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2024长沙长郡中学高二上学期期中考试数学试卷含答案
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这是一份2024长沙长郡中学高二上学期期中考试数学试卷含答案，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若两个不同平面的法向量分别为，则（ ）
A. B. C. 相交但不垂直D. 以上均不正确
2. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A. B. C. D.
3. 若直线与直线垂直，则
A. 3B. C. -3D.
4. 直三棱柱中，，、分别是、的中点，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 双曲线C与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，则双曲线C的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知抛物线E：和圆F：，焦点F作直线l与上述两曲线自左而右依次交于点A，C，D，B，则与的乘积为（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
7. 已知数列满足且.若是递增数列，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
8. 已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知，直线：过定点A，：过定点B，与交于点M，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的最大值是25
C. 点M的轨迹方程是D. 的最大值为
12. 已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是的中点，作垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（ ）
A. 若以为直径作圆M，则圆M与准线相切
B. 若直线l经过焦点F，且，则
C. 若，则直线l的倾斜角为
D. 若以为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知的圆心为，且与直线相切，则圆C的面积为______.
14. 如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，，，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为__________．
15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，且，则当C的离心率______时，满足.
16. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.
（1）这个数列的第100项为______；
（2）整数N满足条件：且该数列的前N项和为2的整数幂，则最小整数______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知数列各项均为正数，且，.
（1）证明：为等差数列，并求出通项公式；
（2）设，求
18. 四棱锥中，，平面，，E为AB的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
19. 已知圆，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点.
（1）求四边形QAMB面积的最小值；
（2）若，求Q点的坐标.
20. 设抛物线的准线为l，A、B为抛物线上两动点，于，定点使有最小值．
（1）求抛物线方程；
（2）当（且）时，是否存在一定点T满足为定值？若存在，求出T的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．
21. 已知数列，，，数列满足，.
（1）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）求的表达式；
（3）求证：
22. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，焦距为2，上、下顶点分别为、，A为椭圆上的点，且满足.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过、作两条相互平行直线，交C于M，N和P，Q，顺次连接构成四边形PQNM，求四边形PQNM面积的取值范围.
长郡中学2023年下学期高二期中考试
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】A
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
【答案】AB
【11题答案】
【答案】AD
【12题答案】
【答案】BCD
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】##
【15题答案】
【答案】##
【16题答案】
【答案】 ①. 256 ②. 1897
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析，
（2）20
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
【20题答案】
【答案】（1）
（2）存在定点，使得为定值．
【21题答案】
【答案】（1）证明见解析，
（2）
（3）证明见解析
【22题答案】
【答案】（1）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若两个不同平面的法向量分别为，则（ ）
A. B. C. 相交但不垂直D. 以上均不正确
2. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A. B. C. D.
3. 若直线与直线垂直，则
A. 3B. C. -3D.
4. 直三棱柱中，，、分别是、的中点，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 双曲线C与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，则双曲线C的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知抛物线E：和圆F：，焦点F作直线l与上述两曲线自左而右依次交于点A，C，D，B，则与的乘积为（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
7. 已知数列满足且.若是递增数列，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
8. 已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知，直线：过定点A，：过定点B，与交于点M，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的最大值是25
C. 点M的轨迹方程是D. 的最大值为
12. 已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是的中点，作垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（ ）
A. 若以为直径作圆M，则圆M与准线相切
B. 若直线l经过焦点F，且，则
C. 若，则直线l的倾斜角为
D. 若以为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知的圆心为，且与直线相切，则圆C的面积为______.
14. 如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，，，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为__________．
15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，且，则当C的离心率______时，满足.
16. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.
（1）这个数列的第100项为______；
（2）整数N满足条件：且该数列的前N项和为2的整数幂，则最小整数______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知数列各项均为正数，且，.
（1）证明：为等差数列，并求出通项公式；
（2）设，求
18. 四棱锥中，，平面，，E为AB的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
19. 已知圆，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点.
（1）求四边形QAMB面积的最小值；
（2）若，求Q点的坐标.
20. 设抛物线的准线为l，A、B为抛物线上两动点，于，定点使有最小值．
（1）求抛物线方程；
（2）当（且）时，是否存在一定点T满足为定值？若存在，求出T的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．
21. 已知数列，，，数列满足，.
（1）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）求的表达式；
（3）求证：
22. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，焦距为2，上、下顶点分别为、，A为椭圆上的点，且满足.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过、作两条相互平行直线，交C于M，N和P，Q，顺次连接构成四边形PQNM，求四边形PQNM面积的取值范围.
长郡中学2023年下学期高二期中考试
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】A
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
【答案】AB
【11题答案】
【答案】AD
【12题答案】
【答案】BCD
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】##
【15题答案】
【答案】##
【16题答案】
【答案】 ①. 256 ②. 1897
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析，
（2）20
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
【20题答案】
【答案】（1）
（2）存在定点，使得为定值．
【21题答案】
【答案】（1）证明见解析，
（2）
（3）证明见解析
【22题答案】
【答案】（1）
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