广东省广州市三校2023届高三上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份广东省广州市三校2023届高三上学期期中联考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2、已知复数,则复数z的虚部为( )
A.B.C.D.
3、如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且，，连接AC，MN交于P点，若，则的值为( )
A.B.C.D.
4、已知等比数列,满足,且,则数列的公比为( )
A.2B.C.D.
5、水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时8秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为,其纵坐标满足,则的表达式为( )
A.B.C.D.
6、设,,则“”是“”的( )
A.充要条件B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
7、已知函数在区间上单调，且对任意实数x均有成立，则( )
A.B.C.D.
8、已知定义在R上的函数是偶函数,且在上单调递增,则满足的x的取值范围为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9、下列是递增数列的是( )
A.B.C.D.
10、有下列说法,其中正确的说法为( )
A.,为实数,若,则与共线
B.若,,则在上的投影向量为
C.两个非零向量,,若,则与垂直
D.若,,分别表示,的面积,则
11、已知函数满足,有,且,当时,,则下列说法正确的是( )
A.是奇函数
B.时,单调递减
C.关于点对称
D.时,方程所有根的和为30
12、已知各项都是正数的数列的前n项和为,且,则( )
A.是等差数列B.当或16时,的前项和最小
C.D.
三、填空题
13、设是公比不为1的等比数列,且,,则的通项公式___________.
14、曲线在处的切线方程为__________.
15、已知,,,,则___________.
16、已知菱形ABCD的各边长为4,,如图所示,将沿AC折起,使得点D到达点S的位置,连接SB,得到三棱锥,若则三棱锥的体积为___________,E是线段SA的中点,点F在三棱锥的外接球上运动,且始终保持,则点F的轨迹的周长为___________.
四、解答题
17、在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足.
（1）求角C;
（2）已知,的外接圆半径为,求的边AB上的高h.
18、设数列满足,,且.
（1）求证:数列为等差数列,并求的通项公式;
（2）设,求数列的前99项和.
19、已知函数.
（1）如果函数在处取到最大值,,求的值;
（2）设,若对任意的x有恒成立,求的取值集合.
20、如图,在直三棱柱中,侧棱长为3,是边长为2的正三角形,D,E分别是AB,BC的中点.
（1）求证:面面;
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
21、已知椭圆的下顶点为,过右焦点且与x轴垂直的直线被截得的线段长为.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）设直线交椭圆于异于点B的P,Q两点,以PQ为直径的圆经过点B,线段PQ的中垂线与x轴的交点为,求的取值范围.
22、已知函数,函数.
（1）求函数的单调区间;
（2）若对任意的,恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1、答案：A
解析:,,
,
故选:A
2、答案：C
解析:,故虚部为.
故选:C
3、答案：C
解析：设，
则，
显然，
得，
显然，
因为，
所以有，
即，
根据向量的性质可知，
解得，
故选：C.
4、答案：B
解析:令公比为q,
由,
故且,,
所以,则,
又,,则,
所以,
综上,.
故选:B.
5、答案：D
解析:因点在水车上,所以.
由题可知的最小正周期为8,则,又,则.
因,则,又,故.
综上:.
故选:D
6、答案：B
解析:,,若,则
,当且仅当时等号同时成立,充分性满足,
若,不一定成立,例如,时,,但,必要性不满足,
故选:B.
7、答案：D
解析：由题意知，函数的最小正周期为，
因为函数在上单调，且恒成立，
所以，即，解得，
又是函数的最大值点，是函数的最小值点，
所以，又 ，解得.
故选：D.
8、答案：A
解析:,即,
因为是定义在R上的偶函数,且在上单调递增,
所以,解得:或
故选:A.
9、答案：BC
解析:对于A,,,,是摆动数列,不符合题意;
对于B,,,,符合题意;
对于C,,,,当时,,符合题意;
对于D,,,,当时,,不符合题意;
故选:BC.
10、答案：BCD
解析:对于A,当时,很显然,但是与不共线,故A错误;
对于B,因为在上的投影向量为
故B正确;
对于C,因为向量,为非零向量,且,
即,故与垂直,即C正确;
对于D,如图所示取AC中点为D,则,
由,可知,
所以O,B,D三点共线,且,故,故D正确.
故选:BCD.
11、答案：AD
解析:由题设知:,故在上为奇函数且单调递减,
根据可知函数周期为4,
又,即关于,,对称.
对于A选项,由于关于,对称,即,
的周期为4,得,即,所以为奇函数,故A正确;
对于B选项,等价于,由上易知:上递减,上递增,故不单调,故B错误;
对于C选项,由上知:关于对称且,所以不关于对称,故C错误;
对于D选项,由题意,只需确定与在的交点,判断交点横坐标的对称情况即可求和,如下图示,
共有6个交点且关于对称,则,
所有根的和为30,故D正确.
故选:AD
12、答案：ABD
解析:已知,
对于A,,,解得:,
时,
整理得:,
故是等差数列,选项A正确;
对于B,,则,
令,则数列的通项公式为,
,,其前15项均为负数,
因此,当或16时,数列的前n项和最小,选项B正确;
对于C,,选项C错误;
对于D,令,,则,
在单调递增,,
则,即,选项D正确;
故选:ABD.
13、答案：.
解析:设等比数列的公式为q(),
因为,,
所以,即,
解得或(舍去),
所以,
故答案为:.
14、答案：
解析:,切点为,
,,
切线为:,即.
故答案为:
15、答案：
解析:,,
,,
,
,
.
故答案为:.
16、答案：,或
解析:取AC中点M,连接BM,SM,则,,,BM,平面SMB,
平面SMB,,
又,,
,则三棱锥的高,
三棱锥体积为;
作于H,设点F轨迹所在平面为,
则平面经过点H且,
设三棱锥外接球的球心为O,,的中心分别为,,
易知平面SAC,平面BAC,且O,,,M四点共面,
由题可得,,
,又,
则三棱锥外接球半径,
易知O到平面的距离,
故平面截外接球所得截面圆的半径为,
截面圆的周长为,即点F轨迹的周长为.
故答案为:;.
17、答案：（1）
（2）
解析:（1）在中,
由,根据正弦定理得
,
,
,
,
又,
.
（2）在中,
,
,
根据余弦定理得
,
即,
,
,
,
.
18、答案：（1）
（2）
解析:（1）由已知得,即,
,是以2为首项,2为公差的等差数列.
,
当时,,
当时,也满足上式,所以;
（2）,
当时,
19、答案：（1）
（2）
解析:（1）由题意可得,
因为函数在处取到最大值,
所以由正弦函数的图像得,,
又因为,解得.
（2）由（1）得
恒成立,
所以,即,解得.即
20、答案：（1）详见解析
（2）
解析:（1）证明:连接AE,BE,,CD在三棱柱中,
因为底面ABC,平面ABC,
所以.
又为等边三角形,E为BC的中点,所以.
因为,且平面,平面,
所以平面,平面,
所以平面平面.
（2）取中点F,连结,
则因为D,F分别为AB,的中点,所以.
因平面平面,且平面平面,
平面ABC,所以平面,
如图建立空间直角坐标系,
由题意得,,,
,,
设平面的法向量,
则,
令,则.
平面的法向量
所以
平面与平面的夹角的余弦值是.
21、答案：（1）
（2）
解析:（1）因为椭圆的下顶点为,
所以,
椭圆的右焦点为,
令,则,解得,
则,所以,
所以椭圆的标准方程为;
（2）①当直线PQ的斜率不存在时,显然不合题意;
②当直线PQ斜率存在时,设,
当时,此时P,Q关于y轴对称,令,,
,且,则,又,
,解得或(舍),则,符合题设,
此时有;
当时,设,,
联立,得,
,得,
且,
由,
即,
,
整理得,解得(舍去),
代入得:,
PQ为,
设PQ的中点为M,
则,,
则线段的PQ中垂线为,
在x轴上截距,
而,
当且仅当,即时,取等号,
且,
综合所述,.
22、答案：（1）增区间是,减区间是.
（2）.
解析:（1）,
时,,又,则,因此,递减,
设(),则,时,,,
是增函数,即是增函数,所以,因此递增,
的增区间是,减区间是.
（2）,
设,满足题意,
,令,
则,令,
则,即在上是增函数,
,
当时,,即在上递增,
,在上递增,所以恒成立,原不等式恒成立,
当时,则,又,
存在,值得,
时,,即递减,时,,即递增,
又,时,,从而递减,于是不合题意,
综上,a的取值范围是.