河南省南阳市六校2023-2024学年高一上学期期中考试数学（Word版附解析）

这是一份河南省南阳市六校2023-2024学年高一上学期期中考试数学（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了设，则，已知函数，则，已知，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．且B．且C．且D．且
3．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
6．设，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在区间和上单调递减
B．是偶函数，且在区间上单调递减
C．是奇函数，且在区间上单调递减
D．是奇函数，且在区间和上单调递减
8．已知函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．下列各组中两个函数是同一函数的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
11．若函数的图象上存在不同的两点到直线的距离均为1，则的解析式可以是（ ）
A．B．C．D．
12．已知，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合，则中元素的个数为______．
14．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则______．
15．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．
16．已知函数则满足的的取值范围是______．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）计算：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
18．（12分）
已知集合．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若是成立的充分不必要条件，求的取值范围．
19．（12分）
已知函数且的图象经过点．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）比较与的大小；
（Ⅲ）求函数的值域．
20．（12分）
（Ⅰ）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21．（12分）近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资200万元，每个城市都至少要投资70万元，由前期市场调研可知：在甲城市的收益（单位：万元）与投入（单位：万元）满足，在乙城市的收益（单位：万元）与投入（单位：万元）满足．
（Ⅰ）当在甲城市投资125万元时，求该公司的总收益；
（Ⅱ）试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
22．（12分）已知定义域为的函数是奇函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断的单调性并用定义证明；
（Ⅲ）若当时，恒成立，求实数的取值范围．
2023-2024学年（上）南阳六校高一年级期中考试
数学・答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．答案C
命题意图 本题考查集合的表示与运算．
解析 由题意可得，所以．
2．答案B
命题意图 本题考查充分条件与必要条件的应用．
解析 选项A，C，D都既不是充分条件也不是必要条件，对于B，由且可得，反过来推不出，所以B符合条件．
3．答案D
命题意图 本题考查不等式的解法．
解析 由于关于的不等式的解集是，所以则有且，则等价于，解得，即不等式的解集为．
4．答案A
命题意图 本题考查幂函数和指数函数的性质．
解析 因为是幂函数，所以，解得或．当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，故．此时，当时，，即的图保过定点．
5．答案C
命题意图 本题考查函数的定义域．
解析 要使函数有意义，则故或，所以的定义域为．
6．答案A
命题意图 本题考查指数和对数的运算．
解析 因为，所以．
7．答案D
命题意图 本题考查函数的奇偶性和单调性．
解析 由题意得画出函数的大致图象，如图，观察图象可知，函数的图象关于原点对称，故函数为奇函数，单调递减区间是．
8．答案C
命题意图 本题考查偶函数的性质和不等式的解法．
解析 易知函数的定义域为，且为偶函数．当时，，易知此时单调递增，所以，所以，解得或．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．答案ABD
命题意图 本题考查不等式的性质．
解析 由，得，则，A成立；由两边同时乘以，不等号反向，得，B成立；由两边同时除以，得，C不成立；由可得，同除以，可得，D成立．
10．答案BC
命题意图 本题考查函数的概念．
解析 A，D中函数的定义域不同．
11．答案AD
命题意图 本题考查函数的图象与性质．
解析 分别作出相应的图象，如图：
对于A，容易看出的图象上存在两点与到直线的距离均为1，故A正确；对于B，的图象在直线上方的部分仅存在一点到直线的距离为1，在直线下方的部分满足，到直线的距离均小于1，故不存在符合条件的两点，故B错误；对于C，因为，故其图象上所有点到直线的距离均大于1，故C错误；对于D，利用几何知识可以算得点到直线的距离为，由指数函数的图象可知，在点的两边各存在一点到直线的距离为1，故D正确．
12．答案ABD
命题意图 本题考查指数的运算性质．
解析 对于A，因为，所以，所以，所以，所以，所以，故A正确；
对于B，因为，又，所以，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，故C错误；
对于D，设，则，所以，故D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案4
命题意图 本题考查集合的概念和运算．
解析 因为，所以满足的自然数对有，即中的元素有4个．
14．答案
命题意图 本题考查奇函数的概念．
解析 设函数，则的最大值为，最小值为，容易判断是奇函数，所以，所以．
15．答案
命题意图 本题考查函数的单调性．
解析 函数，由时，单调递减，得，解得．
16．答案
命题意图 本题考查分段函数和不等式的解法．
解析 由题意知，当时，恒成立；当时，恒成立；当时，由，解得，所以．综上，的取值范围是．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查指数和对数的运算性质．
解析 （Ⅰ）原式．
（Ⅱ）原式
．
18．命题意图 本题考查集合的运算、充分条件与必要条件的判断．
解析 由得，故，
由得，
因为，故．
（Ⅰ）若，则，所以．
（Ⅱ）若是成立的充分不必要条件，则，
则有解得，此时满足，
所以的取值范围是．
19．命题意图 本题考查指数函数的性质，函数与不等式的综合．
解析 （Ⅰ）因为的图象经过点，
所以，又且，所以．
（Ⅱ）因为，所以在上单调递增．
又因为，所以，
所以．
（Ⅲ）当时，，
所以，即，
所以的值域为．
20．命题意图 本题考查一元二次不等式与二次函数．
解析 （Ⅰ）当时，显然，满足题意；
若，显然满足题意；
若，则需，解得．
综上，实数的取值范围是．
（Ⅱ）由题可知，当时，恒成立．
因为，
所以等价于．
因为在区间上的最小值为，
所以只需即可，
所以实数的取值范围是．
21．命题意图 本题考查函数模型的应用和二次函数的性质．
解析 （Ⅰ）当在甲城市投资125万元时，在乙城市投资75万元，
所以总收益为（万元）．
（Ⅱ）设在甲城市投资万元，则在乙城市投资万元，
总收益为，
依题意得解得．
故．
令，则，
所以，
因为该二次函数的图象开口向下，且对称轴，
所以当，即时，取得最大值65，
所以当在甲城市投资80万元，乙城市投资120万元时，总收益最大，且最大总收益为65万元．
22．命题意图 本题考查函数的综合问题．
解析 （Ⅰ）因为在定义域上是奇函数，所以，所以．
又由，可得，
经检验知，当时，原函数是奇函数．
（Ⅱ）由（I）知在上是增函数．
证明：任取，设，
则，
因为，所以，又，所以，
即，所以函数在上是增函数．
（Ⅲ）因为是奇函数，所以不等式等价于，因为在上是增函数，所以，
即对任意，都有成立．
设，令，则有，
所以，