第六章 复数与平面向量-备考2024年高考数学专题测试模拟卷（新高考专用）

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本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·辽宁鞍山·统考二模）已知，则z对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义求解.
【详解】解：，
在复平面对应的点为，
所以在复平面对应的点在第四象限.
故选：D.
2．（2023·广东茂名·统考一模）在中，，，若点M满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得：.
故选：A.
3．（2023·山东泰安·统考二模）若（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用复数的四则运算求出复数，然后利用复数求模的公式即可计算.
【详解】由可得，
所以，故选：.
4．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知平面向量满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为平面向量满足，，且与的夹角为，
则，则，即解得，
所以.
故选：D
5．（2023·山东青岛·统考二模）已知为坐标原点，复数，，分别表示向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复数的几何意义确定向量，，的坐标，再根据向量垂直的坐标运算即可求得的值，从而可得的值.
【详解】由题意可得，，所以
又，所以，所以
则.
故选：C.
6．（2023·山西运城·统考三模）已知向量满足，且，则实数（ ）
A．1或B．-1或C．1或D．-1或
【答案】D【详解】
所以，
因为，
所以，
解得或，
故选：D.
7．（2023春·广东韶关·高三校联考开学考试）已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，是单位向量，由得：，
依题意，不等式对任意实数恒成立，则，
解得，而，则，
又，函数在上单调递减，因此，
所以向量，的夹角的取值范围为.
故选：B
8.（2023·甘肃武威·统考三模）如图所示，边长为2的正三角形ABC中，若（），（），则关于的说法正确的是（ ）
A．当时，取到最大值B．当或1时，取到最小值
C．，使得D．，为定值【答案】D
【分析】先由条件利用表示向量，根据数量积的运算性质求，由此判断各选项.
【详解】因为，，
所以，
所以，
因为为边长为的等边三角形，
所以，
所以，
所以，为定值，D正确；A，B，C错误.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·山东潍坊·统考二模）在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，其中，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据实系数一元二次方程中韦达定理可求出判断B，再由韦达定理判断A，根据复数的乘法及共轭复数判断C，再由复数除法判断D.
【详解】因为且实系数一元二次方程的两根为，
所以，可得，故B正确；
又，所以，故A错误；
由，所以，故C错误；
，故D正确.故选：BD
10.（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值
B．的取值范围是
C．当时，为定值
D．时，的最大值为12
【答案】ACD
【解析】如图，设直线PO与圆O于E，F．则
，故A正确．
取AC的中点为M，连接OM，
则
，
而
故的取值范围是故B错误；当时，
，故C正确．
当时，圆O半径取AC中点为，中点为，
则
，
最后等号成立是因为，
不等式等号成立当且仅当，故D正确．
故选:ACD.
11.（2023·浙江温州·统考三模）已知复数，下列命题正确的是（ ）
A．B．若，则
C．D．若，则为实数
【答案】AC
【分析】根据复数的模长公式、共轭复数的定义以及复数的乘方，结合举反例，可得答案.
【详解】对于A，设，
则
，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，设，，，，故C正确；
对于D，设，，，
当或时，，故D错误.
故选：AC.
12．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，.则下列结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】由题意得：，，
对于A项，，
由题意得：，故A正确；
对于B项，，
，故B不正确；
对于C项，，故C项不正确；对于D项，在上的投影向量为：，
又，，
，故D不正确.
故选：BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.（2023·上海浦东新·统考三模）已知复数满足，则__________．
【答案】
【分析】设，根据得到方程组，求出，分两种情况计算出答案，从而求出.
【详解】设，则，
所以，解得，
当时，，故，
；
当时，，故，
故答案为：-8
14．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）已知向量，若在方向上的投影向量为，则的值为__________.
【答案】
【解析】因为在上的投影向量为，
所以，则，
因为，，所以，
从而，
解得.
故答案为：.
15．（2023·广东广州·统考二模）在等腰梯形中，已知，，，，动点E和F分别在线段和上，且，，当__________时，则有最小值为__________．
【答案】
【解析】因为在等腰梯形中，已知，，，，可知，
所以， ，
， ，
则
.
当且仅当，即时取等号，即最小值．
故答案为：；.
16．（2023·山东济宁·统考二模）已知向量、不共线，夹角为，且，，，若，则的最小值为________．
【答案】
【分析】依题意作出如下图形，令，，根据平面向量线性运算法则及椭圆的定义得到点的轨迹，求出其轨迹方程，由的取值范围，得到时，的值最小，此时点的坐标为，再代入椭圆方程计算可得.
【详解】如图及为平行四边形，，，
令，，则，，
因为，即，
由椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点的椭圆其中、，
所以其轨迹方程为，
因为，所以当，即时，的值最小，
此时点的坐标为，
将点的坐标代人椭圆得，
解得．
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（2023天津市南开区下学期期末考试）已知复数z1＝﹣2+i，z1z2＝﹣5+5i（其中i为虚数单位）
（1）求复数z2；（2）若复数z3＝（3﹣z2）[（m2﹣2m﹣3）+（m﹣1）i]所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
【解析】（1）∵复数z1＝﹣2+i，z1z2＝﹣5+5i，
∴
（2）z3＝（3﹣z2）[（m2﹣2m﹣3）+（m﹣1）i]
＝i[（m2﹣2m﹣3）+（m﹣1）i]
＝﹣（m﹣1）+（m2﹣2m﹣3）i，
∵复数z3所对应的点在第四象限，
∴，
解得﹣1＜m＜1．
∴实数m的取值范围是﹣1＜m＜1．
18. （2023吉林辽源友好学校联考） 已知平面向量,,,且与的夹角为.
(1)求;
(2)求;
(3)若与垂直,求的值.
【解析】(1),,.
(2),∴.
(3)若与垂直,则,
即,∴,即,∴.
19.（2022广东省大联考下学期期中）已知复数z满足，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设在复平面上的对应点分别为A､B､C，求△ABC的面积.【解析】(1)设，
①，
的虚部为，所以②，
由①②解得或.
所以或.
(2)当时，，，
所以，
，
所以△ABC的面积为.
当时，，，
所以，
，所以△ABC的面积为.
20. （2023四川遂宁射洪月考）已知,,.
(1)若,,三点共线,求实数的值;
(2)证明:对任意实数,恒有成立.
【解析】(1),,∵,,三点共线,
∴,∴.
(2),,
∴,∴恒有成立.
21.（2023安徽黄山市高三上学期第一次质检） 如图,已知外接圆的圆心为坐标原点,且在内部,,.
(1)求,求;
(2)求面积的最大值.
【解析】(1)由题知,故圆的半径为,所以,
所以

.
(2)由(1)知,外接圆的半径为,因为,所以
在中,由正弦定理可得:,
解得:,在中,由余弦定理可得:,
化简可得:,由基本不等式可知,
即,所以解得,当且仅当时取等,
所以.故面积的最大值为.
22. （2023广东五校高三上学期联考）已知,
(1)时,求的取值范围;
(2)若存在,使得,求的取值范围.
【解析】(1)时,,
由于,所以,所以.
(2)由题意得,存在,使得,
令,
因为,所以,即,
则,所以,
当时,方程为,此时不存在使得方程有解,
当时,,,
则时,函数在上单调递减,此时,
时,函数在上单调递减,此时,
综上,的取值范围为.