北师大版九年级数学下册 专题3.33 圆的综合题-圆与三角函数（专项练习）（附答案）

这是一份北师大版九年级数学下册 专题3.33 圆的综合题-圆与三角函数（专项练习）（附答案），共67页。试卷主要包含了定义等内容，欢迎下载使用。

纵观近几年各省市中考题中，圆的综合题是必考题型,主要体现在圆与全等三角形、相似三角形、三角函数的综合，有的设置两个小问,有的设置三个小问,类型比较多,难度比较大。
◆知识点
圆的综合题涉及到的知识点比较多,主要有圆的基本性质、圆心角定理、圆周角定理及其推论、垂径定理及其推论、圆内接三角形的性质、圆内接四边形的性质、三角形内切圆及三角形内心的概念、全等三角形的判定定理及性质定理、相似三角形的判定定理及性质定理、勾股定理及其逆定理、切线的判定定理及性质定理。
◆解题策略及方法
虽然圆的综合题难度比较大,但是,只要我们熟记圆的各个性质和判定定理,还有辅助线的各种作法,这类题是可以突破的圆作为一个载体,常与三角形、四边形结合,考查切线的性质及判定、相似三角形的性质及判定、解直角三角形、求线段长或图形面积等.解题需要先分析题干中的条件,然后从图形中挖掘出隐含条件
常用方法:①利用垂径定理,通过在由半弦、半径、弦心距组成的直角三角形,运用勾股定理或锐角三角函数进行计算:
②利用圆周角相等转移角的等量关系;
③利用直径构造直角三角形;
④发现并构造相似,利用全等和相似、锐角三角函数、勾股定理进行证明和计算;
⑤在计算面积时,可以利用面积的和差进行。
1．已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．
2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高．求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．
3．如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连结、交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结，在（2）的条件下，求的长．
4．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
（1）如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．
（2）在（1）的条件下，若的半径为．
①求的长．
②如图2，在四边形中，若平分，则的最大值是________．
在（1）的条件下，如图3，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．
5．如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E是边AB上一点．
（1）如图①，作△ADE的外接圆交DC于F．求证：四边形AEFD是矩形；
（2）将△ADE沿着DE翻折至△GDE，点A与点G重合，且点G落在边BC上．
① 如图②，若AD＝10，求AE的长；
② 如图③，当点G是BC的中点时，求AD的长．
6．如图，是的直径，点在上，过点的切线与的延长线交于点，且．
（1）求的度数；
（2）若的半径为3，求图中阴影部分的面积．
7．如图，在中，以为直径作交于点，交于点，且是中点，，垂足为，交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2），，求的长．
8．如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
9．如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径作圆弧交半圆O于点P．连结DP并延长交AB于点E．
求证：（1）DP＝AB；
（2）DE为半圆O的切线；
（3）连结OE，求tan∠BOE的值．
10．如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边、分别相交于点、，且．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
11．在中，弦直径于点，为线段上一点，，连接并延长交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，，，若，，求线段的长度．
12．如图，是的直径，点是上一点，点是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的半径；
（3）若于点，点为上一点，连接，，，请找出，，之间的关系，并证明．
13．如图，是的内接三角形，AD是的直径，点B是上的一点，，点E在AD的延长线上，射线EF经过点C，．
（1）求证：EF是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）当BC＝4，AC＝6时，求线段BG的长．
15．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形中，，，过点作垂线交的延长线于点，且，证明：四边形是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为的垂等四边形内接于⊙O中，．求⊙O的半径．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）当BC=4，AC=6时，求线段BG的长．
17．如图，在中，为直径，过圆上一点作切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
18．如图，△ABC中，AB＝AC，点E是线段BC延长线上一点，ED⊥AB，垂足为D，ED交线段AC于点F，点O在线段EF上，⊙O经过C、E两点，交ED于点G．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠E＝30°，AD＝1，BD＝5，求⊙O的半径．
19．如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC=∠B，
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）点E是AB上一点，若CE=BE，tan∠B=，⊙O的半径是3，求EC的长．
20．如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的圆O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为圆O的切线；
（2）连接OE，若BC＝4，求△OEC的面积．
21．如图，为正的外接圆．
（1）尺规作图：作的角平分线于点D；
（2）过点D作的切线，交的延长线于点M．
①求证：；
②连接，若，求的半径．
22．在中，直径，是弦，，点在上，点在上，且．
（1）如图1，当时，求的长度；
（2）如图2，当点在上移动时，求长的最大值．
23．如图，在中，，以AB为直径的分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线与的切线AF交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求CE，AF的长．
24．已知：如图，在中，以为直径的分别交于点，且．过点作的切线，交的延长线于点，且，求的值．
25．如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点C作的垂线交的延长线于点E，点F为的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若B为半圆弧的中点，，求的长．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E，点F为CE的中点，连接DF，DE，AD．
（1）求证：CD＝DE．
（2）若OA＝5，sin∠CAB＝，求DF的长．
27．如图，在中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
28．如图，在中，，为的中点，以为直径的分别交，于点，两点，过点作于点．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，，求的长．
29．如图，在中，，以为直径作，在上一点，．
（1）求证：是的切线；
（2）过作分别与、和交于点、、，若，．求的半径长．
30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，点E是上一点，点D关于CE的对称点F恰好落在DA的延长线上，连结CF．
（1）求证：∠BAD＝∠ECF．
（2）若tan∠BAD＝，AF＝9，求⊙O的半径．
31．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，BD交AC于点E，过点D作DF⊥DB，DF交BA延长线于点F．
（1）求证：AF＝BC；
（2）如果AB＝3AF，＝ （直接写出答案）
（3）过点F作FG∥BD交CA延长线于点G，求证：AG＝CE．
32．如图，AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，连接AC、BC，点Q是△ABC内一点，且有∠QAB＝∠QCA．
（1）求∠AQC的度数．
（2）线段QA、QC、QB三者之间的数量关系为： ，并说明理由．
（3）若，求∠AQB的度数．
33．（1）如图①，在△ABC中，，AB=4，AC=3，若AD平分∠BAC交于点，那么点到的距离为 ．
（2）如图②，四边形内接于，为直径，点B是半圆的三等分点（弧弧），连接，若平分，且，求四边形的面积．
（3）如图③，为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会很多公园都在进行花卉装扮，其中一块圆形场地圆O，设计人员准备在内接四边形ABCD区域内进行花卉图案设计，其余部分方便游客参观，按照设计要求，四边形ABCD满足∠ABC=60°，AB=AD，且AD+DC=10（其中 ），为让游客有更好的观体验，四边形ABCD花卉的区域面积越大越好，那么是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出这个最大值，不存在请说明理由．
参考答案
1．（1）60°；（2）
【分析】
（1）连接BD，根据AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°，进而可以求∠DAB的度数；
（2）根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半可得AD的长，再根据垂径定理和特殊角三角函数值可得EF＝DE的值，进而可得DF的长．
【详解】
解：（1）如图，连接BD，
∵∠ACD＝30°，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠B＝60°；
（2）∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴AD＝AB＝2，
∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，
∴EF＝DE＝ADsin60°＝，
∴DF＝2DE＝．
【点拨】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
2．
【分析】
连接，作弦的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接，由于水面高可求出OD的长，根据，，得出AD是线段的垂直平分线，进而得出，根据扇形及三角形的面积即可求解．
【详解】
解：如图，连接，作弦的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接．
，
．
．
又，
是线段的垂直平分线．
．
从而．
，
，
有水部分的面积，
，
，
．
【点拨】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
3．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠DAB，根据等边对等角得到∠DAB=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解；
（2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，则∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根据S阴影=S△DOF-S扇形DOB即可得解；
（3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，则MB=，再根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，的半径为2，
，
，
如图，连接，
是的直径，，
，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
；
（3）如图，过点作于点，连接，
在中，，，
，
．
【点拨】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质并证明△OGD∽△EGA求出AE是解题的关键．
4．（1）；（2）①；②；（3）
【分析】
（1）由题意得：，而即可求解；
（2）①如图1，连接并延长交圆于点，连接，；②如下图：连接、、，当在上，最大即可求解；
（3）如图3，延长和交于点，先求解，证明，再利用，从而可得结论．
【详解】
解：（1）由题意得：，而，
；
（2）①如图1，连接并延长交圆于点，连接，
则，
为直径， 则
；
②如图2：连接，由（1）得：
平分

，，
则为等边三角形，延长到，使得，
又，，
，，
，
为等边三角形，
则，则，
为定点，而为弧上的动点，要最长，
则为圆的直径，故直径；
（3）如图3，延长和交于点，
是直径，则，而
则，
则，
，
故：．
【点拨】本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的性质与判定，锐角三角函数的应用，灵活运用以上知识解题是解题的关键.
5．（1）证明见解析；（2）①；②
【分析】
（1）先证明再证明从而可得答案；
（2）①由矩形的性质与勾股定理先求解 设 则再利用勾股定理可得答案；② 设 由对折可得： 为的中点，则 证明 由 再建立方程，从而可得答案.
【详解】
解：（1） 矩形ABCD，

是的直径，

四边形是矩形；
（2）①由对折可得：
矩形ABCD，AB＝6，


设 则



② 矩形
，

设
由对折可得：


为的中点，

由

解得： 经检验：是原方程的解，且符合题意；


【点拨】本题考查的圆周角定理及推论，矩形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.
6．（1）120°；（2）
【分析】
（1）连接，设，由题意可得，根据切线性质可得，即可求解；
（2）由图形可得图中阴影部分的面积为，分别求得即可求解．
【详解】
（1）证明：连接，如下图：
∵，，
设，∴
∵是的切线，
∴，
∴，即，解得
∴．
（2）解：∵，
∴．
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴图中阴影部分的面积为．
【点拨】此题考查了圆的综合应用，涉及了切线的性质、等腰三角形和直角三角形的性质、三角函数的性质以及扇形面积公式，熟练掌握相关基本性质和知识是解题的关键．
7．（1）证明见详解；（2）．
【分析】
（1）连结OD，由点O为AC中点，点D为BC中点，可得OD∥AB，由，可证即可；
（2）由OD∥AB，OC=OD，可得∠FOD=∠A，由，可得，可求OD=，由OD为△CAB的中位线，AB=2OD=，再求AF= ，根据三角函数可求AE即可．
【详解】
（1）证明：连结OD，
∵点O为AC中点，点D为BC中点，
∴OD为△CAB的中位线，
∴OD∥AB，
∵，
∴
∴直线是的切线；
（2）解：∵OD∥AB，OC=OD，
∴∠FOD=∠A，
∵，
∴，
解得OD=，
∵OD为△CAB的中位线，
∴AB=2OD=，
∵AC=2OC=2OD=，
∴AF=FC+AC=5+，
∴AE=AF，
∴BE=AB-AE=．
【点拨】本题考查圆的切线判定，三角形中位线判定与性质，平行线性质，锐角三角函数，线段和差，掌握上述知识是解题关键．
8．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据，可得，根据对顶角相等可得，进而可得，根据，可得，结合，根据角度的转化可得，进而即可证明是的切线；
（2）根据，可得，设，则，分别求得，进而根据勾股定理列出方程解方程可得，进而根据即可求得．
【详解】
（1），
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
是的切线；
（2），
，
，
设，则，
，，
在中，，
即，
解得（舍去），
．
【点拨】本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．
9．（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】
（1）由正方形和圆的性质可知DC＝AB，又DC＝DP，即AB＝DP；
（2）通过SSS证明△ODP≌△OCD，得∠DPO＝∠C＝90°即可证明；
（3）通过HL证明Rt△OBE≌Rt△OPE，得∠BOE＝∠POE，由（2）知∠DOP＝∠DOC，可证∠DOE＝90°，从而∠BOE＝∠ODC，求出tan∠ODC即可得出答案．
【详解】
证明（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝AB，
又∵DC＝DP，
∴DP＝AB，
（2）连接DO，PO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，
在△ODP与△OCD中，
，
∴△ODP≌△ODC（SSS），
∴∠DPO＝∠C＝90°，
又∵OP是⊙O的半径，
∴DE为半圆O的切线．
（3）连接EO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO＝90°，
∵∠DPO＝90°，
∴∠EPO＝90°＝∠B，
在Rt△OBE与Rt△OPE中，
，
∴Rt△OBE≌Rt△OPE（HL），
∴∠BOE＝∠POE，
由（2）得△ODP≌△OCD，
∴∠DOP＝∠DOC，
∴∠BOE+∠DOC＝90°，
又∵∠DOC+∠CDO＝90°，
∴∠BOE＝∠CDO，
∵点O是AB的中点，
∴，
在Rt△COD中，
．
【点拨】本题考查了正方形的性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，掌握并灵活运用相关性质是解题的关键．
10．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接，，因为，所以，从而易证，所以，继而可证明；
（2）设的半径为，则，在中，，从而可求出的值．
【详解】
解：（1）证明：连接，，
，
，
，
，
，
，
，
与边相切于点，
，
，
；
（2）在，，，，
，
设的半径为，则，
在中，，
，
．
【点拨】本题考查了圆中弧、弦之间的关系，圆周角定理的推论，切线的性质和解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键．
11．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接BC，由DF=BF得∠DBG=∠BDC，再由圆的性质可得∠BDC=∠BCD，∠BGD=∠BCD，即可得要证结论；
（2）过点作于，连接，过作于，易得D，H，O三点共线，则由三角形中位线定理得AG=2OH，易证，得OH=OE，∠OFB=∠OFD，则OH=OE，设，则，则在Rt△OED中由勾股定理得，由圆内接四边形性质及已知易得∠DAE=∠DAM，从而可得DE=DM，由可求得x，从而由求得EF，在中，由勾股定理可得EF的长．
【详解】
（1）如图，连接，
，
．
，
．
．
，
．
．
．
（2）过点作于，连接，过作于，
．
，
，，三点在同一条直线上，
，
是的中位线．
．
，，，
．
．
，，
．
设，则，
．
，．
在中，由勾股定理可求得，
，
．
，
．
，，
．
．
解得：．
，，，．
在中，由勾股定理可得．
．
．
在中，由勾股定理可得．
【点拨】本题是圆的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，三角形中位线定理，垂径定理，圆内接四边形性质，同弧所对的圆周角相等等知识，关键熟练掌握圆的相关知识外，重视与其它几何图形结合的综合分析能力的培养，学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
12．（1）见解析；（2）3；（3），理由见解析
【分析】
（1）先求出∠BAD＝120°，再求出∠OAB，进而得出∠OAD＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出△AOC是等边三角形，得出AC＝OC，再判断出AC＝CD，即可得出结论；
（3）先判断出∠CAP＝∠CEM，进而得出△ACP≌△ECM（SAS），进而得出CM＝CP，∠APC＝∠M＝30°，再判断出，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在上，
∴直线是的切线；
（2）解：如图1，连接，
由（1）知，，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
即的半径为3；
（3），
理由：如图，
，
，
连接，延长至，使，连接，
，为的直径，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，，
过点作于，
，
在中，，
，
，
，
，
，
即．
【点拨】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键．
13．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC，由圆周角定理及等腰三角形的性质得出∠OCE=90°，则可得出答案；
（2）连接OB，证明是等腰直角三角形得出OC=4，再证明，根据求解即可．
【详解】
解：（1）证明：连接OC，
∵，
∴∠ACB=∠CAD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠CAD，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠OCA=∠ECD，
∵∠ACD=∠OCA+∠OCD=90°，
∴∠ECD+∠OCD=90°，
即：∠OCE=90°，
∴OC⊥EF，
∵OC是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）连接OB，
∵OC⊥EF
∴∠OCE=90°，
∵∠E=45°，
∴∠E=∠COE=45°，
∴是等腰直角三角形
∵
∴
∵AD是直径
∴
∴
∵OA=OC
∴
∴
∵
∴
∴
∵OB=OC
∴
∴
∴
∴．
【点拨】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．
14．（1）见解析；（2）1
【分析】
（1）连接OM，证明OMBC，再根据等腰三角形的性质判断AE⊥BC，则OM⊥AE，最后根据切线的判定定理即可得证；
（2）连接GF，先求⊙O半径从而得到BF，再用＝sin∠GFB＝sin∠BAE即可得到答案．
【详解】
解：（1）连接OM，如图：
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM，
∵OM＝OB，
∴∠ABM＝∠BMO，
∴∠BMO＝∠CBM，
∴BCOM，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）连接GF，如图：
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴BE＝CE＝BC，∠AEB＝90°，
∵BC＝4，AC＝6，
∴BE＝2，AB＝6，
∴sin∠EAB＝，
设OB＝OM＝r，则OA＝6﹣r，
∵AE是⊙O切线，
∴∠AMO＝90°，
∴sin∠EAB＝＝，
∴＝，
解得r＝1.5，
∴OB＝OM＝1.5，BF＝3，
∵BF为⊙O直径，
∴∠BGF＝90°，
∴GFAE，
∴∠BFG＝∠EAB，
∴sin∠BFG＝，即＝，
∴BG＝1．
【点拨】本题考查了圆的切线的判定，三角函数，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的意义是解题的关键．
15．（1）④；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可；
（2）根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形，即可得到AC=DE，再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果；
（3）过点O作OE⊥BD，根据面积公式可求得BD的长，根据垂径定理和锐角三角函数即可得到⊙O的半径．
【详解】
解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；
②矩形对角线相等但不一定垂直，故不是垂等四边形；
③菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故不是垂等四边形；
④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
故选：④；
（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，
∴AC∥DE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC=DE，
又∵∠DBC=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD=DE，
∴BD=AC，
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是垂等四边形；
（3）如图，过点O作OE⊥BD，连接OD，
∵四边形ABCD是垂等四边形，
∴AC=BD，
又∵垂等四边形的面积是24，
∴AC•BD=6，
解得，AC=BD=，
又∵∠BCD=60°，
∴∠DOE=60°，
设半径为r，根据垂径定理可得：
在△ODE中，OD=r，DE=，
∴r==2，
∴⊙O的半径为2．
【点拨】本题是一道圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、新定义、圆周角定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答问题．
16．（1）见解析；（2）线段BG的长为1．
【分析】
（1）连接OM，证明OM∥BC即可；
（2）连接GF，先求⊙O半径从而得到BF，再用=sin∠GFB=sin∠BAE即可得到答案．
【详解】
解：（1）连接OM，如图：
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∵OM=OB，
∴∠ABM=∠BMO，
∴∠BMO=∠CBM，
∴BC∥OM，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）连接GF，如图：
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴BE=CE=BC，∠AEB=90°，
∵BC=4，AC=6，
∴BE=2，AB=6，
∴sin∠EAB=，
设OB=OM=r，则OA=6-r，
∵AE是⊙O切线，
∴∠AMO=90°，
∴sin∠EAB=，
∴，解得r=1.5，
∴OB=OM=1.5，BF=3，
∵BF为⊙O直径，
∴∠BGF=90°，
∴GF∥AE，
∴∠BFG=∠EAB，
∴sin∠BFG=，即，
∴BG=1．
【点拨】本题考查了圆的切线判定及圆中线段的计算，解题的关键是求出圆的半径．
17．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠ABC，进而证明结论；
（2）根据圆周角定理求出∠BOC，根据正切的定义求出CD，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠BAC=∠BCD；
（2）解：∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，
∴CD=OC•tan∠COD=，
∴阴影部分的面积=S△OCD-S扇形COB
=
=．
【点拨】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
18．（1）见解析；（2）⊙O的半径为．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，∠OCE＝∠E，推出∠ACO＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠CFO＝30°，解直角三角形得到DF＝AD＝，EF＝3OE＝，即可得到结论．
【详解】
（1）证明：连接CO，如图：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠E，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
∴∠B+∠E＝90°，
∴∠ACB+∠OCE＝90°，
∴∠ACO＝90°，
∴AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠E＝30°，
∴∠OCE＝30°，
∴∠FCE＝120°，
∴∠CFO＝30°，
∴∠AFD＝∠CFO＝30°，
∴DF＝AD÷tan30°=AD＝，
∵BD＝5，
∴DE＝BD÷tan30°=5，
∵OF＝2OC，
∴EF＝3OE＝4，
∴OE＝，
即⊙O的半径＝．
【点拨】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）；
【分析】
（1）证明∠DAC+∠BAD=90°，则∠BAC=90°，可得出结论；
（2）设EC=EB=x，在Rt△AEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠DAC=∠B，
∴∠DAC+∠BAD=90°，
∴∠BAC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BCE=∠B，
∴EC=EB，设EC=EB=x，
在Rt△ABC中，，AB=6，
∴AC=3，
在Rt△AEC中，∵EC2=AE2+AC2，
∴x2=（6-x）2+32 ，
解得x=，
∴CE=．
【点拨】本题考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
20．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由△ABC 是等腰三角形，可得CA=CB，则∠A = ∠B，又由OD=OB，可得∠ODB = ∠B，所以∠A = ∠ODB，即OD ∥AC，又OD⊥DE， AC⊥DE，所以DE是⊙O的切线继而可证得结论；
（2）连接DC．首先证△ODC为等边三角形，再根据三角函数的性质，求得AD、CD、ED、AE、EC的长，然后求得S△OEC =OC∙EF.
【详解】
解：（1）连接OD.
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB.
又∵∠A=∠B=30°
∴∠A=∠ODB，
∴DO∥AC ，
∵DE⊥AC ，
∴OD⊥DE．
∴DE为⊙O的切线．
（2）连接DC．
∵∠OBD=∠ODB=30°，
∴∠DOC=60°．
∴△ODC为等边三角形．
∴∠ODC=60°，
∴∠CDE=30°
又∵BC=4，
∴DC=2，
∴CE=1．
过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F．
∵∠ECF=∠A+∠B=60°,
∴EF=CE·sin60°=1×=
∴S△OEC =OC∙EF=×2×=.
【点拨】本题主要考查了切线的判定，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角函数等知识，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
21．（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】
（1）按尺规作图作角平分线的方法进行即可；
（2）①利用等边三角形三线合一的性质及切线的性质即可证明；②设BD与AC交于点F，连接OA，设⊙O的半径为r，利用含30度角直角三角形的性质可得OF的长，从而可得BF的长，在中由余弦的三角函数可得AB的长，再在中，由余弦的三角函数建立方程即可求得半径r．
【详解】
（1）作图如下
（2）①∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC
∴BD⊥AC
∴BD过圆心O
∵DE是⊙O的切线
∴BD⊥DE
∴AC∥DE
②设BD与AC交于点F，连接OA，如图
设⊙O的半径为r，则OA=OB=r
∴∠OBA=∠OAB
∵BD平分∠ABC
∴∠OBA=∠OAB=30゜
∴∠OAF=60゜-30゜=30゜
∴OF=
∴
在中，
∴
在中，BD=2r，且
∴
解方程得：
即⊙O的半径为．
【点拨】本题考查了尺规作图，圆的切线的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数等知识，关键是运用三角函数建立方程．
22．（1）；（2）
【分析】
（1）连接OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=；
（2）（2）连接OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ=，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则，所以PQ长的最大值=．
【详解】
解：（1）连接，如图1，
∵，，
∴，
在中，∵，，
∴，
在中，∵，，
∴；
（2）连接，如图2，在中，
，
当的长最小时，的长最大，
此时，则，
∴长的最大值为．

【点拨】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．也考查了解直角三角形．
23．（1）见解析；（2），
【分析】
（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB＝90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF＝∠ABD．然后由BA＝BC，证得：∠ABC＝2∠CAF；
（2）首先连接AE，设CE＝x，由勾股定理可得方程：（2）2＝x2＋（3x）2．然后由，求得答案．
【详解】
（1）证明：如图，连接BD．
∵AB为的直径，
∴，
∴,
∵是的切线，
∴，即,
∴,
∵，，
∴,
∴；
（2）如图，连接，
∴，
设，
∵，
∴，，，
在中，，
即，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，解得．
【点拨】本题考查了切线的性质，三角函数以及勾股定理，难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
24．．
【分析】
根据为直径，，可得，过点作于点，根据，容易证得，根据是切线，，可证，可求得，，设，，则有，， 在中，，得到，在中，，即，可求得，根据，可求得结果．
【详解】
解：为的直径，
，
即：
又，
；
过点作于点，
是圆的直径，
∴，
又∵是切线，
，，
，
，
∵是切线，
∴
，
，
，
设，，
则有，，
在中，
∴
在中，
即：，
∴
∴．
【点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识，能熟练应用相关性质是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）直接利用直角三角形的性质得出，再求出，得出答案即可；
（2）首先得出即可得出它们的长，由此可得，再证明，由此可得，进而利用锐角三角函数可分别表示出，，最后利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
（1）证明：连接．
，
．
为的直径，
．
点为的中点，
，
，
，
，
又，
．
是的切线．
（2）解：为的直径，
，
∵B为半圆弧的中点，
，
，
在中，，
又，，
．
，
，
又∵，
，
∴，
设为，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
又∵在中，，
∴，
解得：（舍负），
∴．
【点拨】此题主要考查了切线的判定以及解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数的知识是解题关键．
26．（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）由AB＝AC得到∠C＝∠B，由圆内接四边形ABDE得到∠CED＝∠B，进而得到∠CED＝∠C，故CD＝DE．
（2）由sin∠CAB＝得到BE的长，由AB＝AC，AD⊥BC得到D是BC的中点，得到FD为△CEB的中位线，进而求得DF的长．
【详解】
证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵圆内接四边形ABDE，
∴∠CED＝∠B，
∴∠CED＝∠C，
∴CD＝DE，
解：（2）连接BE，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∵sin∠CAB＝，AB＝2OA＝10，
∴BE＝8，
∵AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AB为直径，
∴∠ADC＝90°
∴AD⊥BC，
由三线合一得：D是BC的中点，
∵点F为CE的中点，
∴FD为△CEB的中位线，
∴DF＝＝4．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，锐角三角函数等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
27．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OA，然后证明，即可得到，从而得证；
（2）设的半径为，则，先利用勾股定理求出r，然后利用三角函数求出，再利用求解即可.
【详解】
解：（1）证明：连接OA．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）设的半径为，则，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了圆切线的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
28．（1）与相切，理由见解析；（2）
【分析】
(1)如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，于是得到结论；
(2)连接DF，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到∠DFC＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
解：（1）与相切．
理由：如图，连接，，
，为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与相切；
（2）连接，，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
即：，
．
【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
29．（1）见解析； （2）5
【分析】
（1）连接OD、CD，由AD=AC，OD=OC，可得∠ADC=∠ACD，∠ODC=∠OCD，又CA为的切线，可知∠ADO=∠ACB=90°，即可求证；
（2），，解三角形可得BE=2，EF=4，由tan∠BCD=，可得CE=2DE，根据垂径定理可知DE=EF，从而可得CE=8，即可求解．
【详解】
证明：（1）如图，连接OD，CD，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ADC+∠ODC=∠ACD+∠OCD，即∠ADO=∠ACB，
∵BC为直径，AC为切线，
∴BC⊥AC，
∴∠ADO=∠ACB=90°，
∴AD是的切线；
（2）∵，
在Rt△BEF中， ，
∴，
∴EF=2BE，
∵BE2+EF2=BF2，
∵，
∴ ，
解得：BE=2，EF=4，
∵∠BCD=∠BFD，
∴tan∠BCD=，即 ，
∴CE=2DE，
∵BC为直径，，
∴DE=EF=4，
∴CE=2DE=8，
∴的半径长 ．
【点拨】本题主要考查了切线的性质与判定，及锐角三角函数解直角三角形，掌握直角三角形中三角函数表示线段比进行转化是解决此题关键．
30．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接，则，再根据轴对称的性质，可得，，即可求解；
（2）设，，根据三角函数关系求得，再根据勾股定理求得即可求解．
【详解】
解：（1）连接，如下图：
∵AB是⊙O的直径
∴，即
∵点D与点F关于CE的对称
∴，
∴
∴
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB
∴
∴
∴
（2）设与的交点为，与的交点为，如下图：
设，
∵，
∴，
由题意可得：
由（1）得
∴
∴，即
根据三角函数关系
可得，
∴
由（1）得：，
∴，
即，解得
∴
由勾股定理得：
∴，即半径为
【点拨】此题考查了圆的有关性质以及三角函数的定义和关系，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
31．（1）见解析；（2）；（3）见解析．
【分析】
（1）根据对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，得出AD=CD，然后根据圆内接四边形的性质得出∠DAF=∠DCB，最后根据ASA得出△DAF≌△DCB即可证明；
（2）设AF=a，AB=3AF=3a，根据△DAF≌△DCB表示出BC的长度，利用勾股定理表示出AC和AD的长度，过点B作BM⊥AC于点M，连接OD，根据面积法和等腰直角三角形的性质表示出OD和BM的长度，最后根据相似即可求出的值．
（3）DF交⊙O于点N，在DF上截取DP=DE，连接PA，PG，AN，根据题意证明出，由全等三角形的性质和得出AP=CE，，然后根据圆内接四边形的性质得出，最后由即可证明．
【详解】
(1)证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴AD=CD，
∵DF⊥DB，
∴∠BDF=∠ADC=90°
∴∠ADF=∠CDB，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
又∵∠BAD+∠DAF=180°，
∴∠DAF=∠DCB，
∴△DAF≌△DCB，
∴AF=BC．
（2）设AF=a，AB=3AF=3a，
由（1）△DAF≌△DCB，
∴BC=AF=a，
在Rt△ABC中，，
在Rt△ADC中，，
过点B作BM⊥AC于点M，
则BM=，
连接OD，则OD=，
∵是等腰直角三角形，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BM，即，
∴．
（3）证明：DF交⊙O于点N，在DF上截取DP=DE，连接PA，PG，AN，
由（1）知，，AD=CD，
∴，
∴AP=CE，，
∴，
∵四边形ABDN内接于⊙O，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，AF=AN，
∴，
又∵FG∥BD，
∴，
∴，
∴，
∴AG=AP=CE．
【点拨】此题考查了全等三角形的性质和证明，相似三角形的性质和判定，圆内接四边形的性质等内容，解题的关键是根据题意作出辅助线构造出全等三角形．
32．（1）135°；（2）AQ2+2QC2=BQ2，理由见详解；（3）150°
【分析】
（1）先证是等腰直角三角形，可得∠QAB+∠QAC=∠BAC=45°，进而即可得到答案；
（2）把CQ绕点C顺时针旋转90°得到CQ’，连接QQ’，AQ’，则是等腰直角三角形，再证，∠AQQ’=135°-45°=90°，进而即可得到答案；
（3）设CQ=3x，AQ=，则QQ’=3x，从而得tan∠AQ’Q=，即：∠AQ’Q=30°，结合，即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，
∴是等腰直角三角形，
∴∠QAB+∠QAC=∠BAC=45°，
∵∠QAB＝∠QCA，
∴∠QCA +∠QAC=45°，
∴∠AQC=180°-（∠QCA +∠QAC）=135°；
（2）如图：把CQ绕点C顺时针旋转90°得到CQ’，连接QQ’，AQ’，则是等腰直角三角形，
∴∠CQQ’=45°，QQ’=QC，
∵∠QCQ’=∠ACB=90°，
∴∠ACQ’=∠BCQ，
又∵AC=BC，CQ=CQ’，
∴，
∴AQ’=BQ，
∵∠AQC=135°，
∴∠AQQ’=135°-45°=90°，
∴AQ2+QQ’2=AQ’2，
∴AQ2+2QC2=BQ2；
（3）∵，
∴设CQ=3x，AQ=，则QQ’=3x，
∴tan∠AQ’Q=，即：∠AQ’Q=30°，
∴∠AQ’C=30°+45°=75°，
∵，
∴∠BQC=∠AQ’C=75°，
∴∠AQB=360°-135°-75°=150°．
【点拨】本题主要考查圆的综合以及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
33．（1）；（2） 四边形ABCD的面积为32；（3）存在 ．
【分析】
（1）如图，作辅助线，证明AE=DE；证明△BDE∽△BCA ，得到，列出比例式即可解决问题．
（2）（2）连接OB，根据题意得∠AOB=60°，作AE⊥BD，利用解直角三角形可求AB的长，通过解直角三角形分别求出BC，AD，CD的长，再根据面积公式求解即可；
过点A作AN⊥BC于点N，AM⊥DC，交DC的延长线于点M，连接AC，可得，根据面积法求出关于面积的二次函数关系式，根据二次函数的性质求出最值即可．
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E．
则DE//AC；
∵AD平分∠BAC，∠BAC=90°，
∴∠DAE=45°，∠ADE=90°−45°=45°，
∴AE=DE（设为λ），
则BE=4−λ；
∵DE//AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴，即：
解得：λ= ，
∴点D到AC的距离．
（2）连接OB，
∵点B是半圆AC的三等分点（弧AB＜弧BC），
∴
∴
∵AC是的直径，
∴
∵BD平分∠ABC
∴
过点A作AE⊥BD于点E，则
∴AE=BE
设AE=BE=x，则
∵BD=BE+DE=
∴x=
∴
∵
∴
∴BC=
∵BD平分∠ABC
∴
∴
∴AD=CD
∵AE⊥DE
∴
∵,
∴
∴
=
=
=32；
（3）过点A作AN⊥BC于点N，AM⊥DC，交DC的延长线于点M，连接AC，

∵AB=AD
∴∠ACB=∠ACD
∴AM=AN
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠ADM=180°,
∴∠ABC=∠ADM
又∠ANB=∠AMD=90°，
∴△ABN≌△ADM
∴
∵AN=AM，∠BCA=∠DCA，AC=AC
∴△ACN≌△ACM
∴
∵∠ABC=60°
∴∠ADC=120°
∴∠ADM=60°，∠MAD=30°
设DM=x，则AD=2x，
∴
∵
∴，即
∵抛物线对称轴为x=5
∴当x=4时，有最大值，为
【点拨】本题属于圆综合题，考查了三角形的面积，解直角三角形，角平分线的性质定理，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．