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北师大版九年级数学下册 专题2.46 二次函数压轴题-特殊四边形问题（附答案）
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这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.46 二次函数压轴题-特殊四边形问题（附答案），共82页。试卷主要包含了求线段的最大值；， 阅读等内容，欢迎下载使用。
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.
(1)若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标；
(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．
在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交二次函数的图像于点，，点在该二次函数的图像上，设过点（其中）且平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，以线段、为邻边作矩形．
（1）若点的横坐标为8．
①用含的代数式表示的坐标；
②点能否落在该二次函数的图像上？若能，求出的值；若不能，请说明理由；
（2）当时，若点恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线的函数表达式．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
6．如图，抛物线与轴交于，与轴交于点．已知直线过两点．
（1）求抛物线和直线的表达式；
（2）点是抛物线上的一个动点，
①如图，若点在第一象限内，连接，交直线于点．设的面积为，的面积为，求的最大值；
②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作，垂足为．点是对称轴上的一个动点，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形?
若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7． 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．
（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；
（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；
（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？
8．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tan∠OAC=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；
（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，我们就说其中一条抛物线是另一条抛物线的“友好抛物线”，
（1）若抛物线的“友好抛物线”为，则与的数量关系为 ．与的数量关系为 ．
（2）若抛物线的“友好抛物线”为，则与的数量关系为 ．与的数量关系为 ．
（3）由以上分析，我们可以得到抛物线：的“友好抛物线”为： ．如图，若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，直线与抛物线相交于点、（点在点左侧），与抛物线相交于点、（点在点左侧）．
①若四边形为菱形，求线段的长（提示：已知直线和 ），若，则两直线垂直）；
②当四边形的面积为时，求的值．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
12．如图，已知抛物线与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1．
（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．
②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
13．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为，点C的坐标为，直线1经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直线写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点,,．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在点，使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形？若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）
如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图1，抛物线 与轴交于A,B两点，与轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PHEO，垂足为H.设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系是（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的M的坐标；若不存在，请说明理由.
17．已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式．
（2）在抛物线上两点之间的部分（不包含两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标．
如图，已知直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于、两点，点为抛物线上的动点，过点作轴，交直线于点，垂足为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点位于抛物线对称轴右侧时，点为抛物线对称轴左侧一个动点，过点作轴，垂足为点．若四边形为正方形时求点的坐标；
（3）若是以点为顶角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点的横坐标．
19．已知二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，
（1）求二次函数的表达式；
（2）是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点到直线的距离取得最大值时点的坐标；
（3）是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程）．
20．如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（，0），直线BC的解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD//BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．
（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形.是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
23．如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
24．已知函数均为一次函数，m为常数．
（1）如图1，将直线绕点逆时针旋转45°得到直线，直线交y轴于点B．若直线恰好是中某个函数的图像，请直接写出点B坐标以及m可能的值；
（2）若存在实数b，使得成立，求函数图像间的距离；
（3）当时，函数图像分别交x轴，y轴于C，E两点，图像交x轴于D点，将函数的图像最低点F向上平移个单位后刚好落在一次函数图像上，设的图像，线段，线段围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，且点的坐标为，过点作垂直于轴的直线．是该抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作于点；是直线上的一点，其纵坐标为，以，为边作矩形．
（1）求的值．
（2）当点与点重合时，求的值．
（3）当矩形是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求的值．
（4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．（1）；（2）①，②存在，
【分析】
（1）把代入中求出b，c的值即可；
（2）①由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；
②分MN=MC和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可．
【详解】
解：（1）把代入中，得
解得
∴．
（2）设直线的表达式为，把代入．
得，解这个方程组，得
∴．
∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．
∴
．
∵，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段上运动，且
∴当时，有最大值．
②∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．
∴
（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，
∵C（0，-3）
∴MC=
∴
整理得，
∵，
∴，
解得，，
∴当时，CQ=MN=，
∴OQ=-3-()=
∴Q(0，)；
当m=时，CQ=MN=-，
∴OQ=-3-(-)=
∴Q(0，)；
(ii)若，如图，
则有
整理得，
∵，
∴，
解得，，
当m=-1时，MN=CQ=2，
∴Q（0，-1），
当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）
综上所述，点Q的坐标为
【点拨】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．
2．（1）y＝－x2＋4x＋5（2）m的值为7或9（3）Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）
【分析】
（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；
（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）∵AD=5，且OA=1，
∴OD=6，且CD=8，
∴C（﹣6，8），
设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，
代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，
∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），
∵C（﹣6，8），
∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，
∴m的值为7或9；
（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线对称轴为x=2，
∴可设P（2，t），
由（2）可知E点坐标为（1，8），
①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，
则∠BEF=∠BMP=∠QPN，
在△PQN和△EFB中
∴△PQN≌△EFB（AAS），
∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，
设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，
∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，
当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，
∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；
②当BE为对角线时，
∵B（5，0），E（1，8），
∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），
设Q（x，y），且P（2，t），
∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，
∴Q（4，5）；
综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．
考点：二次函数综合题．
3．（1）y＝－x2＋3x＋4.；（2）x＝2时，△AMA′的面积最大，最大值为8， M(2，6)．（3）P1（0，4），P2（3，4），P3（，﹣4），P4（，﹣4）；点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．
【详解】
试题分析：（1）先由OA′＝OA得到点A′的坐标，再用点C、A、A′的坐标即可求此抛物线的解析式；（2）连接AA′, 过点M 作MN⊥x轴，交AA′于点N,把△AMA′分割为△AMN和△A′MN, △AMA′的面积＝△AMA′的面积＋△AMN的面积＝OA′•MN,设点M的横坐标为x，借助抛物线的解析式和AA′的解析式，建立MN的长关于x的函数关系式，再据此建立△AMA′的面积关于x的二次函数关系式，再求△AMA′面积的最大值以及此时M的坐标；（3）在P、N、B、Q 这四个点中，B、Q 这两个点是固定点，因此可以考虑将BQ作为边、将BQ作为对角线分别构造符合题意的图形，再求解.
试题解析：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，点A的坐标是（0，4），∴点A′的坐标为（4，0），点B的坐标为（1，4）.
∵抛物线过点C，A，A′，设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）,可得：
. 解得：.∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋3x＋4.
（2）连接AA′，设直线AA′的函数解析式为y＝kx＋b，可得
.解得：.
∴直线AA'的函数解析式是y＝－x＋4.
设M（x，－x2＋3x＋4），
S△AMA′＝×4×[－x2＋3x＋4一（一x＋4）]＝一2x2＋8x＝一2（x－2）2＋8.
∴x＝2时，△AMA′的面积最大S△AMA′＝8．
∴M（2，6）.
（3）设P点的坐标为（x，－x2＋3x＋4），当P、N、B、Q构成平行四边形时，
①当BQ为边时，PN∥BQ且PN＝BQ，
∵BQ＝4，∴一x2＋3x＋4＝±4.
当一x2＋3x＋4＝4时，x1＝0，x2＝3，即P1（0,4），P2（3，4）；
当一x2＋3x＋4＝一4时，x3＝，x4＝，即P3（,－4），P4（，－4）；
②当BQ为对角线时，PB∥x轴，即P1（0，4），P2（3，4）;
当这个平行四边形为矩形时，即Pl（0，4），P2（3，4）时，N1（0，0），N2（3，0）.
综上所述，当P1（0，4），P2（3，4），P3（,－4），P4（，－4）时，P、N、B、Q构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N1（0，0），N2（3，0）.
考点：二次函数综合题.
4．（1）①；②能，；（2）或．
【分析】
（1）①求出点的坐标，直线直线的解析式即可解决问题．
②求出直线的解析式，求出点的坐标，利用矩形的性质求出点的坐标，再利用待定系数法求出的值即可．
（2）分两种情形：①当点在轴的右侧时，设，求出点的坐标利用待定系数法构建方程求出即可．②当点在轴的左侧时，即为①中点的位置，利用①中结论即可解决问题．
【详解】
解：（1）①点在的图像上，横坐标为8，
，
直线的解析式为，
点的纵坐标为，
，；
②假设能在抛物线上，
，
直线的解析式为，
点在直线上，纵坐标为，
，
的中点的坐标为，，
，，把点坐标代入抛物线的解析式得到．
（2）①当点在轴右侧时，设，所以直线解析式为，
∴，
，
直线的解析式为，可得，，
，，代入抛物线的解析式得到，，
解得，
直线的解析式为．
②当点在轴左侧时，即为①中点位置，
∴直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为或．
【点拨】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
5．（1），B(3, 0)；（2）；（3）不存在，理由见解析
【详解】
.解：(1) 当y＝0时，
∴A(－1, 0)
当x＝0时， ∴ C(0,－3)
∴∴
抛物线的解析式是：
当y＝0时，
解得： x1＝－1 x2＝3 ∴ B(3, 0)
（2）由（1）知 B(3, 0) ， C(0,－3) 直线BC的解析式是：
设M（x,x-3）(0≤x≤3),则E（x,x2-2x-3）
∴ME=(x-3)-( x2-2x-3)=-x2+3x =
∴当 时，ME的最大值＝
（3）答：不存在.
由（2）知 ME 取最大值时ME＝，E，M
∴MF＝，BF=OB-OF=.
设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，
则BP∥MF，BF∥PM. ∴P1或 P2
当P1时，由（1）知
∴P1不在抛物线上.
当P2时，由（1）知
∴P2不在抛物线上.
综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形.
6．（1），；（2）①；②存在，点P的坐标为(2，)，点Q的坐标为(1，2)或(1，)
【分析】
（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入可求得抛物线的表达式，再求得点C的坐标，把B(3，0)，C的坐标代入即可求解；
（2）①设点D的坐标为(，)，利用待定系数法求得直线PA的表达式为，解方程，求得点P的横坐标为，利用平等线分线段成比例定理求得，得到，整理得（t+1）m2+（2t-3）m+t=0，根据△≥0，即可解决问题．
②根据等腰直角三角形的性质求得点的坐标为(2，)，分当EF为边和EF为对角线时两种情况讨论，即可求解．
【详解】
（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为，
令，则，
∴点C的坐标为(0，3)，
把B(3，0)，C(0，3)代入得：
，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）①∵PA交直线BC于点，
∴设点D的坐标为(，)，
设直线PA的表达式为，
∴，
解得：，
∴直线PA的表达式为，
∴，
整理得：，
解得：(不合题意，舍去)，
∴点D的横坐标为，点P的横坐标为，
分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图：
∴DM∥PN，OM=，ON=，OA=1，
∴
设
整理得，（t+1）m2+（2t-3）m+t=0，
∵△≥0，
∴（2t-3）2-4t（t+1）≥0，
解得
∴有最大值，最大值为；
②存在，理由如下：
作于G，如图，
∵的对称轴为：，
∴OE=1，
∵B(3，0)，C(0，3)
∵OC=OB=3，∠OCB=90，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∵∠EFB=90，BE=OB-OE=2，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∴EG=GB=EG=1，
∴点的坐标为(2，)，
当EF为边时，
∵EFPQ为平行四边形，
∴QE=PF，QE∥PF∥轴，
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，
当时，，
∴点P的坐标为(2，)，
∴QE=PF=3-1=2，
点Q的坐标为(1，2)；
根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形．
当EF为对角线时，如图，
∵四边形PEQF为平行四边形，
∴QE=PF，QE∥PF∥轴，
同理求得：点P的坐标为(2，)，
∴QE=PF=3-1=2，
点Q的坐标为(1，)；
综上，点P的坐标为(2，)，点Q的坐标为(1，2)或(1，)，P（0，3）时，Q（1，4）时；
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，平行线公线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的性质以及平行四边形的对边的判定和性质，（3）注意要分AB是对角线与边两种情况讨论．
7．（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）；（3）抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．
【详解】
试题分析：（1）根据特征线直接求出点D的特征线；
（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；
（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．
试题解析：解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；
（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵抛物线解析式为，∴，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴，将n=m+1带入得到m=2，n=3；
∴D（2，3），∴抛物线解析式为．
（3）①如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时：
根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离==．
②如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p，3），则OA′=OA=4，OE=3，EA′==，∴A′F=4﹣，设P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（4﹣）2+（3﹣c）2=c2，∴c=，∴P（4，），∴直线OP解析式为y=x，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．
综上所述：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．
点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．
8．（1）；（2）2＜m＜；（3）m=6或m=﹣3．
【分析】
（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（，0），设抛物线的解析式为，把A（，0）代入可得a=，由此即可解决问题；
（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为，由，消去y得到，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解不等式组即可解决问题；
（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题．
【详解】
（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（，0），设抛物线的解析式为，把A（，0）代入可得a=，
∴抛物线C的函数表达式为．
（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为，
由，
消去y得到 ，
由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，
解得2＜m＜，
∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜．
（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．
理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．
由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，∴PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，∴M（m+2，m﹣2），∵点M在上，∴，解得m=﹣3或﹣﹣3（舍弃），∴m=﹣3时，四边形PMP′N是正方形．
情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），
把M（m﹣2，2﹣m）代入中，，解得m=6或0（舍弃），
∴m=6时，四边形PMP′N是正方形．
综上所述：m=6或m=﹣3时，四边形PMP′N是正方形．
9．(1)y=﹣x2﹣x+3；(2)；(3)存在，点M的坐标是（﹣4，0），（﹣，），（﹣，）或（2，0）．
【分析】
（1）由点C的坐标以及tan∠OAC=可得出点A的坐标，结合点A、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，由点A、C的解析式利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，设N（x，0）（﹣4＜x＜0），可找出H、P的坐标，由此即可得出PH关于x的解析式，利用配方法即二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，根据角的计算依据正方形的性质即可得出△MCK≌△MEG（AAS），进而得出MG=CK．设出点M的坐标利用正方形的性质即可得出点G、K的坐标，由正方形的性质即可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程即可求出x值，将其代入抛物线解析式中即可求出点M的坐标．
【详解】
解：（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
∵tan∠OAC=，
∴OA=4，
∴A（﹣4，0）．
把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=ax2+2ax+c中，
得，解得：，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3．
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，
得：，解得：，
∴直线AC的解析式为y=x+3．
设N（x，0）（﹣4＜x＜0），则H（x，x+3），P（x，﹣x2﹣x+3），
∴PH=﹣x2﹣x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣x=﹣（x﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴PH有最大值，
当x=2时，PH取最大值，最大值为．
（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，则∠MGE=∠MKC=90°，
∴∠MEG+∠EMG=90°，
∵四边形CMEF是正方形，
∴EM=MC，∠MEC=90°，
∴∠EMG+∠CMK=90°，
∴∠MEG=∠CMK．
在△MCK和△MEG中，，
∴△MCK≌△MEG（AAS），
∴MG=CK．
由抛物线的对称轴为x=﹣1，设M（x，﹣x2﹣x+3），则G（﹣1，﹣x2﹣x+3），K（0，﹣x2﹣x+3），
∴MG=|x+1|，CK=|﹣x2﹣x+3﹣3|=|﹣x2﹣x|=|x2+x|，
∴|x+1|=|x2+x|，
∴x2+x=±（x+1），
解得：x1=﹣4，x2=﹣，x3=﹣，x4=2，
代入抛物线解析式得：y1=0，y2=，y3=，y4=0，
∴点M的坐标是（﹣4，0），（﹣，），（﹣，）或（2，0）．
【点拨】本题考查二次函数综合题．
10．（1），；（2），；（3）；①；②
【分析】
（1）直接根据题意进行解答即可；
（2）根据题中所给定义可直接进行解答；
（3）由（1）（2）易得的解析式，①由的解析式先求出点E、F坐标，进而可得直线EF的解析式，当四边形为菱形时，，直线经过原点，则可求AD解析式，设点，点，进而根据根与系数的关系及两点之间的距离公式可进行求解；
②由题意可得，，则四边形为平行四边形，设点，当四边形的面积为时，，如图，过点作轴于点，进而可得点必在第一象限，过点作轴交于点，过点作轴于点，然后由面积法及代入的解析式可进行求解．
【详解】
解：（1），；
（2），；
（3）
①
点
点
易得直线的解析式为
当四边形为菱形时，
直线经过原点
易得直线的解析式为
由题意可设点，点
当时
得，
②由题意可得，
四边形为平行四边形
设点
当四边形的面积为时，
如图，过点作轴于点
点不可能位于轴下方
即点必在第一象限
过点作轴交于点
过点作轴于点
①
又点在抛物线上
②
由①②式得
得
点在点左侧
将代入①式
解得．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的性质及两点距离公式是解题的关键．
11．（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．
【分析】
（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），
EF＝=，
S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，
故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，
所以 ，解得；
（3）令，即，解得，，得到D（4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．
【详解】
解：（1）∵=，令y=0，得到，，
∴A（－1，0），B（3，0），
∵直线l经过点A，
∴，，
∴，
令，即，
∵CD＝4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴，
∴，
∴直线l的函数表达式为；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），
EF＝=，
S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝
＝＝，
∴△ACE的面积的最大值为，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴ ，解得；
（3）令，即，解得，，
∴D（4，5a），
∵，
∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），
①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴，
∴，即 ，
∵，
∴，
∴P1（1，）；
②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（ ，），Q（2，），m＝，则P（1，8a），
∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，
∴，
∴，即 ，
∵，∴，∴P2（1，－4）．
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．
考点：二次函数综合题．
12．（1），B点坐标为（3，0）；（2）①；②．
【分析】
（1）由对称轴公式可求得b，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令y=0可求得B点坐标；
（2）①用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性质可得ON=PM，可得到关于t的方程，可求得t的值；②由题意可知OB=OA，故当△BOQ为等腰三角形时，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】
（1）∵抛物线对称轴是直线x=1，
∴﹣=1，解得b=2，
∵抛物线过A（0，3），
∴c=3，
∴抛物线解析式为，令y=0可得，解得x=﹣1或x=3，
∴B点坐标为（3，0）；
（2）①由题意可知ON=3t，OM=2t，
∵P在抛物线上，
∴P（2t，），
∵四边形OMPN为矩形，
∴ON=PM，
∴3t=，解得t=1或t=﹣（舍去），
∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；
②∵A（0，3），B（3，0），
∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3，
∴当t＞0时，OQ≠OB，
∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t，
∴Q（2t，﹣2t+3），
∴OQ=，BQ=|2t﹣3|，又由题意可知0＜t＜1，当OB=QB时，则有|2t﹣3|=3，解得t=（舍去）或t=；
当OQ=BQ时，则有=|2t﹣3|，解得t=；
综上可知当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形．
13．（1）；（2），；（3）存在，或1．
【分析】
（1）将点，点代入中，即可求解析式；
（2）求出BC的直线解析式为，设，则，所以，即可求面积的最大值；
（3）设，①当时，，可求P点横坐标；②当时，，可求P点横坐标．
【详解】
解：（1）将点，点代入中，
则有，
，
；
（2），
对称轴为，
轴，
，
，
点，点，
的直线解析式为，
设，
交线段BC于点F，
，
，
当时，四边形ECFD的面积最大，最大值为；
此时；
（3）设，
①当时，
，
，
，
，
点横坐标为1；
②当时，
，
，
或（舍），
点横坐标为．
综上所述：P点横坐标为或1．
【点评】
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图像及性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
14．（1），函数的对称轴为：；（2）点；（3）存在，点的坐标为或．
【分析】
根据点的坐标可设二次函数表达式为：，由C点坐标即可求解；
连接交对称轴于点，此时的值为最小，即可求解；
，则，将该坐标代入二次函数表达式即可求解．
【详解】
解：根据点,的坐标设二次函数表达式为：，
∵抛物线经过点，
则，解得：，
抛物线的表达式为： ，
函数的对称轴为：；
连接交对称轴于点，此时的值为最小，
设BC的解析式为：，
将点的坐标代入一次函数表达式：得：
解得：
直线的表达式为：，
当时，，
故点；
存在，理由：
四边形是以为对角线且面积为的平行四边形，
则 ，
点在第四象限，故：则，
将该坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：或，
故点的坐标为或．
【点拨】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中，求线段和的最小值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法．
15．（1）抛物线的解析式为：．
（2）P（2，）．
（3）存在点N的坐标为（4，），（，）或（，）
【分析】
本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；
（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，
∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，
连接BC，如图1所示，
∵B（5，0），C（0，﹣）
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣
∴P（2，﹣）；
（3）存在．如图2所示，
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣）
∴N1（4，﹣）；
②当点N在x轴上方时，如图2，
过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，
∴△AN2D≌△M2CO（ASA）
∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．
∴x2﹣2x﹣=，
解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）
．综上所述，符合条件的点N的坐标为N1（4，﹣），N2（2+，）或N3（2﹣，）．
考点：二次函数综合题．
16．（1）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；（2）l=﹣（m+）2+ ，最大值为；（3）（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．
【分析】
（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．
【详解】
解：（1）∵矩形OBDC的边CD=1，
∴OB=1，
∵AB=4，
∴OA=3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得
，
解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；
（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，
∴E（﹣2，2），
∴直线OE解析式为y=﹣x，
由题意可得P（m，﹣m2﹣m+2），
∵PG∥y轴，
∴G（m，﹣m），
∵P在直线OE的上方，
∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，
∵直线OE解析式为y=﹣x，
∴∠PGH=∠COE=45°，
∴l=PG=[﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，
∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，
则∠ALF=∠ACO=∠FNM，
在△MFN和△AOC中
∴△MFN≌△AOC（AAS），
∴MF=AO=3，
∴点M到对称轴的距离为3，
又y=﹣x2﹣x+2，
∴抛物线对称轴为x=﹣1，
设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，
当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=，
∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；
②当AC为对角线时，设AC的中点为K，
∵A（﹣3，0），C（0，2），
∴K（﹣，1），
∵点N在对称轴上，
∴点N的横坐标为﹣1，
设M点横坐标为x，
∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，
∴M（﹣2，2）；
综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．
考点：二次函数综合题．
17．（1）抛物线的表达式为：，直线的表达式为：；（2）存在，理由见解析；点或或或．
【分析】
（1）二次函数表达式为：y=a（x-1）2+9，即可求解；
（2）S△DAC=2S△DCM，则，，即可求解；
（3）分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）二次函数表达式为：，
将点的坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①，
则点，
将点的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：；
（2）存在，理由：
二次函数对称轴为：，则点，
过点作轴的平行线交于点，
设点，点，
∵，
则，
解得：或5（舍去5），
故点；
（3）设点、点，，
①当是平行四边形的一条边时，
点向左平移4个单位向下平移16个单位得到，
同理，点向左平移4个单位向下平移16个单位为，即为点，
即：，，而，
解得：或﹣4，
故点或；
②当是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：，，而，
解得：，
故点或；
综上，点或或或．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
18．（1）抛物线的解析式为；（2）四边形为正方形时点的坐标为和；（3）点的横坐标为2或－1或或.
【分析】
（1）先由二次函数解析式求出C点坐标，进而求出一次函数解析式，再求出B点坐标，最后把A、B坐标代入抛物线解析式解方程即可；
（2）四边形为正方形时，，轴，且P、Q两点关于对称轴对称，设出P点坐标，表示出，解方程即可；
（3）由是以点为顶角顶点的等腰直角三角形，可得∠QPF=∠PEB,即轴，可得P、Q两点关于对称轴对称，设，用分别表示Q、F坐标即可，最后根据PQ=PF列方程计算即可解题.
【详解】
（1）抛物线经过点，则点坐标为(0，3)，
代入可得，则直线的解析式为.
直线经过点，则点坐标为(3，0)
将点、代入抛物线
解得，
∴抛物线的解析式为.
（2）抛物线的对称轴为.
∵四边形为正方形，∴，轴.
∴点与点关于直线对称.
设点，则，.
∴，解得：或（舍去）或或（舍去）
当时，点，
当时，点，
∴四边形为正方形时点的坐标为和
（3）点的横坐标为2或－1或或.
∵是以点为顶角顶点的等腰直角三角形
∴∠QPF=∠PEB=90°
∴轴
∴点与点关于直线对称.
设点，则，
∴.
∵，
∴，
解得：或或或
综上所述，点的横坐标为2或－1或或.
【点拨】本题是二次函数综合题，熟记一次函数、正方形、等腰三角形的性质是解题的关键，难度一般，但是计算量比较大，需要注意.
19．（1）；（2）（，）；（3）（-2，-3）或（0，-3）或（2，5）.
【分析】
（1）把A,C点带入方程，列方程组即可求解；
（2）根据题意得出当点到直线的距离取得最大值时，求出AC表达式，将直线AC向下平移m（m＞0）个单位，得到直线l，当直线l与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点D，此时点D到直线AC的距离最大，联立直线l和二次函数表达式，得到方程，当方程有两个相同的实数根时，求出m的值，从而得到点D的坐标；
（3）分当OB是平行四边形的边和OB是平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质求出点N的坐标即可.
【详解】
解：（1）将B（1，0），带入函数关系式得，
，
解得：，
∴二次函数表达式为：；
（2）当点到直线的距离取得最大值时，
∵A（-3，0），，
设直线AC的表达式为：y=kx+n，，将A和C代入，
，解得：，
∴直线AC的表达式为y=-x-3，将直线AC向下平移m（m＞0）个单位，得到直线l，
当直线l与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点D，此时点D到直线AC的距离最大，
此时直线l的表达式为y=-x-3-m，
联立：，得：，
令△=，解得：m=，
则解方程：，得x=，
∴点D的坐标为（，）；
（3）∵M在抛物线对称轴上，设M坐标为（-1，t），
当OB为平行四边形的边时，
如图1，可知MN和OB平行且相等，
∴点N（-2，t）或（0，t），代入抛物线表达式得：
解得：t=-3，
∴N（-2，-3）或（0，-3）；
当OB为平行四边形对角线时，
线段OB的中点为（，0），对角线MN的中点也为（，0），
∵M坐标为（-1，t），
可得点N（2，-t），代入抛物线表达式得：
4+4-3=-t，
解得：t=-5，
∴点N的坐标为（2，5），
综上：以为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为（-2，-3）或（0，-3）或（2，5）.
【点拨】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数表达式，二次函数与一元二次方程的关系，平行四边形的性质，最值问题，解题的关键是要结合函数图像，得到结论.
20．（1）；（2）四边形BECD面积的最大值为，E（，）；（3）存在．N的坐标为（，）或（，）或（，）．
【分析】
（1）由直线解析式求得B、C两点坐标，结合A点坐标利用待定系数法进行求解即可；
（2）易求AD的解析式为，进而D（，）．求得CD的解析式为，进而求出CD与x轴的交点坐标，易求△BCD的面积为，设E（x，），表示出SBECD的面积，进而利用二次函数的性质即可求得答案；
（3）存在．先求出抛物线的顶点坐标，根据平移规律求平移后抛物线解析式，设M（，m），N（xn，yn），易根据平行四边形对角线互相平分及中点公式．分类讨论即可得答案．
【详解】
（1），当x=0时，y=2，
当y=0时，，解得：x=，
所以B（，0），C（0，2），
将A（，0），B（，0）代入y=ax2+bx+2，
得 ，
解得：，
所以抛物线的解析式为；
（2）∵AD//BC，
∴设直线AD解析式为：．
将A（，0）代入得：，
解得：m=-，
所以AD的解析式为，
联立 ，
解得：，，
∵A（，0），
∴D（，）．
设CD解析式为y=kx+2，
将点D坐标代入得：，
解得：k=，
所以CD的解析式为：，
当y=0时，即，
解得：x=，
则CD与x轴的交点为（，0）．
所以S△BCD==，
设E（x，），
则SBECD=
=，
当x=时，四边形BECD面积最大，其最大值为，此时E（，）．
（3）存在．N的坐标为（，），或（，），或（，）．
过程如下：，
所以抛物线的顶点是（，），
将抛物线向左平移个单位，
则平移后抛物线解析式为．
设M（，m），N（xn，yn），
①当AM为对角线时，则，
解得：xn=，代入解析式得yn=．
所以N（，），如图
对角线交点坐标为（0，），M坐标为（，）
②当AE为对角线时，则，
解得：xn=，代入解析式得yn=．
所以N（，），如图
对角线交点坐标为（，），M坐标为（，0）
③当AN为对角线时，则，
解得：xn=，代入解析式得yn=．
所以N（，）．如图
对角线交点坐标为（，），M坐标为（，-8）．
【点拨】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，一次函数图像与坐标轴的交点，二次函数图像的平移，二次函数的最值，平行四边形的性质等，综合性较强，有一定的难度，准确识图，把握并灵活运用相关知识是解题的关键，注意数形结合思想与分类讨论思想的运用．
21．（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1 （2）（，）； （3）Q，R或Q（，﹣10），R（）
【分析】
（1）由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+1，求出F点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，则可得出答案；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P'（n，﹣n+1），得出PP'＝﹣n2+n，由二次函数的性质可得出答案；
（3）联立直线AC和抛物线解析式求出C（，﹣），设Q（，m），分两种情况：①当AQ为对角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵A（0，1），B（，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∵点F的横坐标为，
∴F点纵坐标为﹣+1＝﹣，
∴F点的坐标为（，﹣），
又∵点A在抛物线上，
∴c＝1，
对称轴为：x＝﹣，
∴b＝﹣2a，
∴解析式化为：y＝ax2﹣2ax+1，
∵四边形DBFE为平行四边形．
∴BD＝EF，
∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，
则P'（n，﹣n+1），
∴PP'＝﹣n2+n，
S△ABP＝OB•PP'＝﹣n＝﹣，
∴当n＝时，△ABP的面积最大为，此时P（，）．
（3）∵，
∴x＝0或x＝，
∴C（，﹣），
设Q（，m），
①当AQ为对角线时，
∴R（﹣），
∵R在抛物线y＝+4上，
∴m+＝﹣+4，
解得m＝﹣，
∴Q，R；
②当AR为对角线时，
∴R（），
∵R在抛物线y＝+4上，
∴m﹣+4，
解得m＝﹣10，
∴Q（，﹣10），R（）．
综上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．
【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．
22．（1）；（2）存在这样的点，此时P点的坐标为（，）；（3）P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为．
【分析】
（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；.
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；.
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
【详解】
（1）将B、C两点的坐标代入，得
， 解得.
∴二次函数的解析式为.
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；.
设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E.
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；.
连接PP′，则PE⊥CO于E，
.
∵C（0，-3），.
∴CO=3，.
又∵OE=EC，.
∴OE=EC=.
∴y=−；.
∴x2-2x-3=−，
解得（不合题意，舍去）.
∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）.
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），
设直线BC的解析式为：y=kx+d，.
则，.
解得： .
∴直线BC的解析式为y=x-3，.
则Q点的坐标为（x，x-3）；.
当0=x2-2x-3，.
解得：x1=-1，x2=3，.
∴AO=1，AB=4，.
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ.
=AB•OC+QP•BF+QP•OF.
=×4×3+ (−x2+3x)×3.
=− (x−)2+.
当x＝时，四边形ABPC的面积最大.
此时P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为．
23．（1）；（2）点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3；（3）P的坐标是（﹣3，）、（5，）、（﹣1，）．
【详解】
解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），
∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，
∴，解得，
∴y=﹣x2+x+3．
（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，
，
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，∴设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣x+3），∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3，
∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，
，
由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM=
，∴AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），
则，
解得或，
∵x＜0，∴点P的坐标是（﹣3，﹣）．
②如图3，
，
由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM=，
∴AM所在的直线的斜率是：；
∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），则，
解得或，
∵x＞0，∴点P的坐标是（5，﹣）．
③如图4，
，
由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，
∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM=，
∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），
则
解得，
∴点P的坐标是（﹣1，）．
综上，可得在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．
【点拨】本题考查二次函数综合题．
24．（1）（0,1）；1或0 （2） （3）
【分析】
（1）由题意，可得点B坐标，进而求得直线的解析式，再分情况讨论即可解的m值；
（2）由非负性解得m和b的值，进而得到两个函数解析式，设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH，证得四边形GPTH是正方形，求出GP即为距离；
（3）先根据解析式，用m表示出点C、E、D的坐标以及y关于x的表达式为，得知y是关于x的二次函数且开口向上、最低点为其顶点,根据坐标平移规则，得到关于m的方程，解出m值，即可得知点D 、E的坐标且抛物线过D、E点，观察图像，即可得出S的大体范围，如：，较小的可为平行于DE且与抛物线相切时围成的图形面积．
【详解】
解：（1）由题意可得点B坐标为（0,1），
设直线的表达式为y=kx+1，将点A（-1,0）代入得：k=1，
所以直线的表达式为：y=x+1,
若直线恰好是的图像，则2m-1=1,解得：m=1，
若直线恰好是的图像，则2m+1=1,解得：m=0，
综上，，或者
（2）如图，
，
，
，
设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH
，
四边形GPTH是正方形
，，即
；
（3），
分别交x轴，y轴于C，E两点
，
图像交x轴于D点
二次函数开口向上，它的图像最低点在顶点
顶点
抛物线顶点F向上平移,刚好在一次函数图像上
且
，
∴，
由，得到，，
由得到与x轴，y轴交点是，，，
抛物线经过，两点
的图像，线段OD，线段OE围成的图形是封闭图形，则S即为该封闭图形的面积
探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积．
探究过程：
①观察大于S的情况．
很容易发现
，
，
（若有S小于其他值情况，只要合理，参照赋分．）
②观察小于S的情况．
选取小于S的几个特殊值来估计更精确的S的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种方法，选取以下三种特殊位置：
位置一：如图
当直线MN与DE平行且与抛物线有唯一交点时，设直线MN与x，y轴分别交于M，N
，
直线
设直线
，
直线
点
，
位置二：如图
当直线DR与抛物线有唯一交点时，直线DR与y轴交于点R
设直线，
直线
，
直线
点
，
位置三：如图
当直线EQ与抛物线有唯一交点时，直线EQ与x轴交于点Q
设直线
，
直线
点
，
我们发现：在曲线DE两端位置时的三角形的面积远离S的值，由此估计在曲线DE靠近中间部分时取值越接近S的值
探究的结论：按上述方法可得一个取值范围
（备注：不同的探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案．只要来龙去脉清晰、合理，即可参照赋分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在0.01之间不得分．）
【点拨】本题是一道综合性很强的代数与几何相结合的压轴题，知识面广，涉及有旋转的性质、坐标平移规则、非负数的性质、一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质、一元二次方程、不规则图形面积的估计等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，利用相关信息进行推理、探究、发现和计算．
25．（1）；（2）；（3）；（4）或．
【分析】
（1）将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值；
（2）分别表示出P、Q、M的坐标，根据Q、M的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相同，列出方程求解即可；
（3）分别表示出PQ和MQ的长度，根据矩形是正方形时，即可求得m的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m的值；
（4）分，，，四种情况讨论，结合图形分析即可．
【详解】
解：（1）将点代入
得，
解得b=1,；
（2）由（1）可得函数的解析式为，
∴,
∵于点，
∴,
∵是直线上的一点，其纵坐标为，
∴，
若点与点重合，则
，
解得；
（3）由（2）可得，，
当矩形是正方形时，
即，
即或，
解得，
解得，
又，
∴抛物线的顶点为(1，2)，
∵抛物线的顶点在该正方形内部，
∴P点在抛物线对称轴左侧，即，且M点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即，
解得，故m的值为；
（4）①如下图
当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，且P点应该在x轴上侧，
即且，
解得，
解得，
∴，
②如下图
当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，
即，解得，
∴；
③当时，P点和M点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意；
④如下图
当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
则M点的纵坐标应该大于P点纵坐标，
即，解得或，
故，
综上所述或．
【点拨】本题考查二次函数综合，正方形的性质定理，求二次函数解析式．能分别表示出M、P、Q的坐标并结合图形分析是解决此题的关键，注意分类讨论．
26．（1）y=2x2﹣8x+6；（2）点E(2，2)或(3，4)；（3）存在，当点P坐标为(5，16)或(﹣1，16)或(3，0)时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形
【分析】
（1）设抛物线解析式为：y＝a(x﹣1)(x﹣3)，把点C坐标代入解析式，可求解；
（2）先求出点M，点N坐标，利用待定系数法可求AD解析式，联立方程组可求点D坐标，可求S△ABD＝×2×6＝6，设点E(m，2m﹣2)，分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像经过A(1，0)，B(3，0)，
∴设抛物线解析式为：y＝a(x﹣1)(x﹣3)，
∵抛物线y＝a(x﹣1)(x﹣3)(a≠0)的图像经过点C(0，6)，
∴6＝a(0﹣1)(0﹣3)，
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝2(x﹣1)(x﹣3)＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2(x﹣2)2﹣2，
∴顶点M的坐标为(2，﹣2)，
∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，
∴点N(2，2)，
设直线AN解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，
联立方程组得：，
解得：，，
∴点D（4，6），
∴S△ABD＝×2×6＝6，
设点E(m，2m﹣2)，
∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，
∴S△ABE＝S△ABD＝2或S△ABE＝S△ABD＝4，
∴×2×(2m﹣2)＝2或×2×(2m﹣2)＝4，
∴m＝2或3，
∴点E(2，2)或(3，4)；
（3）若AD为平行四边形的边，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD＝PQ，
∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，
∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，
∴点P坐标为(5，16)或(﹣1，16)；
若AD为平行四边形的对角线，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD与PQ互相平分，
∴，
∴xP＝3，
∴点P坐标为(3，0)，
综上所述：当点P坐标为(5，16)或(﹣1，16)或(3，0)时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
27．（1）；（2）面积最大值为；（3）存在，
【分析】
（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）设，求得解析式，过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F，设点，则，，即可求解；
（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线过，
∴
∴
∴
（2）设，将点代入
∴
过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F
设点，则
由铅垂定理可得
∴面积最大值为
（3）（3）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5，
联立上述两式并解得：，故点C（−1，−4）；
设点D（−2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即−2＋1＝s且m＋3＝t①或−2−1＝s且m−3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，
联立①③并解得：s＝−1，t＝2或−4（舍去−4），故点E（−1，2）；
联立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故点E（-3，-4＋）或（-3，-4−）；
②当BC为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m＋t⑤，
此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3，
故点E（1，−3），
综上，点E的坐标为：（−1，2）或或或（1，−3）．
∴存在，
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.
(1)若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标；
(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．
在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交二次函数的图像于点，，点在该二次函数的图像上，设过点（其中）且平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，以线段、为邻边作矩形．
（1）若点的横坐标为8．
①用含的代数式表示的坐标；
②点能否落在该二次函数的图像上？若能，求出的值；若不能，请说明理由；
（2）当时，若点恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线的函数表达式．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
6．如图，抛物线与轴交于，与轴交于点．已知直线过两点．
（1）求抛物线和直线的表达式；
（2）点是抛物线上的一个动点，
①如图，若点在第一象限内，连接，交直线于点．设的面积为，的面积为，求的最大值；
②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作，垂足为．点是对称轴上的一个动点，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形?
若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7． 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．
（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；
（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；
（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？
8．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tan∠OAC=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；
（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，我们就说其中一条抛物线是另一条抛物线的“友好抛物线”，
（1）若抛物线的“友好抛物线”为，则与的数量关系为 ．与的数量关系为 ．
（2）若抛物线的“友好抛物线”为，则与的数量关系为 ．与的数量关系为 ．
（3）由以上分析，我们可以得到抛物线：的“友好抛物线”为： ．如图，若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，直线与抛物线相交于点、（点在点左侧），与抛物线相交于点、（点在点左侧）．
①若四边形为菱形，求线段的长（提示：已知直线和 ），若，则两直线垂直）；
②当四边形的面积为时，求的值．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
12．如图，已知抛物线与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1．
（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．
②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
13．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为，点C的坐标为，直线1经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直线写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点,,．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在点，使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形？若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）
如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图1，抛物线 与轴交于A,B两点，与轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PHEO，垂足为H.设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系是（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的M的坐标；若不存在，请说明理由.
17．已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式．
（2）在抛物线上两点之间的部分（不包含两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标．
如图，已知直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于、两点，点为抛物线上的动点，过点作轴，交直线于点，垂足为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点位于抛物线对称轴右侧时，点为抛物线对称轴左侧一个动点，过点作轴，垂足为点．若四边形为正方形时求点的坐标；
（3）若是以点为顶角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点的横坐标．
19．已知二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，
（1）求二次函数的表达式；
（2）是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点到直线的距离取得最大值时点的坐标；
（3）是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程）．
20．如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（，0），直线BC的解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD//BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．
（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形.是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
23．如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
24．已知函数均为一次函数，m为常数．
（1）如图1，将直线绕点逆时针旋转45°得到直线，直线交y轴于点B．若直线恰好是中某个函数的图像，请直接写出点B坐标以及m可能的值；
（2）若存在实数b，使得成立，求函数图像间的距离；
（3）当时，函数图像分别交x轴，y轴于C，E两点，图像交x轴于D点，将函数的图像最低点F向上平移个单位后刚好落在一次函数图像上，设的图像，线段，线段围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，且点的坐标为，过点作垂直于轴的直线．是该抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作于点；是直线上的一点，其纵坐标为，以，为边作矩形．
（1）求的值．
（2）当点与点重合时，求的值．
（3）当矩形是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求的值．
（4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．（1）；（2）①，②存在，
【分析】
（1）把代入中求出b，c的值即可；
（2）①由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；
②分MN=MC和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可．
【详解】
解：（1）把代入中，得
解得
∴．
（2）设直线的表达式为，把代入．
得，解这个方程组，得
∴．
∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．
∴
．
∵，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段上运动，且
∴当时，有最大值．
②∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．
∴
（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，
∵C（0，-3）
∴MC=
∴
整理得，
∵，
∴，
解得，，
∴当时，CQ=MN=，
∴OQ=-3-()=
∴Q(0，)；
当m=时，CQ=MN=-，
∴OQ=-3-(-)=
∴Q(0，)；
(ii)若，如图，
则有
整理得，
∵，
∴，
解得，，
当m=-1时，MN=CQ=2，
∴Q（0，-1），
当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）
综上所述，点Q的坐标为
【点拨】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．
2．（1）y＝－x2＋4x＋5（2）m的值为7或9（3）Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）
【分析】
（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；
（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）∵AD=5，且OA=1，
∴OD=6，且CD=8，
∴C（﹣6，8），
设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，
代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，
∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），
∵C（﹣6，8），
∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，
∴m的值为7或9；
（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线对称轴为x=2，
∴可设P（2，t），
由（2）可知E点坐标为（1，8），
①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，
则∠BEF=∠BMP=∠QPN，
在△PQN和△EFB中
∴△PQN≌△EFB（AAS），
∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，
设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，
∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，
当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，
∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；
②当BE为对角线时，
∵B（5，0），E（1，8），
∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），
设Q（x，y），且P（2，t），
∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，
∴Q（4，5）；
综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．
考点：二次函数综合题．
3．（1）y＝－x2＋3x＋4.；（2）x＝2时，△AMA′的面积最大，最大值为8， M(2，6)．（3）P1（0，4），P2（3，4），P3（，﹣4），P4（，﹣4）；点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．
【详解】
试题分析：（1）先由OA′＝OA得到点A′的坐标，再用点C、A、A′的坐标即可求此抛物线的解析式；（2）连接AA′, 过点M 作MN⊥x轴，交AA′于点N,把△AMA′分割为△AMN和△A′MN, △AMA′的面积＝△AMA′的面积＋△AMN的面积＝OA′•MN,设点M的横坐标为x，借助抛物线的解析式和AA′的解析式，建立MN的长关于x的函数关系式，再据此建立△AMA′的面积关于x的二次函数关系式，再求△AMA′面积的最大值以及此时M的坐标；（3）在P、N、B、Q 这四个点中，B、Q 这两个点是固定点，因此可以考虑将BQ作为边、将BQ作为对角线分别构造符合题意的图形，再求解.
试题解析：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，点A的坐标是（0，4），∴点A′的坐标为（4，0），点B的坐标为（1，4）.
∵抛物线过点C，A，A′，设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）,可得：
. 解得：.∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋3x＋4.
（2）连接AA′，设直线AA′的函数解析式为y＝kx＋b，可得
.解得：.
∴直线AA'的函数解析式是y＝－x＋4.
设M（x，－x2＋3x＋4），
S△AMA′＝×4×[－x2＋3x＋4一（一x＋4）]＝一2x2＋8x＝一2（x－2）2＋8.
∴x＝2时，△AMA′的面积最大S△AMA′＝8．
∴M（2，6）.
（3）设P点的坐标为（x，－x2＋3x＋4），当P、N、B、Q构成平行四边形时，
①当BQ为边时，PN∥BQ且PN＝BQ，
∵BQ＝4，∴一x2＋3x＋4＝±4.
当一x2＋3x＋4＝4时，x1＝0，x2＝3，即P1（0,4），P2（3，4）；
当一x2＋3x＋4＝一4时，x3＝，x4＝，即P3（,－4），P4（，－4）；
②当BQ为对角线时，PB∥x轴，即P1（0，4），P2（3，4）;
当这个平行四边形为矩形时，即Pl（0，4），P2（3，4）时，N1（0，0），N2（3，0）.
综上所述，当P1（0，4），P2（3，4），P3（,－4），P4（，－4）时，P、N、B、Q构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N1（0，0），N2（3，0）.
考点：二次函数综合题.
4．（1）①；②能，；（2）或．
【分析】
（1）①求出点的坐标，直线直线的解析式即可解决问题．
②求出直线的解析式，求出点的坐标，利用矩形的性质求出点的坐标，再利用待定系数法求出的值即可．
（2）分两种情形：①当点在轴的右侧时，设，求出点的坐标利用待定系数法构建方程求出即可．②当点在轴的左侧时，即为①中点的位置，利用①中结论即可解决问题．
【详解】
解：（1）①点在的图像上，横坐标为8，
，
直线的解析式为，
点的纵坐标为，
，；
②假设能在抛物线上，
，
直线的解析式为，
点在直线上，纵坐标为，
，
的中点的坐标为，，
，，把点坐标代入抛物线的解析式得到．
（2）①当点在轴右侧时，设，所以直线解析式为，
∴，
，
直线的解析式为，可得，，
，，代入抛物线的解析式得到，，
解得，
直线的解析式为．
②当点在轴左侧时，即为①中点位置，
∴直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为或．
【点拨】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
5．（1），B(3, 0)；（2）；（3）不存在，理由见解析
【详解】
.解：(1) 当y＝0时，
∴A(－1, 0)
当x＝0时， ∴ C(0,－3)
∴∴
抛物线的解析式是：
当y＝0时，
解得： x1＝－1 x2＝3 ∴ B(3, 0)
（2）由（1）知 B(3, 0) ， C(0,－3) 直线BC的解析式是：
设M（x,x-3）(0≤x≤3),则E（x,x2-2x-3）
∴ME=(x-3)-( x2-2x-3)=-x2+3x =
∴当 时，ME的最大值＝
（3）答：不存在.
由（2）知 ME 取最大值时ME＝，E，M
∴MF＝，BF=OB-OF=.
设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，
则BP∥MF，BF∥PM. ∴P1或 P2
当P1时，由（1）知
∴P1不在抛物线上.
当P2时，由（1）知
∴P2不在抛物线上.
综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形.
6．（1），；（2）①；②存在，点P的坐标为(2，)，点Q的坐标为(1，2)或(1，)
【分析】
（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入可求得抛物线的表达式，再求得点C的坐标，把B(3，0)，C的坐标代入即可求解；
（2）①设点D的坐标为(，)，利用待定系数法求得直线PA的表达式为，解方程，求得点P的横坐标为，利用平等线分线段成比例定理求得，得到，整理得（t+1）m2+（2t-3）m+t=0，根据△≥0，即可解决问题．
②根据等腰直角三角形的性质求得点的坐标为(2，)，分当EF为边和EF为对角线时两种情况讨论，即可求解．
【详解】
（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为，
令，则，
∴点C的坐标为(0，3)，
把B(3，0)，C(0，3)代入得：
，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）①∵PA交直线BC于点，
∴设点D的坐标为(，)，
设直线PA的表达式为，
∴，
解得：，
∴直线PA的表达式为，
∴，
整理得：，
解得：(不合题意，舍去)，
∴点D的横坐标为，点P的横坐标为，
分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图：
∴DM∥PN，OM=，ON=，OA=1，
∴
设
整理得，（t+1）m2+（2t-3）m+t=0，
∵△≥0，
∴（2t-3）2-4t（t+1）≥0，
解得
∴有最大值，最大值为；
②存在，理由如下：
作于G，如图，
∵的对称轴为：，
∴OE=1，
∵B(3，0)，C(0，3)
∵OC=OB=3，∠OCB=90，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∵∠EFB=90，BE=OB-OE=2，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∴EG=GB=EG=1，
∴点的坐标为(2，)，
当EF为边时，
∵EFPQ为平行四边形，
∴QE=PF，QE∥PF∥轴，
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，
当时，，
∴点P的坐标为(2，)，
∴QE=PF=3-1=2，
点Q的坐标为(1，2)；
根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形．
当EF为对角线时，如图，
∵四边形PEQF为平行四边形，
∴QE=PF，QE∥PF∥轴，
同理求得：点P的坐标为(2，)，
∴QE=PF=3-1=2，
点Q的坐标为(1，)；
综上，点P的坐标为(2，)，点Q的坐标为(1，2)或(1，)，P（0，3）时，Q（1，4）时；
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，平行线公线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的性质以及平行四边形的对边的判定和性质，（3）注意要分AB是对角线与边两种情况讨论．
7．（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）；（3）抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．
【详解】
试题分析：（1）根据特征线直接求出点D的特征线；
（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；
（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．
试题解析：解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；
（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵抛物线解析式为，∴，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴，将n=m+1带入得到m=2，n=3；
∴D（2，3），∴抛物线解析式为．
（3）①如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时：
根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离==．
②如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p，3），则OA′=OA=4，OE=3，EA′==，∴A′F=4﹣，设P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（4﹣）2+（3﹣c）2=c2，∴c=，∴P（4，），∴直线OP解析式为y=x，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．
综上所述：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．
点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．
8．（1）；（2）2＜m＜；（3）m=6或m=﹣3．
【分析】
（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（，0），设抛物线的解析式为，把A（，0）代入可得a=，由此即可解决问题；
（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为，由，消去y得到，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解不等式组即可解决问题；
（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题．
【详解】
（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（，0），设抛物线的解析式为，把A（，0）代入可得a=，
∴抛物线C的函数表达式为．
（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为，
由，
消去y得到 ，
由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，
解得2＜m＜，
∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜．
（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．
理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．
由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，∴PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，∴M（m+2，m﹣2），∵点M在上，∴，解得m=﹣3或﹣﹣3（舍弃），∴m=﹣3时，四边形PMP′N是正方形．
情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），
把M（m﹣2，2﹣m）代入中，，解得m=6或0（舍弃），
∴m=6时，四边形PMP′N是正方形．
综上所述：m=6或m=﹣3时，四边形PMP′N是正方形．
9．(1)y=﹣x2﹣x+3；(2)；(3)存在，点M的坐标是（﹣4，0），（﹣，），（﹣，）或（2，0）．
【分析】
（1）由点C的坐标以及tan∠OAC=可得出点A的坐标，结合点A、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，由点A、C的解析式利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，设N（x，0）（﹣4＜x＜0），可找出H、P的坐标，由此即可得出PH关于x的解析式，利用配方法即二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，根据角的计算依据正方形的性质即可得出△MCK≌△MEG（AAS），进而得出MG=CK．设出点M的坐标利用正方形的性质即可得出点G、K的坐标，由正方形的性质即可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程即可求出x值，将其代入抛物线解析式中即可求出点M的坐标．
【详解】
解：（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
∵tan∠OAC=，
∴OA=4，
∴A（﹣4，0）．
把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=ax2+2ax+c中，
得，解得：，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3．
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，
得：，解得：，
∴直线AC的解析式为y=x+3．
设N（x，0）（﹣4＜x＜0），则H（x，x+3），P（x，﹣x2﹣x+3），
∴PH=﹣x2﹣x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣x=﹣（x﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴PH有最大值，
当x=2时，PH取最大值，最大值为．
（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，则∠MGE=∠MKC=90°，
∴∠MEG+∠EMG=90°，
∵四边形CMEF是正方形，
∴EM=MC，∠MEC=90°，
∴∠EMG+∠CMK=90°，
∴∠MEG=∠CMK．
在△MCK和△MEG中，，
∴△MCK≌△MEG（AAS），
∴MG=CK．
由抛物线的对称轴为x=﹣1，设M（x，﹣x2﹣x+3），则G（﹣1，﹣x2﹣x+3），K（0，﹣x2﹣x+3），
∴MG=|x+1|，CK=|﹣x2﹣x+3﹣3|=|﹣x2﹣x|=|x2+x|，
∴|x+1|=|x2+x|，
∴x2+x=±（x+1），
解得：x1=﹣4，x2=﹣，x3=﹣，x4=2，
代入抛物线解析式得：y1=0，y2=，y3=，y4=0，
∴点M的坐标是（﹣4，0），（﹣，），（﹣，）或（2，0）．
【点拨】本题考查二次函数综合题．
10．（1），；（2），；（3）；①；②
【分析】
（1）直接根据题意进行解答即可；
（2）根据题中所给定义可直接进行解答；
（3）由（1）（2）易得的解析式，①由的解析式先求出点E、F坐标，进而可得直线EF的解析式，当四边形为菱形时，，直线经过原点，则可求AD解析式，设点，点，进而根据根与系数的关系及两点之间的距离公式可进行求解；
②由题意可得，，则四边形为平行四边形，设点，当四边形的面积为时，，如图，过点作轴于点，进而可得点必在第一象限，过点作轴交于点，过点作轴于点，然后由面积法及代入的解析式可进行求解．
【详解】
解：（1），；
（2），；
（3）
①
点
点
易得直线的解析式为
当四边形为菱形时，
直线经过原点
易得直线的解析式为
由题意可设点，点
当时
得，
②由题意可得，
四边形为平行四边形
设点
当四边形的面积为时，
如图，过点作轴于点
点不可能位于轴下方
即点必在第一象限
过点作轴交于点
过点作轴于点
①
又点在抛物线上
②
由①②式得
得
点在点左侧
将代入①式
解得．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的性质及两点距离公式是解题的关键．
11．（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．
【分析】
（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），
EF＝=，
S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，
故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，
所以 ，解得；
（3）令，即，解得，，得到D（4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．
【详解】
解：（1）∵=，令y=0，得到，，
∴A（－1，0），B（3，0），
∵直线l经过点A，
∴，，
∴，
令，即，
∵CD＝4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴，
∴，
∴直线l的函数表达式为；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），
EF＝=，
S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝
＝＝，
∴△ACE的面积的最大值为，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴ ，解得；
（3）令，即，解得，，
∴D（4，5a），
∵，
∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），
①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴，
∴，即 ，
∵，
∴，
∴P1（1，）；
②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（ ，），Q（2，），m＝，则P（1，8a），
∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，
∴，
∴，即 ，
∵，∴，∴P2（1，－4）．
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．
考点：二次函数综合题．
12．（1），B点坐标为（3，0）；（2）①；②．
【分析】
（1）由对称轴公式可求得b，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令y=0可求得B点坐标；
（2）①用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性质可得ON=PM，可得到关于t的方程，可求得t的值；②由题意可知OB=OA，故当△BOQ为等腰三角形时，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】
（1）∵抛物线对称轴是直线x=1，
∴﹣=1，解得b=2，
∵抛物线过A（0，3），
∴c=3，
∴抛物线解析式为，令y=0可得，解得x=﹣1或x=3，
∴B点坐标为（3，0）；
（2）①由题意可知ON=3t，OM=2t，
∵P在抛物线上，
∴P（2t，），
∵四边形OMPN为矩形，
∴ON=PM，
∴3t=，解得t=1或t=﹣（舍去），
∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；
②∵A（0，3），B（3，0），
∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3，
∴当t＞0时，OQ≠OB，
∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t，
∴Q（2t，﹣2t+3），
∴OQ=，BQ=|2t﹣3|，又由题意可知0＜t＜1，当OB=QB时，则有|2t﹣3|=3，解得t=（舍去）或t=；
当OQ=BQ时，则有=|2t﹣3|，解得t=；
综上可知当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形．
13．（1）；（2），；（3）存在，或1．
【分析】
（1）将点，点代入中，即可求解析式；
（2）求出BC的直线解析式为，设，则，所以，即可求面积的最大值；
（3）设，①当时，，可求P点横坐标；②当时，，可求P点横坐标．
【详解】
解：（1）将点，点代入中，
则有，
，
；
（2），
对称轴为，
轴，
，
，
点，点，
的直线解析式为，
设，
交线段BC于点F，
，
，
当时，四边形ECFD的面积最大，最大值为；
此时；
（3）设，
①当时，
，
，
，
，
点横坐标为1；
②当时，
，
，
或（舍），
点横坐标为．
综上所述：P点横坐标为或1．
【点评】
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图像及性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
14．（1），函数的对称轴为：；（2）点；（3）存在，点的坐标为或．
【分析】
根据点的坐标可设二次函数表达式为：，由C点坐标即可求解；
连接交对称轴于点，此时的值为最小，即可求解；
，则，将该坐标代入二次函数表达式即可求解．
【详解】
解：根据点,的坐标设二次函数表达式为：，
∵抛物线经过点，
则，解得：，
抛物线的表达式为： ，
函数的对称轴为：；
连接交对称轴于点，此时的值为最小，
设BC的解析式为：，
将点的坐标代入一次函数表达式：得：
解得：
直线的表达式为：，
当时，，
故点；
存在，理由：
四边形是以为对角线且面积为的平行四边形，
则 ，
点在第四象限，故：则，
将该坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：或，
故点的坐标为或．
【点拨】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中，求线段和的最小值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法．
15．（1）抛物线的解析式为：．
（2）P（2，）．
（3）存在点N的坐标为（4，），（，）或（，）
【分析】
本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；
（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，
∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，
连接BC，如图1所示，
∵B（5，0），C（0，﹣）
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣
∴P（2，﹣）；
（3）存在．如图2所示，
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣）
∴N1（4，﹣）；
②当点N在x轴上方时，如图2，
过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，
∴△AN2D≌△M2CO（ASA）
∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．
∴x2﹣2x﹣=，
解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）
．综上所述，符合条件的点N的坐标为N1（4，﹣），N2（2+，）或N3（2﹣，）．
考点：二次函数综合题．
16．（1）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；（2）l=﹣（m+）2+ ，最大值为；（3）（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．
【分析】
（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．
【详解】
解：（1）∵矩形OBDC的边CD=1，
∴OB=1，
∵AB=4，
∴OA=3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得
，
解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；
（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，
∴E（﹣2，2），
∴直线OE解析式为y=﹣x，
由题意可得P（m，﹣m2﹣m+2），
∵PG∥y轴，
∴G（m，﹣m），
∵P在直线OE的上方，
∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，
∵直线OE解析式为y=﹣x，
∴∠PGH=∠COE=45°，
∴l=PG=[﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，
∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，
则∠ALF=∠ACO=∠FNM，
在△MFN和△AOC中
∴△MFN≌△AOC（AAS），
∴MF=AO=3，
∴点M到对称轴的距离为3，
又y=﹣x2﹣x+2，
∴抛物线对称轴为x=﹣1，
设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，
当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=，
∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；
②当AC为对角线时，设AC的中点为K，
∵A（﹣3，0），C（0，2），
∴K（﹣，1），
∵点N在对称轴上，
∴点N的横坐标为﹣1，
设M点横坐标为x，
∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，
∴M（﹣2，2）；
综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．
考点：二次函数综合题．
17．（1）抛物线的表达式为：，直线的表达式为：；（2）存在，理由见解析；点或或或．
【分析】
（1）二次函数表达式为：y=a（x-1）2+9，即可求解；
（2）S△DAC=2S△DCM，则，，即可求解；
（3）分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）二次函数表达式为：，
将点的坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①，
则点，
将点的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：；
（2）存在，理由：
二次函数对称轴为：，则点，
过点作轴的平行线交于点，
设点，点，
∵，
则，
解得：或5（舍去5），
故点；
（3）设点、点，，
①当是平行四边形的一条边时，
点向左平移4个单位向下平移16个单位得到，
同理，点向左平移4个单位向下平移16个单位为，即为点，
即：，，而，
解得：或﹣4，
故点或；
②当是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：，，而，
解得：，
故点或；
综上，点或或或．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
18．（1）抛物线的解析式为；（2）四边形为正方形时点的坐标为和；（3）点的横坐标为2或－1或或.
【分析】
（1）先由二次函数解析式求出C点坐标，进而求出一次函数解析式，再求出B点坐标，最后把A、B坐标代入抛物线解析式解方程即可；
（2）四边形为正方形时，，轴，且P、Q两点关于对称轴对称，设出P点坐标，表示出，解方程即可；
（3）由是以点为顶角顶点的等腰直角三角形，可得∠QPF=∠PEB,即轴，可得P、Q两点关于对称轴对称，设，用分别表示Q、F坐标即可，最后根据PQ=PF列方程计算即可解题.
【详解】
（1）抛物线经过点，则点坐标为(0，3)，
代入可得，则直线的解析式为.
直线经过点，则点坐标为(3，0)
将点、代入抛物线
解得，
∴抛物线的解析式为.
（2）抛物线的对称轴为.
∵四边形为正方形，∴，轴.
∴点与点关于直线对称.
设点，则，.
∴，解得：或（舍去）或或（舍去）
当时，点，
当时，点，
∴四边形为正方形时点的坐标为和
（3）点的横坐标为2或－1或或.
∵是以点为顶角顶点的等腰直角三角形
∴∠QPF=∠PEB=90°
∴轴
∴点与点关于直线对称.
设点，则，
∴.
∵，
∴，
解得：或或或
综上所述，点的横坐标为2或－1或或.
【点拨】本题是二次函数综合题，熟记一次函数、正方形、等腰三角形的性质是解题的关键，难度一般，但是计算量比较大，需要注意.
19．（1）；（2）（，）；（3）（-2，-3）或（0，-3）或（2，5）.
【分析】
（1）把A,C点带入方程，列方程组即可求解；
（2）根据题意得出当点到直线的距离取得最大值时，求出AC表达式，将直线AC向下平移m（m＞0）个单位，得到直线l，当直线l与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点D，此时点D到直线AC的距离最大，联立直线l和二次函数表达式，得到方程，当方程有两个相同的实数根时，求出m的值，从而得到点D的坐标；
（3）分当OB是平行四边形的边和OB是平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质求出点N的坐标即可.
【详解】
解：（1）将B（1，0），带入函数关系式得，
，
解得：，
∴二次函数表达式为：；
（2）当点到直线的距离取得最大值时，
∵A（-3，0），，
设直线AC的表达式为：y=kx+n，，将A和C代入，
，解得：，
∴直线AC的表达式为y=-x-3，将直线AC向下平移m（m＞0）个单位，得到直线l，
当直线l与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点D，此时点D到直线AC的距离最大，
此时直线l的表达式为y=-x-3-m，
联立：，得：，
令△=，解得：m=，
则解方程：，得x=，
∴点D的坐标为（，）；
（3）∵M在抛物线对称轴上，设M坐标为（-1，t），
当OB为平行四边形的边时，
如图1，可知MN和OB平行且相等，
∴点N（-2，t）或（0，t），代入抛物线表达式得：
解得：t=-3，
∴N（-2，-3）或（0，-3）；
当OB为平行四边形对角线时，
线段OB的中点为（，0），对角线MN的中点也为（，0），
∵M坐标为（-1，t），
可得点N（2，-t），代入抛物线表达式得：
4+4-3=-t，
解得：t=-5，
∴点N的坐标为（2，5），
综上：以为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为（-2，-3）或（0，-3）或（2，5）.
【点拨】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数表达式，二次函数与一元二次方程的关系，平行四边形的性质，最值问题，解题的关键是要结合函数图像，得到结论.
20．（1）；（2）四边形BECD面积的最大值为，E（，）；（3）存在．N的坐标为（，）或（，）或（，）．
【分析】
（1）由直线解析式求得B、C两点坐标，结合A点坐标利用待定系数法进行求解即可；
（2）易求AD的解析式为，进而D（，）．求得CD的解析式为，进而求出CD与x轴的交点坐标，易求△BCD的面积为，设E（x，），表示出SBECD的面积，进而利用二次函数的性质即可求得答案；
（3）存在．先求出抛物线的顶点坐标，根据平移规律求平移后抛物线解析式，设M（，m），N（xn，yn），易根据平行四边形对角线互相平分及中点公式．分类讨论即可得答案．
【详解】
（1），当x=0时，y=2，
当y=0时，，解得：x=，
所以B（，0），C（0，2），
将A（，0），B（，0）代入y=ax2+bx+2，
得 ，
解得：，
所以抛物线的解析式为；
（2）∵AD//BC，
∴设直线AD解析式为：．
将A（，0）代入得：，
解得：m=-，
所以AD的解析式为，
联立 ，
解得：，，
∵A（，0），
∴D（，）．
设CD解析式为y=kx+2，
将点D坐标代入得：，
解得：k=，
所以CD的解析式为：，
当y=0时，即，
解得：x=，
则CD与x轴的交点为（，0）．
所以S△BCD==，
设E（x，），
则SBECD=
=，
当x=时，四边形BECD面积最大，其最大值为，此时E（，）．
（3）存在．N的坐标为（，），或（，），或（，）．
过程如下：，
所以抛物线的顶点是（，），
将抛物线向左平移个单位，
则平移后抛物线解析式为．
设M（，m），N（xn，yn），
①当AM为对角线时，则，
解得：xn=，代入解析式得yn=．
所以N（，），如图
对角线交点坐标为（0，），M坐标为（，）
②当AE为对角线时，则，
解得：xn=，代入解析式得yn=．
所以N（，），如图
对角线交点坐标为（，），M坐标为（，0）
③当AN为对角线时，则，
解得：xn=，代入解析式得yn=．
所以N（，）．如图
对角线交点坐标为（，），M坐标为（，-8）．
【点拨】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，一次函数图像与坐标轴的交点，二次函数图像的平移，二次函数的最值，平行四边形的性质等，综合性较强，有一定的难度，准确识图，把握并灵活运用相关知识是解题的关键，注意数形结合思想与分类讨论思想的运用．
21．（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1 （2）（，）； （3）Q，R或Q（，﹣10），R（）
【分析】
（1）由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+1，求出F点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，则可得出答案；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P'（n，﹣n+1），得出PP'＝﹣n2+n，由二次函数的性质可得出答案；
（3）联立直线AC和抛物线解析式求出C（，﹣），设Q（，m），分两种情况：①当AQ为对角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵A（0，1），B（，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∵点F的横坐标为，
∴F点纵坐标为﹣+1＝﹣，
∴F点的坐标为（，﹣），
又∵点A在抛物线上，
∴c＝1，
对称轴为：x＝﹣，
∴b＝﹣2a，
∴解析式化为：y＝ax2﹣2ax+1，
∵四边形DBFE为平行四边形．
∴BD＝EF，
∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，
则P'（n，﹣n+1），
∴PP'＝﹣n2+n，
S△ABP＝OB•PP'＝﹣n＝﹣，
∴当n＝时，△ABP的面积最大为，此时P（，）．
（3）∵，
∴x＝0或x＝，
∴C（，﹣），
设Q（，m），
①当AQ为对角线时，
∴R（﹣），
∵R在抛物线y＝+4上，
∴m+＝﹣+4，
解得m＝﹣，
∴Q，R；
②当AR为对角线时，
∴R（），
∵R在抛物线y＝+4上，
∴m﹣+4，
解得m＝﹣10，
∴Q（，﹣10），R（）．
综上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．
【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．
22．（1）；（2）存在这样的点，此时P点的坐标为（，）；（3）P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为．
【分析】
（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；.
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；.
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
【详解】
（1）将B、C两点的坐标代入，得
， 解得.
∴二次函数的解析式为.
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；.
设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E.
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；.
连接PP′，则PE⊥CO于E，
.
∵C（0，-3），.
∴CO=3，.
又∵OE=EC，.
∴OE=EC=.
∴y=−；.
∴x2-2x-3=−，
解得（不合题意，舍去）.
∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）.
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），
设直线BC的解析式为：y=kx+d，.
则，.
解得： .
∴直线BC的解析式为y=x-3，.
则Q点的坐标为（x，x-3）；.
当0=x2-2x-3，.
解得：x1=-1，x2=3，.
∴AO=1，AB=4，.
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ.
=AB•OC+QP•BF+QP•OF.
=×4×3+ (−x2+3x)×3.
=− (x−)2+.
当x＝时，四边形ABPC的面积最大.
此时P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为．
23．（1）；（2）点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3；（3）P的坐标是（﹣3，）、（5，）、（﹣1，）．
【详解】
解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），
∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，
∴，解得，
∴y=﹣x2+x+3．
（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，
，
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，∴设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣x+3），∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3，
∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，
，
由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM=
，∴AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），
则，
解得或，
∵x＜0，∴点P的坐标是（﹣3，﹣）．
②如图3，
，
由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM=，
∴AM所在的直线的斜率是：；
∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），则，
解得或，
∵x＞0，∴点P的坐标是（5，﹣）．
③如图4，
，
由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+3上，
∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM=，
∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），
则
解得，
∴点P的坐标是（﹣1，）．
综上，可得在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．
【点拨】本题考查二次函数综合题．
24．（1）（0,1）；1或0 （2） （3）
【分析】
（1）由题意，可得点B坐标，进而求得直线的解析式，再分情况讨论即可解的m值；
（2）由非负性解得m和b的值，进而得到两个函数解析式，设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH，证得四边形GPTH是正方形，求出GP即为距离；
（3）先根据解析式，用m表示出点C、E、D的坐标以及y关于x的表达式为，得知y是关于x的二次函数且开口向上、最低点为其顶点,根据坐标平移规则，得到关于m的方程，解出m值，即可得知点D 、E的坐标且抛物线过D、E点，观察图像，即可得出S的大体范围，如：，较小的可为平行于DE且与抛物线相切时围成的图形面积．
【详解】
解：（1）由题意可得点B坐标为（0,1），
设直线的表达式为y=kx+1，将点A（-1,0）代入得：k=1，
所以直线的表达式为：y=x+1,
若直线恰好是的图像，则2m-1=1,解得：m=1，
若直线恰好是的图像，则2m+1=1,解得：m=0，
综上，，或者
（2）如图，
，
，
，
设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH
，
四边形GPTH是正方形
，，即
；
（3），
分别交x轴，y轴于C，E两点
，
图像交x轴于D点
二次函数开口向上，它的图像最低点在顶点
顶点
抛物线顶点F向上平移,刚好在一次函数图像上
且
，
∴，
由，得到，，
由得到与x轴，y轴交点是，，，
抛物线经过，两点
的图像，线段OD，线段OE围成的图形是封闭图形，则S即为该封闭图形的面积
探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积．
探究过程：
①观察大于S的情况．
很容易发现
，
，
（若有S小于其他值情况，只要合理，参照赋分．）
②观察小于S的情况．
选取小于S的几个特殊值来估计更精确的S的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种方法，选取以下三种特殊位置：
位置一：如图
当直线MN与DE平行且与抛物线有唯一交点时，设直线MN与x，y轴分别交于M，N
，
直线
设直线
，
直线
点
，
位置二：如图
当直线DR与抛物线有唯一交点时，直线DR与y轴交于点R
设直线，
直线
，
直线
点
，
位置三：如图
当直线EQ与抛物线有唯一交点时，直线EQ与x轴交于点Q
设直线
，
直线
点
，
我们发现：在曲线DE两端位置时的三角形的面积远离S的值，由此估计在曲线DE靠近中间部分时取值越接近S的值
探究的结论：按上述方法可得一个取值范围
（备注：不同的探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案．只要来龙去脉清晰、合理，即可参照赋分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在0.01之间不得分．）
【点拨】本题是一道综合性很强的代数与几何相结合的压轴题，知识面广，涉及有旋转的性质、坐标平移规则、非负数的性质、一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质、一元二次方程、不规则图形面积的估计等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，利用相关信息进行推理、探究、发现和计算．
25．（1）；（2）；（3）；（4）或．
【分析】
（1）将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值；
（2）分别表示出P、Q、M的坐标，根据Q、M的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相同，列出方程求解即可；
（3）分别表示出PQ和MQ的长度，根据矩形是正方形时，即可求得m的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m的值；
（4）分，，，四种情况讨论，结合图形分析即可．
【详解】
解：（1）将点代入
得，
解得b=1,；
（2）由（1）可得函数的解析式为，
∴,
∵于点，
∴,
∵是直线上的一点，其纵坐标为，
∴，
若点与点重合，则
，
解得；
（3）由（2）可得，，
当矩形是正方形时，
即，
即或，
解得，
解得，
又，
∴抛物线的顶点为(1，2)，
∵抛物线的顶点在该正方形内部，
∴P点在抛物线对称轴左侧，即，且M点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即，
解得，故m的值为；
（4）①如下图
当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，且P点应该在x轴上侧，
即且，
解得，
解得，
∴，
②如下图
当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，
即，解得，
∴；
③当时，P点和M点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意；
④如下图
当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
则M点的纵坐标应该大于P点纵坐标，
即，解得或，
故，
综上所述或．
【点拨】本题考查二次函数综合，正方形的性质定理，求二次函数解析式．能分别表示出M、P、Q的坐标并结合图形分析是解决此题的关键，注意分类讨论．
26．（1）y=2x2﹣8x+6；（2）点E(2，2)或(3，4)；（3）存在，当点P坐标为(5，16)或(﹣1，16)或(3，0)时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形
【分析】
（1）设抛物线解析式为：y＝a(x﹣1)(x﹣3)，把点C坐标代入解析式，可求解；
（2）先求出点M，点N坐标，利用待定系数法可求AD解析式，联立方程组可求点D坐标，可求S△ABD＝×2×6＝6，设点E(m，2m﹣2)，分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像经过A(1，0)，B(3，0)，
∴设抛物线解析式为：y＝a(x﹣1)(x﹣3)，
∵抛物线y＝a(x﹣1)(x﹣3)(a≠0)的图像经过点C(0，6)，
∴6＝a(0﹣1)(0﹣3)，
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝2(x﹣1)(x﹣3)＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2(x﹣2)2﹣2，
∴顶点M的坐标为(2，﹣2)，
∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，
∴点N(2，2)，
设直线AN解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，
联立方程组得：，
解得：，，
∴点D（4，6），
∴S△ABD＝×2×6＝6，
设点E(m，2m﹣2)，
∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，
∴S△ABE＝S△ABD＝2或S△ABE＝S△ABD＝4，
∴×2×(2m﹣2)＝2或×2×(2m﹣2)＝4，
∴m＝2或3，
∴点E(2，2)或(3，4)；
（3）若AD为平行四边形的边，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD＝PQ，
∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，
∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，
∴点P坐标为(5，16)或(﹣1，16)；
若AD为平行四边形的对角线，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD与PQ互相平分，
∴，
∴xP＝3，
∴点P坐标为(3，0)，
综上所述：当点P坐标为(5，16)或(﹣1，16)或(3，0)时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
27．（1）；（2）面积最大值为；（3）存在，
【分析】
（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）设，求得解析式，过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F，设点，则，，即可求解；
（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线过，
∴
∴
∴
（2）设，将点代入
∴
过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F
设点，则
由铅垂定理可得
∴面积最大值为
（3）（3）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5，
联立上述两式并解得：，故点C（−1，−4）；
设点D（−2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即−2＋1＝s且m＋3＝t①或−2−1＝s且m−3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，
联立①③并解得：s＝−1，t＝2或−4（舍去−4），故点E（−1，2）；
联立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故点E（-3，-4＋）或（-3，-4−）；
②当BC为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m＋t⑤，
此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3，
故点E（1，−3），
综上，点E的坐标为：（−1，2）或或或（1，−3）．
∴存在，
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
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