27.2相似三角形 人教版初中数学九年级下册同步练习（含答案解析）

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27.2相似三角形人教版初中数学九年级下册同步练习第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是(    )A. 2B. 3C. 4D. 52.如图，已知零件的外径是7cm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)测量零件的内孔直径AB.如果OA：OC=OB：OD=2：1，且量得CD=3cm，则零件的厚度为cm．(    )A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 23.如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC=1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为(    )A. 100cm2 B. 150cm2 C. 170cm2 D. 200cm24.数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为(    )A. 3.0m B. 4.0m C. 5.0m D. 6.0m5.如图，矩形纸片ABCD，AD：AB= 2：1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则EFAG的值为(    )A. 22B. 23C. 12D. 536.如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE:EC=3:2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为(    )A. 2:5 B. 3:5 C. 9:25 D. 4:257.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE // BC，BE交DC于点F.EF︰FB=1︰3，则S△ADES△ABC的值为(    )A. 13 B. 19 C. 33 D. 以上答案都不对8.如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM/​/AD，交AB于点M，EN/​/AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是(    )A. AMBM=NEDE B. AMAB=ANAD C. BCME=BEBD D. BDBE=BCEM9.如图，AB/​/CD，点E在AB上，点F在CD上，AC、BD、EF相交于点O，则图中相似三角形共有(    )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对10.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=30m，EC=15m，CD=30m，则河的宽度AB长为(    )A. 90mB. 60mC. 45mD. 30m11.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE/​/BC，EF/​/AB，且AD：DB=1：2，那么CF：CB等于(    )A. 5：8 B. 3：8 C. 3：5 D. 2：312.如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的(    )A. 19B. 29C. 13D. 49第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN.当BM=          时，四边形ABCN的面积最大．14.如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为          ．15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD/​/AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，则DE=______．16.如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC= 3AB=3BD，则AD：AC的值为            ．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB=8，AD=6 3，AF=4 3，求AE 的长．18.(本小题8.0分)小强在周末搞了一次校外测量活动，他找到了一工厂的烟囱，正好阳光明媚，他就考虑用测量影子的方法去计算这个工厂烟囱的高度AB，但他发现烟囱的影子没有完全落在平地BE上，如图，影子一直落在了前面低洼处的点H，测得当时BE是22米，EG为1.6米，GH为8.4米(点C、F、B、E在一条水平线上，G、H在一条水平线上)，他自己的身高CD是1.75米，当时他在阳光下的影长CF为1.6米．求这座烟囱AB的高度为多少米．(结果精确到0.1米)19.(本小题8.0分)如图，在路灯M下，小明的身高如图中线段AB所示；他在地面上的影子如图中线段AC所示，路灯灯泡在点D正上方．(1)如果小明身高AB=1.6m，他的影子长AC=1.4m，他到路灯的距离AD=2.1m，求灯泡高；(2)在(1)的条件下当小明越过路灯到达FG时，发现影长和身高相等，求小明前行的路程．20.(本小题8.0分)一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．(1)求这个正方形零件的边长；(2)如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？21.(本小题8.0分)已知：△ABC中，AD为BC边上的中线，点E在AD上，且DEAE=13，射线CE交AB于点F，求AFFB的值．22.(本小题8.0分)如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE。23.(本小题8.0分)如图，已知AD/​/BE/​/CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．(1)如果AB=6，BC=8，DF=21，求DE的长；(2)如果DE：DF=2：5，AD=9，CF=14，求BE的长．24.(本小题8.0分)如图，在Rt▵ABC中，∠C=90∘，CD是斜边AB上的高．  (1)求证：▵ADC∽▵ACB；(2)若AC=3，AB=4，求AD的长．25.(本小题8.0分)在RtΔABC中，∠C=90∘,AC=20cm,BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点O的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动(0≤t≤5).设运动时间为t秒，求：(1)用含t的代数式表示CQ，CP；(2)当t为多少时，PQ的长度等于4 10？(3)当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？答案和解析1.【答案】C 【解析】【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键．直接利用相似三角形的性质，得出ABCD = BODO ，进而得出答案．【解答】解：因为 △ABO∽△CDO，所以 ABCD = BODO ，即AB2 = 63 ，解得AB=4．所以AB的长是4．2.【答案】A 【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为7cm，即可求得x的值．【解答】解：∵OA：OC=OB：OD=2，∠COD=∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD=2，∵CD=3cm，∴AB=6cm，∵某零件的外径为7cm，∴零件的厚度为：(7−6)÷2=1÷2=0.5(cm)，故选：A．3.【答案】A 【解析】解：设AF=x cm，则AC=3x cm，∵四边形CDEF为正方形，∴EF=CF=2x cm，EF/​/BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=AFAC=13，∴BC=6x cm，在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，即302=(3x)2+(6x)2，解得，x=2 5，∴AC=6 5cm，BC=12 5cm，EF=CF=4 5cm，∴剩余部分的面积=12×12 5×6 5−4 5×4 5=100(cm2)，故选A．4.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定及相似三角形的对应边成比例，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形对应边成比例，通过解方程求解，加上DB的长即可．解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图．∵AB⊥BG，GE⊥GF，AC/​/EF，∴△EGF∽△ADC，∴EGGF=ADCD，∴10.9=AD1.1+1.6．∴AD=3．∴AB=AD+DB=3+1=4(米)，则树高为4米．故选：B．5.【答案】A 【解析】解：如图所示，过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，由折叠可知，点A与点A′对应，则∠AOE=90°，∵∠EAO+∠AEO=90°，∠EAO+∠AGD=90°，∴∠AEO=∠AGD，即∠FEH=∠AGD，又∵∠ADG=∠FHE=90°，∴△ADG∽△FHE，∴EFAG=HFAD=ABAD=1 2= 22．故选A．过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，利用两角对应相等求证△ADG∽△FHE，即可求出EFAG的值．本题考查翻折变换，矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．6.【答案】C 【解析】【分析】此题主要考查平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，根据平行四边形对边平行且相等和已知的DE:EC=3:2，求得两相似三角形对应边的比，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方求解．【解答】解：因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB/​/CD，AB=CD．所以△DEF∽△BAF.因为DE:EC=3:2，所以DE:DC=3:5，即DE:AB=3:5．所以△DEF与△BAF的面积比为(DE:AB)2=9:25．故选C．7.【答案】B 【解析】解：由△DEF∽△CBF，求得EDBC=EFFB=13，再由△ADE∽△ABC，求得S△ADES△ABC=(13)2=19．8.【答案】D 【解析】【分析】此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．【解答】解：∵在▱ABCD中，EM/​/AD，EN/​/AB，∴四边形AMEN为平行四边形，ME=AN，NE=AM，易得△BEM∽△BDA∽△EDN，∴AMBM=NEBM=DEBE，NEDE=DMBE，A项错误；AMAB=NEAB=NDAD，B项错误；BCME=ADME=BDBE，C项错误；BDBE=ADME=BCME，D项正确；故选：D．9.【答案】C 【解析】【分析】根据平行线法即可判断；本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．【解答】解：∵AB/​/CD，∴△AEO∽△CFO，△BEO∽△DFO，△ABO∽△CDO，故选：C．10.【答案】B 【解析】【分析】求出△ABE和△DCE相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE=∠DCE=90°，又∵∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，∴△ABE∽△DCE，∴ABDC=BECE，即AB30=3015，解得AB=60m．故选B．11.【答案】D 【解析】【分析】由DE/​/BC，推出△ADE∽△ABC，推出ADAB=AEAC，由ADDB=12，可得AEAC=ADAB=13，知CECA=23，进一步由EF/​/AB，得△EFC∽△ABC，即可解决问题．本题相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【解答】解：∵DE/​/BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=AEAC，∵ADDB=12，∴AEAC=ADAB=13，∴CECA=23，∵EF//AB，∴△EFC∽△ABC，∴CFCB=CECA=23，故选：D．12.【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中.根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG面积比，再求出阴影部分面积与S△ABC 的比值．【解答】解：∵AB被截成三等分，∴△AEH∽△AFG∽△ABC，∴AEAF=12，AEAB=13∴S△AFG：S△ABC=4：9S△AEH：S△ABC=1：9∴S△AFG=49S△ABCS△AEH=19S△ABC∴S阴影部分的面积=S△AFG−S△AEH=49S△ABC−19S△ABC=13S△ABC.故选C．13.【答案】2 【解析】解：设BM=x，则MC=4−x，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，所以ABMC=BMCN，即44−x=xCN，得CN=x−x24．而S四边形ABCN=12(x−x24+4)×4=−x22+2x+8=−12(x−2)2+10．故当x=2时，四边形ABCN的面积最大．14.【答案】103 【解析】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=4，AD=BC=3，AB/​/CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴CFAF=CDAE，∵E是边AB的中点，AB=CD=4，∴CDAE=2，∴CFAF=2，∵AC=AF+CF，∴CFAC=23，∵AC= AB2+BC2=5，∴CF=23×5=103．故答案为103．本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及勾股定理的应用．根据矩形的性质可得出AB/​/CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD，可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出CFAF=CDAE=2，即CFAC=23，利用勾股定理可求出AC的长度，即可求出CF的长．15.【答案】95 5 【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC= AB2−BC2=8，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵CD/​/AB，∴∠D=∠ABE，∴∠D=∠CBE，∴CD=BC=6，又∵∠AEB=∠CED，∴△AEB∽△CED，∴AECE=BEDE=ABCD=106=53，∴CE=38AC=38×8=3，在Rt△BCE中，BE= BC2+CE2= 62+32=3 5，∴DE=35BE=35×3 5=95 5，故答案为：95 5．【分析】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．由CD/​/AB，∠D=∠ABE，∠D=∠CBE，所以CD=BC=6，再证明△AEB∽△CED，根据相似比求出DE的长．16.【答案】 33 【解析】解：∵BC= 3AB=3BD，∴BCAB=ABDB= 3．∵∠B=∠B，∴△ABC∽△DBA，∴ACAD=BCAB= 3，∴AD:AC= 33．故答案为： 33．根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明出△ABC∽△DBA，再根据相似三角形的对应边成比例，变形即可得出答案．本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明出△ABC∽△DBA．17.【答案】(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD/​/BC，AB/​/CD．所以∠ADF=∠CED， ∠B+∠C=180∘．因为∠AFE+∠AFD=180∘，∠AFE=∠B，所以∠AFD=∠C.所以△ADF∽△DEC．(2)解：因为AD/​/BC，AE⊥BC，所以AE⊥AD．由(1)，得△ADF∽ △DEC，所以ADDE=AFDC．又CD=AB=8，所以DE=AD×DCAF=6 3×84 3=12．在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE= DE2−AD2= 122−(6 3)2=6．则AE的长为6． 【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，(1)利用对应两角相等，证明△ADF∽△DEC；(2)利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．18.【答案】解：延长AB、HG相交于点P．由于平行光线下，Rt△DCF∽Rt△APH，∴DCCF=APPH．而PH=BE+GH=22+8.4=30.4(米)，即1.751.6=AP30.4，解得：AP=33.25(米)．又∵BP=GE=1.6(米)，∴AB=AP−BP=31.65≈31.7(米)．答：这座烟囱AB的高度约为31.7米． 【解析】此题主要考查了相似三角形的应用，得出Rt△DCF∽Rt△APH是解题关键．根据题意得出Rt△DCF∽Rt△APH，进而求出PH的长，再求出AP的长，进而得出答案．19.【答案】解：(1)连接MC，∵AB//MD，∴△ABC∽△DMC，∴ACCD=ABMD，∵AB=1.6m，AC=1.4m，AD=2.1m，∴1.41.4+2.1=1.6MD，解得MD=4，∴灯泡的高为4m;(2)设影子长为EF，连接ME，∵GF//MD，∴△FGE∽△DME，∴EFDE=FGMD，∵GF=EF=AB=1.6m，∴DE=MD=4m，∴AF=AD+DE−EF=2.1+4−1.6=4.5(m)，∴小明前行的路程为4.5m． 【解析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用相似三角形得比例关系是解题的关键．(1)连接MC，证△ABC∽△DMC，根据线段比例关系求出DM即灯泡的高度；(2)设影子长为EF，连接ME，证△FGE∽△DME，根据线段比例关系求出EF即可求出小明前进的路程．20.【答案】(1)解：设正方形零件的边长为a 在正方形EFGH中，EF/​/BC，EG/​/AD ∴△AEF∽△ABC，△BEG∽△BAD ∴EFBC=AEAB，EGAD=BEAB， ∴EFBC+EGAD=AEAB+BEAB=1，即：a120+a80=1，解得：a=48，即：正方形零件的边长为48mm．(2)设EF=x，EG=y，∵△AEF∽△ABC，∴EFBC=AKAD，∴x120=80−y80，∴y=80−23x∴矩形面积S=xy=−23x2+80x=−23x−602+2400(0