2022-2023学年重庆市育才中学校高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年重庆市育才中学校高一上学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由补集和交集的定义即可得出答案.
【详解】因为集合，，，
所以=，
所以.
故选：C.
2．已知命题：，，则为（ ）.
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据存在性命题的否定直接求解.
【详解】由存在性命题的否定知，
：，的否定为：，，
故选：B
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】，则当时，必有，
反之当时，不一定成立，如，满足，而不满足，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将的指数化为与，指数相同，再结合对应幂函数单调性即可判断大小.
【详解】解：，，，
函数在上单调递增，且，
，即.
故选：D.
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用抽象函数的定义域以及具体函数的定义域的发法求解.
【详解】由条件可知，且，解得:且，
所以函数的定义域.
故选：D
6．若，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】对变形后，利用基本不等式进行求解最小值.
【详解】因为，所以，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为4.
故选：B
7．定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（ ）
A．2B．6C．14D．15
【答案】B
【分析】根据集合的新定义运算，再由集合有3个元素确定出n的取值集合，求解即可.
【详解】因为，，，
所以，又集合有3个元素，
当时，即时，满足题意，
当时，即，（舍去）时，，不符合题意，
当时，即时，满足题意，
当时，即，（舍去）时，，不符合题意.
综上，，故所构成集合的非空真子集的个数为.
故选：B
8．已知函数，且对于，，都满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意知分段函数为减函数，根据指数函数的单调性及一次函数的单调性列出不等式组求解即可.
【详解】因为对于，，都满足，
所以分段函数在上单调递减，
故每段函数为减函数，应满足，解得，
同时在在上单调递减，还需满足，解得或，
所以.
故选：C
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，，则
【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质，判断选项.
【详解】A.，则，，则，故A正确；
B.若，，则，故B正确；
C.当，，，满足，但，故C错误；
D. 若，，不等式两边同时乘以，不等号改变，即，故D正确.
故选：ABD
10．下列选项中正确的是（ ）
A．B．C．
D．
【答案】BC
【分析】根据空集的概念以及元素和集合的关系，逐项分析判断即可得解.
【详解】对A，空集没有任何元素，故A错误；
对B，空集是任何集合的子集，故B正确；
对C，方程无解，故C正确；
对D，由元素构成的集合并不是空集，故D错误.
故选：BC
11．下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】AD
【分析】根据两函数相等的三要素一一判断即可.
【详解】对于A, 的定义域为,
的定义域为,
且两个函数的对应关系相同,所以是同一函数,故A正确;
对于B, 的定义域为,
的定义域为,
所以不是同一函数,故B错误;
对于C，
与对应关系不相同,故C错误;
且定义域为,
定义域为,所以两个函数是同一函数,故D正确.
故选:AD.
12．已知函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的单增区间是
B．函数在定义域上有最小值为0，无最大值
C．若方程有三个不等实根，则实数的取值范围是
D．设函数，若方程有四个不等实根，则实数的取值范围是
【答案】BCD
【分析】先求出，然后研究函数的单调性和值域，从而可判断ABC的正误，利用换元法可求参数的取值范围，从而可判断D的正误.
【详解】因为时，，故，故，
故.
因为，，故函数在上不单调，故A错误.
当时，；当时，；
当时，，
因为，故，故，
故的值域为，故，故B正确.
方程即为或，
整理得到：或，
因为方程有三个不同的实数根，故且，
故，故C正确.
设任意的，则，
因为，，，，
故即，
故在上为增函数，同理可证在上为减函数，
又当时，恒成立，故的图象如图所示：
令，考虑的解即的解，
因为方程有四个不等实根，故必有解，
设解为，
因为方程有四个不等实根，故，
故即，
故D正确，
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：对于分段函数的性质的研究，应该根据各段函数形式结合基本初等函数的性质来研究，对于复合方程的解的讨论，应该根据内外方程对应的函数的性质来处理.
三、填空题
13．幂函数在上单调递减，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】根据幂函数的性质，列式求解.
【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，得.
故答案为：
14．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________.
【答案】或}##
【分析】首先根据不等式的解集求，再求解一元二次不等式的解集.
【详解】因为的不等式的解集为，所以，
解得：，，
所以，，解得：或,
所以不等式的解集是或}.
故答案为：或}
15．已知函数的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为__________.
【答案】6
【分析】首先将函数中的一部分设为，再利用函数是奇函数，发现函数最大值与最小值的关系，即可求解.
【详解】设函数是奇函数，所以的最大值和最小值互为相反数，
所以，得.
故答案为：
16．已知，，是正实数，且，则最小值为__________.
【答案】
【分析】首先变形为，再根据，变形为，展开后，利用基本不等式求最小值，最后再用基本不等式求最小值.
【详解】由题，，
其中
，
当且仅当，即时取等，
故
，
当且仅当时，即时取等.
故答案为：
四、解答题
17．设，，.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算，，再计算交集得到答案.
（2）计算，再计算并集得到答案.
【详解】（1）由，得，解得，
所以，
由，得，解得，所以，
所以.
（2），所以，
所以.
18．已知命题“，都有不等式恒成立”是真命题.
(1)求由实数的所有取值组成的集合；
(2)设，若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据根据一元二次不等式恒成立得到对应判别式小于零，解之即可求解；
(2)根据集合的运算推导出，然后根据集合的包含关系进行求解即可.
【详解】（1）因为，都有不等式恒成立，
所以，解得，
所以由实数的所有取值组成的集合为，
（2）因为，所以，下面分类讨论：
①若，即时，显然成立；
②若，即时，由，有，故，
综上，实数的取值范围为.
19．为了加强“疫情防控”，并能更高效地处理校园内的疫情突发情况，重庆市育才中学校决定在学校门口右侧搭建一间高为3米，底面面积为20平方米的长方体形状的临时隔离室，设临时隔离室的左右两侧的地面长度均为米.现就该项目对外进行公开招标，其中甲公司给出的报价细目为：临时隔离室的左右两侧墙面报价为每平方米200元，前后两侧墙面报价为每平方米250元，屋顶总报价为3400元；而乙公司则直接给出了工程的整体报价关于的函数关系为.
(1)设公司甲整体报价为元，试求关于的函数解析式；
(2)若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由.
【答案】(1)
(2)公司乙能竞标成功，理由见解析
【分析】（1）由已知临时隔离室的左右两侧的长度均为米，则隔离室前后面的地面长度为米，根据题意即可列出解析式；
（2）根据函数解析式，利用基本不等式和二次函数性质，即可求出最值，在根据最值比较大小即可求出竞标成功的公司.
【详解】（1）解：因临时隔离室的左右两侧的长度均为米，则隔离室前后面的地面长度为米，
于是得，，
所以y关于x的函数解析式是.
（2）解：由（1）知，对于公司甲，，当且仅当，即时取“”，则当左右两侧墙的长度为5米时，公司甲的最低报价为15400元，
对于公司乙，函数在上单调递增，在上单调递减，
即乙公司最高报价为15380元，
因，因此，无论取何值，公司甲的报价都比公司乙的高，所以公司乙能竞标成功.
20．已知函数
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)当时，求关于的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）代入，再解分式不等式；
（2）首先分式不等式变形为，再讨论，求解一元二次不等式的解集.
【详解】（1）
，
当时，不等式等价于，则不等式解集；
（2）当时，不等式等价于
①当时，令一元二次方程的两个根为，，
因为，所以恒有，则不等式解集或；
②当时，令一元二次方程的两个根为，，
1）当，即时，不等式解集；
2）当，即时，不等式解集；
3）当，即时，不等式解集.
综上所述：当时，不等式解集；
当时，不等式解集；
当时，不等式解集
当时，不等式解集或；
21．已知
(1)求函数的解析式；
(2)若是定义在上的奇函数，且时，，求函数的解析式；
(3)求关于的不等式.
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）利用凑配法，求函数的解析式；
（2）设，则，再利用函数的奇函数，求函数的解析式；
（3）首先不等式变形为，再利用函数单调递减，解不等式.
【详解】（1），令，，
∴，即函数的解析式为：.
（2）当时，，且为上的奇函数.
∴当时，，
∴函数的解析式为：，
（3）由，且在上单调递减
∴，∴
∴且
∴不等式的解集为或.
22．已知定义域为，对任意，都有.当时，，且.
(1)求的值；
(2)判断函数单调性，并证明；
(3)若，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)单调递减函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）令，求得，再令，，即可求得；
（2）对任意，利用单调性定义及题目条件，判断的正负，即可得出答案；
（3）可根据题意将题目转化为，
∴，，恒成立，
令，转化为，，恒成立，
结合单调性，转化为使得成立，即，
再结合二次函数对称轴分析，利用最值即可求得的取值范围.
【详解】（1）令，则，∴，
令，，则，又由，∴.
（2）设，
则，
又∵，∴，
∴，∴，
∴是上的单调递减函数.
（3）若，都有恒成立，
即，
∴，，恒成立，
令，，则，
∴，，恒成立，
由为上的单减函数，
∴，，恒成立，
即使得成立，即，
令，则即可，
①当时，在上单调递增，∴，∴；
②当时，在上单调递减，∴，∴；
③当时，∴，∴，∴.
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤：
（1）在已知区间上任取，；
（2）作差；
（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）；
（4）得出单调性结论.
23．已知，，是正实数，证明：
【答案】证明见解析
【分析】由均值不等式即可证明.
【详解】证明：由均值不等式可知：
,
则,
所以
所以
当且仅当时取等，
又可利用均值不等式构造：
当且仅当，即时取等，即，，时取等.
所以
.