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    卷3-备战2023年中考数学全真模拟卷·第三辑(原卷版 ) +解析卷

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    卷3-备战2023年中考数学全真模拟卷·第三辑(原卷版 ) +解析卷

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    这是一份卷3-备战2023年中考数学全真模拟卷·第三辑(原卷版 ) +解析卷,文件包含卷3-备战2023年中考数学全真模拟卷·第三辑原卷版docx、卷3-备战2023年中考数学全真模拟卷·第三辑解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共33页, 欢迎下载使用。
    (本卷共26小题,满分150分)
    第I卷(选择题)
    一、选择题:(本大题8个小题,每小题4分,共32分)
    1.(2023山西太原·中考模拟预测)在-2,-5,0,2这四个数中,最小的数是( )
    A.-2B.-5C.0D.2
    【答案】B
    【分析】根据实数比较大小的法则进行比较即可.
    【详解】根据有理数比较大小的方法,可得

    ∴在-2,-5,0,2这四个数中,最小的数是-5.
    故选:B.
    【点睛】本题主要考查了有理数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小.
    2.(2023年陕西西安·模拟预测)“冰丝带”屋顶上的光伏电站,可输出约 44.8万度/年的清洁电力.用科学记数法表示为( )
    A.0.448×106度B.4.48×106度C.44.8×104度D.4.48×105度
    【答案】D
    【分析】用科学记数法表示较大的数时,注意中a的范围是.
    【详解】44.8万度=448000万度=万度
    故选D
    【点睛】本题考查科学记数法的写法,掌握科学记数法的表示方法是本题关键.
    3.(2022年四川省成都市武侯区二诊模拟试题)如图所示的正五棱柱的主视图是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项.
    【详解】解:由题意得:该几何体的主视图为 ;
    故选B.
    【点睛】本题主要考查几何体的三视图,熟练掌握三视图是解题的关键.
    4.(2022年江苏省扬州市邗江区中考二模数学试题)下列运算结果为m4的是( )
    A.m2+m2B.m6-m2C.(-m2)2D.m8÷m2
    【答案】C
    【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法依次计算判断即可.
    【详解】解:A、,不符合题意;
    B、不能进行计算;
    C、,符合题意;
    D、,不符合题意;
    故选:C.
    【点睛】题目主要考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法,熟练掌握各个运算法则是解题关键.
    5.(2022·河北保定中考模拟)如图,四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形,若OA:OA′=2:3,则四边形ABCD与四边形的面积比为( )
    A.4:9B.2:5C.2:7D.2:3
    【答案】A
    【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比,根据相似多边形的性质解答.
    【详解】解:四边形和是以点为位似中心的位似图形,,

    四边形与四边形的面积比为:,
    故选:A.
    【点睛】本题考查的是位似变换的性质,解题的关键是掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质.
    6.(2022年四川省广安市岳池县中考第二次诊断数学试题)已知一组数据为:4,5,6,6,6,7,8.其平均数、中位数和众数的大小关系是( )
    A.众数=中位数=平均数B.中位数<众数<平均数
    C.平均数>中位数>众数D.平均数<中位数<众数
    【答案】A
    【分析】根据平均数的计算公式、中位数和众数的定义即可得.
    【详解】这组数据的平均数为,
    将这组数据按从小到大进行排序后,第4个数即为中位数,
    则其中位数为6,
    因为6出现的次数最多,
    所以其众数是6,
    综上,众数=中位数=平均数,
    故选:A.
    【点睛】本题考查了平均数、中位数和众数,熟练掌握计算公式和定义是解题关键.
    7.(2022·重庆市中考模拟预测)《九章算术》中有这样一个题:“今有五雀、六燕,集称之衡,雀俱重,燕俱轻.一雀一燕交而处,衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何?”译文:“今有5只雀、6只燕,分别放在一起而且用称称重,5只雀总重量比6只燕的总重量要重.若交换一只雀、一只燕,它们重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤.问每1只雀、燕各重多少斤?”设每一只雀的重量为x斤,每一只燕的重量为y斤,则可建立方程组为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【分析】根据“交换一只雀、一只燕,它们重量相等,5只雀和6只燕重量为1斤”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,此题得解.
    【详解】解:依题意,得:,
    即.
    故选:C.
    【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
    8.(贵州省毕节市2021年中考数学真题)如图,已如抛物线开口向上,与轴的一个交点为,对称轴为直线.下列结论错误的是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】根据抛物线的图象,数形结合,逐一解析判断,即可解决问题.
    【详解】解:】解:∵抛物线开口向上,对称轴为直线,
    ∴a>0,b<0;由图象知c<0,∴abc>0,故A不符合题意;
    ∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,对称轴是直线x=1,与x轴的一个交点是(-1,0),
    ∴抛物线与x轴的另一个交点是(3,0);
    ∴即故B不符合题意;
    当x=2时,,即,故C符合题意;
    ∵抛物线对称轴为直线 ∴,即,故D不符合题意,故选:C.
    【点睛】该题主要考查了二次函数的图象与系数的关系,抛物线的单调性、对称性及其应用问题;灵活运用有关知识来分析是解题关键.
    第II卷(非选择题)
    二、填空题:(本大题5个小题,每小题4分,共20分)
    9.(2021年江苏省扬州市数学模拟试题)如果,,则______.
    【答案】70
    【分析】直接提取公因式,再代入求出即可.
    【详解】解:∵,,
    ∴.
    故答案为:70.
    【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式进行分解因式是解题关键.
    10.(2023年四川省成都市武侯区中考二模数学试题)如图,是的直径,是上一点,是上一点,且,若,则______.
    【答案】/度
    【分析】先根据圆周角定理求得,再根据平行线的性质和等腰三角形的性质证得即可求解.
    【详解】解:连接,
    ∵,,∴,
    ∵,∴,
    ∵,∴,∴,答案为:.
    【点睛】本题考查圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质,熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解答的关键.
    11.(2023年浙江省温州市中考第一次适应性测试数学试题)不等式组的解集为_____________.
    【答案】
    【分析】解第一个不等式得,解第二个不等式得,然后求出它们的公共部分即可得到不等式组的解集.
    【详解】解:,
    解不等式①,得:,
    解不等式②,得:,
    所以,不等式组的解集为:,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了解一元一次不等式组:先分别求出各个不等式的解集,则它们的公共部分即为不等式组的解集;按照“同大取大,同小取小,大于小的小于大的取中间,大于大的小于小的为空集”得到公共部分.
    12.(2023年江苏省镇江市句容市中考模拟预测)若点(m,n)在函数y=2x+1的图象上,则2m﹣n的值是_____.
    【答案】﹣1
    【分析】直接把点(m,n)代入函数y=2x+1即可得出结论.
    【详解】解:∵点(m,n)在函数y=2x+1的图象上,
    ∴2m+1=n,即2m﹣n=﹣1.
    故答案为﹣1.
    13.(2033年湖南长沙中考数学预测)如图,在中,尺规作图如下:分别以点点为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于两点,作直线交于点交于点若则______.
    【答案】8
    【分析】直接根据线段垂直平分线的作法和性质即可得出结论.
    【详解】解:由作图可知,GH垂直平分线段EF,
    ∴,
    故答案为:8.
    【点睛】本题考查的是作图−基本作图,熟知线段垂直平分线的作法和性质是解答此题的关键.
    三、解答题(本大题5个小题,共48分)
    14.(2022年成都中考模拟预测)(1)计算:
    (2)解方程:
    【答案】(1)12;(2).
    【分析】(1)由代入解答;
    (1)由十字相乘法解答.
    【详解】解:(1)
    (2)

    【点睛】本题考查实数的混合运算、解一元二次方程等知识,涉及正弦、零指数幂与负指数幂、化简绝对值、十字相乘法等知识,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.
    15.(2023年黑龙江省哈尔滨市中考一模数学试题)“冰雪运动”是哈尔滨的特色运动,体育总局为了解市民对“冰雪运动”项目:“A雪橇”、“B花样滑雪”、“C冰壶”、“D短道速滑”四种不同运动项目的喜爱情况,对某居民区的居民进行了抽样调查,并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整).请根据以上信息回答:
    (1)本次参加抽样调查的市民人数是多少人;
    (2)通过计算将条形统计图补充完整;
    (3)若该居民区有7500人,请估计该居民区喜爱“C冰壶”和“D短道速滑”的居民共有多少人;
    【答案】(1)500人
    (2)见解析
    (3)4500人
    【分析】(1)根据喜爱B花样滑雪的人数是50人,所占的比例是,据此即可求得本次参加抽样调查的市民人数;
    (2)利用总人数减去喜爱运动项目的人数即可求得喜爱C冰壶的人数,从而补全直方图;
    (3)利用总人数7500乘以对应的百分比即可求得.
    【详解】(1)解:(人)
    答:本次参加抽样调查的市民入数是500人.
    (2)解:(人),
    ∴喜爱冰壶的人数为100人,
    补全图形如下:
    (3)(人)
    答:估计该居民区喜爱“C冰壶”和“D短道速滑”的居民共有4500人.
    【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
    16.(2023年四川省成都市中考二模数学试题)升降台可以自主调节台面高度,能满足不同人群的学习和工作需求.某数学兴趣小组开展自制升降台的综合实践活动,如图为该升降台的截面示意图,其中,为长度相等的活动支架,两组支架的中点固定在一起,经测量,台面的最低高度为25cm,此时支架张角,将台面抬升至最大高度后(点是点的对应点,且点,与在一条垂直于的直线上),支架张角,求该升降台抬升后的最大高度的长.(参考数据:,,)
    【答案】该升降台抬升后的最大高度的长约为41cm
    【分析】可证,从而可求(),,进而可求解.
    【详解】解:点是的中点,点是的中点,
    ,,





    ,,
    ,(),(),
    由题意得:,,

    在中,(),
    该升降台抬升后的最大高度的长约为41cm.
    【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,三角函数值等,掌握直角三角形的解法是解题的关键.
    17.(2023年内蒙古包头市中考一模数学试题)如图,CD为的弦,直径于点E,点M为上一点,.
    (1)求证:.
    (2)若,求.
    【答案】(1)见解析
    (2)
    【分析】(1)先根据垂径定理得出,再由可知,设,的半径等于r,则,连接,在中,,,根据勾股定理用x表示出r及的值,进而可得出结论;
    (2)根据,即可得出x的值,故,再由可得出结论.
    【详解】(1)∵的直径于,
    ∴.

    ∴.
    ∴设,的半径等于r,则,
    连接,在中,,,
    由勾股定理得:,
    解得,
    ∴,
    ∵,
    ∴;
    (2)∵,即,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴.
    【点睛】本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
    18.(2023广东省佛山市联考数学试题)关于x的方程k﹣1=2(x﹣1)①和一元二次方程(2﹣k)x2+3mx+m+8=0②中,k,m均为实数且m>0,方程①的根为非负数.
    (1)求k的取值范围;
    (2)当k为最小整数时,方程②有两个相同的根,求m的值;
    (3)在(2)的条件下,若直线y=kx+1与x轴,y轴分别交于点A,B,点C是双曲线y=在第一象限图象上一动点,作CD⊥y轴交线段AB于点E,作CF⊥x轴交线段AB于点G,坐标原点为O.按要求补全图形并完成:
    ①BG•AE=______;
    ②求∠EOG的度数.
    【答案】(1)且
    (2)4
    (3)①1;②45°
    【分析】(1)解方程①得,由方程①的根为非负数及一元二次方程中, ,即可求解;
    (2)由(1)得且,当k为最小整数时 ,可得方程②为 ,由方程②有两个相同的根,根据根与系数的关系可得,解方程即可;
    (3)①作EQ⊥x轴,GP⊥y轴,分别交于点Q、P,首先可知是等腰直角三角形,则 ,再根据 ,即可得到答案;
    ②由①得,则有 ,可证得再由即可解决问题.
    【详解】(1)k﹣1=2(x﹣1)①
    化简得,
    解得,
    方程①的根为非负数,


    又 一元二次方程中,,

    且;
    (2)由(1)得且,
    k为最小整数时,
    方程②为,
    方程②有两个相同的根,

    整理得,
    解得,
    m>0,

    (3)如图即为所求;
    由(2)得,,
    直线AB的解析式为 ,反比例函数的解析式为,
    ①作EQ⊥x轴,GP⊥y轴,分别交于点Q、P,
    由题意得,与坐标轴的交点为A(1,0)B(0,1),
    是等腰直角三角形,

    是等腰直角三角形,

    点C是双曲线y=在第一象限图象上一点,


    故答案为:1;
    ②由①得,
    又,








    【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、一元二次方程的定义、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、反比例函数图象上点的坐标的特征,熟练掌握知识点是解题的关键.
    B卷
    一、填空题(本大题共5个小題,每小題4分,共20分)
    19.(2022年四川成都中考数学模拟)已知m,n是连续的两个整数,且,则mn的值为______.
    【答案】20
    【分析】先估算的取值范围,求出,再利用有理数的乘法进行计算即可得解.
    【详解】解:∵9<10<16
    ∴ 3<<4,
    ∴,

    ∴=4×5=20
    故答案为:20
    【点睛】本题考查了估算无理数的大小,根据题意算出的取值范围是解答本题的关键.
    20.(2023山西省寿阳市联考数学试题)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是__________.
    【答案】a>−4且a≠0/a≠0且 a>−4
    【详解】解:根据题意得a≠0且Δ=(−4)2−4a×(−1)>0,
    解得a>−4且a≠0,
    故答案为:a>−4且a≠0.
    【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系:当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根.
    21.(2023年江苏省太仓市调研二模数学试题)如图,是一个圆柱体污水管道的横截面,管道中有部分污水,污水液面横截面宽度(即长)为污水管道直径为则弦所对圆周角的大小为_____________________
    【答案】或
    【分析】过点O作OE⊥AB于点E,在弦AB所对的劣弧上取一个点D,在弦AB所对的优弧上取一个点C,根据圆周角定理以及垂径定理可求出结果.
    【详解】如图,过点O作OE⊥AB于点E,在弦AB所对的劣弧上取一个点D,在弦AB所对的优弧上取一个点C,
    由题意得:AB=,OA=1,
    ,∵OE⊥AB,
    ∵AE=AB=,
    在Rt△AEO中,∵sin∠ AOE==,
    ∴∠AOE=60°,
    同理可得:∠BOE=60°
    ∴∠AOB=120°
    ∴∠ACB=∠AOB=×120°=60°
    ∵四边形ADBC是圆内接四边形,
    ∴∠ADB+∠ACB=180°,
    ∴∠ADB=180°-∠ACB=180°-60°=120°,
    故弦AB所对圆周角的大小为60°或120°,
    故填:60或120.
    【点睛】本题考查圆周角定理,垂径定理的实际应用,熟练掌握各定理性质并灵活运用是解题的关键.
    22.(2022年吉林省长春市新区中考数学模拟试题)如图,在平面直角坐标系中,点P为抛物线y=x2﹣ax+a的顶点,点A、B在x轴上且AB=2,当点P在x轴上方且△PAB面积最大时,a的值为_____.
    【答案】8
    【分析】利用配方法得到y=x2−ax+a=y=(x−a)2﹣a2+a,则顶点P的坐标为(a,),根据三角形面积公式得到S△PAB=×2×()=,然后根据二次函数的性质可确定△PAB面积最大时a的值.
    【详解】解:∵y=x2−ax+a=y=(x−a)2﹣a2+a,
    ∴顶点P的坐标为(a,),
    ∵点P在x轴上方,
    ∴>0,
    ∴S△PAB=×2×()==,
    ∴a=8时,△PAB面积最大,
    故答案为8.
    【点睛】本题考查了二次函数的最值问题,解题的关键是将面积最大值问题转化为求二次函数最大值问题.
    23.(2021年四川省成都市温江区中考数学二模试题)如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=3,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF中点,连接PB,则PB的最大值是___.
    【答案】
    【分析】取中点,连接,,可证四边形是平行四边形,可得,由三角形中位线定理可得,可得点在上,可证,则当点与点重合时,此时点与点重合,有最大值,在直角三角形中,由勾股定理可求的长.
    【详解】解:如图,取中点,连接,,设与的交点为,连接,
    四边形是矩形,
    ,,,
    点是中点,点是中点,

    四边形是平行四边形,

    点是的中点,点是的中点,

    点在上,

    ,,




    当点与点重合时,此时点与点重合,有最大值,

    故答案为:.
    【点睛】本题考查了矩形的性质,三角形中位线定理,等腰三角形的性质,平行四边形的性质,勾股定理等知识,确定点的运动轨迹是本题的关键.
    二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
    24.(2023年吉林省长春市二道区中考一模数学试题)科学家实验发现,声音在不同气温下传播的速度不同,声音在空气中的传播速度随温度的变化而有规律的变化.某兴趣小组为探究空气的温度x(℃)与声音在空气中传播的速度y(米/秒)之间的关系,在标准实验室里进行了多次实验.下表为实验时记录的一些数据.
    (1)在下图的平面直角坐标系中,横轴为气温x(℃),纵轴为声音在空气中传播的速度y(米/秒),描出以表格中数据为坐标的各点.
    (2)观察所描各点的分布规律,判断它们是否在同一条直线上,如果在同一条直线上,求出这条直线所对应的函数表达式,如果不在同一条直线上,说明理由.
    (3)当气温是32℃时,求声音在空气中传播的速度.
    (4)某地冬季的室外温度是零下10℃,小明同学看到烟花3秒后才听到声响,则小明与燃放烟花地相距______米.(光的传播时间忽略不计)
    【答案】(1)见解析
    (2)各点在同一直线上.这条直线所对应的函数表达式为
    (3)当气温时32℃时,声音在空气中得传播速度为350.2米/秒
    (4)975
    【分析】(1)根据表中数据描点即可;
    (2)设这条直线所对应的函数表达式为,把、分别代入,即可得出答案;
    (3)当时,代入,即可得出答案;
    (4)当时,代入,再求解即可得出答案.
    【详解】(1)解:描点如图:
    (2)解:各点在同一直线上.
    设这条直线所对应的函数表达式为,
    把、分别代入得:
    解得:,
    ∴这条直线所对应的函数表达式为;
    (3)当时,代入,
    可得:,
    ∴当气温时32℃时,声音在空气中得传播速度为350.2米/秒;
    (4)解:当时,代入,
    可得:,
    则小明与燃放烟花地相距米.
    【点睛】本题考查一次函数的应用和学生的分析归纳能力,正确理解题意、读懂表格数据,用待定系数法求函数解析式是解答此题的关键.
    25.(2023年四川省成都市中考二模数学试题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为点,与轴交于点,(点位于点左侧),与轴交于点.
    (1)求与之间的关系,并求出点的坐标(用含的代数式表示);
    (2)若以,,为顶点的三角形是直角三角形,求的值;
    (3)在(2)的条件下,过点作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于不同的两点,(点位于点主侧),探究直线是否过定点,若是,请求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.
    【答案】(1),抛物线的顶点的坐标为
    (2)
    (3)直线一定经过定点
    【分析】(1)把代入,得到的关系式,再将解析式转化为顶点式,求出顶点坐标即可;
    (2)求出的坐标,推出是等腰直角三角形,进而推出是直角三角形时,,推出,列式计算即可;
    (3)过点作直线轴,过点作于点,过点作于点,证明,得到,设,,得到
    ,求出直线的解析式,即可得出结论.
    【详解】(1)把代入,得,
    ∴,
    ∵,
    ∴抛物线的顶点的坐标为;
    (2)在抛物线中,令,得,
    ∴,
    ∵抛物线的对称轴为直线,点与点关于对称轴对称,
    ∴,
    ∴,
    ∴是等腰直角三角形,
    ∴,
    ∵是直角三角形,且,,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,即,
    ∴;
    (3)由(2)得:,
    ∴抛物线的解析式为,
    ∴抛物线的顶点为,
    如图,过点作直线轴,过点作于点,过点作于点,
    则,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    设,,则,,
    ∴,,,,
    ∴,
    ∴,
    设直线的解析式为,则,
    解得:,
    ∵,
    ∴,
    ∴直线的解析式为,故直线一定经过定点.
    【点睛】本题考查二次函数的综合应用,是中考常见的压轴题.正确的求出函数解析式,熟练掌握二次函数的性质,利用数形结合的思想进行求解,是解题的关键.
    26.(福建省泉州市丰泽区第二次阶段考试数学试题)已知四边形为矩形,对角线、相交于点,.点E、F为矩形边上的两个动点,且.
    (1)如图1,当点E、F分别位于、边上时,若,求证:;
    (2)如图2,当点E、F同时位于边上时,若,试说明与的数量关系;
    (3)如图3,当点E、F同时在边上运动时,将沿所在直线翻折至,取线段的中点Q.连接,若,则当最短时,求之长.
    【答案】(1)证明见解析;(2),理由见解析;(3)
    【分析】(1)如图1中,证明为等边三角形,再求解,证明,从而可得结论;
    (2)如图2中,将△OAF绕点O逆时针旋转120°得到△OBJ,连接JE.证明∠JEB=90°,∠EJB=30°,可得,结合,从而可得结论.
    (3)如图3中,连接BP.证明△OAF≌△OBP(SAS),推出∠PBC=30°,如图3-1中,当QP⊥PB时,PQ的值最小,作FH⊥OA于H,OM⊥PF于M.利用含的直角三角形的性质求解 可得 再求解,再利用勾股定理求出FM即可解决问题.
    【详解】(1)证明:如图1中,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴,∠DAB=90°,
    ∵AD=AO,
    ∴AD=AO=OD,
    ∴△OAD是等边三角形,
    ∴∠DOA=∠DAO=∠ADO=60°,







    (2)解:结论:AF=2BE.
    理由:如图2中,将△OAF绕点O逆时针旋转120°得到△OBJ,连接JE.

    由(1)得:
    ∵∠EOF=60°,
    ∴∠BOJ+∠BOE=∠AOF+∠BOE=60°,
    ∴∠EOJ=∠EOF,
    ∵OE=OE,
    ∴△EOF≌△EOJ(SAS),
    ∴∠OEF=∠OEJ,
    ∵∠OFB=75°,∠OBF=30°,
    ∴∠BOF=75°,
    ∴∠BOE=75°-60°=15°,
    ∴∠FEO=∠BOE+∠OBE=45°,
    ∴∠OEF=∠OEJ=45°,
    ∴∠JEB=∠JEF=90°,
    ∵∠OBJ=∠OAF=30°,∠OBE=30°,
    ∴∠EBJ=60°,
    ∴∠EJB=90°-60°=30°,
    ∴BJ=2BE,
    ∵AF=BJ,
    ∴AF=2BE.
    (3)解:如图3中,连接BP.
    由翻折可知:OF=OP,∠EOF=∠EOP=60°,
    ∴∠FOP=∠AOB=120°,
    ∴∠AOF=∠BOP,
    ∵OA=OB,
    ∴△OAF≌△OBP(SAS),
    ∴∠OBP=∠OAF=30°,AF=BP,
    ∵∠OBC=60°,
    ∴∠PBC=30°,
    如图3-1中,当QP⊥PB时,PQ的值最小,作FH⊥OA于H,OM⊥PF于M.
    在Rt△PQB中,
    ∵∠QPB=90°,∠PBQ=30°,,


    在Rt△AFH中,









    【点睛】本题属于四边形综合题,考查了矩形的性质,旋转变换,全等三角形的判定和性质,勾股定理的应用,等边三角形与等腰三角形的判定和性质,含的直角三角形的性质,利用平方根解方程,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.
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