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北师大版九年级数学下册 专题3.1 圆（知识讲解）（附答案）
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这是一份北师大版九年级数学下册 专题3.1 圆（知识讲解）（附答案），共12页。
理解并掌握圆中弦的概念
掌握点与圆的位置关系，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；
【要点梳理】
要点一、圆的定义及性质
1. 圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
特别说明：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
特别说明：
①定点为圆心，定长为半径；
②圆指的是圆周，而不是圆面；
③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.
2.圆的性质
①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.
特别说明：
①圆有无数条对称轴；
②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.
要点二、点与圆的三种位置关系
要点三、与圆有关的概念
1. 弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
特别说明：
直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
证明：连结OC、OD
∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
∴直径AB是⊙O中最长的弦.
【典型例题】
类型一、圆中弦的条数
1．如图，图中的弦共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【分析】根据弦的定义解答即可．
解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故选B．
【点拨】本题考查弦的定义，熟记弦的定义是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，解答可得．
解：图中的弦有AE、AD、CD这3条
故选B
【点拨】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
【变式2】如图,☉O中,点A,O,D以及点B,O,C分别在一直线上,图中弦的条数为_____.
【答案】2
解：弦是连接圆上任意两点的线段，由图可知，点A. B. E. C是⊙O上的点，图中的弦有BC、CE，一共2条.
故答案为2.
类型二、求过圆内一点最长的弦
2．如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值.
【答案】的最大值为.
【分析】由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以的最大值可求.
解：连结，，
∵ ∴
∴为等边三角形，
∵点，分别是，的中点
∴，∵ 为的一条弦
∴最大值为直径14 ∴的最大值为.
【点拨】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.
举一反三：
【变式1】如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_____．
【答案】
【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
解：点M，N分别是AB，BC的中点，
，
当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC时直径时，最大，
如图，
，，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是利用中位线性质将MN的值最大问题转化为AC的最大值问题，难度不大．
【变式2】 如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为(3，0)，⊙M的半径为2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A，B，则△AOB的面积的最大值为_____，此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于_____°．
【答案】6 90
【分析】由于AB为⊙M的直径，则AB为定值4，要使△AOB的面积的最值，则O点到AB的距离最大，而O点到AB的距离最大为OM的长，根据三角形面积公式可得到△AOB的面积的最大值=×4×3=6，同时得到此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．
解：∵AB为⊙M的直径，
∴AB＝4，
当O点到AB的距离最大时，△AOB的面积的最大值，即AB⊥x轴于M点，
而O点到AB的距离最大为OM的长，
∴△AOB的面积的最大值＝×4×3＝6，
∠AMO＝90°，即此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．
故答案为：6，90．
【点拨】本题考查了圆的认识：过圆心的弦叫圆的直径．也考查了坐标与图形的性质．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3,0），⊙M的半径为2，AB为⊙M的直径，其中点A在第一象限，当OA=AB时，点A的坐标为____________.
【答案】
【分析】根据题意，有OA=AB=4，AM=2，设点A为（x，y），分别利用点的坐标求出OA和AM，即可得到x、y的值，结合点A在第一象限，即可得到点A的坐标.
解：∵⊙M的半径为2，
∴OA=AB=4，AM=2，
设点A为（x，y），则有
，，
∴，，
解得：，
把代入，解得：，
∵点A在第一象限，
∴，
∴点A为：.
故答案为：.
【点拨】本题考查了圆的性质，以及了两点之间的距离公式，坐标与图形，解题的关键是利用两点两点之间的距离公式求出x、y的值.
类型三、点与圆上距离的最值
3、若☉O的半径是12cm,OP=8cm,求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离.
【答案】4cm，20cm.
【解析】试题分析：依据题意画出图形，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定.
试题解析：如图，
点P到圆上各点的距离中最短距离为:12-8=4(cm);
最长距离为:12+8=20(cm).
点拨：本题考查了点与圆的位置关系，正确进行讨论是关键.
举一反三：
【变式1】如图所示，在⊙O上有一点C(C不与A、B重合)，在直径AB上有一个动点P(P不与A、B重合)．试判断PA、PC、PB的大小关系，并说明理由．
【答案】当点P在OA上时PA＜PC＜PB，OB上时PB＜PC＜PA，当点P在点O处时PA=PB=PC.
试题分析：分类讨论：当点P在点O处，易得PA=PB=PC；当点P在OA上，同样方法可得PA＜PC＜PB；连接OC，如图，当点P在OB上，由三角形三边的关系得到OP+OC＞PC，则OA+OP＞PC，所以PA＞PC，再由OC=OB得到∠B=∠OCB，则∠B＞∠PCB，
所以PC＞PB，于是得到PB＜PB＜PA；
试题解析：
当点P与点O重合时，PA＝PB＝PC，
当点P在OA上时，PA＜PC＜PB.
理由：连接OC，
在△POC中，OC－OP＜PC＜OP＋OC，
∵OA＝OB＝OC，
∴OA－OP＜PC＜OP＋OB，∴PA＜PC＜PB，
同理，当P点在OB上时，PB＜PC＜PA.
【点拨】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念．也考查了三角形三边的关系和分类讨论的思想．
【变式2】我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．
【答案】
【分析】连接OA，与圆O交于点B，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB，再求出OA，结合圆O半径可得结果.
解：根据题意可得：
点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，
连接OA，与圆O交于点B，
可知：点A和圆O上点B之间的连线最短，
∵A（2，1），
∴OA==，
∵圆O的半径为1，
∴AB=OA-OB=，
∴点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为，
故答案为：.
【点拨】本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题.
【变式3】在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为10cm，最小距离为4cm，则此圆的半径为_________________．
【答案】3cm或7cm
解：设⊙O的半径为r，
当点P在圆外时，r==3cm；
当点P在⊙O内时，r=cm.
故答案为：3cm或7cm．
类型四、判断点和圆的位置关系
4、若⊙A的半径为5，圆心A与点P的距离是2，则点P与⊙A的位置关系是（ ）
A．P在⊙A上B．P在⊙A外C．P在⊙A内D．不确定
【答案】C
【分析】根据点与圆的位置的关系，比较圆心A与点P的距离和半径的大小即可求解．
解：∵圆心A与点P的距离是2，⊙A的半径为5
∴点在⊙A内
故选C
【点拨】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解答此题的关键．
举一反三：
【变式1】的半径为，点到圆心的距离，则点与圆的位置关系为（ ）
A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．无法确定
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
解：的半径为，点A到圆心的距离为，
即点A到圆心的距离小于圆的半径，
点A在内．
故选：．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
【变式2】若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系（ ）
A．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．不能确定
【答案】A
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来判断，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
解：∵点A到圆心O的距离为3cm，小于⊙O的半径4cm，
∴点A在⊙O内．
故选：A．
【点拨】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【变式3】已知的半径为为外一点，则的长可能是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d＞r即可．
解：当点P是⊙O外一点时，OP＞5cm， B、C、D均不符．
故选：A．
【点拨】考查了点与圆的位置关系，解题关键是理解确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．
理解并掌握圆中弦的概念
掌握点与圆的位置关系，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；
【要点梳理】
要点一、圆的定义及性质
1. 圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
特别说明：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
特别说明：
①定点为圆心，定长为半径；
②圆指的是圆周，而不是圆面；
③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.
2.圆的性质
①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.
特别说明：
①圆有无数条对称轴；
②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.
要点二、点与圆的三种位置关系
要点三、与圆有关的概念
1. 弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
特别说明：
直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
证明：连结OC、OD
∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
∴直径AB是⊙O中最长的弦.
【典型例题】
类型一、圆中弦的条数
1．如图，图中的弦共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【分析】根据弦的定义解答即可．
解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故选B．
【点拨】本题考查弦的定义，熟记弦的定义是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，解答可得．
解：图中的弦有AE、AD、CD这3条
故选B
【点拨】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
【变式2】如图,☉O中,点A,O,D以及点B,O,C分别在一直线上,图中弦的条数为_____.
【答案】2
解：弦是连接圆上任意两点的线段，由图可知，点A. B. E. C是⊙O上的点，图中的弦有BC、CE，一共2条.
故答案为2.
类型二、求过圆内一点最长的弦
2．如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值.
【答案】的最大值为.
【分析】由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以的最大值可求.
解：连结，，
∵ ∴
∴为等边三角形，
∵点，分别是，的中点
∴，∵ 为的一条弦
∴最大值为直径14 ∴的最大值为.
【点拨】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.
举一反三：
【变式1】如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_____．
【答案】
【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
解：点M，N分别是AB，BC的中点，
，
当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC时直径时，最大，
如图，
，，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是利用中位线性质将MN的值最大问题转化为AC的最大值问题，难度不大．
【变式2】 如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为(3，0)，⊙M的半径为2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A，B，则△AOB的面积的最大值为_____，此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于_____°．
【答案】6 90
【分析】由于AB为⊙M的直径，则AB为定值4，要使△AOB的面积的最值，则O点到AB的距离最大，而O点到AB的距离最大为OM的长，根据三角形面积公式可得到△AOB的面积的最大值=×4×3=6，同时得到此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．
解：∵AB为⊙M的直径，
∴AB＝4，
当O点到AB的距离最大时，△AOB的面积的最大值，即AB⊥x轴于M点，
而O点到AB的距离最大为OM的长，
∴△AOB的面积的最大值＝×4×3＝6，
∠AMO＝90°，即此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．
故答案为：6，90．
【点拨】本题考查了圆的认识：过圆心的弦叫圆的直径．也考查了坐标与图形的性质．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3,0），⊙M的半径为2，AB为⊙M的直径，其中点A在第一象限，当OA=AB时，点A的坐标为____________.
【答案】
【分析】根据题意，有OA=AB=4，AM=2，设点A为（x，y），分别利用点的坐标求出OA和AM，即可得到x、y的值，结合点A在第一象限，即可得到点A的坐标.
解：∵⊙M的半径为2，
∴OA=AB=4，AM=2，
设点A为（x，y），则有
，，
∴，，
解得：，
把代入，解得：，
∵点A在第一象限，
∴，
∴点A为：.
故答案为：.
【点拨】本题考查了圆的性质，以及了两点之间的距离公式，坐标与图形，解题的关键是利用两点两点之间的距离公式求出x、y的值.
类型三、点与圆上距离的最值
3、若☉O的半径是12cm,OP=8cm,求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离.
【答案】4cm，20cm.
【解析】试题分析：依据题意画出图形，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定.
试题解析：如图，
点P到圆上各点的距离中最短距离为:12-8=4(cm);
最长距离为:12+8=20(cm).
点拨：本题考查了点与圆的位置关系，正确进行讨论是关键.
举一反三：
【变式1】如图所示，在⊙O上有一点C(C不与A、B重合)，在直径AB上有一个动点P(P不与A、B重合)．试判断PA、PC、PB的大小关系，并说明理由．
【答案】当点P在OA上时PA＜PC＜PB，OB上时PB＜PC＜PA，当点P在点O处时PA=PB=PC.
试题分析：分类讨论：当点P在点O处，易得PA=PB=PC；当点P在OA上，同样方法可得PA＜PC＜PB；连接OC，如图，当点P在OB上，由三角形三边的关系得到OP+OC＞PC，则OA+OP＞PC，所以PA＞PC，再由OC=OB得到∠B=∠OCB，则∠B＞∠PCB，
所以PC＞PB，于是得到PB＜PB＜PA；
试题解析：
当点P与点O重合时，PA＝PB＝PC，
当点P在OA上时，PA＜PC＜PB.
理由：连接OC，
在△POC中，OC－OP＜PC＜OP＋OC，
∵OA＝OB＝OC，
∴OA－OP＜PC＜OP＋OB，∴PA＜PC＜PB，
同理，当P点在OB上时，PB＜PC＜PA.
【点拨】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念．也考查了三角形三边的关系和分类讨论的思想．
【变式2】我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．
【答案】
【分析】连接OA，与圆O交于点B，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB，再求出OA，结合圆O半径可得结果.
解：根据题意可得：
点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，
连接OA，与圆O交于点B，
可知：点A和圆O上点B之间的连线最短，
∵A（2，1），
∴OA==，
∵圆O的半径为1，
∴AB=OA-OB=，
∴点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为，
故答案为：.
【点拨】本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题.
【变式3】在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为10cm，最小距离为4cm，则此圆的半径为_________________．
【答案】3cm或7cm
解：设⊙O的半径为r，
当点P在圆外时，r==3cm；
当点P在⊙O内时，r=cm.
故答案为：3cm或7cm．
类型四、判断点和圆的位置关系
4、若⊙A的半径为5，圆心A与点P的距离是2，则点P与⊙A的位置关系是（ ）
A．P在⊙A上B．P在⊙A外C．P在⊙A内D．不确定
【答案】C
【分析】根据点与圆的位置的关系，比较圆心A与点P的距离和半径的大小即可求解．
解：∵圆心A与点P的距离是2，⊙A的半径为5
∴点在⊙A内
故选C
【点拨】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解答此题的关键．
举一反三：
【变式1】的半径为，点到圆心的距离，则点与圆的位置关系为（ ）
A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．无法确定
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
解：的半径为，点A到圆心的距离为，
即点A到圆心的距离小于圆的半径，
点A在内．
故选：．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
【变式2】若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系（ ）
A．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．不能确定
【答案】A
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来判断，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
解：∵点A到圆心O的距离为3cm，小于⊙O的半径4cm，
∴点A在⊙O内．
故选：A．
【点拨】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【变式3】已知的半径为为外一点，则的长可能是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d＞r即可．
解：当点P是⊙O外一点时，OP＞5cm， B、C、D均不符．
故选：A．
【点拨】考查了点与圆的位置关系，解题关键是理解确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．
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