宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高一上学期期中考试数学（Word版附解析）

这是一份宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高一上学期期中考试数学（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(每小题5分)
1. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知条件，条件，则是的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）.
A. B.
C. D.
6. 若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
8. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题(每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分.)
9. 以下说法正确的有（ ）
A. 实数 是成立的充要条件
B. 不等式对恒成立
C. 命题“”的否定是“”
D. 若，则的最小值是4
10. 若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（ ）
A. 函数为奇函数B. 函数为偶函数
C. 函数在为减函数D. 函数在为增函数
11. 有下列几个命题，其中正确的是（ ）
A. 函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数
B. 函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数
C. 函数y＝的单调区间是[－2，＋∞)
D. 已知函数g(x)＝奇函数，则f(x)＝2x＋3
12. 定义，设，则下列结论正确的是（ ）
A. 有最大值，无最小值B. 当，最大值为1
C. 不等式的解集为D. 的单调递减区间为
三、填空题(每小题5分)
13. 已知，则的解析式为______.
14. 函数的值域为__________．
15. 奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则__________.
16. 已知函数满足，当时，且，若当时，有解，则的取值范围为___________.
四、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. 计算：
（1）；
（2）.
18. 设命题：“对任意，恒成立”．且命题真命题．
（1）求实数的取值集合；
（2）在（1）的条件下，设非空集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
19. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨.
（1）求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本
（2）若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润多少
20. 函数是定义在区间上的增函数，且为奇函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，求解析式.
21. 已知幂函数（）的图像关于轴对称，且.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
22. 设函数，其中.
（1）若，求函数在区间上的值域；
（2）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；
（3）若对任意的，都有，求实数的取值范围.
银川一中2023/2024学年度(上)高一期中考试
数学试卷
一、单选题(每小题5分)
1. 若，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的解法，分别求得集合或和，结合交集和补集的运算，即可求解.
【详解】由，解得或，即或，
又由不等式，解得，即，
可得，所以.
故选：A.
2. 已知条件，条件，则是的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式，解集分别为A，B，根据集合的包含关系即可求解.
【详解】由或，不妨设，
或，不妨设，
因为B真包含于A，所以推不出，能推出，
所以是的必要不充分条件.
故选：C
3. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出给定二次函数的单调递减区间，再利用集合的包含关系求解作答.
【详解】函数的单调递减区间为，
因为函数在区间上是减函数，则，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
4. 函数的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性和单调性进行判断，可得到答案.
【详解】因为，
所以，
又因为函数定义域为，
所以函数为奇函数，故A选项错误，
又因为当时，，函数单调递增，故B和C选项错误.
故选：D
5. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复合函数定义域的求法可解.
【详解】因为函数的定义域是，
所以，且，
解得.
故选：A
6. 若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对任意，都有成立可判断是上的减函数，通过各段上的单调性分析及区间端点函数值的比较，列出不等式组求解即可.
【详解】由题意可知：
对任意的实数，都有成立，
是上的减函数，
，解得，
实数的取值范围是.
故选：B.
7. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，将变形可得，由基本不等式的性质可得的最小值为2，由题意得，解不等式即可得答案．
【详解】根据题意，两个正实数x，y满足，变形可得，即，
则，
当且仅当时等号成立，则的最小值为2，
若不等式有解，则，可得或，
即实数m的取值范围是．
故选：D．
8. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，得或，再分类讨论不等式的解集，结合集合关系即可求得参数的取值范围.
详解】解：由，可得或，
由，即，得，，
当，即时，不等式的解为，
此时不等式组的解集为，
又因为不等式组仅有一个整数解，
则，解得；
当，即时，不等式的解为，
又因为不等式组仅有一个整数解，
则，解得；
综上所述，的取值范围为.
故选：B.
二、多选题(每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分.)
9. 以下说法正确的有（ ）
A. 实数 是成立的充要条件
B. 不等式对恒成立
C. 命题“”的否定是“”
D. 若，则的最小值是4
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A,D，结合特殊值法，即可求解，对于B，结合作差法，即可求解，对于C，结合命题否定的定义，即可求解．
【详解】对于A，当时，显然成立，故A错误，
对于B，＝，当且仅当时，等号成立，
故不等式对a，b∈R恒成立，故B正确，
对于C，“”的否定是“”，故C正确，
对于D，令，满足，但，故D错误．
故选：BC．
10. 若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（ ）
A. 函数为奇函数B. 函数为偶函数
C. 函数在为减函数D. 函数在为增函数
【答案】BC
【解析】
【分析】先根据幂函数图像经过点，求出函数解析式，然后利用幂函数的基本性质即可求解.
【详解】因为是幂函数，所以设，
又的图像经过点，所以，所以，即，
所以函数为偶函数，且在为减函数，故BC正确，AD错误；
故选：BC.
11. 有下列几个命题，其中正确的是（ ）
A. 函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数
B. 函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数
C. 函数y＝的单调区间是[－2，＋∞)
D. 已知函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝2x＋3
【答案】AD
【解析】
【分析】根据简单函数的单调性，复合函数的单调性，以及由函数奇偶性求函数解析式，即可容易判断和选择.
【详解】由y＝2x2＋x＋1＝2在上递增知，
函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数，故A正确；
y＝在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上均是减函数，
但在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上不是减函数，
如－2<0，但故B错误；
y＝在上无意义，
从而在[－2，＋∞)上不是单调函数，故C错误；
设x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3，
因为g(x)为奇函数，所以f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3，故D正确．
故选：.
【点睛】本题考查函数单调区间的求解，复合函数的单调性判断以及利用函数奇偶性求函数解析式，属中档题.
12. 定义，设，则下列结论正确的是（ ）
A. 有最大值，无最小值B. 当，的最大值为1
C. 不等式的解集为D. 的单调递减区间为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意，写出不同区间的解析式，并作出函数图象，然后由图象即可逐一判断.
【详解】由题意得，作出函数的图象，如图所示，

根据图象，可得无最大值，无最小值，所以A错误；
根据图象得，当，的最大值为1，所以B正确；
由得，，解得：，结合图象，得不等式的解集为，所以C正确；
由图象得，的单调递减区间为，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题(每小题5分)
13. 已知，则的解析式为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法求解解析式即可.
【详解】，令，则，
所以，
所以.
故答案为：.
14. 函数的值域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用对勾函数单调性可知函数在时取得最小值，比较端点处的函数值可得最大.
【详解】由对勾函数的单调性可知，
在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数有最小值，
又
所以当时，函数有最大值，
故函数的值域为．
故答案为：．
15. 奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由为偶函数可以推出，由为奇函数可以推出，从而可以求出的周期，进而即可求解.
【详解】因为为上的奇函数，所以有，
又因为为偶函数，所以有，即，
对比以上两式得，
从而，即函数是周期为的周期函数，
所以，
又注意到为上的奇函数，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：.
16. 已知函数满足，当时，且，若当时，有解，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件导出在上单调递增，再将不等式转化为，借助单调性脱去法则分离参数，求出函数最大值即可.
【详解】，，则，由当时，，得，
又，，则，
于是在上单调递增，不等式化为，，
从而，因此，
依题意，当时，有解，即有解，
显然，则，当，即时，，于是，
所以的取值范围是.
故答案为：
四、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. 计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）1； （2）0.
【解析】
【分析】（1）（2）利用分数指数幂的意义、指数运算法则计算即得.
小问1详解】
原式
.
【小问2详解】
原式.
18. 设命题：“对任意，恒成立”．且命题为真命题．
（1）求实数的取值集合；
（2）在（1）的条件下，设非空集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据不等式恒成立可得对任意恒成立，将变形并结合基本不等式，即可求得答案；
（2）由题意推出，由此可得不等式，即可求得答案.
【小问1详解】
对任意，恒成立，即，
即对任意恒成立，
而，即，故
，
当且仅当，即时取等号，
故，则实数的取值集合.
【小问2详解】
解，即，得或，
由于“”是“”的充分条件，故,
故，即，
所以实数的取值范围为或.
19. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨.
（1）求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本
（2）若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少
【答案】（1）当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元
（2）当年产量为吨时，可获得最大利润万元
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得总成本的表达式，利用二次函数的性质求得总成本的最小值并求得此时对应的年产量.
（2）利用求得总利润的表达式，再根据二次函数的性质求得最大利润以及此时对应的年产量.
【小问1详解】
因为，
所以当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元.
【小问2详解】
设该工厂年获得总利润为万元，
则.
因为在上是增函数，
所以当时，有最大值为.
故当年产量为吨时，可获得最大利润万元.
20. 函数是定义在区间上的增函数，且为奇函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，求解析式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将所求不等式变形为，利用函数的定义域、单调性可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围，即可得解；
（2）由奇函数的性质得出，可求得的值，再由可得出的值，由此可得函数的解析式，然后利用函数单调性与奇偶性的定义验证函数在上的单调性与奇偶性即可.
【小问1详解】
解：因为函数是定义在区间上的增函数，且为奇函数，
由可得，
所以，，解得，
故不等式的解集为.
【小问2详解】
解：因为函数是定义在上的奇函数，则，
且，解得，所以，.
下面先证明函数为上的奇函数：
任取，则，
故函数为上奇函数.
接下来证明出函数在上增函数，
任取、且，则，
即，故函数在上为增函数，
综上所述，.
21. 已知幂函数（）的图像关于轴对称，且.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，得到函数在区间为单调递增函数，即求解.
（2）根据函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，将不等式，转化为求解.
【详解】（1）由题意，函数（）的图像关于轴对称，且，
所以在区间为单调递增函数，
所以，解得，
由，。
又函数的图像关于轴对称，
所以为偶数，
所以，
所以.
（2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，
所以不等式，等价于，
解得或，
所以实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质以及函数奇偶性和单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
22. 设函数，其中.
（1）若，求函数在区间上的值域；
（2）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；
（3）若对任意的，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求解；
（2）“对任意的，都有”等价于“在区间上”，，再根据二次函数的性质知函数的图象开口向上，在上的最大值为或，即可求解；
（3）设函数在区间上的最大值为，最小值为，将问题“对任意的，都有”等价于“”，根据二次函数的图象与性质，分别讨论，，和，得到和，从而得到关于不等式，即可求解.
【小问1详解】
当时，则，，
由二次函数的对称性知：当时，的最小值为1；
当时，的最大值为10；
所以在区间值域的为.
【小问2详解】
“对任意的，都有”等价于“在区间上”.
由（1）知时，，
由二次函数的性质知函数的图象开口向上，
所以在上的最大值为或，
则，即，解得：，
故实数的取值范围为区间.
【小问3详解】
设函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以“对任意的，都有”等价于“”，
又在上单调递减，在上单调递增，
①当时，在上单调递增，
则，，
即，解得，
即；
②当.
由，解得：，
即；
③当时，.
由，得，
即；
④当时，.
由，得，
即.
综上，的取值范围为.