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北师大版九年级数学下册 专题2.28 用二次函数解决问题（附答案）
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这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.28 用二次函数解决问题（附答案），共31页。
1．如图，抛物线交x轴的负半轴于点A，点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点Aʹ恰好落在抛物线上．过点Aʹ作x轴的平行线交抛物线于另一点C，则点Aʹ的纵坐标为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
2．用长的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ ）.
A．B．C．D．
3．如图所示，将一根长m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系
4．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为若平行于墙的一边长不小于则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，矩形中，，P是线段上一点（P不与B重合），M是上一点，且，设的面积为y，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边AC长与正方形MNPQ的边长均为2cm，CA与MN在直线l上．开始时A点与M点重合；让△ABC向右平移；直到C点与N点重合时为止．设△ABC与正方形MNPQ重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，边长为的正的边在直线上，两条距离为的平行直线和垂直于直线，和同时向右移动（的起始位置在点），速度均为每秒个单位，运动时间为（秒），直到到达点停止，在和向右移动的过程中，记夹在和间的部分的面积为，则关于的函数图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
9．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为，当涵洞水面宽为时，涵洞顶点至水面的距离为
A．B．C．D．
10．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，现把它的示意图（如图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
11．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为 y=﹣x2，当水位线在 AB位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（ ）
A．3mB．mC．4mD．9m
12．某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润（单位：元）与每件涨价（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．B．
C．D．
13．某童装专卖店销售一批某品牌童装，已知销售这种童装每天获得的利润y（元）与童装的销售价x（元/件）之间的函数解析式为y＝﹣x2+160x﹣4800．若想每天获得的利润最大，则销售价应定为（ ）
A．110元/件B．100元/件C．90元/件D．80元/件
14．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（50+x-40）（500﹣10x）B．y＝（x+40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）]D．y＝（50+x-40）（500﹣5x）
15．某海滨浴场有100把遮阳伞，每把每天收费10元时，可全部租出，若每把每天收费提高1元，则减少5把伞租出，若每把每天收费再提高1元，则再减少5把伞租出，……，为了投资少而获利大，每把伞每天应提高收费（ ）
A．7元B．6元C．5元D．4元
填空题
16．用一根长为的铁丝围成一个矩形，该矩形面积的最大值是__________．
17．用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设围成长方形的生物园的长为m，则围成长方形的生物的面积（单位：）与x的函数表达式是___________．（不要求写自变量的取值范围）
18．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为______．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝6，则△BDE面积的最大值为_________．
20．如图，一段抛物线：记为，它与轴交于两点，；将绕旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于；如此进行下去，直至得到，若点在第段抛物线上，则___________．
21．二次函数的图像如图所示，点A0位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2009在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2009在二次函数第一象限的图像上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2008B2009A2009都为等边三角形，计算出△A2008B2009A2009的边长为_____．
22．如图，已知AB=12，P为线段AB上的一个动点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P、C、E在一条直线上，∠DAP=60°．M、N分别是对角线AC、BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为______．（结果留根号）
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣1交y轴于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，点P在抛物线上，连结PA、PB，若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，则△ABP的面积是_____．
24．如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽为时，桥洞顶部离水面．若选取拱形顶点为坐标原点，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为______．
25．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点，处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是__________米．
26．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为，当水面的宽度AB为16米时，水面离桥拱顶的高度OC为________m．
27．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF =________．
28．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（，且x为整数）出售，可卖出件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_______元．
29．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用。房价定为_________时，宾馆利润最大，最大利润是________元．
30．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元．
解答题
31．美丽的励志我的家，为创建文明城市美化校园，我校生物课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x的值．
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，则垂直于墙的一边长为多少米时这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围．
32．如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位时，宽为，若水位上升，水面就会达到警戒线这时水面宽为．
(1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时，水位以每小时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？
33．如图，正方形的边长为，，分别是，边上一动点，点，同时从点出发，以每秒的速度分别向点，运动，当点与点重合时，运动停止，设运动时间为，运动过程中的面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
34．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
参考答案
1．B
【分析】
先求出点A坐标，利用对称可得点横坐标，代入可得纵坐标.
解：令得，即
解得
点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点Aʹ恰好落在抛物线上
点的横坐标为1
当时，
所以点Aʹ的纵坐标为2.
故选：B
【点拨】本题考查了二次函数的图像，熟练利用函数解析式求点的坐标是解题的关键.
2．C
【分析】
设窗的高度为xm，宽为m，则根据矩形面积公式列出二次函数，求函数值的最大值即可．
解：设窗的高度为xm，宽为（）m，
故S=．
∴S= = ．
∴当x=2m时，S最大值为m2．
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的应用，根据矩形面积公式列出函数表达式是解题的关键．
3．C
【分析】
设矩形的一边长为xm，求出矩形面积即可判断．
设矩形的一边长为xm，另一边长为(1-x)m，面积用y表示，
，
故选择：C．
【点拨】本题考查列函数关系式，并判断函数的类型，掌握列函数的方法和函数的特征是解题关键．
4．C
【分析】
设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20－2x）m，这个苗圃园的面积为ym2，根据二次函数的图像及性质求最值即可．
解：设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20－2x）m，这个苗圃园的面积为ym2
由题意可得y=x（20－2x）=-2（x－5）2＋50，且8≤20－2x≤15
解得：2.5≤x≤6
∵-2＜0，二次函数图像的对称轴为直线x=5
∴当x=5时，y取最大值，最大值为50 ；
当x=2.5时，y取最小值，最小值为37.5 ；
故选C．
【点拨】此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的图像及性质是解题关键．
5．A
【分析】
根据图像可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得
C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为
y=(4－x)··=,
两个三角形重合时面积正好为.
由二次函数图像的性质可判断答案为A,
故选A.
【点拨】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论.
6．A
【分析】
根据勾股定理可得，因为，所以，过点M作于点E，可得，然后根据相似三角形的性质得到，由此可用x表示ME，最后根据三角形的面积公式即可确定函数关系．
解：∵，
∴，∴，
∵，∴，
如图，过点M作于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
∴，P不与B重合，那么，可与点C重合，那么．
故y与x之间的函数关系式为．
故答案选A．
【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，主要是通过三角形相似得出等式．
7．C
【分析】
根据动点的运动过程确定每段阴影部分与x的关系类型，根据函数的性质确定选项．
解：当x≤2cm时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形，
面积为：y＝x2，
是一个开口向上的二次函数；
当x＞2时，
重合部分是直角梯形，
面积为：y＝8﹣（x﹣2）2，
是一个开口向下的二次函数，
故选：C．
【点拨】本题是对函数图像的考查，熟练掌握图像的面积及函数知识是解决本题的关键.
8．B
【分析】
依据a和b同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得到当0≤t＜1时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分，当1≤t＜2时，函数图像为开口向下的抛物线的一部分，当2≤t≤3时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分．
如图①，当0≤t＜1时，BE＝t，DE＝t，
∴s＝S△BDE＝×t×t＝t2；
如图②，当1≤t＜2时，CE＝2−t，BG＝t−1，
∴DE＝（2−t），FG＝（t−1），
∴s＝S五边形AFGED＝S△ABC−S△BGF−S△CDE
＝×2×−×（t−1）×（t−1）−×（2−t）×（2−t）
＝−t2＋3t−；
如图③，当2≤t≤3时，CG＝3−t，GF＝（3−t），
∴s＝S△CFG＝×（3−t）×（3−t）＝t2−3t＋，
综上所述，当0≤t＜1时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t＜2时，函数图像为开口向下的抛物线的一部分；当2≤t≤3时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分，
故选B．
【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图像，函数图像是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
9．C
【分析】
根据抛物线的对称性及解析式求解．
解：依题意，设点坐标为，
代入抛物线方程得：，
即水面到桥拱顶点的距离为16米．
故选：．
【点拨】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式、图像与性质是解题关键．
10．B
【分析】
根据题意设出顶点式，将原点代入即可解题．
由图可知该抛物线开口向下，对称轴为x＝20，
最高点坐标为（20，16），且经过原点，
由此可设该抛物线解析式为，
将原点坐标代入可得，
解得：a＝，
故该抛物线解析式为y＝ ＝
故选：B．
【点拨】本题主要考查二次函数图像性质的实际应用、二次函数顶点式等．难度不大，找到顶点坐标设出顶点式是解题关键．
11．D
【分析】
根据题意可得点A、B的横坐标分别为-6和6，然后把点B的横坐标代入抛物线解析式求解即可．
解：由题意及抛物线的对称性得：点A、B的横坐标分别为-6和6，
则有把点B代入解析式得：，所以这时水面离桥顶的高度为9m；
故选D．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．D
【分析】
由每件涨价元，可得出销售每件的利润为元，每星期的销售量为，再利用每星期售出商品的利润=销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．
解：∵ 每涨价1元，每星期要少卖10件，每件涨价x元，
∴ 销售每件的利润为元，每星期的销售量为，
∴ 每星期销售出商品的利润．
故选：D．
【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式．
13．D
【分析】
根据函数解析式为y＝−x2＋160x−4800，可得当x＝−＝80时，y有最大值1600．
解：∵y＝﹣x2+160x﹣4800，
∴抛物线的开口向下，
∴当x＝﹣＝80时，y＝＝1600，
∴想每天获得的利润最大，则销售价应定为80元，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义．
14．D
【分析】
根据题意直接列式计算求解即可．
解：设每千克涨x元，月销售利润为y元，由题意可得：
；
故选D．
【点拨】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到二次函数表达式即可．
15．C
【分析】
设每个遮阳伞每天应提高x元，每天获得利润为S，每个每天应收费（10+x）元，每天的租出量为（100-5x）个，由此列出函数解析式即可解答．
解：设每个遮阳伞每天应提高x元，每天获得利润为S，由此可得，
S=（10+x）（100-5x），
整理得S=-5x2+50x+1000，
=-5（x-5）2+1125，
∵-5＜0
∴当x=5时,S最小,
即为了投资少而获利大，每把伞每天应提高收费5元
故选C．
【点拨】此题考查运用每天的利润=每个每天收费×每天的租出量列出函数解析式，进一步利用题目中实际条件解决问题．
16．
【分析】
先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可．
解：设矩形的一边长为xcm，所以另一边长为（10-x）cm，
其面积为s=x（10-x）=-x2+10x=-（x-5）2+25，
∴当x=5时，s的最大值=25
∴周长为20cm的矩形的最大面积为25cm2．
故答案为：25．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，求最值得问题常用的思路是转化为函数问题，利用函数的性质求解．
17．
【分析】
设围成长方形的生物园的长为m，围成长方形的生物园的宽为（-x）m，利用矩形的面积公式列出矩形面积S与x的关系式；
解：设围成长方形的生物园的长为xm，则宽为（-x）m，围成长方形的生物园的面积为Sm2，
S=x（-x）=-x2+8x，
∴围成长方形的生物的面积（单位：）与x的函数表达式是，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18．144
【分析】
要求这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值，可设总占地面积为S，中间墙长为x，根据题目所给出的条件列出S与x的关系式，再根据函数的性质求出S的最大值．
解：如图，设总占地面积为S（m2），CD的长度为x（m），
由题意知：AB=CD=EF=GH=x，
∴BH=48-4x，
∵0＜BH≤50，CD＞0，
∴0＜x＜12，
∴S=AB•BH=x（48-4x）=-4（x-6）2+144
∴x=6时，S可取得最大值，最大值为S=144，
故答案为：144．
【点拨】本题考查实际问题与二次函数最值，需要根据题目列出函数关系式，然后利用函数的性质求出该问题的最值．
19．
【分析】
作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，根据AAS证得EDN≌DCM，得出EN＝DM，然后解直角三角形求得AM＝3，得到BM＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，根据三角形面积公式得到S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，根据二次函数的性质即可求得．
解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，
∴∠EDN+∠DEN＝90°，
∵∠EDC＝90°，
∴∠EDN+∠CDM＝90°，
∴∠DEN＝∠CDM，
在EDN和DCM中
∴EDN≌DCM（AAS），
∴EN＝DM，
∵∠BAC＝120°，
∴∠MAC＝60°，
∴∠ACM＝30°，
∴AM＝AC＝6＝3，
∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，
设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，
∴S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，
∴当BD＝4.5时，S△BDE有最大值为，
故答案为：．
【点拨】此题主要考查旋转综合题、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质和求最值，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质和利用二次函数求最值．
20．-1
【分析】
将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1＝A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．
∵y＝−x（x−2）（0≤x≤2），
∴配方可得y＝−（x−1）2＋1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，1），
∴A1坐标为（2，0）
∵C2由C1旋转得到，
∴OA1＝A1A2，即C2顶点坐标为（3，−1），A2（4，0）；
照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；
C4顶点坐标为（7，−1），A4（8，0）；
C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；
C6顶点坐标为（11，−1），A6（12，0）；
∴m＝−1．
故答案为：-1．
【点拨】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标，学会从一般到特殊的探究方法，属于中考常考题型．
21．2009
【分析】
此题需要从简单的例子入手寻找各三角形边长的规律；可设出△A0A1B1的边长为m1，由于此三角形是正三角形，则∠B1A0A1＝60°，∠B1A0x＝30°，可用边长m1表示出B1的坐标，代入抛物线的解析式中，即可得到m1的值，同理可求出△A1B2A2、△A2B3A3的边长，通过观察得到这些三角形边长值的变化规律来求得到△A2008B2009A2009的边长．
解：设△A0A1B1的边长为m1；
∵△A0A1B1是等边三角形，
∴∠A1A0B1＝60°，∠B1A0x＝30°；
故B1（，）；
由于点B1在抛物线的图像上，则有：
×（m1）2＝，解得m1＝1；
同理设△A1A2B2的边长为m2；
同上可得B2（，1+）；
由于点B2也在抛物线的图像上，则有：
×（m2）2＝+1，解得m2＝2；
依此类推，△A2B3A3的边长为：m3＝3，
…
△AnBn+1An+1的边长为mn+1＝n+1；
∴△A2008B2009A2009的边长为2009．
【点拨】此题是典型的规律型试题，需要从简单的例子入手来找出题目的一般化规律，然后根据得到的规律求出特定的值．
22．
【分析】
连接MP，NP，证明MP⊥NP，将M、N的距离转化为直角三角形的斜边最短，利用勾股定理结合二次函数即可求解；
解：连接MP，NP，
∵菱形APCD和菱形PBFE，∠DAP=60°，
∴MP=AP，NP=BP，
∵M、N分别是对角线AC、BE的中点，
∴∠MPC=60°，∠EPN=30°，
∴MP⊥NP，
∴MN2=MP2+NP2，
即MN2=（AP）2+（BP）2=[AP2+（12-AP）2]= （AP2-12AP+72）=（AP-6）2+18，
当AP=6时，MN有最小值3，
∴点M、N之间的距离最短为3；
故答案为3；
【点拨】本题考查菱形的性质，二次函数的应用；将点的最短距离借助勾股定理转化为二次函数最小值是解题的关键．
23．2
【分析】
求得C的坐标，进而求得B的坐标，根据点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上得出三角形的高，然后根据三角形面积公式即可求得．
解：令x=0，则y=x2-2x-1=-1，
∴A(0，-1)，
把y=-1代入y=x2-2x-1得-1=x2-2x-1，
解得x1=0，x2=2，
∴B(2，-1)，
∴AB=2，
∵点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，
∴△PAB边AB上的高为2，
∴S=×2×2=2．
故答案为2．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，求得A、B的坐标以及三角形的高是解题的关键．
24．
【分析】
设抛物线解析式为y=ax2，根据题意得出点B的坐标，代入解析式求出a的值即可．
解：如图，拱形顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，
由题意知B（6，-4），
设抛物线解析式为y=ax2，
将点B（6，-4）代入，得：-4=36a，
解得，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．
25．
【分析】
根据题意可知E、F两点是关于y轴对称的，且纵坐标都为8，则代入解析式可分别求解出两点的横坐标，从而计算出EF的长度．
由题，E、F两点是关于y轴对称，纵坐标都为8，代入解析式，
∴，解得：，，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查二次函数的实际应用，仔细观察图形并理解题意，准确建立并求解方程是解题关键．
26．4
【分析】
根据题意得到点B的横坐标为8，代入求出纵坐标的值，其绝对值就是OC的长．
解：根据抛物线的对称性，
∵，
∴，
令，则，
∴．
故答案是：4．
【点拨】本题考查二次函数图像性质的应用，解题的关键是掌握二次函数图像的性质．
27．米
【分析】
已知抛物线上距水面AB高为8米的E、F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把y=8代入抛物线解析式，可求E、F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求EF长．
解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯”，
把y=8代入得：
x=±4 ，
∴由两点间距离公式得：EF=8（米），
故答案为：8米．
【点拨】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，读懂题意，筛选信息是解题的关键
28．25
【分析】
本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
解：设利润为w元，
则w=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x=25时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
【点拨】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
29．360 10240
【分析】
设房价为x元，利润为y元，利用公式：利润=（每间房价-每天开支）×房间数量，则 ，化为顶点式，即可给出最大利润和房价单价．
设房价为x元，利润为y元，
则有，
故元时，y的利润最大，最大值为10240元，
故答案为：360；10240．
【点拨】本题主要考查二次函数的实际应用，准确列出二次函数解析式并整理为顶点式是解题关键．
30．70
【分析】
设降价x元，利润为W，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的x值即可得到售价．
解：设降价x元，利润为W，
由题意得：W=(80-50-x)(200+20x)，
整理得：W=-20x2+400x+6000=-20(x-10)2+8000，
∴当x=10时，可获得最大利润，
此时每顶头盔的售价为：80-10=70（元），
故答案为：70．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键．
31．（1）x＝12；（2）垂直于墙的一边长为7.5米时这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5平方米；（3）．
【分析】
（1）由题意得（30﹣2x）x＝72，然后进行求解即可；
（2）设苗圃面积为ycm2，由题意可得y＝（30﹣2x）x，然后根据二次函数的最值问题可进行求解；
（3）由题意得这个苗圃园的面积不小于100平方米，即﹣2（x﹣7.5）2+112.5≥100，然后由（1）可知6≤x＜15，可进行求解．
解：（1）由题意得（30﹣2x）x＝72，
解得：x1＝3，x2＝12，
∵30﹣2x≤18，
∴x≥6，
∴x＝12；
（2）设苗圃面积为ycm2，
∴y＝（30﹣2x）x
＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
由题意得30﹣2x≥8，解得x≤11，
又30﹣2x≤18，解得x≥6；
∴6≤x≤11，
∴当x＝7.5时，y最大＝112.5；
（3）∵这个苗圃园的面积不小于100平方米，
即﹣2（x﹣7.5）2+112.5≥100，
∴5≤x≤10，
由（1）可知6≤x＜15，
∴x的取值范围为．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质及应用是解题的关键．
32．（1）坐标系见详解，；（2）5小时．
【分析】
（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，然后根据题意可得点B、D的横坐标，设抛物线解析式为，然后可进行求解；
（2）由（1）可得CD距拱顶的距离，然后根据题意可直接进行列式求解．
解：（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为，点D的坐标为，则，
由抛物线经过点D和点B，可得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得CD距拱顶的距离为1m，水位以每小时的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为（小时），
答：从警戒线开始，再持续5小时就能到达拱桥的拱顶．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解题的关键．
33．
【分析】
△AEF的面积=正方形ABCD的面积-△ABE的面积-△ADF的面积-△ECF的面积，分别表示正方形ABCD的面积、△ABE的面积、△ADF的面积、△ECF的面积代入即可．
解：设运动时间为，
点，同时从点出发，以每秒的速度分别向点，运动，
，，，，
的面积正方形的面积的面积的面积的面积，
即：
【点拨】此题考查了函数关系式，解题关键是正确表示正方形ABCD的面积、△ABE的面积、△ADF的面积、△ECF的面积．
34．（1）y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）当x=80时，y最大值=4500；（3）70≤x≤90.
【分析】
(1) 根据题目已知条件, 可以判定销量与售价之间的关系式为一次函数, 并可以进一步写出二者之间的关系式; 然后根据单位利润等于单位售价减单位成本, 以及销售利润等于单位利润乘销量, 即可求出每天的销售利润与销售单价之间的关系式.
(2) 根据开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值, 即可计算出每天的销售利 润及相应的销售单价.
(3) 根据开口向下的抛物线的图像的性质,满足要求的x的取值范围应该在﹣5（x﹣80）2+4500=4000的两根之间,即可确定满足题意的取值范围.
解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
=（x﹣50）（﹣5x+550）
=﹣5x2+800x﹣27500，
∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500，
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y最大值=4500；
（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，
解得x1=70，x2=90．
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用.
1．如图，抛物线交x轴的负半轴于点A，点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点Aʹ恰好落在抛物线上．过点Aʹ作x轴的平行线交抛物线于另一点C，则点Aʹ的纵坐标为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
2．用长的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ ）.
A．B．C．D．
3．如图所示，将一根长m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系
4．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为若平行于墙的一边长不小于则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，矩形中，，P是线段上一点（P不与B重合），M是上一点，且，设的面积为y，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边AC长与正方形MNPQ的边长均为2cm，CA与MN在直线l上．开始时A点与M点重合；让△ABC向右平移；直到C点与N点重合时为止．设△ABC与正方形MNPQ重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，边长为的正的边在直线上，两条距离为的平行直线和垂直于直线，和同时向右移动（的起始位置在点），速度均为每秒个单位，运动时间为（秒），直到到达点停止，在和向右移动的过程中，记夹在和间的部分的面积为，则关于的函数图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
9．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为，当涵洞水面宽为时，涵洞顶点至水面的距离为
A．B．C．D．
10．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，现把它的示意图（如图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
11．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为 y=﹣x2，当水位线在 AB位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（ ）
A．3mB．mC．4mD．9m
12．某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润（单位：元）与每件涨价（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．B．
C．D．
13．某童装专卖店销售一批某品牌童装，已知销售这种童装每天获得的利润y（元）与童装的销售价x（元/件）之间的函数解析式为y＝﹣x2+160x﹣4800．若想每天获得的利润最大，则销售价应定为（ ）
A．110元/件B．100元/件C．90元/件D．80元/件
14．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（50+x-40）（500﹣10x）B．y＝（x+40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）]D．y＝（50+x-40）（500﹣5x）
15．某海滨浴场有100把遮阳伞，每把每天收费10元时，可全部租出，若每把每天收费提高1元，则减少5把伞租出，若每把每天收费再提高1元，则再减少5把伞租出，……，为了投资少而获利大，每把伞每天应提高收费（ ）
A．7元B．6元C．5元D．4元
填空题
16．用一根长为的铁丝围成一个矩形，该矩形面积的最大值是__________．
17．用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设围成长方形的生物园的长为m，则围成长方形的生物的面积（单位：）与x的函数表达式是___________．（不要求写自变量的取值范围）
18．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为______．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝6，则△BDE面积的最大值为_________．
20．如图，一段抛物线：记为，它与轴交于两点，；将绕旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于；如此进行下去，直至得到，若点在第段抛物线上，则___________．
21．二次函数的图像如图所示，点A0位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2009在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2009在二次函数第一象限的图像上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2008B2009A2009都为等边三角形，计算出△A2008B2009A2009的边长为_____．
22．如图，已知AB=12，P为线段AB上的一个动点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P、C、E在一条直线上，∠DAP=60°．M、N分别是对角线AC、BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为______．（结果留根号）
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣1交y轴于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，点P在抛物线上，连结PA、PB，若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，则△ABP的面积是_____．
24．如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽为时，桥洞顶部离水面．若选取拱形顶点为坐标原点，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为______．
25．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点，处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是__________米．
26．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为，当水面的宽度AB为16米时，水面离桥拱顶的高度OC为________m．
27．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF =________．
28．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（，且x为整数）出售，可卖出件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_______元．
29．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用。房价定为_________时，宾馆利润最大，最大利润是________元．
30．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元．
解答题
31．美丽的励志我的家，为创建文明城市美化校园，我校生物课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x的值．
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，则垂直于墙的一边长为多少米时这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围．
32．如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位时，宽为，若水位上升，水面就会达到警戒线这时水面宽为．
(1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时，水位以每小时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？
33．如图，正方形的边长为，，分别是，边上一动点，点，同时从点出发，以每秒的速度分别向点，运动，当点与点重合时，运动停止，设运动时间为，运动过程中的面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
34．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
参考答案
1．B
【分析】
先求出点A坐标，利用对称可得点横坐标，代入可得纵坐标.
解：令得，即
解得
点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点Aʹ恰好落在抛物线上
点的横坐标为1
当时，
所以点Aʹ的纵坐标为2.
故选：B
【点拨】本题考查了二次函数的图像，熟练利用函数解析式求点的坐标是解题的关键.
2．C
【分析】
设窗的高度为xm，宽为m，则根据矩形面积公式列出二次函数，求函数值的最大值即可．
解：设窗的高度为xm，宽为（）m，
故S=．
∴S= = ．
∴当x=2m时，S最大值为m2．
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的应用，根据矩形面积公式列出函数表达式是解题的关键．
3．C
【分析】
设矩形的一边长为xm，求出矩形面积即可判断．
设矩形的一边长为xm，另一边长为(1-x)m，面积用y表示，
，
故选择：C．
【点拨】本题考查列函数关系式，并判断函数的类型，掌握列函数的方法和函数的特征是解题关键．
4．C
【分析】
设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20－2x）m，这个苗圃园的面积为ym2，根据二次函数的图像及性质求最值即可．
解：设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20－2x）m，这个苗圃园的面积为ym2
由题意可得y=x（20－2x）=-2（x－5）2＋50，且8≤20－2x≤15
解得：2.5≤x≤6
∵-2＜0，二次函数图像的对称轴为直线x=5
∴当x=5时，y取最大值，最大值为50 ；
当x=2.5时，y取最小值，最小值为37.5 ；
故选C．
【点拨】此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的图像及性质是解题关键．
5．A
【分析】
根据图像可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得
C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为
y=(4－x)··=,
两个三角形重合时面积正好为.
由二次函数图像的性质可判断答案为A,
故选A.
【点拨】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论.
6．A
【分析】
根据勾股定理可得，因为，所以，过点M作于点E，可得，然后根据相似三角形的性质得到，由此可用x表示ME，最后根据三角形的面积公式即可确定函数关系．
解：∵，
∴，∴，
∵，∴，
如图，过点M作于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
∴，P不与B重合，那么，可与点C重合，那么．
故y与x之间的函数关系式为．
故答案选A．
【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，主要是通过三角形相似得出等式．
7．C
【分析】
根据动点的运动过程确定每段阴影部分与x的关系类型，根据函数的性质确定选项．
解：当x≤2cm时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形，
面积为：y＝x2，
是一个开口向上的二次函数；
当x＞2时，
重合部分是直角梯形，
面积为：y＝8﹣（x﹣2）2，
是一个开口向下的二次函数，
故选：C．
【点拨】本题是对函数图像的考查，熟练掌握图像的面积及函数知识是解决本题的关键.
8．B
【分析】
依据a和b同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得到当0≤t＜1时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分，当1≤t＜2时，函数图像为开口向下的抛物线的一部分，当2≤t≤3时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分．
如图①，当0≤t＜1时，BE＝t，DE＝t，
∴s＝S△BDE＝×t×t＝t2；
如图②，当1≤t＜2时，CE＝2−t，BG＝t−1，
∴DE＝（2−t），FG＝（t−1），
∴s＝S五边形AFGED＝S△ABC−S△BGF−S△CDE
＝×2×−×（t−1）×（t−1）−×（2−t）×（2−t）
＝−t2＋3t−；
如图③，当2≤t≤3时，CG＝3−t，GF＝（3−t），
∴s＝S△CFG＝×（3−t）×（3−t）＝t2−3t＋，
综上所述，当0≤t＜1时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t＜2时，函数图像为开口向下的抛物线的一部分；当2≤t≤3时，函数图像为开口向上的抛物线的一部分，
故选B．
【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图像，函数图像是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
9．C
【分析】
根据抛物线的对称性及解析式求解．
解：依题意，设点坐标为，
代入抛物线方程得：，
即水面到桥拱顶点的距离为16米．
故选：．
【点拨】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式、图像与性质是解题关键．
10．B
【分析】
根据题意设出顶点式，将原点代入即可解题．
由图可知该抛物线开口向下，对称轴为x＝20，
最高点坐标为（20，16），且经过原点，
由此可设该抛物线解析式为，
将原点坐标代入可得，
解得：a＝，
故该抛物线解析式为y＝ ＝
故选：B．
【点拨】本题主要考查二次函数图像性质的实际应用、二次函数顶点式等．难度不大，找到顶点坐标设出顶点式是解题关键．
11．D
【分析】
根据题意可得点A、B的横坐标分别为-6和6，然后把点B的横坐标代入抛物线解析式求解即可．
解：由题意及抛物线的对称性得：点A、B的横坐标分别为-6和6，
则有把点B代入解析式得：，所以这时水面离桥顶的高度为9m；
故选D．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．D
【分析】
由每件涨价元，可得出销售每件的利润为元，每星期的销售量为，再利用每星期售出商品的利润=销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．
解：∵ 每涨价1元，每星期要少卖10件，每件涨价x元，
∴ 销售每件的利润为元，每星期的销售量为，
∴ 每星期销售出商品的利润．
故选：D．
【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式．
13．D
【分析】
根据函数解析式为y＝−x2＋160x−4800，可得当x＝−＝80时，y有最大值1600．
解：∵y＝﹣x2+160x﹣4800，
∴抛物线的开口向下，
∴当x＝﹣＝80时，y＝＝1600，
∴想每天获得的利润最大，则销售价应定为80元，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义．
14．D
【分析】
根据题意直接列式计算求解即可．
解：设每千克涨x元，月销售利润为y元，由题意可得：
；
故选D．
【点拨】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到二次函数表达式即可．
15．C
【分析】
设每个遮阳伞每天应提高x元，每天获得利润为S，每个每天应收费（10+x）元，每天的租出量为（100-5x）个，由此列出函数解析式即可解答．
解：设每个遮阳伞每天应提高x元，每天获得利润为S，由此可得，
S=（10+x）（100-5x），
整理得S=-5x2+50x+1000，
=-5（x-5）2+1125，
∵-5＜0
∴当x=5时,S最小,
即为了投资少而获利大，每把伞每天应提高收费5元
故选C．
【点拨】此题考查运用每天的利润=每个每天收费×每天的租出量列出函数解析式，进一步利用题目中实际条件解决问题．
16．
【分析】
先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可．
解：设矩形的一边长为xcm，所以另一边长为（10-x）cm，
其面积为s=x（10-x）=-x2+10x=-（x-5）2+25，
∴当x=5时，s的最大值=25
∴周长为20cm的矩形的最大面积为25cm2．
故答案为：25．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，求最值得问题常用的思路是转化为函数问题，利用函数的性质求解．
17．
【分析】
设围成长方形的生物园的长为m，围成长方形的生物园的宽为（-x）m，利用矩形的面积公式列出矩形面积S与x的关系式；
解：设围成长方形的生物园的长为xm，则宽为（-x）m，围成长方形的生物园的面积为Sm2，
S=x（-x）=-x2+8x，
∴围成长方形的生物的面积（单位：）与x的函数表达式是，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18．144
【分析】
要求这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值，可设总占地面积为S，中间墙长为x，根据题目所给出的条件列出S与x的关系式，再根据函数的性质求出S的最大值．
解：如图，设总占地面积为S（m2），CD的长度为x（m），
由题意知：AB=CD=EF=GH=x，
∴BH=48-4x，
∵0＜BH≤50，CD＞0，
∴0＜x＜12，
∴S=AB•BH=x（48-4x）=-4（x-6）2+144
∴x=6时，S可取得最大值，最大值为S=144，
故答案为：144．
【点拨】本题考查实际问题与二次函数最值，需要根据题目列出函数关系式，然后利用函数的性质求出该问题的最值．
19．
【分析】
作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，根据AAS证得EDN≌DCM，得出EN＝DM，然后解直角三角形求得AM＝3，得到BM＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，根据三角形面积公式得到S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，根据二次函数的性质即可求得．
解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，
∴∠EDN+∠DEN＝90°，
∵∠EDC＝90°，
∴∠EDN+∠CDM＝90°，
∴∠DEN＝∠CDM，
在EDN和DCM中
∴EDN≌DCM（AAS），
∴EN＝DM，
∵∠BAC＝120°，
∴∠MAC＝60°，
∴∠ACM＝30°，
∴AM＝AC＝6＝3，
∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，
设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，
∴S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，
∴当BD＝4.5时，S△BDE有最大值为，
故答案为：．
【点拨】此题主要考查旋转综合题、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质和求最值，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质和利用二次函数求最值．
20．-1
【分析】
将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1＝A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．
∵y＝−x（x−2）（0≤x≤2），
∴配方可得y＝−（x−1）2＋1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，1），
∴A1坐标为（2，0）
∵C2由C1旋转得到，
∴OA1＝A1A2，即C2顶点坐标为（3，−1），A2（4，0）；
照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；
C4顶点坐标为（7，−1），A4（8，0）；
C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；
C6顶点坐标为（11，−1），A6（12，0）；
∴m＝−1．
故答案为：-1．
【点拨】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标，学会从一般到特殊的探究方法，属于中考常考题型．
21．2009
【分析】
此题需要从简单的例子入手寻找各三角形边长的规律；可设出△A0A1B1的边长为m1，由于此三角形是正三角形，则∠B1A0A1＝60°，∠B1A0x＝30°，可用边长m1表示出B1的坐标，代入抛物线的解析式中，即可得到m1的值，同理可求出△A1B2A2、△A2B3A3的边长，通过观察得到这些三角形边长值的变化规律来求得到△A2008B2009A2009的边长．
解：设△A0A1B1的边长为m1；
∵△A0A1B1是等边三角形，
∴∠A1A0B1＝60°，∠B1A0x＝30°；
故B1（，）；
由于点B1在抛物线的图像上，则有：
×（m1）2＝，解得m1＝1；
同理设△A1A2B2的边长为m2；
同上可得B2（，1+）；
由于点B2也在抛物线的图像上，则有：
×（m2）2＝+1，解得m2＝2；
依此类推，△A2B3A3的边长为：m3＝3，
…
△AnBn+1An+1的边长为mn+1＝n+1；
∴△A2008B2009A2009的边长为2009．
【点拨】此题是典型的规律型试题，需要从简单的例子入手来找出题目的一般化规律，然后根据得到的规律求出特定的值．
22．
【分析】
连接MP，NP，证明MP⊥NP，将M、N的距离转化为直角三角形的斜边最短，利用勾股定理结合二次函数即可求解；
解：连接MP，NP，
∵菱形APCD和菱形PBFE，∠DAP=60°，
∴MP=AP，NP=BP，
∵M、N分别是对角线AC、BE的中点，
∴∠MPC=60°，∠EPN=30°，
∴MP⊥NP，
∴MN2=MP2+NP2，
即MN2=（AP）2+（BP）2=[AP2+（12-AP）2]= （AP2-12AP+72）=（AP-6）2+18，
当AP=6时，MN有最小值3，
∴点M、N之间的距离最短为3；
故答案为3；
【点拨】本题考查菱形的性质，二次函数的应用；将点的最短距离借助勾股定理转化为二次函数最小值是解题的关键．
23．2
【分析】
求得C的坐标，进而求得B的坐标，根据点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上得出三角形的高，然后根据三角形面积公式即可求得．
解：令x=0，则y=x2-2x-1=-1，
∴A(0，-1)，
把y=-1代入y=x2-2x-1得-1=x2-2x-1，
解得x1=0，x2=2，
∴B(2，-1)，
∴AB=2，
∵点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，
∴△PAB边AB上的高为2，
∴S=×2×2=2．
故答案为2．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，求得A、B的坐标以及三角形的高是解题的关键．
24．
【分析】
设抛物线解析式为y=ax2，根据题意得出点B的坐标，代入解析式求出a的值即可．
解：如图，拱形顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，
由题意知B（6，-4），
设抛物线解析式为y=ax2，
将点B（6，-4）代入，得：-4=36a，
解得，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．
25．
【分析】
根据题意可知E、F两点是关于y轴对称的，且纵坐标都为8，则代入解析式可分别求解出两点的横坐标，从而计算出EF的长度．
由题，E、F两点是关于y轴对称，纵坐标都为8，代入解析式，
∴，解得：，，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查二次函数的实际应用，仔细观察图形并理解题意，准确建立并求解方程是解题关键．
26．4
【分析】
根据题意得到点B的横坐标为8，代入求出纵坐标的值，其绝对值就是OC的长．
解：根据抛物线的对称性，
∵，
∴，
令，则，
∴．
故答案是：4．
【点拨】本题考查二次函数图像性质的应用，解题的关键是掌握二次函数图像的性质．
27．米
【分析】
已知抛物线上距水面AB高为8米的E、F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把y=8代入抛物线解析式，可求E、F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求EF长．
解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯”，
把y=8代入得：
x=±4 ，
∴由两点间距离公式得：EF=8（米），
故答案为：8米．
【点拨】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，读懂题意，筛选信息是解题的关键
28．25
【分析】
本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
解：设利润为w元，
则w=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x=25时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
【点拨】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
29．360 10240
【分析】
设房价为x元，利润为y元，利用公式：利润=（每间房价-每天开支）×房间数量，则 ，化为顶点式，即可给出最大利润和房价单价．
设房价为x元，利润为y元，
则有，
故元时，y的利润最大，最大值为10240元，
故答案为：360；10240．
【点拨】本题主要考查二次函数的实际应用，准确列出二次函数解析式并整理为顶点式是解题关键．
30．70
【分析】
设降价x元，利润为W，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的x值即可得到售价．
解：设降价x元，利润为W，
由题意得：W=(80-50-x)(200+20x)，
整理得：W=-20x2+400x+6000=-20(x-10)2+8000，
∴当x=10时，可获得最大利润，
此时每顶头盔的售价为：80-10=70（元），
故答案为：70．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键．
31．（1）x＝12；（2）垂直于墙的一边长为7.5米时这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5平方米；（3）．
【分析】
（1）由题意得（30﹣2x）x＝72，然后进行求解即可；
（2）设苗圃面积为ycm2，由题意可得y＝（30﹣2x）x，然后根据二次函数的最值问题可进行求解；
（3）由题意得这个苗圃园的面积不小于100平方米，即﹣2（x﹣7.5）2+112.5≥100，然后由（1）可知6≤x＜15，可进行求解．
解：（1）由题意得（30﹣2x）x＝72，
解得：x1＝3，x2＝12，
∵30﹣2x≤18，
∴x≥6，
∴x＝12；
（2）设苗圃面积为ycm2，
∴y＝（30﹣2x）x
＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
由题意得30﹣2x≥8，解得x≤11，
又30﹣2x≤18，解得x≥6；
∴6≤x≤11，
∴当x＝7.5时，y最大＝112.5；
（3）∵这个苗圃园的面积不小于100平方米，
即﹣2（x﹣7.5）2+112.5≥100，
∴5≤x≤10，
由（1）可知6≤x＜15，
∴x的取值范围为．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质及应用是解题的关键．
32．（1）坐标系见详解，；（2）5小时．
【分析】
（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，然后根据题意可得点B、D的横坐标，设抛物线解析式为，然后可进行求解；
（2）由（1）可得CD距拱顶的距离，然后根据题意可直接进行列式求解．
解：（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为，点D的坐标为，则，
由抛物线经过点D和点B，可得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得CD距拱顶的距离为1m，水位以每小时的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为（小时），
答：从警戒线开始，再持续5小时就能到达拱桥的拱顶．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解题的关键．
33．
【分析】
△AEF的面积=正方形ABCD的面积-△ABE的面积-△ADF的面积-△ECF的面积，分别表示正方形ABCD的面积、△ABE的面积、△ADF的面积、△ECF的面积代入即可．
解：设运动时间为，
点，同时从点出发，以每秒的速度分别向点，运动，
，，，，
的面积正方形的面积的面积的面积的面积，
即：
【点拨】此题考查了函数关系式，解题关键是正确表示正方形ABCD的面积、△ABE的面积、△ADF的面积、△ECF的面积．
34．（1）y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）当x=80时，y最大值=4500；（3）70≤x≤90.
【分析】
(1) 根据题目已知条件, 可以判定销量与售价之间的关系式为一次函数, 并可以进一步写出二者之间的关系式; 然后根据单位利润等于单位售价减单位成本, 以及销售利润等于单位利润乘销量, 即可求出每天的销售利润与销售单价之间的关系式.
(2) 根据开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值, 即可计算出每天的销售利 润及相应的销售单价.
(3) 根据开口向下的抛物线的图像的性质,满足要求的x的取值范围应该在﹣5（x﹣80）2+4500=4000的两根之间,即可确定满足题意的取值范围.
解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
=（x﹣50）（﹣5x+550）
=﹣5x2+800x﹣27500，
∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500，
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y最大值=4500；
（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，
解得x1=70，x2=90．
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用.
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