高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质第一课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质第一课时学案，共6页。学案主要包含了学习目标，问题探究1，问题探究2等内容，欢迎下载使用。

题型 1函数周期性的判断
【问题探究1】 (1)观察f(x)的部分图象，函数图象每相隔多少个单位重复出现？
(2)由诱导公式一：sin (x＋2kπ)＝sin x，cs (x＋2kπ)＝cs x．结合正(余)弦曲线，可以看出正(余)弦函数怎样的特征？图象变化趋势是怎样的？
例1 求下列三角函数的周期：
(1)y＝3sin x，x∈R；
(2)y＝cs 2x；
(3)y＝2sin (x－)；
(4)y＝|cs 2x|.
题后师说
求三角函数最小正周期的3种常用方法
跟踪训练1 求下列三角函数的最小周期：
(1)y＝cs 3x；
(2)y＝3sin (2x＋)；
(3)y＝2cs (x－)；
(4)y＝|sin x|.
题型 2三角函数奇偶性的判断
【问题探究2】 根据诱导公式三可知，对于x∈R，sin (－x)＝－sin x，cs (－x)＝cs x，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？
例2 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin (x＋)；
(2)f(x)＝|sin x|＋cs x；
(3)f(x)＝x2cs (x＋)．
题后师说
判断三角函数奇偶性的2个策略
跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin x cs x；
(2)f(x)＝.
题型 3三角函数周期性与奇偶性的综合
例3 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cs |2x| B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin (＋2x) D．y＝cs (－2x)
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x，则f()＝( )
A．－ B． C．－ D．
一题多变 将本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？
学霸笔记：三角函数周期性与奇偶性的解题策略
利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值和求解析式的问题．
跟踪训练3 函数f(x)＝sin (ωx－)(ω≠0)，则f(x)是________(填“奇函数”或“偶函数”)，若f(x)的周期为π，则ω＝________．
随堂练习
1.函数y＝3sin (－2x＋)最小正周期是( )
A．3 B．π
C． D．－π
2．下列函数中是偶函数的是( )
A．y＝sin 2x B．y＝－sin 2x
C．y＝sin |2x| D．y＝sin 2x＋1
3．下列函数中周期为π，且为偶函数的是( )
A．y＝cs x B．y＝sin 2x
C．y＝sin D．y＝cs x
4．已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝________．
课堂小结
1.求三角函数周期性常用的方法．
2．三角函数奇偶性的判断．
3．三角函数周期性与奇偶性的综合应用．
第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
问题探究1 提示：(1)每相隔1个单位重复出现．
(2)自变量x增加2π的整数倍时，函数值重复出现，图象发生“周而复始”的变化．
例1 解析：(1)法一：因为3sin (x＋2π)＝3sin x，由周期函数的定义知y＝3sin x的周期为2π.
法二：因为ω＝1，所以T＝2π.
(2)法一：因为cs 2(x＋π)＝cs (2x＋2π)＝cs 2x，由周期函数的定义知，y＝cs 2x的周期为π.
法二：因为ω＝2，所以T＝＝π.
(3)法一：因为2sin [(x＋4π)－]＝2sin (x＋2π－)＝2sin (x－)，由周期函数的定义知，y＝2sin (x－)的周期为4π.
法二：因为ω＝，所以T＝＝4π.
(4)y＝|cs 2x|的图象如图：
由图象可知y＝|cs 2x|的周期为.
跟踪训练1 解析：(1)因为ω＝3，所以T＝.
(2)因为ω＝2，所以T＝＝π.
(3)因为ω＝，所以T＝＝4π.
(4)y＝|sin x|的图象如图：
由图象可知y＝|sin x|的周期为π.
问题探究2 提示：函数y＝sin x是奇函数，函数y＝cs x是偶函数．
例2 解析：(1)f(x)＝sin (x＋)＝－cs x，x∈R.
因为∀x∈R，都有－x∈R，
又f(－x)＝－cs (－x)＝－cs x＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin (x＋)是偶函数．
(2)函数f(x)＝|sin x|＋cs x的定义域为R，因为∀x∈R，都有－x∈R，又f(－x)＝|sin (－x)|＋cs (－x)＝|sin x|＋cs x＝f(x)，所以函数f(x)＝|sin x|＋cs x是偶函数．
(3)f(x)＝x2cs (x＋)＝－x2sin x，x∈R，
因为∀x∈R，都有－x∈R，
又f(－x)＝－(－x)2sin (－x)＝x2sin x＝－f(x)，
所以函数f(x)＝x2cs (x＋)为奇函数．
跟踪训练2 解析：(1)函数的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝sin (－x)cs (－x)＝－sin x cs x＝－f(x)，
∴f(x)＝sin x cs x为奇函数．
(2)由得cs x＝1，
∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
当cs x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)，
∴f(x)＝既是奇函数又是偶函数．
例3 解析：(1)y＝cs |2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin (＋2x)＝cs 2x是偶函数，y＝cs (－2x)＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.故选D.
(2)f()＝f(－π)＝f()＝f(－π)＝f(－)＝f()＝sin ＝.
答案：(1)D (2)D
一题多变 解析：f()＝f(－π)＝f()＝f(－π)＝f(－)＝－f()＝－sin ＝－.
跟踪训练3 解析：f(x)＝sin (ωx－)＝－cs ωx.
∴f(－x)＝－cs (－ωx)＝－cs ωx＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，
又T＝π，∴＝π，∴ω＝±2.
答案： 偶函数 ±2
[随堂练习]
1．解析：由y＝3sin (－2x＋)的最小正周期为T＝得T＝π.故选B.
答案：B
2．解析：A、B是奇函数，D是非奇非偶函数，C符合f(－x)＝sin |－2x|＝sin |2x|＝f(x)，
∴y＝sin |2x|是偶函数．
答案：C
3．解析：对于A：y＝cs x为周期为2π的偶函数，故A错误；对于B：y＝sin 2x为周期为π的奇函数，故B错误；对于C：y＝sin (2x＋)＝cs 2x为周期为π的偶函数，故C正确；对于D：y＝cs x为周期为4π的偶函数，故D错误．故选C.
答案：C
4．解析：∵f(x＋3)＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，3就是它的一个周期．
又f(－x)＝－f(x)，
∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2