2023小学奥数练习卷几何五大模型(相似模型)

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模型四 相似三角形模型
（一）金字塔模型 （二) 沙漏模型

①；
②。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.
在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。
如图，已知在平行四边形中，，,，那么的长度是多少？
图中有一个沙漏，也有金字塔,但我们用沙漏就能解决问题，因为平行于，所以，所以．
如图，测量小玻璃管口径的量具,的长为厘米，被分为等份。如果小玻璃管口正好对着量具上等份处（平行)，那么小玻璃管口径是多大?
有一个金字塔模型,所以，，所以厘米。
如图,平行，若，那么________。
根据金字塔模型，，
设份，则份,份，所以.
如图， 中，，,互相平行，，
则 .
设份，根据面积比等于相似比的平方，
所以，，因此份，份,
进而有份，份，所以
【巩固】如图,平行，且，,，求的长。
由金字塔模型得，所以
【巩固】如图， 中，，，，，互相平行，，
则 。
设份，，因此份，进而有份，同理有份,份，份．
所以有
【总结】继续拓展，我们得到一个规律:平行线等分线段后,所分出来的图形的面积成等差数列.
已知中，平行，若，且比大，求.
根据金字塔模型，，设份，则份，份,比大份，恰好是,所以
如图：平行， ，，求的长度
在沙漏模型中，因为，所以，在金字塔模型中有：
，因为,,所以
【巩固】如图，已知平行,，那么________。
由沙漏模型得，再由金字塔模型得．
如图，中,,，与平行，的面积是1平方厘米.那么的面积是 平方厘米。
因为，，与平行，
根据相似模型可知，，平方厘米,
则平方厘米，
又因为，所以（平方厘米）．
在图中的正方形中，，，分别是所在边的中点，的面积是面积的几倍？

连接，易知∥，根据相似三角形性质，可知,且，所以的面积等于的面积；由可得，所以，即的面积是面积的3倍。
如图，线段与垂直，已知，，那么图中阴影部分面积是多少?

解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．
作辅助线，则图形关于对称，有,，且．
设的面积为2份，则的面积为3份,直角三角形的面积为8份．
因为,而阴影部分的面积为4份,所以阴影部分的面积为．
解法二：连接、．由于，，所以∥,根据相似三角形性质,可知，
根据梯形蝴蝶定理,，
所以,即；
又，所以．
(年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形和都是平行四边形，四边形的面积是，，则四边形的面积________．
因为为平行四边形，所以，所以为平行四边形．
,那么，所以．
又，所以，根据沙漏模型，
，所以．
已知三角形的面积为，,是的中点，且∥,交于，求阴影部分的面积．

已知，且∥，利用相似三角形性质可知,所以，且．
又因为是的中点，所以是三角形的中位线，那么,,所以,可得，所以，那么．
已知正方形，过的直线分别交、的延长线于点、，且，，求正方形的边长．
方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有,，设正方形的边长为，所以有，即，解得，所以正方形的边长为．
方法二:或根据一个金字塔列方程即，解得
如图,三角形是一块锐角三角形余料，边毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在上,其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？

观察图中有金字塔模型个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有,，设正方形的边长为毫米，，即，解得，即正方形的边长为毫米．
【巩固】如图，在中，有长方形，、在上,、分别在、上，是 边的高，交于，，厘米，厘米，求长方形的长和宽．
观察图中有金字塔模型个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以，，所以有，设,则，所以有，解得,,因此长方形的长和宽分别是厘米,厘米．
图中是边长为的正方形，从到正方形顶点、连成一个三角形，已知这个三角形在上截得的长度为，那么三角形的面积是多少？

根据题中条件，可以直接判断出与平行,从而三角形与三角形相似，这样,就可以采用相似三角形性质来解决问题．
做垂直于，交于．
因为∥，所以三角形与三角形相似，且相似比为，
所以，又因为,所以,
所以三角形的面积为．
如图，将一个边长为的正方形两边长分别延长和，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少?
根据相似三角形的对应边成比例有：；，
则，,

（2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数（厘米），它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是 ．
设大、小正方形的边长分别为厘米、厘米（),则，所以．若，则，不合题意,所以只能为6或7．检验可知只有、满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米．根据相似三角形性质，，而，得(厘米），所以阴影部分的面积为：（平方厘米）．
如图，是矩形一条对角线的中点,图中已经标出两个三角形的面积为和,那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？
连接，面积为的三角形占了矩形面积的，所以,所以，所以，由三角形相似可得阴影部分面积为．
已知长方形的面积为厘米，是的中点，、是边上的三等分点，求阴影的面积是多少厘米？

因为是的中点，、是边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成份的话，那么份、份，大家能在图形中找到沙漏和：有，所以，相当于把分成(）份,同理也可以在图中在次找到沙漏：和也是沙漏，，由此可以推出：, 相当于把分成（)份，那么我们就可以把分成份（和的最小公倍数）其中占份，占份，占份，连接则可知的面积为，在为底的三角形中占份,则面积为：(平方厘米）。
是平行四边形，面积为72平方厘米，、分别为、的中点，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．

方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质．
设、分别为、的中点，连接、、．
可得，
对角线被、、平均分成四段，又∥，所以，，
所以 （平方厘米），(平方厘米)．
同理可得平方厘米，平方厘米．
所以 （平方厘米)，
于是，阴影部分的面积为（平方厘米）．
方法二：寻找图中的沙漏，,，因此为的三等分点,（平方厘米),(平方厘米)，同理(平方厘米),所以(平方厘米）．
如图，三角形的面积是8平方厘米,长方形的长是6厘米,宽是4厘米,是的中点，则三角形的面积是 平方厘米．

本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点,一般需要通过这一点做垂线．
取的中点，连接,设交于．
则三角形被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边，可知三角形的面积等于（平方厘米），所以(厘米），那么(厘米)．
因为是三角形的中位线，所以（厘米)，所以三角形的面积为 (平方厘米)．
如图，长方形中，为的中点,与、分别交于、，垂直于,交于，已知,,求．
由于∥，利用相似三角形性质可以得到，
又因为为中点，那么有，
所以，利用相似三角形性质可以得到，
而，所以．
右图中正方形的面积为1, 、分别为、的中点，．求阴影部分的面积．

题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解,而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．
阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积． 可以作垂直于，垂直于．
根据相似三角形性质，,又因为，所以，即，所以．
梯形的面积为12，,为的中点，的延长线与交于,四边形 的面积是 ．

延长、相交于．
由于为的中点，根据相似三角形性质，,,再根据相似三角形性质，,，而，
所以，．
又，，所以．
如图，三角形的面积为60平方厘米，、、分别为各边的中点,那么阴影部分的面积是 平方厘米．

阴影部分是一个不规则的四边形,不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为与的面积之差，又可以转化为与的面积之差．
（法1)如图，连接．
由于、、分别为各边的中点，那么为平行四边形，且面积为三角形面积的一半，即30平方厘米；那么的面积为平行四边形面积的一半，为15平方厘米．
根据几何五大模型中的相似模型，由于为三角形的中位线，长度为的一半，则，所以；
，所以．
那么的面积占面积的,所以阴影部分面积为(平方厘米)．
(法2）如图，连接．
根据燕尾定理，，，
所以平方厘米，
而平方厘米,所以平方厘米，
那么阴影部分面积为（平方厘米）．
【总结】求三角形的面积，一般有三种方法:
⑴利用面积公式:底高；
⑵利用整体减去部分；
⑶利用比例和模型．
如图，是直角梯形，，那么梯形的面积是多少?

延长交于点,分别计算的面积，再求和．

∴；
又∵
∴,
∴
边长为厘米和厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米?

给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为，小正方形为，分别交于两点，
，
∴，，
∵
∴
如右图，长方形中，，，求的长．
因为∥，根据相似三角形性质知，
又因为∥，,
所以，即，所以．
（第届迎春杯试题)如图，已知正方形的边长为,是边的中点，是边上的点,且，与相交于点,求
方法一：连接,延长，两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有,因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有，所以．
方法二：连接，分别求，，根据蝴蝶定理，所以．
如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点， 交于,求的面积．

解法一：由题意可得，、是、的中点，得，而，
所以，
并得、是的三等分点，所以，所以
，
所以，;
又因为,所以．
解法二：延长交于，如右图,
可得，,
从而可以确定的点的位置，
，
，（鸟头定理)，
可得
（清华附中入学试题)正方形的面积是120平方厘米，是的中点,是的中点，四边形的面积是 平方厘米．

欲求四边形的面积须求出和的面积．
由题意可得到：，所以可得：
将、延长交于点，可得:
，
而，得，
而，所以

．
本题也可以用蝴蝶定理来做,连接，确定的位置(也就是）,同样也能解出．
如图，已知,点分别在上，且，则是多少？

的面积已知，若知道的面积占的几分之几就可以计算出的面积．连接．
∵
∴
∴与平行，
∴
∴
∵，
∴
∴
如图,长方形中，、分别为、边上的点，，，求．

如图，过作的平行线交于．
由于是的中点，所以是的中点．
由于，，所以，．
根据相似性，，,
于是，，，
所以．
如下图,、、、均为各边的三等分点,线段和把三角形分成四部分,如果四边形的面积是24平方厘米，求三角形的面积．

设三角形以为底的高为，
由于，所以；
所以三角形以为底的高是；
又因为三角形以为底的高是，
所以三角形的面积与三角形的面积之比，
所以三角形的面积为（平方厘米)，
而三角形的面积占三角形的，
所以三角形的面积是（平方厘米）．
(年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛（队际赛））如图，为正方形，且,请问四边形的面积为多少？

(法)由,有，所以，又，所以
,所以，所以占的，
所以．
（法)如图，连结，则(，而,所以，（)．而()，因为，
所以，则(),阴影部分面积等于
（)。