2024邵阳二中高二上学期期中考试数学试题含解析

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考试时间：120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若与是两条不同的直线，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
2. 已知为递增的等差数列，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 设圆，圆，则圆，的公切线有（ ）
A 1条B. 2条C. 3条D. 4条
4. 过抛物线的焦点且斜率为1的直线与该拋物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
5. 数列的通项若是递增数列，则实数t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
7. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
8. 已知椭圆的上顶点为，左右焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是（ ）
A. 19B. 14C. D. 13
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（ ）
A. 公差d的取值范围是B.
C. D. 最小值为1
10. 若方程表示的曲线为，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则曲线为椭圆B. 若曲线为双曲线，则或
C. 曲线不可能是圆D. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
11. 已知椭圆C：的右焦点为F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若的最小值为，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆C的焦距为1B. 椭圆C的短轴长为
C. 的最小值为D. 过点F的圆E的切线斜率为
12. 在棱长为2正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 点为正方形内一点，当平面时，的最小值为
C. 过点，，平面截正方体所得的截面周长为
D. 当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线方程的方程为_______________________．
14. 已知，若三向量共面，则实数_____.
15. 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线l的倾斜角的正切值的取值范围为__________________．
16. 在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，且PA=2，以A为球心，为半径作球，则球A与三棱锥P-ABC的表面的交线长之和为___________.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．
（1）求BC边上的中线AD的所在直线方程；
（2）求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．
18. 的内角的对边分别是，且，
（1）求角的大小；
（2）若，为边上一点，，且为的平分线，求的面积．
19. 平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，.

（1）用向量，，表示向量；
（2）求线段的长度．
20. 设等差数列的前项和为，，，且有最小值.
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）设数列的前项和为，求.
21. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
22. 设抛物线的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点．
（1）求抛物线C的方程；