2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第八中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第八中学高一上学期期中考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义直接求解作答.
【详解】解不等式得：，即，而，
所以.
故选：C
2．下列函数中，与函数是相等函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依次判断各个选项的解析式和定义域是否和相同，二者皆相同即为同一函数，由此得到结果.
【详解】的定义域为；
对于A，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，A错误；
对于B，，与定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确；
对于C，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，C错误；
对于D，，与解析式不同，不是同一函数，D错误.
故选：B.
3．已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】解不等式得或，
因为或，因此，是的充分不必要条件.
故选：A.
4．下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】逐项判断函数奇偶性和单调性，得出答案.
【详解】解析：A项，B项均为定义域上的奇函数，排除；
D项为定义域上的偶函数，在单调递增，排除；
C项为定义域上的偶函数，且在上单调递减.
故选：C.
5．已知：则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值B．有最小值
C．有最大值4D．有最小值
【答案】A
【解析】利用基本不等式可得和，即可判断.
【详解】，
，即，可得，当且仅当时等号成立，
有最大值，故A正确，B错误；
，当且仅当即时等号成立，
有最小值4，故CD错误.
故选：A.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
6．已知函数，则（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【解析】先计算出，然后再计算．
【详解】由题意，所以．
故选：C．
7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首次把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”表示“大于”，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，则
【答案】C
【分析】利用反例可判断ABD的正误，利用作差法可判断C的正误.
【详解】对于选项A，当时，，，
此时，故A错误；
对于选项B，当时，，故B错误；
对于选项C，，所以，又，所以，故C正确；
对于选项D，，满足，但，故D错误．
故选：C．
8．设为偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（ ）
A．（－1，1）B．C．D．（2，4）
【答案】C
【分析】由奇偶性可知的区间单调性及，画出函数草图，由函数不等式及函数图象求解集即可.
【详解】根据题意，偶函数在上单调递减且，则在上单调递增，且．
函数的草图如图，或，
由图可得－2＜x＜0或x＞2，即不等式的解集为．
故选：C．
9．已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用换元法即可求出函数的解析式．
【详解】∵
∴令，则
∴
∴
故选：D．
10．若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先判断函数单调性并利用其比较函数值大小，再根据偶函数转化即得结论.
【详解】∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
又∵，
∴，
又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣）＝f（）.
∴.
故选：A.
【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的综合应用，属于基础题.
11．已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，是增函数，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用赋值法，令，得到，再根据得到，然后根据单调性和定义域列不等式，解不等式即可.
【详解】令，则，整理得，因为时，是增函数，所以在的定义域内只存在一个解，
根据题意可得，又是增函数，
所以，解得.
故选：D.
12．已知二次函数的图象的对称轴在轴右侧，且不等式的解集为，若函数在上的最大值为，则实数（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】分析可知，可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出函数的解析式，然后作出函数在上的图象，数形结合可得出实数的值.
【详解】由题意可得，可得，
因为不等式的解集为，
则关于的方程的两根分别为、，
由韦达定理可得，解得，故，
解方程，即，即，解得或，
作出函数的图象如下图所示：
因为二次函数在区间上单调递减，在上单调递增，
且函数在上的最大值为，则.
故选：A.
二、填空题
13．函数的定义域是_____________
【答案】
【分析】根据题意得，解不等式即可得答案.
【详解】要使函数有意义，则需满足，解得且.
故函数的定义域是.
故答案为：
14．：，的否定是__________．
【答案】，
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，即可求解．
【详解】因为命题是全称命题，
根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为：，．
故答案为: ，．
15．定义，例如：min(－1，－2)＝－2，min(2，2)＝2，若f(x)＝x2，g(x)＝－x2－4x＋6，则函数F(x)＝min( f(x)，g(x) )的最大值为______.
【答案】
【分析】作出函数的图象即可得到的图象，从而求出其最大值．
【详解】作出函数的图象，根据定义可知，的图象如图所示（实线部分）：
由，解得：或，
所以函数的最大值为．
故答案为：．
16．定义：表示不超过的最大整数，如，则函数的值域为________．
【答案】
【分析】根据的定义即可求出函数的值域.
【详解】解：当为整数时，，
当时，，
当时，，
所以当且不为整数时，的值域包含于
．
故答案为：.
三、解答题
17．已知集合，集合.
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）先化简集合A,B，再利用集合的并集，补集和交集运算.
（2）根据，由求解.
【详解】（1），
当时，，
所以，
因为或，
所以
（2）因为，
所以，
又因为，，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是
18．已知：函数在上是减函数，：关于的方程的两个根大于1．
(1)当时，为真命题，求的取值范围；
(2)若为真命题是为真命题的充分不必要条件，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数函数的单调性列不等式，解不等式即可；
（2）分别求出命题和命题为真命题时的范围，根据为真命题是为真命题的充分不必要条件，列不等式求解即可.
【详解】（1）当时，，
因为是真命题，则，解得，所以的取值范围为.
（2）：令，解得，所以：，
：关于的方程，解得或，所以，解得，所以：，
因为为真命题是为真命题的充分不必要条件，所以，则，
所以的取值范围为.
19．已知函数是定义在上的奇函数，并且满足：；当时，.
（1）求a的值；
（2）求函数的解析式；
（3）解不等式.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由可求出答案；
（2）当时，然后可得答案；
（3）易得在上单调递增，然后由可得，即可解出答案.
【详解】（1）；
（2）因为，当时，，
；
（3）易得在上单调递增，
由，
可得，
所以， 得，
所以原不等式的解为.
20．2020年新冠肺炎疫情在世界范围内爆发，疫情发生以后，佩戴口罩作为阻断传染最有效的措施，一度导致口罩供不应求.为缓解口罩供应紧张，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.已知生产口罩的固定成本为80万元，每生产万箱，需要另外投入的生产成本（单位：万元）为，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.
（1）求生产多少万箱时平均每万箱的成本最低，并求出最低成本；
（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？
【答案】（1）生产20万箱时，平均每万箱成本最低，为56万元；（2）130．
【解析】（1）可得出平均每万箱的成本为，再利用基本不等式可求；
（2）可得利润为，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）设生产万箱时平均每万箱的成本为，
则，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立．
所以，当时取到最小值，
即生产20万箱时平均每万箱成本最低，最低成本为56万元．
（2）设生产万箱时所获利润为，
则，即，，
即，
所以，
所以生产130万箱时，所获利润最大为3300万元．
21．已知函数是奇函数，且函数在上单调递增，、．
(1)求的值；
(2)当时，根据定义证明在上是减函数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用奇函数的定义可得出关于的方程，利用幂函数的单调性可得出，即可得解；
（2）由（1）可得，设，作差，经过通分、因式分解后判断的符号，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：由题可知，即，
所以，解得或．
又在上单调递增，因此.经验证满足题意.
（2）证明：结合（1）可知，
设，则
，
因为，则，，
又，，所以，，即，
因此，函数在上是减函数．
22．已知函数．
(1)设，求在区间上的最小值；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）就、、分类讨论后可得.
（2）就、、、、分类讨论后可得不等式的解.
【详解】（1），
①当，即时，函数在处取得最小值，故；
②当时，即时，函数在处取得最小值，
故此时；
③当时，即时，函数在处取得最小值，
故此时；
综上可知：
（2）∵，
∴当时，得，故此时不等式的解集为.
时，分为，，
当时，
当时，不等式的解集为；
当，不等式的解集为
当，不等式的解集为
当，不等式的解集为．