2023小学奥数练习卷几何五大模型(蝴蝶模型)

这是一份2023小学奥数练习卷几何五大模型(蝴蝶模型)，共19页。

模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):
①或者
②
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
(小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形,被对角线、分成四个部分，△面积为１平方千米,△面积为２平方千米,△的面积为3平方千米,公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米?
根据蝴蝶定理求得平方千米,公园四边形的面积是平方千米,所以人工湖的面积是平方千米
【巩固】如图,四边形被两条对角线分成４个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：⑴三角形的面积;⑵?
⑴根据蝴蝶定理，,那么；
⑵根据蝴蝶定理，． (?？？)
四边形的对角线与交于点(如图所示)。如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，,那么的长度是的长度的倍。

在本题中,四边形为任意四边形,对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作垂直于,垂直于,面积比转化为高之比。再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。
解法一：∵，
∴,
∴.
解法二：作于，于．
∵，
∴，
∴,
∴，
∴,
∴.
如图，平行四边形的对角线交于点,、、、的面积依次是2、4、4和6。求：⑴求的面积;⑵求的面积。
⑴根据题意可知,的面积为,那么和的面积都是，所以的面积为;
⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为,
根据蝴蝶定理，，所以，
那么.
图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了４个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是６公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?
在,中有,所以, 的面积比为。同理有，的面积比为。所以有×=×,也就是说在所有凸四边形中,连接顶点得到２条对角线,有图形分成上、下、左、右４个部分，有:上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即=,所以有与的面积比为，＝公顷,=公顷。
显然,最大的三角形的面积为2１公顷。
(200８年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 。

连接、、。
则可根据格点面积公式,可以得到的面积为：,的面积为：，的面积为：.
所以，所以.
【巩固】如图,每个小方格的边长都是1,求三角形的面积。
因为,且∥,所以,,．
(2007年人大附中考题)如图,边长为１的正方形中，，,求三角形的面积.

连接．
因为,,所以．
因为,根据蝴蝶定理,,
所以.
所以，
即三角形的面积是．
如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米,求长方形的面积.

连接,．
因为,，所以.
因为,,所以平方厘米，所以平方厘米.因为，所以长方形的面积是平方厘米．
如图,已知正方形的边长为１0厘米,为中点,为中点,为中点,求三角形的面积．

设与的交点为，连接、．
由蝴蝶定理可知,而，,
所以，故.
由于为中点,所以，故，．
由蝴蝶定理可知,所以，
那么(平方厘米).
如图,在中，已知、分别在边、上，与相交于，若、和的面积分别是3、2、1,则的面积是 .
这道题给出的条件较少,需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.
根据蝴蝶定理得
设，根据共边定理我们可以得
,,解得.
（2０09年迎春杯初赛六年级)正六边形的面积是2009平方厘米,分别是正六边形各边的中点;那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米.

如图,设与的交点为，则图中空白部分由个与一样大小的三角形组成,只要求出了的面积,就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积．
连接、、.
设的面积为”“,则面积为”“，面积为”“，那么面积为的倍,为”“，梯形的面积为,的面积为”“,的面积为.
根据蝴蝶定理,，故,,
所以，即的面积为梯形面积的,故为六边形面积的，那么空白部分的面积为正六边形面积的,所以阴影部分面积为(平方厘米)．
ﻬ板块二 梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):
①
②;
③的对应份数为.
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道,通过构造模型,直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）
如图，,，求梯形的面积．
设为份,为份，根据梯形蝴蝶定理,，所以；又因为,所以;那么，，所以梯形面积，或者根据梯形蝴蝶定理,．
【巩固】(２0０6年南京智力数学冬令营)如下图，梯形的平行于，对角线,交于,已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是平方厘米．

根据梯形蝴蝶定理，，可得，再根据梯形蝴蝶定理,，所以（平方厘米).那么梯形的面积为(平方厘米).
梯形的对角线与交于点,已知梯形上底为2，且三角形的面积等于三角形面积的,求三角形与三角形的面积之比.

根据梯形蝴蝶定理，，可以求出,
再根据梯形蝴蝶定理,．
通过利用已有几何模型,我们轻松解决了这个问题,而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以,请同学们一定要牢记几何模型的结论.
(第十届华杯赛)如下图,四边形中,对角线和交于点，已知,并且,那么的长是多少?
根据蝴蝶定理,，所以，又，所以.
梯形的下底是上底的倍，三角形的面积是，问三角形的面积是多少？
根据梯形蝴蝶定理,,,
所以．
【巩固】如图，梯形中，、的面积分别为和,求梯形的面积．
根据梯形蝴蝶定理,，所以，
,,
．
如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形的面积是，三角形的面积是,求四边形的面积.
如图,连结，显然四边形和四边形都是梯形，于是我们可以得到三角形的面积等于三角形的面积;三角形的面积等于三角形的面积，所以四边形的面积是.
【巩固】（人大附中入学测试题)如图,长方形中,若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形２的面积为3６，则三角形１的面积为.

做辅助线如下:利用梯形模型，这样发现四边形２分成左右两边，其面积正好等于三角形１和三角形3，所以１的面积就是，3的面积就是.
如图,正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积.
因为是边上的中点，所以，根据梯形蝴蝶定理可以知道
,设份，则 份，所以正方形的面积为份，份,所以,所以平方厘米．
【巩固】在下图的正方形中,是边的中点，与相交于点，三角形的面积为１平方厘米，那么正方形面积是 平方厘米.
连接,根据题意可知，根据蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米),那么(平方厘米)．
如图面积为平方厘米的正方形中，是边上的三等分点，求阴影部分的面积.
因为是边上的三等分点，所以，设份,根据梯形蝴蝶定理可以知道份，份,份，因此正方形的面积为份,，所以，所以平方厘米.
如图，在长方形中,厘米，厘米,,求阴影部分的面积．
方法一：如图，连接，将阴影部分的面积分为两个部分,其中三角形的面积为平方厘米.
由于,根据梯形蝴蝶定理，，所以，而平方厘米,所以平方厘米，阴影部分的面积为平方厘米.
方法二：如图,连接，,由于,设份，根据梯形蝴蝶定理, 份，份，份,因此份,份，而平方厘米，所以平方厘米
（2０08年”奥数网杯”六年级试题)已知是平行四边形，,三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米.
连接.
由于是平行四边形,,所以，
根据梯形蝴蝶定理,，所以（平方厘米）,(平方厘米),又(平方厘米)，阴影部分面积为(平方厘米)．
【巩固】右图中是梯形,是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分的面积是 平方厘米．

连接．
由于与是平行的，所以也是梯形,那么．
根据蝴蝶定理，，故,
所以（平方厘米)．
【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中是梯形,是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米．
连接.
由于与是平行的，所以也是梯形,那么.
根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米）.
另解：在平行四边形中,（平方厘米),
所以（平方厘米)，
根据蝴蝶定理,阴影部分的面积为（平方厘米）.
如图所示，、将长方形分成4块，的面积是5平方厘米,的面积是10平方厘米.问:四边形的面积是多少平方厘米?

连接，根据梯形模型,可知三角形的面积和三角形的面积相等，即其面积也是10平方厘米,再根据蝴蝶定理，三角形的面积为(平方厘米)，所以长方形的面积为（平方厘米）.四边形的面积为(平方厘米）．
【巩固】如图所示，、将长方形分成4块,的面积是4平方厘米，的面积是6平方厘米．问:四边形的面积是多少平方厘米?

（法1)连接，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理,可知三角形的面积和三角形的面积相等,即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理,三角形的面积为(平方厘米)，所以长方形的面积为(平方厘米）．四边形的面积为(平方厘米).
(法２)由题意可知，,根据相似三角形性质，,所以三角形的面积为：(平方厘米)．则三角形面积为１５平方厘米，长方形面积为(平方厘米)．四边形的面积为(平方厘米).
【巩固】(９8迎春杯初赛）如图，长方形中,阴影部分是直角三角形且面积为，的长是， 的长是.那么四边形的面积是多少?
因为连接知道和的面积相等即为,又因为,所以的面积为,根据四边形的对角线性质知道：的面积为:，所以四边形的面积为：（平方厘米).
(2007年”迎春杯”高年级初赛）如图，长方形被、分成四块,已知其中3块的面积分别为２、5、８平方厘米,那么余下的四边形的面积为平方厘米.

连接、.四边形为梯形,所以，又根据蝴蝶定理，,所以，所以(平方厘米)，(平方厘米）.那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)．
(98迎春杯初赛)如图，长方形中,是直角三角形且面积为54，的长是16，的长是9.那么四边形的面积是 .

解法一：连接，依题意,所以,
则．
又因为,所以，
得,
所以．
解法二：由于,所以，而,根据蝴蝶定理,，所以，
所以．
如图,是等腰直角三角形,是正方形，线段与相交于点.已知正方形的面积48，，则的面积是多少?
由于是正方形,所以与平行，那么四边形是梯形．在梯形中，和的面积是相等的.而，所以的面积是面积的，那么的面积也是面积的.
由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么是的中点，而且，可见和的面积都等于正方形面积的一半,所以的面积与正方形的面积相等，为48.
那么的面积为.
如图所示，是梯形，面积是,的面积是9，的面积是27．那么阴影面积是多少？
根据梯形蝴蝶定理，可以得到,而(等积变换），所以可得,
并且,而,
所以阴影的面积是：.
如图,正六边形面积为，那么阴影部分面积为多少？
连接阴影图形的长对角线,此时六边形被平分为两半,根据六边形的特殊性质,和梯形蝴蝶定理把六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份,所以阴影部分的面积.
如图,已知是中点，是的中点,是的中点．三角形由①~⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形的面积是多少平方厘米？
因为是中点，为中点,有且平行于，则四边形为梯形．在梯形中有③=④,②×⑤=③×④，②:⑤=： =4．又已知②-⑤=６,所以⑤＝，②＝⑤，所以②×⑤=④×④=16,而③=④,所以③=④=4，梯形的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为.有与的面积比为平方与平方的比，即为1：4.所以面积为梯形面积的=,即为．因为是中点，所以与的面积相等，而的面积为、的面积和,即为平方厘米.三角形的面积为48平方厘米．
如图，在一个边长为6的正方形中,放入一个边长为２的正方形，保持与原正方形的边平行,现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形,那么阴影部分的面积为 ．

本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况.
解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合,如右图所示,图中四个空白三角形的高均为，因此空白处的总面积为，阴影部分的面积为.
解法二:连接两个正方形的对应顶点,可以得到四个梯形,这四个梯形的上底都为2，下底都为6，上底、下底之比为,根据梯形蝴蝶定理,这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的，阴影部分的面积占该梯形面积的，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的,那么阴影部分的面积为.
如图，在正方形中,、分别在与上,且，，连接、,相交于点,过作、得到两个正方形和,设正方形的面积为，正方形的面积为,则.

连接、.设正方形边长为3,则，,所以,,．因为,所以．由梯形蝴蝶定理，得，
所以，．因为，，
所以，所以,.
由于底边上的高即为正方形的边长，所以，,
所以,则.
如下图，在梯形中，与平行，且,点、分别是和的中点，已知阴影四边形的面积是54平方厘米，则梯形的面积是 平方厘米.
连接,可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起,应用梯形蝴蝶定理,可以确定其中各个小三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形面积.
设梯形的上底为,总面积为．则下底为,.
所以,.
由于梯形和梯形的高相等，所以
，
故,．
根据梯形蝴蝶定理,梯形内各三角形的面积之比为，所以；
同理可得,
所以,由于平方厘米，
所以(平方厘米).
(2０06年“迎春杯”高年级组决赛)下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中点,如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于 ．

左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形,不方便直接求面积,观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求,所以可以先求出空白部分的面积,再求阴影部分的面积.
如下图所示,在左图中连接.设与的交点为.
左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的,所以三角形的面积为．又左图中四个空白三角形的面积是相等的,所以左图中阴影部分的面积为.
如上图所示,在右图中连接、.设、的交点为．
可知∥且．那么三角形的面积为三角形面积的,所以三角形 的面积为,梯形的面积为．
在梯形中，由于,根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为:，所以三角形的面积为，那么四边形的面积为.而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为.
那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为,即，
那么。