人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数第二课时学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数第二课时学案，共5页。学案主要包含了学习目标，问题探究等内容，欢迎下载使用。


题型 1反函数
【问题探究】 在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝lg2x的图象，观察两个函数图象的关系．
例1 已知函数f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(x)的图象过点(5，2)，则a＝________.
学霸笔记：(1)现行教材反函数只要求同底数的指数函数与对数函数．
(2)互为反函数的两个函数具有相同的单调性，图象关于直线y＝x对称，定义域与值域互换．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝lg3x与g(x)的图象关于y＝x对称，则g(－1)＝( )
A．3 B．
C．1 D．－1
题型 2对数型函数的值域(最值)
例2 已知函数f(x)＝lg2(x－4)－lg2(x－2)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(x)的值域．
题后师说
求对数型函数y＝lgaf(x)(a＞0，且a≠1)
的值域(最值)的步骤
跟踪训练2 已知函数f(x)＝lga(3－x)＋lga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．
题型 3对数函数性质的综合应用
例3 已知函数f(x)＝lga(5＋x)－lga(5－x)(a>0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并给出证明；
(3)求使f(x)>0成立的x的取值范围．
学霸笔记：对数函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考虑对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等，熟悉对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提．
跟踪训练3 设f(x)＝为奇函数， a为常数．
(1)求a的值；
(2)证明f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
随堂练习
1.下列四个函数中，在整个定义域内单调递减的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝D．f(x)＝ex
2．函数y＝lg3x的反函数为y＝f(x)，则f(2)＝( )
A．9 B．18
C．32 D．36
3．函数f(x)＝lg2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
4．若函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)在区间[2，4]上的最大值与最小值之差为2，则a＝________．
课堂小结
1.与对数函数有关的复合函数的最值或值域．
2．与对数函数有关的复合函数的单调性、奇偶性等的判断方法．
第2课时 对数函数的图象和性质(二)
问题探究 提示：
两个函数图象关于直线y＝x对称．
例1 解析：因为y＝ax(a>0，a≠1)的反函数为f(x)＝lgax(a>0，a≠1)，又f(x)的图象过点(5，2)，所以lga5＝2，a2＝5，即a＝.
答案：
跟踪训练1 解析：由题知g(x)是f(x)＝lg3x的反函数，所以g(x)＝3x，所以g(－1)＝3－1＝.故选B.
答案：B
例2 解析：(1)因为f(x)＝lg2(x－4)－lg2(x－2)，
所以，解得x>4，
所以f(x)的定义域为(4，＋∞)．
(2)因为f(x)＝lg2(x－4)－lg2(x－2)
＝lg2＝lg2＝lg2(1－)，
由(1)知f(x)的定义域为(4，＋∞)，
所以x－2>2，0<<1，0<1－<1，
因为y＝lg2x是增函数，所以f(x)故f(x)的值域为(－∞，0)．
跟踪训练2 解析：(1)对于函数f(x)＝lga(3－x)＋lga(x＋3)(0因此，函数f(x)的定义域为(－3，3)．
(2)因为f(x)＝lga(9－x2)，且－3因为0故f(x)min＝lga9＝－2，可得a－2＝9，∵0例3 解析：(1)由题意可知，解得－5所以函数f(x)的定义域为(－5，5)．
(2)函数f(x)为奇函数；
证明：因为f(x)＝lga(5＋x)－lga(5－x)的定义域为(－5，5)，
设∀x∈(－5，5)，则－x∈(－5，5)，
所以f(－x)＝lga(5－x)－lga(5＋x)＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(3)因为f(x)＝lga(5＋x)－lga(5－x)＝lga，
当a>1时，若f(x)>0，则lga>0，
即>1且x∈(－5，5)，解得x∈(0，5)；
当00，则lga>0，
即0<<1且x∈(－5，5)，解得x∈(－5，0)；
综上所述，当a>1时，使f(x)>0的x的取值范围为(0，5)；
当00的x的取值范围为(－5，0)．
跟踪训练3 解析：(1)因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以＝＝.所以＝，
即(1＋ax)(1－ax)＝－(x＋1)(x－1)，所以a＝－1或a＝1，
当a＝1时，f(x)＝，此时不成立，故a＝－1.
(2)证明：由(1)可知f(x)＝＝1＋)，
令u(x)＝1＋，∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则u(x1)－u(x2)＝(1＋)－(1＋)＝.
因为10，x2－1>0，x2－x1>0，
所以>0，即u(x1)－u(x2)>0，
所以函数u(x)＝1＋在(1，＋∞)上是减函数．
又因为函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，
所以f(x)＝在(1，＋∞)上为增函数．
[随堂练习]
1．解析：对于A选项，函数f(x)＝在定义域(－∞，0)上不单调，A错；对于B选项，函数f(x)＝在定义域R上为增函数，B错；对于C选项，函数f(x)＝在定义域(0，＋∞)上为减函数，C对；对于D选项，函数f(x)＝ex在定义域R上为增函数，D错．故选C.
答案：C
2．解析：函数y＝lg3x的反函数为f(x)＝3x，所以f(2)＝32＝9，故选A.
答案：A
3．解析：∵3x>0，∴3x＋1>1，∴lg2(3x＋1)>0，∴函数f(x)的值域为(0，＋∞)．故选A.
答案：A
4．解析：当01时，lga4－lga2＝2，解得a＝，故a的值为或.
答案：或