北师大版九年级数学下册 专题3.3 圆的对称性（知识讲解）（附答案）

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了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；
2.理解圆的对称性；
【要点梳理】
知识点一、与圆有关的概念
弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
特别说明：
①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
2.同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
3.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
特别说明：
①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
②圆中两平行弦所夹的弧相等.
知识点二、圆心角和弧、弦的关系
性质一：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等；
性质二：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
知识点三、圆的对称性
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
【典型例题】
类型一、与圆有关概念的识别
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径B．半圆是弧
C．过圆心的线段是直径D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆
【答案】B
解答：过圆心的弦是直径，不是所有的弦都是直径，故A选项错误；圆上任意两点间的部分是弧，故半圆是弧，故B正确；过圆心的弦是直径，故C选项错误；圆心相同，半径不等的两个圆是同心圆，故D错误，所以本题选B.
考点：圆的有关定义.
举一反三：
【变式1】下列说法中，不正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形又是旋转对称图形B．一个圆的直径的长是它半径的2倍
C．圆的每一条直径都是它的对称轴D．直径是圆的弦，但半径不是弦
【答案】C
【分析】根据圆的特征，轴对称图形的定义，弦的定义逐项进行分析即可．
解析A、因为圆旋转任意一个角度都能够与自身重合，所以圆不仅是中心对称图形，也是旋转对称图形，该选项正确；
B、一个圆的直径的长是它半径的2倍，该选项正确；
C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，该选项错误；
D. 直径是圆的弦，但半径不是弦，该选项正确；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了圆中的有关概念和性质，熟记性质是解本题的关键．
【变式2】下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的弧叫做等弧
B．半圆不是弧
C．过圆心的线段是直径
D．直径是弦
【答案】D
【分析】连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
解：A、长度相等的弧不一定是等弧，故错误，不符合题意；
B、半圆是弧，故错误，不符合题意；
C、过圆心的弦是直径，故错误，不符合题意；
D、直径是弦，正确，符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查了圆的认识，解题的关键是牢记等弧的定义、直径的定义、弦的定义，难度不大．
【变式3】下列4个说法中：①直径是弦；②弦是直径；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④弧是半圆； 正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据弧的分类、圆的性质逐一判断即可．
解：①直径是最长的弦，故正确；
②最长的弦才是直径，故错误；
③过圆心的任一直线都是圆的对称轴，故正确；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，
正确的有两个，
故选B．
【点拨】本题考查了对圆的认识，熟知弦的定义、弧的分类是本题的关键．
类型二、圆心角、弧、弦的关系
2．如图所示，在⊙O中，AC、BC是弦，根据条件填空：
(1)若AC＝BC，则________________；
(2)若，则______________；
(3)若∠AOC＝∠BOC，则______________．
【答案】(1) ，∠AOC＝∠BOC； (2) AC＝BC，∠AOC＝∠BOC； (3) ，AC＝BC．
【解析】本题利用“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.”来解决.
解：本题中所对的弦是AC，所对的圆心角是∠AOC；所对的弦是BC，所对的圆心角是∠BOC.
（1）若AC＝BC，则=，∠AOC＝∠BOC；
（2）若=，则AC＝BC，∠AOC＝∠BOC；
（3）若∠AOC＝∠BOC，则=，AC＝BC.
举一反三：
【变式1】 如图，在⊙O中，，若∠AOB＝40°，则∠COD＝____．
【答案】40°
【解析】由“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.”得∠AOC=∠BOD，再得出∠AOB=∠COD.
解：∵在⊙O中，=，
∴∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC，
∴∠AOB=∠COD=40°.
故答案为40°.
【变式2】如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC＝_______度．
【答案】58
【分析】根据∠D的度数，可以得到∠ABC的度数，然后根据BC是直径，从而可以得到∠BAC的度数，然后可以得到∠OCA的度数，再根据OA=OC，从而可以得到∠OAC的度数．
解：∵∠D=32°，∠D=∠ABC
∴∠ABC=32°
∵BC是直径
∴∠BAC=90°
∴∠BCA=90°-∠ABC=90°-32°=58°
∴∠OCA=58°
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∴∠OAC=58°
故答案为58．
【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式3】一条弦把圆分成5：1两部分，若圆的半径为2cm，此弦长为_____．
【答案】2cm
【分析】如图所示：首先作辅助线连接OA，OB，过O作OD⊥AB．根据特殊角的三角函数值求得AD的长度；然后由垂径定理求得AB的长度．
解：连接OA，OB，过O作OD⊥AB．
∵一条弦把圆分成5：1两部分，
∴∠AOB＝60°，
∴∠2＝∠1＝30°；
又∵OD⊥AB，OA＝2cm，
∴AD＝OA＝1cm，
∴AB＝2AD＝2cm．
故答案是：2cm．
【点拨】本题综合考查了等边三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦间的关系．本题利用了一个周角是360°求得所求弦所对的圆心角的度数．
类型三、圆的对称性综合
3．已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且，求证：AC=BD．
【答案】详见解析
【分析】先根据可得，再根据同圆中等弧所对的弦相等即得．
证明：∵
∴
∴
【点拨】本题考查圆心角定理推论，解题关键是熟知同圆或等圆中，等弧所对的弦相等．
举一反三：
【变式1】如图，是的直径，．与的大小有什么关系？为什么？
【答案】，理由见解析
【分析】连接，根据平行线的性质可得，根据圆的半径相等，可得，等量代换可得，进而可得．
解：，理由如下，
如图，连接，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了圆的性质，弧长与圆心角之间的关系，掌握弧和圆心角之间的关系是解题的关键．
【变式2】如图，，是的直径，C是上的一点，且．与的大小有什么关系？为什么？
【答案】，理由见解析
【分析】根据对顶角相等得到，再根据圆心角、弧、弦的关系得，再结合，即可得到，再根据圆心角、弧、弦的关系得即可证得．
解：，理由如下：
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，熟练掌握了圆心角、弧、弦的关系是解决本题的关键．