
根据题意知A(-1，-1)是该抛物线的顶点，且经过点(-2，0)，
∴，
解得：，
∴此时抛物线的解析式为，
当P与B点重合时，取得最大值，如图：
根据题意知B (2，-1)是该抛物线的顶点，
∴此时抛物线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴的最大值为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的最值，正确得出抛物线解析式是解题关键．
25．0或2．
【分析】由题意可知，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的交点为，令即，根据抛物线的对称性解题即可．
【详解】
解：根据题意得，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的交点为，
当即时，
根据抛物线的对称性可得，
点关于直线对称的点为，
的解是或，
故答案为：0或2．
【点拨】本题考查二次函数与一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
26．-3
【分析】如图，画直线 由图像可得：当直线与函数的图像有交点时，则方程有实数根，从而可得到答案．
【详解】
解：如图，画直线
当直线与函数的图像有交点时，
则方程有实数根，
由图像可得：当直线过的顶点时，有最小值，
此时：
故答案为：
【点拨】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，掌握利用图像法解一元二次方程是解题的关键．
27．，．
【分析】根据二次函数与轴的交点即可直接求得方程的解．
【详解】
解：根据图像与轴交于两点，，则方程一元二次方程的解是，，
故答案是，．
【点拨】本题考查了二次函数与轴的交点与一元二次方程的解的关系，熟悉相关性质是解题的关键．
28．①④⑤
【分析】根据函数图像得到开口方向，对称轴，从而得到a，b，c的符号，再结合二次函数的性质分别判断即可．
【详解】
解：由图可知：抛物线开口向下，
∴a＜0，
与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴为直线x=，即b=-2a，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵，，
∴点C离对称轴近，
∴，故②错误；
∵b=-2a，
∴2a+b+c=2a-2a+c=c＞0，故③错误；
当x=1时，，
当x=m时，，
∵当x=1时，取最大值，
∴，
∴，故④正确；
若p＞0，且方程的根为整数，
则根只能为0，1，2，
第一种情况：根为0，2，
第二种情况：两根相等且为1，
则p的值只有两个，故⑤正确；
故答案为：①④⑤．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的图像与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
29．4
【分析】首先根据图像的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，然后令，求出两个x的值，即可求解．
【详解】
抛物线向下平移个单位后的解析式为,
令，
解得，
∴的长为4，
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查二次函数的平移及与二次函数与一元二次方程，掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键．
30．
【分析】解答此题可分以下几步:①设A、B点坐标分别为、,求出用、表示的AB长度的表达式;
②求出抛物线顶点纵坐标表达式,其绝对值即为△APB的高;
③根据∠PAB=30°通过三角函数建立起AB的长度与△APB的高的关系式;
④将看做一个整体,解方程即可得到正确答案.
【详解】
解:如图,
作PD⊥x轴于设A、B点坐标分别为、，
AB==＝=；
抛物线顶点坐标为(，)
则DP的长为，
由抛物线是轴对称图形可知,△APB为等腰三角形,
∠PAD=30°,
DP=tan30° AD=tan30° AB,
即＝ ，
两边平方得：＝，
去分母得：，
移项得：，，
解得：＝0或＝0，
由于抛物线y=a+bx+c与x轴交于A,B两点,故△>0
即: ＝，
故答案：．
【点拨】此题考查了抛物线与x轴的交点横坐标与两点间的距离的关系、抛物线顶点坐标及等腰三角形的性质和三角函数的相关知识,综合性较强.
31．1
【分析】首先求出抛物线与x轴的交点，进而得出AB的长．
【详解】
当y=0，则0=x2﹣5x+6，
解得：x1=2，x2=3，
故AB的长为：3﹣2=1．
【点拨】考点：抛物线与x轴的交点．此题主要考查了抛物线与x轴的交点，得出图像与x轴交点是解题关键．
32．b＝－4
【解析】
【分析】由S△ABC＝3及BC＝2可确定A点坐标，从而确定c；再令抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1、x2且x1＞x2，可得x1-x2=2，则x1+x2=，再运用韦达定理即可求解.
【详解】
解：由题意可得A点纵坐标为3×2÷2=3，故A(0，3)，代入抛物线中可得c=3，则抛物线解析式为：y＝x2＋bx＋3.
令抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1、x2且x1＞x2，由BC=2可得x1-x2=2，
则-b=x1+x2=，即b=-4，
故答案为：-4.
【点拨】本题结合韦达定理考查了抛物线解析式的求解，熟练掌握一元二次方程与二次函数之间的关系是解题关键.
33．（1）；（2）x＜-1或x＞3
【分析】（1）设抛物线的解析式为：，将点（0，-3）代入即可求解；
（2）求出抛物线与x轴的交点，结合图像判断．
【详解】
解：（1）由图像可知：抛物线的顶点为（1，-4），且过点（0，-3），
∴设抛物线的解析式为：，
将（0，-3）代入，
得-3=a-4，
∴a=1，
∴函数解析式为；
（2）由（1）可知：，
∴当y=0时，即，
解得：x=-1或x=3，
即抛物线与x轴交于（-1，0）和（3，0），
由图可知：
当y＞0时，x的取值范围是x＜-1或x＞3．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求不等式的解集更简便．
34．（1）直线x＝1，（0，－1）；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）将抛物线解析式转化为顶点式解析式，得到对称轴，当时，可解得抛物线与y轴的交点坐标；
（2）将y＝x－2代入二次函数解析式，得到关于x的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式解题即可；
（3）将抛物线解析式转化为顶点式，得到对称轴为直线x＝1，根据抛物线的图像与性质解题即可．
【详解】
解：（1）抛物线y＝ax2－2ax－1 ，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线y＝ax2－2ax－1中，当时，，
抛物线与y轴的交点坐标为：
故答案为：直线x＝1，；
（2）将y＝x－2代入二次函数解析式，得x－2 ＝ ax2－2ax－1，
则原方程可化为 ax2－（2a ＋1）x ＋1＝0，
由根的判别式可得
＝
∴直线y＝x－2与抛物线y＝ax2－2ax－1（a ＜ 0）一定存在两个交点；
（3）∵抛物线的开口向下，对称轴直线为x＝1，顶点坐标为，
∴当－2≤x≤2时，
∵y的最大值是1，
∴顶点坐标为（1， 1），
∴当x ＜ 1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵比离对称轴更远一些，
即x＝－2时，y有最小值，
∴最小值是，
即y的最小值是 .
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质、一次函数与二次函数的交点问题，涉及二次函数的最值等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.
35．（1）；（2），见解析；（3）2≤
【分析】解：（1）由图可知抛物线的顶点坐标（1，4），过y轴点C（0，3），利用抛物线顶点式，把点C代入得，求得即可；
（2）抛物线的对称轴为x=1，<0，开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小， 由，在对称轴右侧y随x的增大而减小， 可得；
（3）联立函数消去y得由方程恒有两个实根，知△>0，即△=（m-2）2-4(n-3)，由（m-2）2≥0，则-4(n-3)>0则n<3，由，，可得即，△=16-4（8-2n）=8n-16≥0，n≥2，即可得出结论．
【详解】
（1）由图可知抛物线的顶点坐标（1，4），过y轴点C（0，3），
抛物线，把点C代入得，
，所以a=-1，
，
所以；
（2）抛物线的对称轴为x=1，<0，开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小，
当，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
与有大小关系为：；
（3）联立函数，
消去y得，
就是的两个实数根，
方程恒有两个不等实根，
则△>0，
△=（m-2）2-4(n-3)，
（m-2）2≥0，-4(n-3)>0，则n<3，
∴，
∵，
，
即，
，
∴△=16-4（8-2n）=8n-16≥0，
n≥2．
∴2≤n<3．
【点拨】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一元二次方程的根与系数关系，掌握待定系数法求二次函数解析式的方法，二次函数的性质增减性，一元二次方程的根与系数关系是解题关键．
36．（1）证明见解析；（2）①；②，．
【分析】（1）设，，从而可得，再根据黄金分割点的定义建立方程，然后利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）①设，，从而可得，，，再根据一元二次方程根与系数的关系可得，，然后根据黄金分割点的定义可得，从而可得，由此化简即可得；
②根据①的结论，利用黄金分割点的定义分别求出OA、OB的长，由此即可得．
【详解】
（1）设，，则，
由得：，
即，
解得，
∵，
∴，
；
（2）①设，，则，，，
由二次函数与一元二次方程的联系得：，是方程的两根，
∴，，
∵原点是线段的黄金分割点，且，
∴，即，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
即；
②由（2）①得：，
由黄金分割点的定义得：，
解得，
则，
故，．
【点拨】本题考查了解一元二次方程、二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程根与系数的关系等知识点，正确理解黄金分割点的定义是解题关键． x
0
1
3
y
3
5
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