北师大版九年级数学下册 专题2.43 二次函数压轴题-面积问题（附答案）

这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.43 二次函数压轴题-面积问题（附答案），共50页。试卷主要包含了已知抛物线F1，已知抛物线与直线有一个交点，定义，已知二次函数等内容，欢迎下载使用。

（1）求抛物线的解析式；
（2）求的最小值；
（3）过点Q作交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记与的面积分别为，，设，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．
2．如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函数y＝﹣x2＋bx的图像经过点A，顶点为点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；
（2）设这个二次函数图像的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；
（3）设P是这个二次函数图像的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．
3．如图，抛物线y＝ax2＋x＋c交y轴于点A（0，2），交x轴于点B（﹣1，0）及点C．
（1）填空：a＝ ，c＝ ，点C的坐标为 ；
（2）把△ABO逆时针旋转90°得△A′B′O'（其中点A与A′，B与B′分别是对应点），当△A′B'O'恰好有两点落在抛物线上时，求点A′的坐标；
（3）点P（m，n）是位于x轴上方抛物线上的一点，△PAB的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，△PBC的面积记为S3，若满足S1＋S2＝S3，求m的值．
4．已知抛物线F1：y＝a（x﹣8）（x+4）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），抛物线顶点为C，CD⊥x轴于点D．
（1）若a＝，求△ABC的周长；
（2）若△ACD的内心在y轴正半轴上，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若当m≤x≤n（其中mn＜0）时，二次函数y＝a（x﹣8）+（x+4）的函数值的取值范围为m≤y＜n，求m+n的值．
5．已知抛物线与直线有一个交点．
（1）若点的坐标为，求的值，并写出抛物线的顶点坐标；
（2）若，点在轴上，直线与抛物线的另一交点是，当时，求抛物线的解析式；
（3）设平行于直线且经过原点的直线与抛物线交于，两点，的面积，若对于任意的取值，满足恒成立，求的值．
6．定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”．例如，点是函数的图像的“等值点”．
（1）分别判断函数的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数的图像的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；
（3）若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为．当两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
7．已知二次函数．
（1）当该二次函数的图像经过点时，求该二次函数的表达式；
（2）在(1) 的条件下，二次函数图像与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值;
（3）若对满足的任意实数x，都使得成立，求实数b的取值范围．
8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与y轴交于E点，F是的中点，B、C、D的坐标分别为．
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线上；
（3）设过F与平行的直线交y轴于Q，M是线段之间的动点，射线与抛物线交于另一点P，当的面积最大时，求P的坐标．
9．定义：对于二次函数，其相依函数为一次函数，例如：二次函数的相依函数为：
（1）求二次函数的相依函数表达式；
（2）如图，二次函数与其相依函数的图像分别交于点、，过该抛物线的顶点作直线平行于轴，已知点到直线的距离为8．
①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图像上；
②点为抛物线段上的一个动点，求面积的最大值．
10．如图，抛物线的图像经过三点，直线经过点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在线段上，且满足，点在轴下方的抛物线上，设点的横坐标为，当为何值时，的面积最大？并求出最大值；
（3）为抛物线上的一动点，为对称轴上一动点，若以为顶点的四边形为平行四边形，求出点的坐标．
11．直线l：y＝kx+k（k＜0）与x轴交于点B，点A（m，5）（m＜0），点C在线段AB上，，过点C作CD⊥y轴于点D，且．
（1）求m的值；
（2）经过C、D两点的开口向下的抛物线的顶点为P，且△ADP的面积为3，求抛物线的解析式．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图像经过两点．
（1）求b，c的值．
（2）连结，，若P是第一象限内抛物线上一点，直线把的面积分成相等的两部分．
①求直线的解析式．
②将该抛物线沿着射线的方向平移m个单位，使其顶点落在的内部（不包括边界），求m的取值范围．
13．已知顶点为的抛物线，交轴于点，交轴正半轴于点．
（1）求的坐标（用含的代数式表示）；
（2）若时，面积的最大值为，求的值；
（3）已知，点在抛物线上，且，求点的坐标．
14．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，，与轴交于点．
（1）____________；_______________；
（2）若直线经过点，点关于直线的对称点恰好在线段上，直线与抛物线交于另一点；
①求点的坐标；
②点是直线上一点，若对于在第一象限内的抛物线上的动点始终有，请直接写出的取值范围．
15．如图，抛物线（其中）与轴交于，两点，与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，且．
（1）点的坐标为______，用含的式子表示点的坐标为______；
（2）若与的面积之比为，求该抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若动点在该抛物线上，且当时，求点的坐标．
16．将抛物线y＝ax2的图像（如图1）绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图像（如图2），记为C：y2＝x．
（概念与理解）
将抛物线y1=4x2和y2=x2按上述方法操作后可得新的抛物线图像，记为：C1：_____________；C2：____________．
（猜想与证明）
在平面直角坐标系中，点M（x，0）在x轴正半轴上，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C1于点A、B，交抛物线C2于点C、D，如图3所示．
（1）填空：当x=1时，=______；当x=2时，=_______；
（2）猜想：对任意x（x＞0）上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由．
（探究与应用）
①利用上面的结论，可得△AOB与△COD面积比为 ；
②若△AOB和△COD中有一个是直角三角形时，求△COD与△AOB面积之差；
（联想与拓展）
若抛物线C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0参考答案
1．（1）；（2）5；（3）时，S有最大值
【分析】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）作点O关于直线BC的对称点D，连接AD，交BC于点Q，此时|QO|+|QA|有最小值为AD，利用勾股定理即可求解；
（3）先求得直线BC的表达式为y=x−3，直线AC的表达式为y=−3x−3．可设P(m，m2−2m−3)得到直线PQ的表达式可设为y=−3x+ m2+m−3，由得到二次函数，再利用二次函数的性质求解即可．
解：（1）由已知：y=a(x−3)(x+1)，
将(0，−3)代入上式得：−3=a(0−3)(0+1)，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=−2x−3；
（2）作点O关于直线BC的对称点D，连接DC 、DB，
∵B(3，0)，C(0，−3)，∠BOC=90°，
∴OB=OC=3，
∵O、D关于直线BC对称，
∴四边形OBDC为正方形，
∴D(3，−3)，
连接AD，交BC于点Q，由对称性|QD|=|QO|，此时|QO|+|QA|有最小值为AD，
AD=，
∴|QO|+|QA|有最小值为5；
（3）由已知点A(−1，0)， B(3，0)，C(0，−3)，
设直线BC的表达式为y=kx−3，
把B(3，0)代入得：0=3k−3，
解得：，
∴直线BC的表达式为y=x−3，
同理：直线AC的表达式为y=−3x−3．
∵PQ∥AC，
∴直线PQ的表达式可设为y=−3x+b，
由（1）可设P(m，m2−2m−3)代入直线PQ的表达式可得b= m2+m−3，
∴直线PQ的表达式可设为y=−3x+ m2+m−3，
由，解得，
即，
由题意：，
∵P，Q都在四象限，
∴P，Q的纵坐标均为负数，
∴，
即，
根据已知条件P的位置可知．
∴时，S最大，
即时，S有最大值．
【点拨】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数，二次函数的解析式，二次函数的最值等知识，数形结合，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
2．（1）；（，3）；（2）；（3）（， ）或（，）
【分析】
（1）由∠OAB=90°，在直角三角形OAB中求得点A，代入函数式解得．
（2）直角三角形OAB中求得AB的长度，由抛物线的对称轴可知DE∥AB，OE=AE．求得DE，进而求得CD，从而求得；
（3）利用三角形OCE和三角形POA的面积相等即求得．
解：（1）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，
∴AB=2
∴
∴A（，0）．
∵二次函数y＝﹣x2+bx的图像经过点A，
∴．
解得，．
∴二次函数的解析式为．
∴
∴顶点C的坐标是（，3）．
（2）∵DE是二次函数的图像的对称轴，
∴DE∥AB，OE＝AE．
∴．
∵AB=2，OE＝OA=
∴DE＝1．
又∵C（，3），
∴CE＝3．
即得CD＝2．
∴．
（3）根据题意，可设P（，n）．
∵，CE＝3，
∴．
∴．
解得,．
∴点P的坐标为（， ）或（，）
【点拨】本题考查二次函数的顶点坐标，对称轴，面积公式，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
3．（1）-1，2，；（2）；（3）或
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，，的解析式为，求出的解析式联立方程求解即可；
（3）连接BP交y轴于点M，过点P作轴，交AC于N，则，求出BP和AC的解析式，根据S1＋S2＝S3计算即可；
解：（1）将，代入y＝ax2＋x＋c得，
，解得，
∴抛物线的解析式为，
当时，即，
解得：，，
∵点C在正半轴，
∴点C的坐标为，点B的坐标为；
故答案是：-1，2，；
（2）如图所示，
由（1）知，，，
∴，
设，，的解析式为，
则，整理得，
∴，，，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
∴，
解得：，，
当时，，
∴；
（3）连接BP交y轴于点M，过点P作轴，交AC于N，则，
∴，
，
设直线BP为，将，代入得，
，
解得：，
∴，
当时，，
∴，
设直线AC为，
将，代入得，
，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
解得：或；
故m的值为或．
【点拨】本题主要考查了二次函数综合，结合一次函数的图像与性质计算是解题的关键．
4．（1）；（2）；（3）或．
【分析】
（1）把a=代入解析式，求出A，B，C的坐标，算出周长即可；
（2）先根据题意分析a的符号，然后推导出内心的坐标，根据面积法列出关于a的方程，求出a即可；
（3）根据n的取值分三种情况讨论即可．
解：（1）当a＝时，有y＝
∴A（﹣4，0），B（8，0）
又y＝=
∴C（2，6）
∴AB=8-(-4)=12，AC=BC=
∴；
（2）∵△ACD为直角三角形，
∴内心在三角形的内部，
∴a＜0，图像开口向下，
设内心为点E（0，t），
∴t＝2，
∴E（0，2），
又AD=2-（-4）=6，CD=-36a，AC=
∵
∴
∴
整理得， ，
解得：，
经检验，是原方程的根，但a=0不符合题意，舍去
∴
∴；
（3）根据n的值分三种情况讨论，
∵m≤x≤n，且mn＜0，
∴m＜0＜n，
①若n＜2，则有：
，
解得n＝，不合题意，
②若2＜n＜4﹣m，则有：
，
解得，且，
∴m+n＝9﹣4，
③若4﹣m＜n，则有：
，
解得，且，
∴m+n＝9﹣4，且
∴m+n＝，
综上，m+n的值为或．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，用待定系数法求解析式以及三角形内心的性质，要学会灵活运用各种知识点，学会分析各个知识点之间的联系．
5．（1），顶点；（2）或；（3）
【分析】
（1）把点代入抛物线解析式，求出的值，得到解析式，从而求出抛物线顶点坐标；
（2）由点在轴上，写出点的坐标，由推出直线与轴成角，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交于点，得到为等腰直角三角形，结合，表达出点坐标，把代入抛物线求出，得到抛物线的解析式；
（3）由恒成立得直线与抛物线相切，联立得到关于、、的方程备用，结合用、表示的面积，求出．
解：（1）把点代入得：
，
解得：，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点为，
（2）时，，
当时，，当时，，
记直线与轴的交点为，则：，，
∴，
∴，
①如图1，过点、分别作轴、轴的平行线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，是直线与抛物线的交点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
如图2，同①理可知：，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（3）∵对于任意的取值，满足恒成立，
∴只有一个解，
∴，
化简得：，
如图2，过点作轴交于点，
∵直线平行于直线且经过原点，并与抛物线交于，两点，
∴，，有两个不同的解，
∴，，
∴，
∵
，
∴，
解得：．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、二次函数与一次函数图像与不等式的关系、三角形的面积，对于特殊的直线要熟练掌握其特征是解题的关键．
6．（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．
【分析】
（1）根据定义分别求解即可求得答案；
（2）根据定义分别求A(，)，B(，)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；
（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图像为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图像记为W2，可得W1与W2的图像关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．
解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，
∴函数y=x+2没有“等值点”；
∵函数，令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；
（2）∵函数，令y=x，则，
解得：(负值已舍)，
∴函数的“等值点”为A(，)；
∵函数，令y=x，则，
解得：，
∴函数的“等值点”为B(，)；
的面积为，
即，
解得：或；
（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图像记为W2．
∴W1与W2两部分组成的函数W的图像关于对称，
∴函数W的解析式为，
令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；
令y=x，则，即，
当时，函数W的图像不存在恰有2个“等值点”的情况；
当时，观察图像，恰有2个“等值点”；
当时，
∵W1的图像上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，
∴函数W2没有“等值点”，
∴，
整理得：，
解得：．
综上，m的取值范围为或．
【点拨】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
7．（1）；（2）；（3）-3≤b≤1．
【分析】
（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）先求出A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，BP=4-2t，过点M作MQ⊥x轴，可得MQ=t，从而得到△BPQ的面积的表达式，进而即可求解；
（3）设，结合函数图像的对称轴，开口方向，分两种情况：或，进而即可求解．
解：（1）把代入，
得：，解得：b=1，
∴该二次函数的表达式为：；
（2）令y=0代入，
得：，
解得：或，
令x=0代入得：y=-3，
∴A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，
设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，
∴BP=4-2t，
过点M作MQ⊥x轴，
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴MQ=BQ=t，
∴△BPQ的面积==，
∴当t=1时，△BPQ面积的最大值=；
（3）抛物线的对称轴为：直线x=-b，开口向上，
设，
∵对的任意实数x，都使得成立，
∴或，
∴-1≤b≤1或-3≤b＜-1，
∴-3≤b≤1．
【点拨】本题主要考查二次函数综合，掌握待定系数法，二次函数的性质以及根据图像对称轴位置，列出不等式组，是解题的关键．
8．（1）；（2）顶点是在直线上，理由见解析；（3）P点坐标为（9，）．
【分析】
（1）先求出A点坐标，再求出直线AB的解析式，进而求得E的坐标，然后用待定系数法解答即可；
（2）先求出点F的坐标，再求出直线EF的解析式，然后根据抛物线的解析式确定顶点坐标，然后进行判定即可；
（3）设P点坐标为（p，），求出直线BP的解析式，进而求得M的坐标；再求FQ的解析式，确定Q的坐标，可得|MQ|=+6，最后根据S△PBQ= S△MBQ+ S△PMQ列出关于p的二次函数并根据二次函数的性质求最值即可．
解：（1）∵平行四边形，B、C、D的坐标分别为
∴A（3，10），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则 ，解得，
∴直线AB的解析式为y=2x+4，
当x=0时，y=4，则E的坐标为（0,4），
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，
，解得，
∴过B、E、C三点的抛物线的解析式为；
（2）顶点是在直线上，理由如下：
∵F是的中点，
∴F（8,10），
设直线EF的解析式为y=mx+n，
则，解得，
∴直线EF的解析式为y=x+4，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为（3，），
∵=×3+4，
∴抛物线的顶点是否在直线上；
（3）∵，则设P点坐标为（p，），直线BP的解析式为y=dx+e，
则 ，解得，
∴直线EF的解析式为y=x+，
当x=0时，y=，则M点坐标为（0，），
∵AB//FQ ，
∴设FQ的解析式为y=2x+f，则10=2×8+f，解得f=-6，
∴FQ的解析式为y=2x-6 ，
∴Q的坐标为（0，-6），
∴|MQ|=+6，
∴S△PBQ= S△MBQ+ S△PMQ
=
=
=
=
∴当p=9时，的面积最大时，
∴P点坐标为（9，）．
【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数求最值等知识点，灵活求得所需的函数解析式成为解答本题的关键．
9．（1）；（2）①见解析；②
【分析】
（1）根据相依函数的定义求解；
（2）①利用顶点式求得二次函数的顶点坐标，然后利用一次函数图像上的点的坐标特点求解；②联立方程组求得，，然后求得m的值，设P点坐标为，过点P作PM⊥x轴，交AB于点M，然后利用三角形面积公式及二次函数的性质求最值
解：（1）
∴二次函数的相依函数表达式为：；
（2）①在中，
其顶点坐标为，
∴该二次函数的相依函数为：，
当时，，
∴该二次函数的顶点在其相依函数图像上。
②联立方程组得，解得，
∴，
又∵点到直线的距离为8
∴-3m+8=-2m，解得：m=8
∴
设P点坐标为
过点P作PM⊥x轴，交AB于点M
∴M点坐标为
∴PM=
∴
∴当x=时，S有最大值为1，即

【点拨】本题考查二次函数新定义题目的理解，掌握二次函数的性质、利用数形结合思想解题是关键．
10．（1）；（2）当时，有最大值为；（3）当点的坐标为或或时，以为顶点的四边形为平行四边形．
【分析】
（1）利用顶点式函数解析式求解即可；
（2）先求出点D的坐标，利用面积关系求出点E的坐标，得到直线BE的函数解析式，过点作轴交直线于点，根据求出函数解析式，再利用函数的性质得到答案；
（3）求利用函数解析式求出点Q的横坐标，分两种情况：若为平行四边形的边，若为平行四边形的对角线，根据平行四边形的性质求出点P的横坐标，由此得到答案
解：（1）∵抛物线的图像经过点，
∴设抛物线的解析式为．
把点代入，
．
．
∴抛物线的解析式为．
（2）∵直线经过点，
．
∴直线的解析式为．
联立
解得，
∴点
．
设点．
，
．
．
．
∴点．
∴直线的解析式为．
如图，过点作轴交直线于点．
∵点，
．
设点B的横坐标为xB，点E的坐标为xE，
．
∴当时，
有最大值为．
（3）∵，
∴点Q的横坐标为2，
设点A，D，P，Q的横坐标分别为xA,xD,xP,xQ，
若为平行四边形的边，
∵以为顶点的四边形为平行四边形，
．
或．
或．
∴点的坐标为或；
若为平行四边形的对角线，
∵以为顶点的四边形为平行四边形，
与互相平分．
．
．
∵点的坐标为．
综上，当点的坐标为或或时，以为顶点的四边形为平行四边形．
【点拨】此题考查了二次函数的综合知识，求二次函数的解析式，函数的最值问题，函数图像的交点问题，平行四边形的性质，熟练掌握各部分知识点，并在解题中运用分类思想解决问题是解题的关键．
11．（1）m的值为﹣6；（2）．
【分析】
（1）过点C作CE⊥x轴于E，根据平行线分线段成比例得出点C的横坐标xC，再求出BC，根据得出关于m的方程，即可求解；
（2）由题意得抛物线的对称轴，求出直线AD的解析式，进而得出AD与对称轴的交点Q的坐标，根据S△ADP=S△AQP+S△DQP可得点P的坐标，即可得抛物线的解析式．
解：（1）过点C作CE⊥x轴于E，过点A作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N，则CD∥AN，
∴，
∵点A（m，5），，
∴，CE＝2，
∵y＝kx+k（k＜0）与x轴交于点B，
令y=0，则x=-1
∴点B的坐标（﹣1，0），
∴，
∴xC＝，
∴CD＝，BC＝，
∵，
∴，
化简得（m+6）（7m﹣108）＝0，
解得：m1＝﹣6，m2＝（不合题意），
∴m的值为﹣6；
（2）由（1）可得
∵抛物线开口向下，经过C，D
∴对称轴为x＝，
设直线AD的解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线AD的解析式为，
设AD与对称轴的交点为Q，
当时，
∴，
设，
则，
解得：t＝或
∵ ，
∴不符合题意，舍去
∴顶点，
设抛物线的解析式为，
将代入得：，
∴抛物线的解析式为．
【点拨】本题综合考查二次函数和一次函数性质．在解答过程中，应注意利用平行线分线段成比例和三角形的面积公式构造方程，求出未知量．
12．（1）；（2）①；②．
【分析】
（1）将代入中，列方程组求解即可．
（2）直线把的面积分成相等的两部分．则此直线必过AB中点，求出中点坐标求解即可．
（3）因为平移，所以过点Ｄ的直线必然与 平行，顶点要在三角形内部，画图分析即可.
解：（1）将代入，得
解得：．
（2）①取的中点C，
∵
∴
又∵P是第一象限内抛物线上一点，且直线把的面积分成相等的两部分．
∴直线OP必过AB的中点C
∴直线OP的表达式为：
②由（1）可得抛物线的一般式为：，将一般式转化为顶点式如下：
∴顶点坐标为
设过抛物线的顶点，且与直线平行的直线解析式为：
将顶点代入，得，解得
∴
设，将，代入，得
， 解得
∴
联立： ，得：，
设直线与直线AB的交点坐标为点M，与x轴的交点坐标为N，则 , 抛物线顶点落在的内部，即顶点在点M，点N之间，如图：
∴,
∴
【点拨】本题考查的是二次函数的综合，二次函数的解析式求法，两点之间的距离公式，中点坐标公式等相关知识点，根据题意数形结合是解题的关键．
13．（1）；（2）；（3）或
【分析】
（1）把抛物线的解析式化为顶点式即可求解；
（2）由（1）及题意易得，，，进而可求解直线BC的解析式为，然后利用铅垂法可得，最后根据二次函数的性质可进行求解；
（3）由（2）及题意易得，则有，，，进而可得，然后根据铅垂法可得，则问题可求解．
解：（1）由题意得：
，
∴顶点A的坐标为；
（2）由题意得抛物线的对称轴为直线，设其与直线BC的交点为F，如图所示：
由抛物线可得：当y=0时，则有，
解得：，
∵抛物线交轴于点，交轴正半轴于点，
∴，，，
设直线BC的解析式为，则把点B、C代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
∴，
由铅垂法可知点B、C的水平距离作为的水平宽，即为，线段AF的长为的铅垂高，即为，
∴，
∵，开口向上，且对称轴为直线，
∴当时，面积随的增大而增大，
∴当时，面积有最大值，
∴，
解得：，
∴；
（3）过点D作DE∥y轴，交CB的延长线于点E，如图所示：
由（2）可得直线BC的解析式为，，，
设直线AB的解析式为，则把点A、B代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴，，，
∴直线BC的解析式为，
∴根据两点距离公式可得，，
∴，
设点，则有，
由铅垂法可知点B、C的水平距离作为的水平宽，即为，线段DE的长作为的铅垂高，即为，
∴，
∵，
∴，即，
当时，解得，
当时，由一元二次方程根的判别式可得方程无解，
∴综上所述：点或．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握利用铅垂法进行求解面积是解题的关键．
14．（1），；（2）①；②或
【分析】
（1）用待定系数法直接求出二次函数的解析式即可；
（2）①根据对称性求出点A的坐标，再求出AA'的解析式，即可求出E点；
②先求出△QCA'面积的最大值，再求出直线BE的解析式，得到△PCA'的面积等于△QCA'面积的最大值时P'的坐标，即得到x0的值，数形结合即求出此时x0的范围，根据对称性可得P''坐标，即可得到满足条件的x0的范围．
解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入yx2+bx+c得：
，
解得b，c＝2，
故答案为：，2；
（2）①如图：
∵A和A′关于直线l的对称点，
∴AC＝A′C，
由抛物线yx2x+2得C(0，2)，
∴AC，
设直线BC解析式为y＝mx+n,将B(4，0),C(0，2)代入得：
，解得，
∴直线BC为yx+2，
设A′（a，a+2），
∴，
解得a1＝2，a2＝﹣2（不在线段BC上，舍去），
∴A′（2，1），
由A(﹣1，0)，A'(2，1)可得直线AA′为：y，
由解得：，（舍去），
∴E（）；
②如图：
由①知；直线BC的解析式：yx+2,
设直线BC的平行线l′；
当直线l′与抛物线相切时，设切点为Q，此时△QCA′的面积达到最大值，
联立直线l′与抛物线解析式可得,
整理得：，
当二者相切时，判别式△＝4+4•0；
解得n＝4，
∴直线l′的解析式为yx+4；
设直线BE的解析式为y＝k2x+b2，
将B(4，0)，E()代入得：
，解得：；
∴直线BE：yx，
设直线BE与直线l′交于点P′，联立两直线解析式得：
,
此时P′（），此时S△P′CA′＝S△QCA′max，
为使S△P′CA′≥S△QCA′max，x0，
根据对称性，当直线l'与直线BC的距离等于直线l''与直线BC的距离时，直线l''解析式为yx,
同理可得P''(，),
为使S△P′CA′≥S△QCA′max，此时x0，
综上所述，x0或x0．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，其中用待定系数法求解析式是基础，一定要掌握，对称性的性质也要掌握，包括等腰三角形等在二次函数的综合题里都经常考．
15．（1），；（2）；（3）和
【分析】
（1）解方程可求点A、B坐标，并且可以把对称轴表示出来，此时代入解析式表示D点坐标即可；
（2）通过（1）表示出来的点坐标将与的求面积过程所需的线段都用含有的式子表示出来，根据与的面积之比联立方程求解出的值，进而写出抛物线的表达式；
（3）点的位置分在第一象限和第二象限内的抛物线上两种情况来进行讨论．当点在第一象限内抛物线上时，通过证明，根据对应线段的比例关系可求点坐标；当点在第二象限内抛物线上时，通过推导出，表示直线的表达式，再联立方程组求解出的坐标．
解：（1）由题意可知抛物线解析式为：，
令，∴，
解得：，，
又∵，
∴观察图像可得，，
∴抛物线的对称轴可表示为，
将代入，
解得，
故．
（2）如图，∵，，，，且，
∴，，
∴，
则是等腰直角三角形，
∴，
又是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
则抛物线的表达式为．
（3）如图，在（2）的条件下，
∵，
∴，，又．
①当点在第一象限内抛物线上时，作轴，垂足为，
设，则，，
∵，而，
∴，
∴，
∴，
则，
解得（不符题意，舍去），
此时，点的坐标为；
②当点在第二象限内抛物线上时，记与的交点为，
∵，且，，
∴，
则，即，垂足为，
∵，，
∴直线的表达式为，
∵，，
∴直线的表达式为，
由
解得，（舍去）
∴此时，点的坐标为；
综上，符合条件的点的坐标为和．
【点拨】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
16．【概念与理解】，；【猜想与证明】（1），；（2）成立，证明见解析；【探究与应用】①；②△COD与△AOB面积之差为或；【联想与拓展】n3=9m3．
【分析】
【概念与理解】：根据题意信息即可得出答案；
【猜想与证明】：（1）当x=1时，求出A，B，C，D的坐标进而得出AB ,CD即可得出答案；当x=2时，求出A，B，C，D的坐标进而得出AB ,CD即可得出答案；
（2）任意x（x＞0），求出A，B，C，D的坐标进而得出AB ,CD即可得出答案；
【探究与应用】：①根据已知条件表示出△AOB与△COD面积即可得出答案；
②设M（x，0）（x＞0），根据已知条件可得出，分两种情况当△AOB是直角三角形时解得，当△COD是直角三角形时，解得，把代入即可；
【联想与拓展】：根据题意求出AEDF的坐标然后表示出面积再利用△PAE与△PDF面积的比值1:3，即可得出关系式；
解：【概念与理解】
∵y1=4x2
∴由题意可得C1：
∵y2=x2
∴由题意可得C2：
故答案为：C1：，C2：；
【猜想与证明】
（1）当x=1时，
∵点A、B在抛物线C1上
∴令x=1，则
∴A，B
∴AB=1
∵点C、D在抛物线C2上
∴令x=1，则
∴C，D
∴CD=2
∴=
当x=2时，
∵点A、B在抛物线C1上
∴令x=2，则
∴A，B
∴AB=
∵点C、D在抛物线C2上
∴令x=2，则
∴C，D
∴CD=
∴=
（2）对任意x（x＞0）上述结论仍然成立
理由如下：
对任意x（x＞0），
∴A，B
∴AB=
对任意x（x＞0），
∴C，D
∴CD=
∴=
【探究与应用】
①连接OA，OB，OC，OD

∴
故答案为：
②设M（x，0）（x＞0），
∵M（x，0）
∴
∴AB=
∵M（x，0），
∴
∴CD=
∵
∴
当△AOB是直角三角形时，由题意可知OA=OB
∴△△AOB为等腰直角三角形
∴OM=AM
∴
解得：
∴
当△COD是直角三角形时，由题意可知OD=OC
∴△△COD为等腰直角三角形
∴OM=CM
∴
解得：
∴
综上所述：△COD与△AOB面积之差为或
【联想与拓展】
∵M（k，0）且点A、B在抛物线C3上
∴令x=k，则
∴A
∵AE∥x轴，且交C4于点E
∴E
∵M（k，0）且点C、D在抛物线C4上
∴令x=k，则
∴D
∵DF∥x轴，且交C3于点F
∴F
∵AE∥x轴，且交C4于点E
∴△PEA的高=
∵DF∥x轴，且交C3于点F
∴△PDF的高=
∴
∵△PAE与△PDF面积的比值1:3
∴
∴
∴
故答案为：
【点拨】本题考出了抛物线性质的综合运用以及旋转等知识，由特殊到一般的数学思想的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，轴对称的性质的运用，在解答本题时运用两个抛物线上的点的特征不变建立方程求解是关键．