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北师大版九年级数学下册 专题2.37 二次函数背景下等腰三角形存在性问题（附答案）
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这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.37 二次函数背景下等腰三角形存在性问题（附答案），共57页。试卷主要包含了如图等内容，欢迎下载使用。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
（3）在x轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，求出P的坐标，若不存在，说明理由.
如图，已知二次函数的图像与x轴交于点与点C，与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；
（2）计算的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
3．如图，已知二次函数的图像与轴相交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点在二次函数的图像上，且∥轴．问线段BC上是否存在点P，使△POC为等腰三角形；如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图像与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，二次函数y=x2+bx+c（c≠0）的图像经过点A（-2，m）（m＜0），与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），AB//x轴，且AB：OB=2：3．
（1）求m的值；
（2）求二次函数的解析式；
（3）在线段BC上是否存在点P，使ΔPOC为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为，与轴的交点为，过的直线为.
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）直接写出满足时，的取值 ；
（3）在两坐标轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由.
7．二次函数过、两点，与轴正半轴交于，
（1）求二次函数解析式；
（2）抛物线对称轴上是否存在点，使得三角形为等腰三角形，若存在，直接写出坐标，若不存在，请说明理由．
（3）在直线上方的抛物线上有点，作于点，求最大值．
8．如图，已知二次函数的图像与轴的两个交点为A（4，0）与点C，与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点C的坐标；
（2）请你直接写出△ABC的面积：
（3）在轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于 A（﹣1，0），B（4，0），C
（0，﹣4）三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点．
（1） 求这个二次函数的解析式；
（2） 是否存在点 P，使△POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 在抛物线上是否存在点 D（与点 A 不重合）使得 S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知二次函数的图像经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；
（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，二次函数图像的顶点为D，其图像与x轴的交点A、B的横坐标分别为，与y轴负半轴交于点C．
若是等腰直角三角形，求a的值．
探究：是否存在a，使得是等腰三角形？若存在，求出符合条件的a的值；不存在，说明理由．
如图，已知二次函数的图像经过点A（4，4）、B（5，0）和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
如图，已知二次函数的图像与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为．
（1）求二次函数的解析式及点B的坐标；
（2）由图像写出满足的自变量x的取值范围；
（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D，
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．已知二次函数y=ax2+bx-3经过A（-1,0），B（3,0）两点，
（1）求二次函数解析式及对称轴方程；
（2）连接BC，交对称轴于点E，求E点坐标；
（3）在y轴上是否存在一点M，使ΔBCM为等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）在第四象限内抛物线上是否存一点H，使得四边形ACHB的面积最大，若存在，求出点H坐标，若不存在，说明理由.
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）；
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由．
（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
17．如图，已知二次函数的图像经过点 A（ 3,3 ），点 B（ 4,0 ）和原点， P 为二次函数图像上的一个动点，过点 P 做 x 轴的垂线，垂足为 D （ m,0), 并与直线 OA 相交于点C
(1) 求出二次函数的解析式．
(2) 若点 P 在直线 OA 的上方时，用含有 m 的代数式表示线段 PC 的长度，并求线段 PC 的最大值
(3) 当 m ＞ 0 时，探索是否存在点 P ，使△PCO 成为等腰三角形，若存在求出点 P 坐标，不存在，说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.
19．已知：关于x的二次函数（a＞0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图像上，其中n为正整数．
（1）y1=y2，请说明a必为奇数；
（2）设a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；
（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像交坐标轴于A（﹣1，0），C（0，﹣4）两点，点B是抛物线与x轴的交点，点P是抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POB是以OB为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在一点P，x轴上有一点F，使得以P、F、A、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，已知二次函数的图像与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，顶点为．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，若，四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）探索：线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点在第二象限且是抛物线上的一个动点，求面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图像经过A（-1，0）、C（3，0）、并且与y轴相交于点B，点P是直线BC上方的抛物线上的一动点，PQ∥y轴交直线BC于点Q．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）求线段PQ的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于点A、B（5,0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M(2,-9)，连接BM，点P为线段BM上的一个动点．
(1)求二次函数的解析式．
(2)过点P作x轴的垂线，垂足为点Q，求四边形ACPQ面积的最大值．
(3)是否存在点P，使得以P、M、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，二次函数的图像交轴于点，点，交轴于点
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接，在直线上方的抛物线上有一点，过点作轴的平行线，交直线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数关系式；
（3）若点在轴上，是否存在点，使以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图像与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图像上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．
参考答案
1．（1）y＝－x2＋4x－6；
（2）S△ABC＝6；
（3）点P坐标为（-2，0）或或或
【解析】
试题分析：（1）把A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）先确定抛物线的对称轴方程，则可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
（3）分类讨论，进行求解即可.
试题解析：（1）∵的图像经过A（2，0）、B（0，-6）两点，
∴，
解得b=4，c=-6，
∴这个二次函数的解析式为y＝−x2+4x−6
（2）令-x2+4x-6=0
∴x2-8x+12=0
解得：x1=2 x2=6
∴C（4，0）
∴AC=2
∴S△ABC=×2×6=6
（3）点P坐标为（-2,0）或
2．（1），；（2）；（3）存在，或或或
【分析】
（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=-16+4b+3，解得b=，进而求解；
（2）先求出C点坐标，利用面积公式求△ABC的面积=×AC•OB=×（4+）×3=；
（3）分AB=AP、AB=BP、AP=BP三种情况构造方程，分别求解即可．
解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得： ，
解得，
∴抛物线的表达式为，
令，则，
∴点B的坐标为；
（2）令，
解得或，
∴点C的坐标为，
连接AB、BC，
则；
（3）设点P的坐标为，
由题意得：
，，，
当时，则，
解得或，
当时，则，
解得（舍去）或，
当时，则，
解得可得，
∴点P的坐标为或或或．
【点拨】本题考查抛物线解析式，两轴交点坐标，三角形面积，等腰三角形的性质，解一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，会利用函数解析式求两轴交点坐标，会求三角形面积，会利用等腰三角形的性质构造方程是解题关键．
3．存在，点或或．
【分析】
由抛物线解析式可得出C、B坐标，利用待定系数法可得直线BC的解析式为y=-x-3，分三个情况讨论：当时，点P在OC的垂直平分线上，根据O、C坐标可得OC中点坐标，把OC中点的横坐标代入BC解析式即可得P点坐标；当时，设P（x，-x-3），利用两点间距离公式即可得P点坐标；当时，利用利用两点间距离公式即可得P点坐标．
解：当时，，
解得：，
∵点在点的左边，
∴
当x=0时，y=-3，
∴B（0，-3），
设直线BC的函数解析式为
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y=-x-3，
①当时，点P在OC的垂直平分线上，
∵点C（-3，0），O（0，0），
∴OC中点坐标为（，0），
把x=代入y=-x-3得：y=-3=，
∴点
②当时，设P（x，-x-3），
∴=3，
解得：x1=0，x2=-3（舍去），
∴-x-3=-3，
∴点，
③当时，设点，
∴，
解得，（不合题意，舍去）
∴
∴存在，点或或．
【点拨】本题考查二次函数图像上的点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式及等腰三角形的判定，注意分类讨论思想的运用是解题关键．
4．（1）y=﹣x2+x+3，点B的坐标为（0，3）．（2）点P的坐标为：（，0）．
【分析】
把点A的坐标代入二次函数，求出b的值，确定二次函数关系式，把x=0代入二次函数求出点B的坐标．
分情况讨论，①当BP=AP时，②当AB=AP时，分别求出即可得出答案．
解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有：
0=﹣16+4b+3
得：b=
所以二次函数的关系式为：y=﹣x2+x+3．
当x=0时，y=3
∴点B的坐标为（0，3）．
（2）如图
作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，则：BP=AP
设BP=AP=x，则OP=4﹣x，
在直角△OBP中，BP2=OB2+OP2
即：x2=32+（4﹣x）2
解得：x=
∴OP=4﹣=
所以点P的坐标为：（，0）．
5．（1）m=-3;(2) ;(3) 存在点，，，使为等腰三角形,理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由AB∥x轴，A（﹣2，m），可得AB=2，又由AB：OB=2：3，即可求得点B的坐标，则可求得m的值；
（2）由二次函数与y轴的交于点B，可求得c的值，又由图像过点A（﹣2，﹣3），将其代入函数解析式，即可求得b的值，则可得此二次函数解析式；
（3）由二次函数的图像与x轴交于C、D两点（点C在左恻），可得当y=0即可求得C的坐标，若△POC为等腰三角形，则可分别从①当PC=PO时，②当PO=CO时，③当PC=CO时去分析，即可求得满足条件的点P的坐标．
解：（1）∵AB∥x轴，A（﹣2，m），∴AB=2．
又∵AB：OB=2：3，∴OB=3，∴点B的坐标为（0，﹣3），∴m=﹣3；
（2）∵二次函数与y轴的交于点B，∴c=﹣3．
又∵图像过点A（﹣2，﹣3），∴﹣3=4﹣2b﹣3，∴b=2，∴二次函数解析式为y=x2+2x﹣3；
（3）当y=0时，有x2+2x﹣3=0，解得x1=﹣3，x2=1，由题意得：C（﹣3，0）．
若△POC为等腰三角形，则有：
①当PC=PO时，点P（）；
②当PO=CO时，点P（0，﹣3）；
③当PC=CO时，设直线BC的函数解析式为y=kx+n，则有，解得：，∴直线BC的函数解析式为y=﹣x﹣3．
设点P（x，﹣x﹣3），由PC=CO，得：[﹣（x+3）]2+[﹣（﹣x﹣3）]2=32，解得：x1=﹣3，x2=﹣3（不合题意，舍去），∴P（﹣3）．
综上所述：存在点P（）或P（0，﹣3）或P（﹣3），使△POC为等腰三角形．
【点拨】本题是二次函数综合题．考查了待定系数法求函数的解析式，平行线的性质，函数与点的关系，以及等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
6．（1），；（2）或；（3），
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得点坐标；
（2）根据题意可知，即，再根据一次函数图像在上方法人部分是不等式的解集，可得答案；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得在线段的垂直平分线上，根据直线，可得的垂直平分线，根据自变量来为零，可得在轴上，根据函数值为零，可得在轴上.
解：（1）解：将代入得：
∴，
（2）
即：
即：时，或
（3）直线的解析式为，
的中点为，
的垂直平分线为，
当时，，，
当时，，.
综上所述：，，使得是以为底边的等腰三角形.
【点拨】本题考查了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用函数与不等式的关系求不等式的解集；（3）利用线段垂直平分线的性质，利用直线得出的垂直平分线是解题关键.
7．（1）；（2）D点的坐标为：（1，0），（1，1），（1，），D（1，-），（1，6）；（3）．
【分析】
（1）先求出C（0，3），再把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入，求出a，b，c的值即可；
（2）分三种情形讨论即可①CD=AD，②AD=AC，③AC=CD，画出图形即可解决问题；
（3）求出BC所在直线解析式y=-x+3，作直线l平行直线BC且与抛物线只有一个交点，求出两条直线之间的距离即为PQ的最大值．
解：（1）∵过、两点，且，
∴C（0，3），
把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入得，
，
解得，，
∴ ；
（2）抛物线的对称轴为x=，顶点坐标为（1，4），
设D点坐标为：D（1，a），
①如图1，以AC为底，CD=AD时，
∴，
∴
解得，a=1
∴D(1,1);
②以CD为底，AD=AC，如图2，
∵AC=
∴
解得，
∴D（1，），或D（1，-）；
③以AD为底，AC=CD=,如图3，
∴
解得，a=0或6，
∴D（1，0），或D（1，6）；
综上所述，D点的坐标为：（1，0），（1，1），（1，），D（1，-），（1，6）；
（3）设BC所在直线解析式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得，
∴，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∵PQ⊥BC于Q，过点P作直线l：y=-x+b与BC平行且与抛物线只有唯一一个交点P，交y轴于点N，如图4，
此时，PQ最长，
∴，即，
∴，
∴，
过点C作CM⊥l于点M，则CM=PQ，∠NCM=45°，
∵PQ最大值即CM=．
【点拨】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考常考题型．
8．（1），点的坐标为（2）△ABC的面积为；（3）P的坐标为（9，0）或（-1，0）或（-4，0）或（，0）
【分析】
（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=-16+4b+3，解得b=，进而求解；
（2）△ABC的面积=×AC•OB=×（4+）×3=；
（3）分AB=AP、AB=BP、AP=BP三种情况，分别求解即可．
解：（1）∵二次函数的图像与轴的一个交点为，
∴，解得，
∴此二次函数关系式为：，
当时，解得，
∴点的坐标为．
（2）连接AB，二次函数关系式为：，令x=0，得y=3
∴B（0，3）由（1）得A（4，0）， ，
∴AC=4－（）=
∴△ABC的面积=×AC•OB=××3=；
（3）存在，设点P的坐标为（x，0），
由题意得：AB2=42+32=25，AP2=（x-4）2，BP2=x2+9，
①当AB=AP时，则25=（x-4）2，解得x=9或-1，
∴P(9，0)或P（﹣1,0）；
②当AB=BP时，同理可得x=4（舍去）或-4，
∴P（﹣4,0）
③当AP=BP时，如图所示
∵OP=x，∴AP=BP=4－x
在Rt△OBP中，
∴
∴x=
∴P（，0）
综上点P的坐标为（9，0）或（-1，0）或（-4，0）或（，0）．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
9．(1)抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；(2)存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；(3)存在满足条件的D点，其坐标为（5，6）．
【解析】
【分析】
（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；
（3）存在．分两种情况讨论，再利用待定系数法以及解方程组即可解决问题．
解：(1)设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
(2)如图1，作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，
∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，
∵C（0，﹣4），
∴D（0，﹣2），
∴P点纵坐标为﹣2，
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，
∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；
(3)如图2，
①当D点在直线BC的上方时，过A点作AD1∥BC，交抛物线于D1，此时，使得S△DBC＝S△ABC，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，
∵AD1∥BC，
∴设直线AD11的解析式为y＝x+n，
把A（﹣1，0）代入得，0＝﹣1+n，则n＝1，
∴直线AD1的解析式为y＝x+1，
解得或，
∴D1的坐标为（5，6），
②当D点在直线BC的下方时，
由直线AD1的解析式为y＝x+1可知直线AD1和y轴的交点E的坐标为（0， 1），
∴CE＝5，
∴直线AD的解析式为y＝x﹣10，
∵方程x2﹣3x﹣4＝x﹣10无实数根，
故存在满足条件的D点，其坐标为（5，6）．
【点拨】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中AD∥BC是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
10．（1）y＝﹣x2+5x；（2）4；（3）存在，P(4﹣，2+3)；（4）存在，P(4﹣，2+3)
【分析】
（1）由待定系数法将A（4，4），B（5，0）代入二次函数的解析式为y＝ax2+bx即可；
（2）求出OA的解析式，将P，C的纵坐标用含m的代数式表示出来，再表示出PC的长度，用函数的思想即可求出其最大值；
（3）存在，如图，当射线OP平分∠AOy时，过点P作PM⊥y轴于点M，作PN⊥OA于点N，则PM＝PN，证△ODC和△PCN是等腰直角三角形，可用含m的代数式分别表示出PM，PN的长度，解等式即可求出m的值，进一步写出点P的坐标；
（4）存在，当△PCO为等腰三角形时，只存在PC＝OC一种情况，用含m的代数式表示出PC，OC的长，解方程即可求出m的值，进一步写出点P的坐标．
解：（1）∵二次函数的图像经过原点，
∴设二次函数的解析式为y＝ax2+bx，
将A（4，4），B（5，0）代入，
得，
解得，a＝﹣1，b＝5，
∴y＝﹣x2+5x；
（2）设直线OA的解析式为y＝ax，
将A（4，4）代入，
得，a＝1，
∴yOA＝x，
∵PD⊥x轴，D（m，0），
∴P（m，﹣m2+5m），C（m，m），
∴PC＝﹣m2+5m﹣m
＝﹣m2+4m
＝﹣（m﹣2）2+4，
根据二次函数的图像及性质可知，当m＝2时，PC有最大值，其最大值为4；
（3）存在，理由如下：
如图，当射线OP平分∠AOy时，过点P作PM⊥y轴于点M，作PN⊥OA于点N，
则PM＝PN，
∵点C在直线yOA＝x上，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴∠OCD＝∠PCN＝45°，
∴△PCN是等腰直角三角形，
由（2）知，PC＝﹣m2+4m，
∴PN＝（﹣m2+4m）＝﹣m2+2m，
∵P（m，﹣m2+5m），
∴PM＝m，
∵PM＝PN，
∴m＝﹣m2+2m，
解得，m1＝0（舍去），m2＝4﹣，
∴P（4﹣，2+3）；
（4）存在，理由如下：
∵∠PCO＝180°﹣∠OCD＝135°，
∴当△PCO为等腰三角形时，只存在PC＝OC一种情况，
由（2）知，PC＝﹣m2+4m，OC＝OD＝m，
∴﹣m2+4m＝m，
解得，m1＝0（舍去），m2＝4﹣，
∴当m＝4﹣时，﹣m2+5m＝2+3，
∴P（4﹣，2+3）．
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图像及性质的运用，等腰三角形的性质等，解题关键是熟练掌握二次函数的图像及性质．
11．（1）；（2）存在，或，见解析.
【解析】
【分析】
作于点E，根据是等腰直角三角形，即可求得D的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式，从而求得a的值．
根据三边分别相等可以分三种情况：
当时，根据勾股定理列方程：，可得a的值；
当时，根据勾股定理列方程：，可得a的值；
当时，由于，，不成立．
解：如图，作于点E，
，
是等腰直角三角形，
，
则D的坐标是．
设二次函数的解析式是，
把代入得，
解得：．
存在，分三种情况：
当时，
，
在中，，
，
，
，
设二次函数的解析式为：，
将代入，
，
当时，
，
在中，，
，
，则，
，
，
当时，
，
是AB的中点，
而，，
，
不成立，
或．
【点拨】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，第1问正确根据等腰直角三角形的性质求得D的坐标是关键，第二问根据等腰三角形的判定正确分类讨论是关键．
12．（1）y＝﹣x2+5x；（2）当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是4；（3）存在，P的坐标是（4﹣，2+3）或（4+，2﹣3）或（6，﹣6）或（5，0）．
【分析】
（1）设y＝ax（x﹣5），把A点坐标代入即可求出答案；
（2）根据点的坐标求出PC＝﹣m2+4m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值；
（3）当0＜m＜4时，仅有OC＝PC，列出方程，求出方程的解即可；当m≥4时，PC＝CD﹣PD＝m2﹣4m，OC＝m，分为三种情况：①当OC＝PC时，m2﹣4m＝m，求出方程的解即可得到P的坐标；同理可求：②当OC＝OP时，③当PC＝OP时，点P的坐标．综合上述即可得到答案．
解：（1）设y＝ax（x﹣5），
把A点坐标（4，4）代入得：4a（4﹣5）＝4，
解得a＝﹣1，
函数的解析式为y＝﹣x2+5x，
答：二次函数的解析式是y＝﹣x2+5x．
（2）解：0＜m＜4，PC＝PD﹣CD，
∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y＝﹣x2+5x上，C在直线OA上，A（4，4），
∴P（m，﹣m2+5m），C（m，m）
∴PC＝PD﹣CD＝﹣m2+5m﹣m＝﹣m2+4m，
＝﹣（m﹣2）2+4，
∵a＝﹣1＜0，开口向下，
∴有最大值，
当D（2，0）时，PCmax＝4，
答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是4．
（3）当0＜m＜4时，仅有OC＝PC，∴﹣m2+4m＝m，
解得m＝4﹣，
∴P（4﹣，2+3）；
当m≥4时，PC＝CD﹣PD＝m2﹣4m，OC＝m，
由勾股定理得：OP2＝OD2+DP2＝m2+m2（m﹣5）2，
①当OC＝PC时，m2﹣4m＝m，
解得：m＝4+或m＝0（舍去），
∴P（4+，2﹣3）；
②当OC＝OP时，（m）2＝m2+m2（m﹣5）2，
解得：m1＝6，m2＝4，
∵m＝4时，P和A重合，即P和C重合，不能组成△POC，
∴m＝4舍去，
∴P（6，﹣6）；
③当PC＝OP时，m2（m﹣4）2＝m2+m2（m﹣5）2，
解得：m＝5，
∴P（5，0），
答：存在，P的坐标是（4﹣，2+3）或（4+，2﹣3）或（6，﹣6）或（5，0）．
【点拨】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的待定系数法、二次函数的图像性质以及等腰三角形的性质和判定。解答关键是，根据等腰三角形的腰与底边进行分类讨论，构造方程求解。
13．（1），B（0，3）；（2）x＜0或x＞4；（3）P1（0，），P2（，0）．
【分析】
（1）将A点坐标代入y1，可得抛物线的解析式，根据自变量为零，可得B点坐标；
（2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，观察图像可得到答案；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得P在线段的垂直平分线上，根据直线AB，可得AB的垂直平分线，根据自变量为零，可得P在y轴上，根据函数值为零，可得P在x轴上．
解：（1）将A点坐标代入，得：﹣16+13+c=0．解得c=3，
∴二次函数的解析式为，
∵当x=0时，=3，
∴B点坐标为（0，3）；
（2）由图像得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4，
∴x＜0或x＞4时，；
（3）存在，解答如下：
根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得P在线段的垂直平分线上，作线段AB的垂直平分线l，垂足为C，
∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解解析式为，
则有：，解得：，
∴直线AB的解析式为，
设AB的垂直平分线l的解析式为：，
∵直线l过AB的中点为（2，），
∴，解得：，
∴AB的垂直平分线l的解析式为，
①当x=0时，y=，P1（0，），
②当y=0时，x=，P2（，0），
综上所述：P1（0，），P2（，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形．
考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．综合题；4．压轴题．
14．（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）证明见解析；（3）点P坐标为（，）或（2，3）．
解：试题分析：（1）将A（﹣1，0）、C（0，3），代入二次函数y=ax2+bx﹣3a，求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
试题解析：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），∴将A（﹣1，0）、C（0，3），代入，得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）如图，连接DC、BC、DB，由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），∴CD==，BC==3，BD==2，∵CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=20，∴CD2+BC2=BD2，∴△BCD是直角三角形；（3）y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1．假设存在这样的点P,①以CD为底边，则P1D=P1C，设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2=x2+（3﹣y）2，P1D2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，因此x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P1点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=＜1，(不满足在对称轴右侧应舍去），∴x=，∴y=4﹣x=，即点P1坐标为（，）．②以CD为一腰，∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x=1对称，此时点P2坐标为（2，3）．∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．
考点：1.二次函数图像性质；2.等腰三角形性质；3.直角三角形的判定.
15．（1）二次函数解析式为y=x2-2x-3，对称轴方程为：直线x=1；
（2）E（1，-2）；
（3）存在：M1（0,3），M2（0，0），M3（0，-3-），M4（0，-3+）
（4）点H坐标为
【解析】
分析：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入二次函数y= ，求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；（2）求出直线BC:y=x-3, 把对称轴方程直线x=1代入，即可求解;（3）在RT△BOC中，根据勾股定理求出BC，据等腰三角形的性质求出①当BC=BM时，M1（0,3）；②当CM=BM时，点M与点O重合，M2（0，0）；③当BC=CM时，M点有两个即M3（0，-3-），M4（0，-3+）；（4）设点H的坐标为 ，连接OH，根据 .
本题解析：（1）将A，B两点坐标代入y=ax2+bx-3得方程组，解得a=1，b=-2，所以二次函数解析式为y=x2-2x-3，对称轴方程为：直线x=1；
（2）设E点坐标为(1，a),把B(3，0),C(0，-3)代入直线BC：y=kx+b,求得解析式为：y=x-3， 把x=1,代入得：a=-2, ∴E（1，-2）；
（3）存在：M1（0,3），M2（0，0），M3（0，-3-），M4（0，-3+）
（4）连接OH，设H点坐标为（x0，x02-2x0-3）
S四边形ACHB=S△AOC+S△COH+S△BOH
=+x+|x02-2x0-3|
=
=
当x0=时，x02-2x0-3=
所以点H坐标为
点拨：本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键.
16．（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；（3）M的坐标为（-1，0）或（1±，0）或（-，0）；（4）点P的坐标为：（-1，2）或（-，-）．
【解析】
【分析】
（1）利用交点式求二次函数的解析式；
（2）求直线AC的解析式，作辅助线ND，根据抛物线的解析式表示N的坐标，根据直线AC的解析式表示D的坐标，表示ND的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积，根据二次函数的最值可得面积的最大值，并计算此时N的坐标；
（3）分三种情况：当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图形，求M的坐标即可；
解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），
设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），
把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），
a=-1，
∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，
∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；
（2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-2，0）、C（0，2）代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y=x+2，
∴D（n，n+2），
∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n，
∴S△ANC=×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1，
∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2），
（3）存在，分三种情况：
①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；
②如图2，由勾股定理得：BC=，
以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=，
此时，M2（1-，0），M3（1+，0）；
③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，
设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，
由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，
解得：x=，
∵M4在x轴的负半轴上，
∴M4（-，0），
综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或（1±，0）或（-，0）；
【点拨】本题是二次函数的综合题，计算量大，考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函数解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，是一个不错的二次函数与几何图形的综合题，采用了分类讨论的思想，第三问和第四问要考虑周全，不要丢解．
17．（1）；（2）；（3）, , （ 5 ， -5 ） ,(4,0)
【分析】
（1）利用抛物线过O、B可设二次函数解析式为：，将A点坐标代入即可.
（2）利用P、C两点的坐标关系和所在的函数图像即可求出PC与x的函数关系式，然后求最值即可.
（3）利用平面直角坐标系上任意两点之间的距离公式分类讨论即可.
解：⑴ 因为O、B在x轴上，抛物线过O、B两点，故可设 抛物线的解析式为 ，把 A （ 3,3 ）代入，得
解得
∴
⑵ 设直线 OA（其中O为原点），故设解析式 ，将A点坐标代入得：
解得
∴直线 OA解析式 ，
又因为PC⊥x轴，故P、C横坐标都为m，分别代入解析式可得，yc=m
∴PC= == ，当 x=时， 代入解析式得：PC 最大值 =
⑶由上可知：C的坐标为：（m，m）P点坐标为（m，），PC=利用平面直角坐标系内任意两点的距离：故OC=，PO=
①当OC=PC时， ，取绝对值得
，因为m＞0，故将m=0舍去.代入解析式中此时P点坐标为或 .
②当OC=OP时，因为P、C不能重合（等腰三角形）只有C在一象限，P在四象限，满足题意
易得OD垂直平分PC，
∴CD=PD，
∵CD=m，PD=
∴，
（m＞0，故舍去），
此时将m=5代入解析式中解得：P（ 5 ， -5 ）
③当PC=OP时 ，
（m＞0，故舍去），
∴此时将m=4代入解析式中解得p(4,0)
综上所述， P 点坐标为, , （ 5 ， -5 ） ,(4,0)
【点拨】此题考查的是①利用待定系数法求二次函数解析式；②利用二次函数求最值；③平面直角坐标系上任意两点之间的距离公式.
18．（1）二次函数的解析式为；（2）当时，的面积取得最大值；（3）点的坐标为，，.
解：分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．
详解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y=；
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=，
过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，
设D（m，），则点F（m，），
∴DF=﹣（）=，
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH
=×DF×AG+×DF×EH
=×4×DF
=2×（）
=，
∴当m=时，△ADE的面积取得最大值为．
（3）y=的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三种情况讨论：当PA=PE时，=，解得：n=1，此时P（﹣1，1）；
当PA=AE时，=，解得：n=，此时点P坐标为（﹣1，）；
当PE=AE时，=，解得：n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．
综上所述：P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．
点拨：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．
19．（1）见解析；（2）n=1、2、3、4；（3）存在，理由见解析．
【分析】
（1）将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式，利用y1=y2得到用n表示a的式子，即可得到答案；
（2）将a=11代入解析式后，由题意列出不等式组，求得此不等式组的正整数解．
（3）本问为存在型问题，如图所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性质，判定点B为抛物线的顶点，点A、C关于对称轴对称，于是得到，从而可以求出．
解：（1）∵点A（n，y1）、B（n+1，y2）都在二次函数（a＞0）的图像上，
∴．
∵y1=y2，
∴，整理得：a=2n+1．
∵n为正整数，∴a必为奇数．
（2）当a=11时，∵y1＜y2＜y3，
∴．
化简得：．解得：．
∵n为正整数，∴n=1、2、3、4．
（3）存在．
假设存在，则AB=AC，
如图所示，过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AD⊥BN于点D，CE⊥BN于点E，
∵xA=n，xB=n+1，xC=n+2，∴AD=CE=1．
在Rt△ABD与Rt△CBE中，AB=BC，AD=CE，
∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）．
∴∠BAD=∠CBE，即BN为顶角的平分线．
由等腰三角形性质可知，点A、C关于BN对称．
∴BN为抛物线的对称轴，点B为抛物线的顶点，
∴．∴．
∴存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形，．
20．（1）y=x2﹣3x﹣4；（2）点P坐标为（2，﹣6）；（3）点P坐标为：（，4）或（，4）或（3，﹣4）．
【解析】
【分析】
（1）把A、C两点坐标代入y=x2+bx+c，可求出b、c的值即可求得二次函数的解析式；（2）过OB的中点D作垂线交抛物线于点P，则△POB就是所求的三角形，根据抛物线的解析式可求出B点坐标，由DP是OB的垂直平分线，可知直线DP为：x=2，进而可得P点坐标；（3）设P（m，m2﹣3m﹣4），分别讨论AC为边和AC为对角线两种况，根据平行四边形的性质，列方程求出m的值即可求得P点坐标.
解：（1）将A（﹣1，0），C（0，﹣4）两点代入y=x2+bx+c得：，
∴ ，
所以此二次函数的解析式为：y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵△POB是以OB为底边的等腰三角形，
∴过OB的中点D作垂线交抛物线于点P
即△POB就是所求的三角形，如图1，
∵点B是抛物线y=x2﹣3x﹣4与x轴的一个交点，
∴B（4，0）
∴直线DP可以表示为：x=2
∵点P是抛物线y=x2﹣3x﹣4与直线x=2的交点，
∴根据方程组的解得：点P坐标为（2，﹣6）；
（3）设P（m，m2﹣3m﹣4），
∵A（﹣1，0），C（0，﹣4），
∴CO=4，
①以AC作为边，如图2，过点P1向x轴作垂线交x轴于点M
根据平行四边形的性质：AC=P1F1，CO=MP1，
∵∠P1MF1=∠AOC=90°，
∴Rt△P1MF1≌Rt△COA，
∴CO=P1M
∵CO=P1M=4，
∴m2﹣3m﹣4=4或m2﹣3m﹣4=﹣4，
解之得：m= 或m=0（舍）或m=3，
∴点P坐标为（，4）或（，4）或（3，﹣4），
②以AC作为对角线，如图2，CP∥AF，
∴点P坐标为（3，﹣4）
∴点P坐标为：（，4）或（，4）或（3，﹣4）．
【点拨】本题考查了二次函数综合题：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图像为抛物线，其顶点式为y=a（x-）2+ ，抛物线的对称轴为x=-，当a＞0，y最小值=；当a＜0，y最，大值=；抛物线上的点的横纵坐标满足抛物线的解析式；对于特殊四边形的判定与性质以及勾股定理要熟练运用．
21．（1）；（2）S=；（3）存在，点的坐标为或或
【分析】
（1）求出点B、C坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）求出点M、A坐标，求出直线的解析式，表示出点P坐标，利用割补法即可求出关于的函数解析式；
（3）设点N坐标为且，根据勾股定理表示出,根据为等腰三角形分类讨论，求出x值，并把不合题意舍去即可求解．
解：（1）∵，
∴点B坐标为（3,0），点C坐标为（0,3），
把点B、C坐标代入抛物线解析式得
解得
∴二次函数的解析式为；
（2）∵，则，
∵ ，
∴ ，
设直线的解析式为，
则有，解得，
∴ 直线的解析式为，
∵ 轴，，
∴ 点的坐标为，
∴
；
（3）存在．
由于是直线上一点，由（2）知，直线的解析式为，
因此设且，由勾股定理可得：
，
，
，
①当时，，
解得，（舍去），
此时 ；
②当时，，
解得，（舍去），
此时；
③当 时，，
解得，此时．
综上，点的坐标为或或．
【点拨】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法，不规则图形面积求法，勾股定理，一元二次方程，等腰三角形等知识，理解函数图像上点的意义，熟练掌握相关知识点并熟练应用是解题关键．
22．（1）；（2）；（3）（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，﹣2）
【分析】
（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．
解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y=；
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=，
过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，
设D（m，），则点F（m，），
∴DF=﹣（）=，
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH
=×DF×AG+×DF×EH
=×4×DF
=2×（）
=，
∴当m=时，△ADE的面积取得最大值为．
（3）y=的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三种情况讨论：
①当PA=PE时，=，解得：n=1，此时P（﹣1，1）；
②当PA=AE时，=，解得：n=，此时点P坐标为（﹣1，）；
③当PE=AE时，=，解得：n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．
∴综上所述：P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．
23．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）；（3）M1（1，1），M2（1，），M3（1，﹣），M4（1，0）．
【分析】
（1）利用待定系数法确定函数关系式即可；（2）设P（﹣m，﹣m2+2m+3），Q（m，﹣m+3）．利用两点间的距离公式得到PQ＝﹣m2+3m，再利用配方法求得最值即可；（3）分①MA＝MB， ②MA＝AB，③AB＝MB三种情况求点M的坐标即可．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图像经过A（﹣1，0），C（3，0）．
∴
解得．
∴此二次函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵设直线BC为y＝kx+b，因其经过B（0，3），C（3，0），
∴．
解得k＝﹣1，b＝3
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
设P（﹣m，﹣m2+2m+3），Q（m，﹣m+3）
PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）
＝﹣m2+3m
＝﹣（m﹣）2+．
PQ的最大值为．
（3）存在，理由如下：
∵二次函数y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝﹣＝1，OA＝1，OB＝3，
在Rt△ABO中由勾股定理可得AB＝，AB2＝10．
设M（1，a），则MA2＝22+a2，MB2＝12+（a﹣3）2．
分三种情况讨论：
①MA＝MB，22+a2＝12+（a﹣3）2，得a＝1，
∴M1（1，1）；
②MA＝AB，22+a2＝10，得a＝±，
∴M2（1，），M3（1，﹣）；
③AB＝MB，12+（a﹣3）2＝10，得a＝0或a＝6，
∴M4（1，0），M5（1，6）．
∵M5、A、B三点共线，
∴M5（1，6）舍去．
∴M的坐标为：M1（1，1），M2（1，），M3（1，﹣），M4（1，0）．
【点拨】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
24．（1）；（2）；（3）存在，，或 或
【分析】
（1）根据抛物线的顶点为，将化成顶点式，然后将点代入，化简计算即可；
（2）求出A，B，C三点的坐标，可得直线的表达式为，设点，则，根据化简求解即可；
（3）分三种情况讨论：当时，当时，当时分别求解即可.
解：（1）抛物线的顶点为，
设抛物线的表达式为.
将点代入得，.
解得
二次函数的表达式为；
（2）令，得，
.
抛物线的对称轴为直线，，
.
由，可得直线的表达式为，
设点，则，
则
.
,,
当时，四边形面积有最大值，最大值为；
（3）存在，由（2）知直线的表达式为.
设，其中，
由，，可得，
，，；
分情况讨论如下：
1. 当时，有.
解得（舍），，
此时点的坐标为；
2. 当时，有.
解得（舍），，
此时点的坐标为；
3. 当时，有.
解得
此时点的坐标为；
综上所述，当是等腰三角形时，点的坐标为，或 或.
【点拨】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，几何图形面积的计算方法，平面坐标系中两点间的距离公式，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论思想进行讨论．
25．（1）y=-x2-x+2；（2）l=-n2-2n；（3）存在，（-1，0）或（1+，0）或（1-，0）或（-，0）．
【分析】
（1）利用交点式求二次函数的解析式；
（2）设点N（n，-n2-n+2），则点F（n，n+2），l=-n2-n+2-（n+2）=-n2-2n；
（3）分CB=CM、BC=BM、BM=CM三种情况，分别求解即可．
解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），
设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），
把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），
a=-1，
∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，
故抛物线的表达式为：y=-x2-x+2；
（2）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-2，0）、C（0，2）代入得： ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为：y=x+2，
设点N（n，-n2-n+2），则点F（n，n+2），
l=-n2-n+2-（n+2）=-n2-2n；
（3）存在，分三种情况：
①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；
②如图2，由勾股定理得：BC= ，
以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=，
此时，M2（1-，0），M3（1+，0）；
③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，
设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，
由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，
解得：x=，
∵M4在x轴的负半轴上，
∴M4（-，0），
综上，点M的坐标为：（-1，0）或（1+，0）或（1-，0）或（-，0）．
【点拨】此题考查二次函数综合题，二次函数的解析式．解题关键在于利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
26．（1）；（2）E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）．
【解析】
试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）先求得直线BC的解析式为，则可设E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；
（3）利用△PBD的面积即可求得．
试题解析：（1）∵二次函数（）的图像与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，
∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；
（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），
当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E（，）；
当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；
当EC=DE时，，解得=，∴E（，）．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，
∵△PBD的面积
==
=，
∴当m=时，△PBD的最大面积为，∴点P的坐标为（，）．
考点：二次函数综合题．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
（3）在x轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，求出P的坐标，若不存在，说明理由.
如图，已知二次函数的图像与x轴交于点与点C，与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；
（2）计算的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
3．如图，已知二次函数的图像与轴相交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点在二次函数的图像上，且∥轴．问线段BC上是否存在点P，使△POC为等腰三角形；如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图像与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，二次函数y=x2+bx+c（c≠0）的图像经过点A（-2，m）（m＜0），与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），AB//x轴，且AB：OB=2：3．
（1）求m的值；
（2）求二次函数的解析式；
（3）在线段BC上是否存在点P，使ΔPOC为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为，与轴的交点为，过的直线为.
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）直接写出满足时，的取值 ；
（3）在两坐标轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由.
7．二次函数过、两点，与轴正半轴交于，
（1）求二次函数解析式；
（2）抛物线对称轴上是否存在点，使得三角形为等腰三角形，若存在，直接写出坐标，若不存在，请说明理由．
（3）在直线上方的抛物线上有点，作于点，求最大值．
8．如图，已知二次函数的图像与轴的两个交点为A（4，0）与点C，与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点C的坐标；
（2）请你直接写出△ABC的面积：
（3）在轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于 A（﹣1，0），B（4，0），C
（0，﹣4）三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点．
（1） 求这个二次函数的解析式；
（2） 是否存在点 P，使△POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 在抛物线上是否存在点 D（与点 A 不重合）使得 S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知二次函数的图像经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；
（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，二次函数图像的顶点为D，其图像与x轴的交点A、B的横坐标分别为，与y轴负半轴交于点C．
若是等腰直角三角形，求a的值．
探究：是否存在a，使得是等腰三角形？若存在，求出符合条件的a的值；不存在，说明理由．
如图，已知二次函数的图像经过点A（4，4）、B（5，0）和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
如图，已知二次函数的图像与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为．
（1）求二次函数的解析式及点B的坐标；
（2）由图像写出满足的自变量x的取值范围；
（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D，
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．已知二次函数y=ax2+bx-3经过A（-1,0），B（3,0）两点，
（1）求二次函数解析式及对称轴方程；
（2）连接BC，交对称轴于点E，求E点坐标；
（3）在y轴上是否存在一点M，使ΔBCM为等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）在第四象限内抛物线上是否存一点H，使得四边形ACHB的面积最大，若存在，求出点H坐标，若不存在，说明理由.
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）；
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由．
（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
17．如图，已知二次函数的图像经过点 A（ 3,3 ），点 B（ 4,0 ）和原点， P 为二次函数图像上的一个动点，过点 P 做 x 轴的垂线，垂足为 D （ m,0), 并与直线 OA 相交于点C
(1) 求出二次函数的解析式．
(2) 若点 P 在直线 OA 的上方时，用含有 m 的代数式表示线段 PC 的长度，并求线段 PC 的最大值
(3) 当 m ＞ 0 时，探索是否存在点 P ，使△PCO 成为等腰三角形，若存在求出点 P 坐标，不存在，说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.
19．已知：关于x的二次函数（a＞0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图像上，其中n为正整数．
（1）y1=y2，请说明a必为奇数；
（2）设a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；
（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像交坐标轴于A（﹣1，0），C（0，﹣4）两点，点B是抛物线与x轴的交点，点P是抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POB是以OB为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在一点P，x轴上有一点F，使得以P、F、A、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，已知二次函数的图像与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，顶点为．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，若，四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）探索：线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点在第二象限且是抛物线上的一个动点，求面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图像经过A（-1，0）、C（3，0）、并且与y轴相交于点B，点P是直线BC上方的抛物线上的一动点，PQ∥y轴交直线BC于点Q．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）求线段PQ的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于点A、B（5,0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M(2,-9)，连接BM，点P为线段BM上的一个动点．
(1)求二次函数的解析式．
(2)过点P作x轴的垂线，垂足为点Q，求四边形ACPQ面积的最大值．
(3)是否存在点P，使得以P、M、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，二次函数的图像交轴于点，点，交轴于点
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接，在直线上方的抛物线上有一点，过点作轴的平行线，交直线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数关系式；
（3）若点在轴上，是否存在点，使以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图像与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图像上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．
参考答案
1．（1）y＝－x2＋4x－6；
（2）S△ABC＝6；
（3）点P坐标为（-2，0）或或或
【解析】
试题分析：（1）把A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）先确定抛物线的对称轴方程，则可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
（3）分类讨论，进行求解即可.
试题解析：（1）∵的图像经过A（2，0）、B（0，-6）两点，
∴，
解得b=4，c=-6，
∴这个二次函数的解析式为y＝−x2+4x−6
（2）令-x2+4x-6=0
∴x2-8x+12=0
解得：x1=2 x2=6
∴C（4，0）
∴AC=2
∴S△ABC=×2×6=6
（3）点P坐标为（-2,0）或
2．（1），；（2）；（3）存在，或或或
【分析】
（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=-16+4b+3，解得b=，进而求解；
（2）先求出C点坐标，利用面积公式求△ABC的面积=×AC•OB=×（4+）×3=；
（3）分AB=AP、AB=BP、AP=BP三种情况构造方程，分别求解即可．
解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得： ，
解得，
∴抛物线的表达式为，
令，则，
∴点B的坐标为；
（2）令，
解得或，
∴点C的坐标为，
连接AB、BC，
则；
（3）设点P的坐标为，
由题意得：
，，，
当时，则，
解得或，
当时，则，
解得（舍去）或，
当时，则，
解得可得，
∴点P的坐标为或或或．
【点拨】本题考查抛物线解析式，两轴交点坐标，三角形面积，等腰三角形的性质，解一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，会利用函数解析式求两轴交点坐标，会求三角形面积，会利用等腰三角形的性质构造方程是解题关键．
3．存在，点或或．
【分析】
由抛物线解析式可得出C、B坐标，利用待定系数法可得直线BC的解析式为y=-x-3，分三个情况讨论：当时，点P在OC的垂直平分线上，根据O、C坐标可得OC中点坐标，把OC中点的横坐标代入BC解析式即可得P点坐标；当时，设P（x，-x-3），利用两点间距离公式即可得P点坐标；当时，利用利用两点间距离公式即可得P点坐标．
解：当时，，
解得：，
∵点在点的左边，
∴
当x=0时，y=-3，
∴B（0，-3），
设直线BC的函数解析式为
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y=-x-3，
①当时，点P在OC的垂直平分线上，
∵点C（-3，0），O（0，0），
∴OC中点坐标为（，0），
把x=代入y=-x-3得：y=-3=，
∴点
②当时，设P（x，-x-3），
∴=3，
解得：x1=0，x2=-3（舍去），
∴-x-3=-3，
∴点，
③当时，设点，
∴，
解得，（不合题意，舍去）
∴
∴存在，点或或．
【点拨】本题考查二次函数图像上的点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式及等腰三角形的判定，注意分类讨论思想的运用是解题关键．
4．（1）y=﹣x2+x+3，点B的坐标为（0，3）．（2）点P的坐标为：（，0）．
【分析】
把点A的坐标代入二次函数，求出b的值，确定二次函数关系式，把x=0代入二次函数求出点B的坐标．
分情况讨论，①当BP=AP时，②当AB=AP时，分别求出即可得出答案．
解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有：
0=﹣16+4b+3
得：b=
所以二次函数的关系式为：y=﹣x2+x+3．
当x=0时，y=3
∴点B的坐标为（0，3）．
（2）如图
作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，则：BP=AP
设BP=AP=x，则OP=4﹣x，
在直角△OBP中，BP2=OB2+OP2
即：x2=32+（4﹣x）2
解得：x=
∴OP=4﹣=
所以点P的坐标为：（，0）．
5．（1）m=-3;(2) ;(3) 存在点，，，使为等腰三角形,理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由AB∥x轴，A（﹣2，m），可得AB=2，又由AB：OB=2：3，即可求得点B的坐标，则可求得m的值；
（2）由二次函数与y轴的交于点B，可求得c的值，又由图像过点A（﹣2，﹣3），将其代入函数解析式，即可求得b的值，则可得此二次函数解析式；
（3）由二次函数的图像与x轴交于C、D两点（点C在左恻），可得当y=0即可求得C的坐标，若△POC为等腰三角形，则可分别从①当PC=PO时，②当PO=CO时，③当PC=CO时去分析，即可求得满足条件的点P的坐标．
解：（1）∵AB∥x轴，A（﹣2，m），∴AB=2．
又∵AB：OB=2：3，∴OB=3，∴点B的坐标为（0，﹣3），∴m=﹣3；
（2）∵二次函数与y轴的交于点B，∴c=﹣3．
又∵图像过点A（﹣2，﹣3），∴﹣3=4﹣2b﹣3，∴b=2，∴二次函数解析式为y=x2+2x﹣3；
（3）当y=0时，有x2+2x﹣3=0，解得x1=﹣3，x2=1，由题意得：C（﹣3，0）．
若△POC为等腰三角形，则有：
①当PC=PO时，点P（）；
②当PO=CO时，点P（0，﹣3）；
③当PC=CO时，设直线BC的函数解析式为y=kx+n，则有，解得：，∴直线BC的函数解析式为y=﹣x﹣3．
设点P（x，﹣x﹣3），由PC=CO，得：[﹣（x+3）]2+[﹣（﹣x﹣3）]2=32，解得：x1=﹣3，x2=﹣3（不合题意，舍去），∴P（﹣3）．
综上所述：存在点P（）或P（0，﹣3）或P（﹣3），使△POC为等腰三角形．
【点拨】本题是二次函数综合题．考查了待定系数法求函数的解析式，平行线的性质，函数与点的关系，以及等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
6．（1），；（2）或；（3），
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得点坐标；
（2）根据题意可知，即，再根据一次函数图像在上方法人部分是不等式的解集，可得答案；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得在线段的垂直平分线上，根据直线，可得的垂直平分线，根据自变量来为零，可得在轴上，根据函数值为零，可得在轴上.
解：（1）解：将代入得：
∴，
（2）
即：
即：时，或
（3）直线的解析式为，
的中点为，
的垂直平分线为，
当时，，，
当时，，.
综上所述：，，使得是以为底边的等腰三角形.
【点拨】本题考查了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用函数与不等式的关系求不等式的解集；（3）利用线段垂直平分线的性质，利用直线得出的垂直平分线是解题关键.
7．（1）；（2）D点的坐标为：（1，0），（1，1），（1，），D（1，-），（1，6）；（3）．
【分析】
（1）先求出C（0，3），再把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入，求出a，b，c的值即可；
（2）分三种情形讨论即可①CD=AD，②AD=AC，③AC=CD，画出图形即可解决问题；
（3）求出BC所在直线解析式y=-x+3，作直线l平行直线BC且与抛物线只有一个交点，求出两条直线之间的距离即为PQ的最大值．
解：（1）∵过、两点，且，
∴C（0，3），
把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入得，
，
解得，，
∴ ；
（2）抛物线的对称轴为x=，顶点坐标为（1，4），
设D点坐标为：D（1，a），
①如图1，以AC为底，CD=AD时，
∴，
∴
解得，a=1
∴D(1,1);
②以CD为底，AD=AC，如图2，
∵AC=
∴
解得，
∴D（1，），或D（1，-）；
③以AD为底，AC=CD=,如图3，
∴
解得，a=0或6，
∴D（1，0），或D（1，6）；
综上所述，D点的坐标为：（1，0），（1，1），（1，），D（1，-），（1，6）；
（3）设BC所在直线解析式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得，
∴，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∵PQ⊥BC于Q，过点P作直线l：y=-x+b与BC平行且与抛物线只有唯一一个交点P，交y轴于点N，如图4，
此时，PQ最长，
∴，即，
∴，
∴，
过点C作CM⊥l于点M，则CM=PQ，∠NCM=45°，
∵PQ最大值即CM=．
【点拨】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考常考题型．
8．（1），点的坐标为（2）△ABC的面积为；（3）P的坐标为（9，0）或（-1，0）或（-4，0）或（，0）
【分析】
（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=-16+4b+3，解得b=，进而求解；
（2）△ABC的面积=×AC•OB=×（4+）×3=；
（3）分AB=AP、AB=BP、AP=BP三种情况，分别求解即可．
解：（1）∵二次函数的图像与轴的一个交点为，
∴，解得，
∴此二次函数关系式为：，
当时，解得，
∴点的坐标为．
（2）连接AB，二次函数关系式为：，令x=0，得y=3
∴B（0，3）由（1）得A（4，0）， ，
∴AC=4－（）=
∴△ABC的面积=×AC•OB=××3=；
（3）存在，设点P的坐标为（x，0），
由题意得：AB2=42+32=25，AP2=（x-4）2，BP2=x2+9，
①当AB=AP时，则25=（x-4）2，解得x=9或-1，
∴P(9，0)或P（﹣1,0）；
②当AB=BP时，同理可得x=4（舍去）或-4，
∴P（﹣4,0）
③当AP=BP时，如图所示
∵OP=x，∴AP=BP=4－x
在Rt△OBP中，
∴
∴x=
∴P（，0）
综上点P的坐标为（9，0）或（-1，0）或（-4，0）或（，0）．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
9．(1)抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；(2)存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；(3)存在满足条件的D点，其坐标为（5，6）．
【解析】
【分析】
（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；
（3）存在．分两种情况讨论，再利用待定系数法以及解方程组即可解决问题．
解：(1)设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
(2)如图1，作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，
∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，
∵C（0，﹣4），
∴D（0，﹣2），
∴P点纵坐标为﹣2，
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，
∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；
(3)如图2，
①当D点在直线BC的上方时，过A点作AD1∥BC，交抛物线于D1，此时，使得S△DBC＝S△ABC，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，
∵AD1∥BC，
∴设直线AD11的解析式为y＝x+n，
把A（﹣1，0）代入得，0＝﹣1+n，则n＝1，
∴直线AD1的解析式为y＝x+1，
解得或，
∴D1的坐标为（5，6），
②当D点在直线BC的下方时，
由直线AD1的解析式为y＝x+1可知直线AD1和y轴的交点E的坐标为（0， 1），
∴CE＝5，
∴直线AD的解析式为y＝x﹣10，
∵方程x2﹣3x﹣4＝x﹣10无实数根，
故存在满足条件的D点，其坐标为（5，6）．
【点拨】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中AD∥BC是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
10．（1）y＝﹣x2+5x；（2）4；（3）存在，P(4﹣，2+3)；（4）存在，P(4﹣，2+3)
【分析】
（1）由待定系数法将A（4，4），B（5，0）代入二次函数的解析式为y＝ax2+bx即可；
（2）求出OA的解析式，将P，C的纵坐标用含m的代数式表示出来，再表示出PC的长度，用函数的思想即可求出其最大值；
（3）存在，如图，当射线OP平分∠AOy时，过点P作PM⊥y轴于点M，作PN⊥OA于点N，则PM＝PN，证△ODC和△PCN是等腰直角三角形，可用含m的代数式分别表示出PM，PN的长度，解等式即可求出m的值，进一步写出点P的坐标；
（4）存在，当△PCO为等腰三角形时，只存在PC＝OC一种情况，用含m的代数式表示出PC，OC的长，解方程即可求出m的值，进一步写出点P的坐标．
解：（1）∵二次函数的图像经过原点，
∴设二次函数的解析式为y＝ax2+bx，
将A（4，4），B（5，0）代入，
得，
解得，a＝﹣1，b＝5，
∴y＝﹣x2+5x；
（2）设直线OA的解析式为y＝ax，
将A（4，4）代入，
得，a＝1，
∴yOA＝x，
∵PD⊥x轴，D（m，0），
∴P（m，﹣m2+5m），C（m，m），
∴PC＝﹣m2+5m﹣m
＝﹣m2+4m
＝﹣（m﹣2）2+4，
根据二次函数的图像及性质可知，当m＝2时，PC有最大值，其最大值为4；
（3）存在，理由如下：
如图，当射线OP平分∠AOy时，过点P作PM⊥y轴于点M，作PN⊥OA于点N，
则PM＝PN，
∵点C在直线yOA＝x上，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴∠OCD＝∠PCN＝45°，
∴△PCN是等腰直角三角形，
由（2）知，PC＝﹣m2+4m，
∴PN＝（﹣m2+4m）＝﹣m2+2m，
∵P（m，﹣m2+5m），
∴PM＝m，
∵PM＝PN，
∴m＝﹣m2+2m，
解得，m1＝0（舍去），m2＝4﹣，
∴P（4﹣，2+3）；
（4）存在，理由如下：
∵∠PCO＝180°﹣∠OCD＝135°，
∴当△PCO为等腰三角形时，只存在PC＝OC一种情况，
由（2）知，PC＝﹣m2+4m，OC＝OD＝m，
∴﹣m2+4m＝m，
解得，m1＝0（舍去），m2＝4﹣，
∴当m＝4﹣时，﹣m2+5m＝2+3，
∴P（4﹣，2+3）．
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图像及性质的运用，等腰三角形的性质等，解题关键是熟练掌握二次函数的图像及性质．
11．（1）；（2）存在，或，见解析.
【解析】
【分析】
作于点E，根据是等腰直角三角形，即可求得D的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式，从而求得a的值．
根据三边分别相等可以分三种情况：
当时，根据勾股定理列方程：，可得a的值；
当时，根据勾股定理列方程：，可得a的值；
当时，由于，，不成立．
解：如图，作于点E，
，
是等腰直角三角形，
，
则D的坐标是．
设二次函数的解析式是，
把代入得，
解得：．
存在，分三种情况：
当时，
，
在中，，
，
，
，
设二次函数的解析式为：，
将代入，
，
当时，
，
在中，，
，
，则，
，
，
当时，
，
是AB的中点，
而，，
，
不成立，
或．
【点拨】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，第1问正确根据等腰直角三角形的性质求得D的坐标是关键，第二问根据等腰三角形的判定正确分类讨论是关键．
12．（1）y＝﹣x2+5x；（2）当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是4；（3）存在，P的坐标是（4﹣，2+3）或（4+，2﹣3）或（6，﹣6）或（5，0）．
【分析】
（1）设y＝ax（x﹣5），把A点坐标代入即可求出答案；
（2）根据点的坐标求出PC＝﹣m2+4m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值；
（3）当0＜m＜4时，仅有OC＝PC，列出方程，求出方程的解即可；当m≥4时，PC＝CD﹣PD＝m2﹣4m，OC＝m，分为三种情况：①当OC＝PC时，m2﹣4m＝m，求出方程的解即可得到P的坐标；同理可求：②当OC＝OP时，③当PC＝OP时，点P的坐标．综合上述即可得到答案．
解：（1）设y＝ax（x﹣5），
把A点坐标（4，4）代入得：4a（4﹣5）＝4，
解得a＝﹣1，
函数的解析式为y＝﹣x2+5x，
答：二次函数的解析式是y＝﹣x2+5x．
（2）解：0＜m＜4，PC＝PD﹣CD，
∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y＝﹣x2+5x上，C在直线OA上，A（4，4），
∴P（m，﹣m2+5m），C（m，m）
∴PC＝PD﹣CD＝﹣m2+5m﹣m＝﹣m2+4m，
＝﹣（m﹣2）2+4，
∵a＝﹣1＜0，开口向下，
∴有最大值，
当D（2，0）时，PCmax＝4，
答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是4．
（3）当0＜m＜4时，仅有OC＝PC，∴﹣m2+4m＝m，
解得m＝4﹣，
∴P（4﹣，2+3）；
当m≥4时，PC＝CD﹣PD＝m2﹣4m，OC＝m，
由勾股定理得：OP2＝OD2+DP2＝m2+m2（m﹣5）2，
①当OC＝PC时，m2﹣4m＝m，
解得：m＝4+或m＝0（舍去），
∴P（4+，2﹣3）；
②当OC＝OP时，（m）2＝m2+m2（m﹣5）2，
解得：m1＝6，m2＝4，
∵m＝4时，P和A重合，即P和C重合，不能组成△POC，
∴m＝4舍去，
∴P（6，﹣6）；
③当PC＝OP时，m2（m﹣4）2＝m2+m2（m﹣5）2，
解得：m＝5，
∴P（5，0），
答：存在，P的坐标是（4﹣，2+3）或（4+，2﹣3）或（6，﹣6）或（5，0）．
【点拨】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的待定系数法、二次函数的图像性质以及等腰三角形的性质和判定。解答关键是，根据等腰三角形的腰与底边进行分类讨论，构造方程求解。
13．（1），B（0，3）；（2）x＜0或x＞4；（3）P1（0，），P2（，0）．
【分析】
（1）将A点坐标代入y1，可得抛物线的解析式，根据自变量为零，可得B点坐标；
（2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，观察图像可得到答案；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得P在线段的垂直平分线上，根据直线AB，可得AB的垂直平分线，根据自变量为零，可得P在y轴上，根据函数值为零，可得P在x轴上．
解：（1）将A点坐标代入，得：﹣16+13+c=0．解得c=3，
∴二次函数的解析式为，
∵当x=0时，=3，
∴B点坐标为（0，3）；
（2）由图像得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4，
∴x＜0或x＞4时，；
（3）存在，解答如下：
根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得P在线段的垂直平分线上，作线段AB的垂直平分线l，垂足为C，
∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解解析式为，
则有：，解得：，
∴直线AB的解析式为，
设AB的垂直平分线l的解析式为：，
∵直线l过AB的中点为（2，），
∴，解得：，
∴AB的垂直平分线l的解析式为，
①当x=0时，y=，P1（0，），
②当y=0时，x=，P2（，0），
综上所述：P1（0，），P2（，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形．
考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．综合题；4．压轴题．
14．（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）证明见解析；（3）点P坐标为（，）或（2，3）．
解：试题分析：（1）将A（﹣1，0）、C（0，3），代入二次函数y=ax2+bx﹣3a，求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
试题解析：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），∴将A（﹣1，0）、C（0，3），代入，得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）如图，连接DC、BC、DB，由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），∴CD==，BC==3，BD==2，∵CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=20，∴CD2+BC2=BD2，∴△BCD是直角三角形；（3）y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1．假设存在这样的点P,①以CD为底边，则P1D=P1C，设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2=x2+（3﹣y）2，P1D2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，因此x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P1点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=＜1，(不满足在对称轴右侧应舍去），∴x=，∴y=4﹣x=，即点P1坐标为（，）．②以CD为一腰，∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x=1对称，此时点P2坐标为（2，3）．∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．
考点：1.二次函数图像性质；2.等腰三角形性质；3.直角三角形的判定.
15．（1）二次函数解析式为y=x2-2x-3，对称轴方程为：直线x=1；
（2）E（1，-2）；
（3）存在：M1（0,3），M2（0，0），M3（0，-3-），M4（0，-3+）
（4）点H坐标为
【解析】
分析：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入二次函数y= ，求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；（2）求出直线BC:y=x-3, 把对称轴方程直线x=1代入，即可求解;（3）在RT△BOC中，根据勾股定理求出BC，据等腰三角形的性质求出①当BC=BM时，M1（0,3）；②当CM=BM时，点M与点O重合，M2（0，0）；③当BC=CM时，M点有两个即M3（0，-3-），M4（0，-3+）；（4）设点H的坐标为 ，连接OH，根据 .
本题解析：（1）将A，B两点坐标代入y=ax2+bx-3得方程组，解得a=1，b=-2，所以二次函数解析式为y=x2-2x-3，对称轴方程为：直线x=1；
（2）设E点坐标为(1，a),把B(3，0),C(0，-3)代入直线BC：y=kx+b,求得解析式为：y=x-3， 把x=1,代入得：a=-2, ∴E（1，-2）；
（3）存在：M1（0,3），M2（0，0），M3（0，-3-），M4（0，-3+）
（4）连接OH，设H点坐标为（x0，x02-2x0-3）
S四边形ACHB=S△AOC+S△COH+S△BOH
=+x+|x02-2x0-3|
=
=
当x0=时，x02-2x0-3=
所以点H坐标为
点拨：本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键.
16．（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；（3）M的坐标为（-1，0）或（1±，0）或（-，0）；（4）点P的坐标为：（-1，2）或（-，-）．
【解析】
【分析】
（1）利用交点式求二次函数的解析式；
（2）求直线AC的解析式，作辅助线ND，根据抛物线的解析式表示N的坐标，根据直线AC的解析式表示D的坐标，表示ND的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积，根据二次函数的最值可得面积的最大值，并计算此时N的坐标；
（3）分三种情况：当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图形，求M的坐标即可；
解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），
设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），
把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），
a=-1，
∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，
∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；
（2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-2，0）、C（0，2）代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y=x+2，
∴D（n，n+2），
∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n，
∴S△ANC=×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1，
∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2），
（3）存在，分三种情况：
①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；
②如图2，由勾股定理得：BC=，
以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=，
此时，M2（1-，0），M3（1+，0）；
③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，
设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，
由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，
解得：x=，
∵M4在x轴的负半轴上，
∴M4（-，0），
综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或（1±，0）或（-，0）；
【点拨】本题是二次函数的综合题，计算量大，考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函数解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，是一个不错的二次函数与几何图形的综合题，采用了分类讨论的思想，第三问和第四问要考虑周全，不要丢解．
17．（1）；（2）；（3）, , （ 5 ， -5 ） ,(4,0)
【分析】
（1）利用抛物线过O、B可设二次函数解析式为：，将A点坐标代入即可.
（2）利用P、C两点的坐标关系和所在的函数图像即可求出PC与x的函数关系式，然后求最值即可.
（3）利用平面直角坐标系上任意两点之间的距离公式分类讨论即可.
解：⑴ 因为O、B在x轴上，抛物线过O、B两点，故可设 抛物线的解析式为 ，把 A （ 3,3 ）代入，得
解得
∴
⑵ 设直线 OA（其中O为原点），故设解析式 ，将A点坐标代入得：
解得
∴直线 OA解析式 ，
又因为PC⊥x轴，故P、C横坐标都为m，分别代入解析式可得，yc=m
∴PC= == ，当 x=时， 代入解析式得：PC 最大值 =
⑶由上可知：C的坐标为：（m，m）P点坐标为（m，），PC=利用平面直角坐标系内任意两点的距离：故OC=，PO=
①当OC=PC时， ，取绝对值得
，因为m＞0，故将m=0舍去.代入解析式中此时P点坐标为或 .
②当OC=OP时，因为P、C不能重合（等腰三角形）只有C在一象限，P在四象限，满足题意
易得OD垂直平分PC，
∴CD=PD，
∵CD=m，PD=
∴，
（m＞0，故舍去），
此时将m=5代入解析式中解得：P（ 5 ， -5 ）
③当PC=OP时 ，
（m＞0，故舍去），
∴此时将m=4代入解析式中解得p(4,0)
综上所述， P 点坐标为, , （ 5 ， -5 ） ,(4,0)
【点拨】此题考查的是①利用待定系数法求二次函数解析式；②利用二次函数求最值；③平面直角坐标系上任意两点之间的距离公式.
18．（1）二次函数的解析式为；（2）当时，的面积取得最大值；（3）点的坐标为，，.
解：分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．
详解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y=；
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=，
过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，
设D（m，），则点F（m，），
∴DF=﹣（）=，
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH
=×DF×AG+×DF×EH
=×4×DF
=2×（）
=，
∴当m=时，△ADE的面积取得最大值为．
（3）y=的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三种情况讨论：当PA=PE时，=，解得：n=1，此时P（﹣1，1）；
当PA=AE时，=，解得：n=，此时点P坐标为（﹣1，）；
当PE=AE时，=，解得：n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．
综上所述：P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．
点拨：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．
19．（1）见解析；（2）n=1、2、3、4；（3）存在，理由见解析．
【分析】
（1）将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式，利用y1=y2得到用n表示a的式子，即可得到答案；
（2）将a=11代入解析式后，由题意列出不等式组，求得此不等式组的正整数解．
（3）本问为存在型问题，如图所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性质，判定点B为抛物线的顶点，点A、C关于对称轴对称，于是得到，从而可以求出．
解：（1）∵点A（n，y1）、B（n+1，y2）都在二次函数（a＞0）的图像上，
∴．
∵y1=y2，
∴，整理得：a=2n+1．
∵n为正整数，∴a必为奇数．
（2）当a=11时，∵y1＜y2＜y3，
∴．
化简得：．解得：．
∵n为正整数，∴n=1、2、3、4．
（3）存在．
假设存在，则AB=AC，
如图所示，过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AD⊥BN于点D，CE⊥BN于点E，
∵xA=n，xB=n+1，xC=n+2，∴AD=CE=1．
在Rt△ABD与Rt△CBE中，AB=BC，AD=CE，
∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）．
∴∠BAD=∠CBE，即BN为顶角的平分线．
由等腰三角形性质可知，点A、C关于BN对称．
∴BN为抛物线的对称轴，点B为抛物线的顶点，
∴．∴．
∴存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形，．
20．（1）y=x2﹣3x﹣4；（2）点P坐标为（2，﹣6）；（3）点P坐标为：（，4）或（，4）或（3，﹣4）．
【解析】
【分析】
（1）把A、C两点坐标代入y=x2+bx+c，可求出b、c的值即可求得二次函数的解析式；（2）过OB的中点D作垂线交抛物线于点P，则△POB就是所求的三角形，根据抛物线的解析式可求出B点坐标，由DP是OB的垂直平分线，可知直线DP为：x=2，进而可得P点坐标；（3）设P（m，m2﹣3m﹣4），分别讨论AC为边和AC为对角线两种况，根据平行四边形的性质，列方程求出m的值即可求得P点坐标.
解：（1）将A（﹣1，0），C（0，﹣4）两点代入y=x2+bx+c得：，
∴ ，
所以此二次函数的解析式为：y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵△POB是以OB为底边的等腰三角形，
∴过OB的中点D作垂线交抛物线于点P
即△POB就是所求的三角形，如图1，
∵点B是抛物线y=x2﹣3x﹣4与x轴的一个交点，
∴B（4，0）
∴直线DP可以表示为：x=2
∵点P是抛物线y=x2﹣3x﹣4与直线x=2的交点，
∴根据方程组的解得：点P坐标为（2，﹣6）；
（3）设P（m，m2﹣3m﹣4），
∵A（﹣1，0），C（0，﹣4），
∴CO=4，
①以AC作为边，如图2，过点P1向x轴作垂线交x轴于点M
根据平行四边形的性质：AC=P1F1，CO=MP1，
∵∠P1MF1=∠AOC=90°，
∴Rt△P1MF1≌Rt△COA，
∴CO=P1M
∵CO=P1M=4，
∴m2﹣3m﹣4=4或m2﹣3m﹣4=﹣4，
解之得：m= 或m=0（舍）或m=3，
∴点P坐标为（，4）或（，4）或（3，﹣4），
②以AC作为对角线，如图2，CP∥AF，
∴点P坐标为（3，﹣4）
∴点P坐标为：（，4）或（，4）或（3，﹣4）．
【点拨】本题考查了二次函数综合题：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图像为抛物线，其顶点式为y=a（x-）2+ ，抛物线的对称轴为x=-，当a＞0，y最小值=；当a＜0，y最，大值=；抛物线上的点的横纵坐标满足抛物线的解析式；对于特殊四边形的判定与性质以及勾股定理要熟练运用．
21．（1）；（2）S=；（3）存在，点的坐标为或或
【分析】
（1）求出点B、C坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）求出点M、A坐标，求出直线的解析式，表示出点P坐标，利用割补法即可求出关于的函数解析式；
（3）设点N坐标为且，根据勾股定理表示出,根据为等腰三角形分类讨论，求出x值，并把不合题意舍去即可求解．
解：（1）∵，
∴点B坐标为（3,0），点C坐标为（0,3），
把点B、C坐标代入抛物线解析式得
解得
∴二次函数的解析式为；
（2）∵，则，
∵ ，
∴ ，
设直线的解析式为，
则有，解得，
∴ 直线的解析式为，
∵ 轴，，
∴ 点的坐标为，
∴
；
（3）存在．
由于是直线上一点，由（2）知，直线的解析式为，
因此设且，由勾股定理可得：
，
，
，
①当时，，
解得，（舍去），
此时 ；
②当时，，
解得，（舍去），
此时；
③当 时，，
解得，此时．
综上，点的坐标为或或．
【点拨】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法，不规则图形面积求法，勾股定理，一元二次方程，等腰三角形等知识，理解函数图像上点的意义，熟练掌握相关知识点并熟练应用是解题关键．
22．（1）；（2）；（3）（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，﹣2）
【分析】
（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．
解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y=；
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=，
过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，
设D（m，），则点F（m，），
∴DF=﹣（）=，
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH
=×DF×AG+×DF×EH
=×4×DF
=2×（）
=，
∴当m=时，△ADE的面积取得最大值为．
（3）y=的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三种情况讨论：
①当PA=PE时，=，解得：n=1，此时P（﹣1，1）；
②当PA=AE时，=，解得：n=，此时点P坐标为（﹣1，）；
③当PE=AE时，=，解得：n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．
∴综上所述：P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．
23．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）；（3）M1（1，1），M2（1，），M3（1，﹣），M4（1，0）．
【分析】
（1）利用待定系数法确定函数关系式即可；（2）设P（﹣m，﹣m2+2m+3），Q（m，﹣m+3）．利用两点间的距离公式得到PQ＝﹣m2+3m，再利用配方法求得最值即可；（3）分①MA＝MB， ②MA＝AB，③AB＝MB三种情况求点M的坐标即可．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图像经过A（﹣1，0），C（3，0）．
∴
解得．
∴此二次函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵设直线BC为y＝kx+b，因其经过B（0，3），C（3，0），
∴．
解得k＝﹣1，b＝3
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
设P（﹣m，﹣m2+2m+3），Q（m，﹣m+3）
PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）
＝﹣m2+3m
＝﹣（m﹣）2+．
PQ的最大值为．
（3）存在，理由如下：
∵二次函数y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝﹣＝1，OA＝1，OB＝3，
在Rt△ABO中由勾股定理可得AB＝，AB2＝10．
设M（1，a），则MA2＝22+a2，MB2＝12+（a﹣3）2．
分三种情况讨论：
①MA＝MB，22+a2＝12+（a﹣3）2，得a＝1，
∴M1（1，1）；
②MA＝AB，22+a2＝10，得a＝±，
∴M2（1，），M3（1，﹣）；
③AB＝MB，12+（a﹣3）2＝10，得a＝0或a＝6，
∴M4（1，0），M5（1，6）．
∵M5、A、B三点共线，
∴M5（1，6）舍去．
∴M的坐标为：M1（1，1），M2（1，），M3（1，﹣），M4（1，0）．
【点拨】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
24．（1）；（2）；（3）存在，，或 或
【分析】
（1）根据抛物线的顶点为，将化成顶点式，然后将点代入，化简计算即可；
（2）求出A，B，C三点的坐标，可得直线的表达式为，设点，则，根据化简求解即可；
（3）分三种情况讨论：当时，当时，当时分别求解即可.
解：（1）抛物线的顶点为，
设抛物线的表达式为.
将点代入得，.
解得
二次函数的表达式为；
（2）令，得，
.
抛物线的对称轴为直线，，
.
由，可得直线的表达式为，
设点，则，
则
.
,,
当时，四边形面积有最大值，最大值为；
（3）存在，由（2）知直线的表达式为.
设，其中，
由，，可得，
，，；
分情况讨论如下：
1. 当时，有.
解得（舍），，
此时点的坐标为；
2. 当时，有.
解得（舍），，
此时点的坐标为；
3. 当时，有.
解得
此时点的坐标为；
综上所述，当是等腰三角形时，点的坐标为，或 或.
【点拨】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，几何图形面积的计算方法，平面坐标系中两点间的距离公式，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论思想进行讨论．
25．（1）y=-x2-x+2；（2）l=-n2-2n；（3）存在，（-1，0）或（1+，0）或（1-，0）或（-，0）．
【分析】
（1）利用交点式求二次函数的解析式；
（2）设点N（n，-n2-n+2），则点F（n，n+2），l=-n2-n+2-（n+2）=-n2-2n；
（3）分CB=CM、BC=BM、BM=CM三种情况，分别求解即可．
解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），
设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），
把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），
a=-1，
∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，
故抛物线的表达式为：y=-x2-x+2；
（2）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-2，0）、C（0，2）代入得： ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为：y=x+2，
设点N（n，-n2-n+2），则点F（n，n+2），
l=-n2-n+2-（n+2）=-n2-2n；
（3）存在，分三种情况：
①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；
②如图2，由勾股定理得：BC= ，
以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=，
此时，M2（1-，0），M3（1+，0）；
③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，
设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，
由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，
解得：x=，
∵M4在x轴的负半轴上，
∴M4（-，0），
综上，点M的坐标为：（-1，0）或（1+，0）或（1-，0）或（-，0）．
【点拨】此题考查二次函数综合题，二次函数的解析式．解题关键在于利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
26．（1）；（2）E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）．
【解析】
试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）先求得直线BC的解析式为，则可设E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；
（3）利用△PBD的面积即可求得．
试题解析：（1）∵二次函数（）的图像与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，
∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；
（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），
当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E（，）；
当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；
当EC=DE时，，解得=，∴E（，）．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，
∵△PBD的面积
==
=，
∴当m=时，△PBD的最大面积为，∴点P的坐标为（，）．
考点：二次函数综合题．
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