高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念导学案，共6页。学案主要包含了学习目标，问题探究1，问题探究2等内容，欢迎下载使用。

题型 1利用同角三角函数的基本关系式求同角的三角函数值
【问题探究1】
(1)观察计算的结果，你有什么发现吗？
(2)设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝，点P(x，y)的横坐标与纵坐标之间有什么关系？
例1 (1)已知cs α＝－，求sin α，tan α的值．
(2)已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cs α的值．
学霸笔记：已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法
(1)若已知sin α＝m，先求cs α＝±，
再由公式tanα＝求tan α.
(2)若已知cs α＝m，先求sin α＝±，
再由公式tanα＝求tan α.
(3)若已知tan α＝m，则tan α＝＝m⇒sinα＝m cs α及sin2α＋cs2α＝1，通过方程组求解．
(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数值的符号．
跟踪训练1 已知0<α<，sinα＝，求cs α，tan α的值．
题型 2利用同角三角函数的基本关系化简
【问题探究2】 你能根据同角三角函数的基本关系推导出它们的变形吗？
例2 化简：(1)；
(2)sin αcs α(tan α＋)；
(3).
题后师说
三角函数式的化简策略
跟踪训练2 化简tanα，其中α是第二象限的角．
题型3利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式
例3 求证：＝.
题后师说
证明三角恒等式常用的方法
跟踪训练3 求证：·＝1.
随堂练习
1.已知cs α＝－，α∈(π，)，则sin α的值为( )
A． B．－ C． D．－
2．已知α为第二象限角，且sin α＝，则tan α的值为( )
A．－ B． C．－ D．
3．若α是第二象限角， 的值为( )
A．1 B．－1 C．±1 D．0
4．已知α是第二象限角，tanα＝－，则cs α＝________.
课堂小结
1.同角三角函数基本关系式及成立的条件．
2．根据已知角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余两个值(可简称“知一求二”)时，要注意这个角所在的象限，必要时要进行分情况讨论．
3．在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值，再用其它关系求值．(心中熟记两公式，用时想到正、逆、活)
5．2.2 同角三角函数的基本关系
问题探究1 提示： 1 1 1 1 1 － － 1 －
(1)sin2α＋cs2α＝1 ＝tan α
(2)sin2α＋cs2α＝x2＋y2＝1，
＝＝tan α.
例1 解析：(1)∵cs α＝－<0，
∴α是第二或第三象限角．如果α是第二象限角，那么sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－.
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－＝－，tanα＝.
(2)由tan α＝＝，得sin α＝cs α， ①
又sin2α＋cs2α＝1， ②
由①②得cs2α＋cs2α＝1，即cs2α＝.
又α是第三象限角，
∴csα＝－，sin α＝cs α＝－.
跟踪训练1 解析：∵0<α<，sin α＝，
∴cs α＝＝＝，
∴tanα＝＝.
问题探究2 提示：sin2α＋cs2α＝1⇒
tan α＝⇒
例2 解析： (1)
＝
＝＝＝－2tan2α.
(2)sinαcs α(tan α＋)
＝sin αcs α()
＝sin2α＋cs2α＝1.
(3)＝
＝＝1.
跟踪训练2 解析：∵α是第二象限角，
∴tan α＝tanα·
＝tanα·＝tanα·
＝tan α·||＝tan α·(－)＝－1.
例3 证明：法一：(切化弦)
左边＝＝，
右边＝＝.
因为sin2α＝1－cs2α＝(1＋csα)(1－cs α)，
所以＝，
所以左边＝右边．
所以原等式成立．
法二：(由右至左)
∵右边＝
＝
＝
＝
＝
＝左边，
∴原等式成立．
跟踪训练3 证明：·
＝·
＝·
＝＝
＝1.
[随堂练习]
1．解析：因为α∈(π，)，所以sinα<0.
又cs α＝－，所以sin α＝－＝－.故选D.
答案：D
2．解析：由题知α为第二象限角，
所以csα<0，tan α<0，
因为sin α＝，
所以cs α＝－ ＝－，
tan α＝＝－.故选C.
答案：C
3．解析：因为sin2α＋cs2α＝1，所以sin2α＝1－cs2α，
＝＝＝1.
答案：A
4．解析：因为＝－，且sin 2α＋cs 2α＝1，又因为α是第二象限角，所以cs α＜0，
所以cs α＝－.
答案：－sin α
cs α
tan α
sin2α＋cs2α
30°
45°
60°
150°