2024嘉兴八校联盟高二上学期期中联考数学试题含答案

这是一份2024嘉兴八校联盟高二上学期期中联考数学试题含答案，共9页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷，已知圆，已知椭圆等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分
一、选择题I：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角是（ ）
A.B.C.D.
2.两条平行直线：与：之间的距离是（ ）
A.0B.C.1D.
3.已知平面内两定点，及动点，设命题甲是：“是定值”，命题乙是：“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”，那么甲是乙的（ ）
A.充分必要条件B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件D.必要不充分条件
4.在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（ ）
A.B.C.D.
5.已知圆：与圆：外切，则的值为（ ）
A.1B.5C.9D.21
6.如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则等于（ ）
A.B.
C.D.
7.圆：与：的公共弦长为（ ）
A.B.C.D.
8.已知椭圆的右焦点为，点，在直线上，，为坐标原点，若，则该粗圆的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题II：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知椭圆：，在下列结论中正确的是（ ）
A.长轴长为8B.焦距为
C.焦点坐标为D.离心率为
10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A.两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B.两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C.直线的方向向量为，平面的法向量为，则
D.直线的方向向量，平面的法向量是，则
11.已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A.直线过定点
B.圆的圆心坐标为
C.直线与圆相交且所截最短弦长为
D.直线与圆可以相切
12.已知椭圆：，是坐标原点，是椭圆上的动点，，是的两个焦点（ ）
A.若的面积为，则的最大值为9
B.若的坐标为，则过的椭圆的切线方程为
C.若过的直线交于不同两点，，设，的斜率分别为，，则
D.若，是椭圆的长轴上的两端点，不与，重合，且，，则点的轨迹方程为
非选择题部分
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.圆的方程为，则该圆的半径为______.
14.已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等边三角形，则是______.
15.已知空间向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是______.
16.在正方体中，动点在线段上，，分别为，的中点.若异面直线与所成角为，则的取值范围为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题10分）已知直线：，直线：.其中，均不为0.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
18.（本题12分）已知，.
（1）求与夹角的余弦值；
（2）当时，求实数的值.
19.（本题12分）如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，，分别为，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面所成角的余弦值.
20.（本题12分）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”.已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为.
（1）求椭圆和其“准圆”的方程；
（2）若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是粗圆上的一个动点，求的取值范围.
21.（本题12分）已知圆的圆心在直线：上，并且经过点和点.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线：上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，且，求实数的取值范围.
22.（本题12分）已知点到直线：的距离和它到定点的距离之比为常数.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若点是直线上一点，过作曲线的两条切线分别切于点与点，试求三角形面积的最小值.（二次曲线在其上一点处的切线为）
2023学年第一学期嘉兴八校期中联考
高二年级数学参考答案（2023年11月）
一、选择题I（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.B； 2.B； 3.D； 4.A； 5.A； 6.A； 7.D； 8.C.
二、选择题II（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9.ABD； 10.AB； 11.BC； 12.BD
三、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）
13.；14.3；15.16.
16.以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
设，，，，，
设，则，
则.
当时，取到最大值，此时；当时，取到最大值，此时.
所以的取值范围为.
四、解答题（本大题有6小题，共70分）
17.（本题满分10分）
解：（1）∵，∴
可得：
（2）∵，∴
∴，其中（或）.
18.（本题满分12分）
解：（1）
，
.
（2）由于
所以
所以，
，
解得或.
19.（本题满分12分）
解：（1）证明：取中点，连接，
∵，分别为，的中点
∴，且
又底面为正方形，且为中点
∴，且
∴四边形为平行四边形
∴
∵不在平面内，在平面内
∴平面
（2）以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间坐标系，
则，，，，
故，，
设平面的一个法向量为，
则，可取，
设平面的一个法向量为，
则，可取，
设平面与平面所成角为，
则
∴平面与平面所成角的余弦值为.
20.（本题满分12分）
解（1）由题意知，且，可得，
故椭圆的方程为，
其“准圆”方程为.
（2）由题意，可设，
则有，又点坐标为，
所以，
所以，
又，所以，
所以的取值范围是.
21.（本题满分12分）
解（1）因为的中点为，
且，所以的垂直平分线为，
由得圆心，
所以半径，所以：.
（2）如图，由可得，所以，
所以圆心到直线的距离，
所以的取值范围为.
22.（本题满分12分）
解（1）设，则，
化简得：.
（2）设，，，
则切线为，切线为，
将点分别代入得，所以直线为：，
点到的距离，
当时，.
另一方面，联立直线与得，
所以，
则，
当时，.所以.