2022-2023学年浙江省宁波金兰教育合作组织高一上学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年浙江省宁波金兰教育合作组织高一上学期期中联考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则的子集有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据集合间的关系确定子集，即可得的子集个数.
【详解】解：∵集合，∴的子集有：.
则的子集有4个.
故选：D.
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.
【详解】对于函数，则有，解得且，
所以函数的定义域为，
故选：B.
3．下列各图中，不可能是函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义，可得答案.
【详解】D选项，时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象，
其他选项均满足函数的概念，是函数的图象.
故选：D
4．设，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由包含关系判断即可.
【详解】不等式：，所对集合为，不等式化为：，于是得“”所对集合为，显然是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么t分钟后物体的温度可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有一个的物体，放在的空气中冷却，2分钟后物体的温度是，那么4分钟后该物体的温度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可求得，从而可求得时的温度.
【详解】因为，
则，得，
所以4分钟后该物体的温度：
.
故选：A.
6．16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则a，b、c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分数指数幂的运算和指数函数的单调性可得、，即可求解.
【详解】∵，所以，
又∵，即，
因此，.
故选：C.
7．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
若某户居民本月缴纳的水费为99元，则此户居民本月的用水量为（ ）A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题可得水费与用水量的解析式，进而根据水费即可求得用水量.
【详解】依题意，设此户居民月用水量为，月缴纳的水费为y元，
则，
整理得：，
当时，，
当时，，
因此，由得：，
解得，所以此户居民本月的用水量为.
故选：A.
8．已知函数满足条件：对于任意的，存在唯一的，使得，当成立时，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可知时与时函数值域相等，据此可得，从而可根据求得，进而求得.
【详解】设当时，的值域为A，当时，的值域为B.
则根据题意可得，
当时，在上单调递增，
则，即，
则，∵，
即且，
则，
故选：C.
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．函数在其定义域内是减函数
B．命题“，”的否定是“，”
C．函数与是同一个函数
D．、、为任意的实数，若，则
【答案】BD
【分析】利用反比例函数的单调性可判断A选项；利用存在量词命题的否定可判断B选项；利用函数相等的概念可判断C选项；利用不等式的性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数在定义域上不单调，A错；
对于B选项，由存在量词命题的否定可知，B对；
对于C选项，函数的定义域为，函数的定义域为，
故函数与不是同一个函数，C错；
对于D选项，因为，由不等式的性质可得，D对.
故选：BD.
10．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，则（ ）
A．的最大值为1B．在区间上单调递减
C．的解集为D．当时，
【答案】ABC
【分析】根据偶函数的性质结合函数单调性逐项判断即可.
【详解】解：函数是定义在R上的偶函数，所以，又当时
所以当时，，故D错误；
当时，，所以在单调递增，单调单调递减，所以，由于偶函数关于轴对称，所以在单调递增，单调单调递减，所以，的最大值为1，故A正确，B正确；
当时，，，解得，当时，，解得，所以的解集为，故C正确.
故选：ABC.
11．设正实数x，y，满足，则（ ）
A．B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为4
【答案】ACD
【分析】根据已知等式，利用换元法转化可判断A，C，根据基本不等式的应用判断B，D.
【详解】解：选项A，由，可得，所以，故选项A正确；
选项B，由，可得，当且仅当，即时等号成立，故选项B错误；
选项C，，当时，等号成立，故选项C正确；
选项D，由，当且仅当，即时等号成立，故选项D正确.
故选：ACD.
12．把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“类增函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，则有成立.下列说法错误的是（ ）
A．若为“类增函数”，则
B．若为“类增函数”，则不一定是增函数
C．函数在上是“类增函数”
D．函数在上不是“类增函数”（表示不大于x的最大整数）
【答案】CD
【分析】对A选项通过条件及赋值得到，对B通过构造函数即可判断，对C举反例，通过计算即可判断，对D选项，显然取整函数满足条件（1），通过设字母，将分整数与小数部分即可证明，即可判断.
【详解】对于A，若函数为“类增函数”，则由条件（1）得.由条件（2），得当时，，所以，故A说法正确；
对于B，若，则满足条件（1）（2），但不是增函数，故B说法正确；
对于C，当时，，不满足条件（2），所以不是“类增函数”，故C说法错误；
对于D，在上的最小值是0，显然符合条件（1）.设上的每一个数均由整数部分和小数部分构成，设x的整数部分是m，小数部分是n，即，则.设y的整数部分是a，小数部分是b，即，则.当时，，当时，，所以，所以函数满足条件（2），所以在上是“类增函数”，故D说法错误.
故选：CD.
【点睛】关键点睛：本题为新定义函数，对于A,B选项通过合理赋值即可求出，而从B,C选项的判断可以给我们一些启示，对于一些新定义问题，我们可以通过举一些正例或是反例来判断选项，本题C选项和D选项融合了另外两个常考的新定义函数，狄利克雷函数与高斯取整函数，而C选项我们通过举例两个无理数即可反驳，D选项的难点在于其证明，其关键点在于我们需要设出数的正数部分与小数部分，结合分类讨论这样得到与，的关系.
三、填空题
13．已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则______.
【答案】
【分析】由奇偶性和单调性即可确定.
【详解】由题知幂函数是奇函数，故或或，
又在上单调递减，则，故，
即，所以.
故答案为：.
14．若“”是假命题，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据题意可得在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】解：∵“”是假命题，
∴，为真命题，
即在上恒成立，
当时，，当且仅当时，等号成立，
所以.
故答案为：.
15．已知函数的图象关于y轴对称，且关于x的方程有两个相等的实根，写出满足上述条件的一个函数______.
【答案】（答案不唯一，只需满足即可）
【分析】根据函数得对称性可求得，再根据方程有两个相等的实根，利用根的判别式可求得的关系式，从而可得出答案.
【详解】解：已知，
∵的图象关于y轴对称，∴对称轴，∴，
则方程即为，即，
∴，∴，
当时，，
∴满足条件的二次函数可以为.
故答案为：.（答案不唯一，只需满足即可）
16．某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值（单位：万元）的小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金y（单位：万元）随企业年产值x的增加而增加，且奖金不低于8万元，同时奖金不超过企业年产值的12%.若函数，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】由题意可知函数的单调性，分离常数即可得取值范围.
【详解】由题意为增函数，
故，解得.
又根据题意可得对恒成立，
故在恒成立.
由对勾函数性质可知：
函数在区间上为增函数，
故，
由可得在区间上恒成立，
所以，
综上有，
即m的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
17．化简下列各式：
(1)；；
(2)若.求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据根式与指数幂的关系，集合指数运算法则计算即可；
（2）根据指数与对数之间的关系，将指数式化为对数，结合指数运算及对数恒等式即可.
【详解】（1）解：
.
（2）解：，则，
所以.
18．设全集为，集合.
(1)若，求；
(2)在①；②；③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）解出或，集合，利用交集和补集的含义即可.
（2）首先得到，然后分和两种讨论即可.
【详解】（1）解：因为全集为，且或，
当时，，所以或
∴或.
（2）解：选择①②③，均可得.
当时，，解得；
当时，或，解得或，即.
综上所述，实数的取值范围是.
19．设函数.
(1)若不等式的解集，求的值；
(2)当时，设，满足是对任意，都有成立，求实数b的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由不等式的解集结合韦达定理即可求解；
（2）根据题意可知是R上的单调递增函数，只需每一段都是单调递增，且在临界点处满足“左不高于右”即可.
【详解】（1）由题意可知：为方程的两个根，
，解得：，
即.
（2）由已知得：，
因为对任意，都有成立
所以是R上的单调递增函数，
∴
解得：.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)该厂家直播时长x为多少时，可使y最小？并求出y的最小值.
【答案】(1)
(2)线上直播150小时可使y最小为35万元
【分析】（1）由得出，再由该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和得出y关于x的函数关系式；
（2）由基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题得，当时，，则，
故该厂家4年促销费用与线上直播费用之和为
（2）由（1）知，
当且仅当，即时等号成立，即线上直播150小时可使y最小为35万元.
21．已知函数.若为奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)判断函数在上的单调性，并给予证明；
(3)若成立，求实数t的取值范围.
【答案】(1)
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用得到关于的方程解出即可；
（2）对，且，，最后判定符号即可得到其单调性；
（3）分离常数，，再求出值域，即可得到，最后，解出范围即可.
【详解】（1）因为为奇函数，且由得
所以，即.
∴
∴，∴
（2）由（1）得，在上为递减的函数.设对，且，则
∵，且，∴，
∴
∴，即，所以在上单调递减.
（3）由题意得，
因为而∵，∴∴，
（令，则∴或）
∴所以，∴.
22．已知函数.
(1)当时，求的值；
(2)当时，求不等式的解集；
(3)当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)0
(2)
(3)
【分析】（1）直接代入，证明函数为偶函数即可；
（2）将代入，分和两种讨论即可；
（3）将原不等式转化为（*）对任意的恒成立，去绝对值分类讨论，所以分为，和讨论即可.
【详解】（1）当时，，所以任取，则有恒成立，
即为偶函数，
∴.
（2）当时，，∴或
∴或
∴或，
所以不等式的解集为
（3）不等式化为
即：（*）对任意的恒成立
因为，所以分如下情况讨论：
①时，不等式（*）化为恒成立
即对恒成立
∵的对称轴为，故其在上单调递增，只需，∴
②当时，不等式（*）化为恒成立
即对恒成立.
由①知，∴在上单调递减
∴只需，∴或.
∵，∴
③当时，不等式（*）化为恒成立
即对恒成立，
所以在上单调递增，
只需，∴或
由②得.
综上所述，a的取值范围是：.
【点睛】关键点睛：本题的难点在于第三问，我们选择将绝对值的式子放到一边，得到，而遇到绝对值的情况我们要想办法去绝对值，这样我们就是遇到两个临界点和，显然，所以接下来只需将分别三段去讨论，转化为常见的恒成立问题.方法点睛：对于恒成立问题我们通常有以下几种处理方法：
（1）分离参数法.（2）函数整体讨论法.（3）化为与的不等关系处理.本题选择第三种方法较为简单.
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元
超过但不超过的部分
6元
超过的部分
9元