高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第二课时学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第二课时学案及答案，共7页。学案主要包含了学习目标，问题探究等内容，欢迎下载使用。


【问题探究】 (1)在两角差的余弦公式cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β中，以－β代换β，你会得到什么公式？
(2)在两角差的余弦公式cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β中，以－α代换α，你会得到什么公式？
(3)在两角和的正弦公式中，sin (α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β，以－β代换β，你会得到什么公式？
(4)请你用两角和与差的正弦、余弦公式化简和，结果都用正切表示．
题型 1公式的简单应用
例1 求下列各式的值：
(1)；
(2)sin 110°·cs 40°－cs 70°·sin 40°；
(3)tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°.
题后师说
给角求值问题的解题策略
跟踪训练1 (1)已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值(即黄金分割值，该值恰好等于2sin 18°)，则下列式子的结果不等于的是( )
A．sin 10°cs 8°＋cs 10°sin 8°
B．cs 40°cs 32°－sin 40°sin 32°
C．sin 100°cs 26°＋cs 100°sin 26°
D．sin 92°sin 16°－cs 92°cs 16°
(2)计算：＝________．
题型 2给值求值
例2 (1)已知tan α＝2，tan β＝4，则tan (α＋β)＝( )
A． B．－
C．－ D．
(2)已知sin (＋α)＝，cs (－β)＝，且0<α<<β<，求cs (α＋β).
一题多变 本例(2)条件不变，求sin (α－β).
题后师说
给值求值的解题策略
跟踪训练2 已知α为钝角，β为锐角，sin α＝，cs (α－β)＝.
(1)求tan α，tan (α－)；
(2)求sin β.
题型 3给值求角
例3 已知sin α＝，sin β＝，且α，β∈(0，)，求角α＋β的大小．
学霸笔记：给值求角的方法
一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小．至于求该角的哪一个三角函数值，这要取决于该角的取值范围，然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定，一般地，若θ∈(0，π)，则通常求cs θ，若θ∈(－，)，则通常求sin θ，否则容易导致增解．
跟踪训练3 已知α，β均为锐角，且(1－tan α)(1－tan β)＝4，求α＋β.
随堂练习
1.sin 40°sin 50°－cs 40°cs 50°＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．－cs 10°
2．若cs θ＝－且θ∈(，π)，则sin (θ＋)的值为( )
A．B．－
C． D．
3. sin 15°＋cs 15°＝( )
A． B．
C． D．1
4．已知tan (α－β)＝－2，tan (β＋)＝3，则tan (＋α)＝________．
课堂小结
1.使用两角和与差的正弦、余弦、正切公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，要先从化简式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
2．利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式主要解决给角求值、给值求值、给值求角．
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
问题探究 提示：(1)cs (α＋β)＝cs αcs (－β)＋sin αsin (－β)＝cs αcs β－sin αsin β.
(2)sin (α＋β)＝cs [(－α)－β]＝cs (－α)cs β＋sin (－α)sin β＝sin αcs β＋cs αsin β.
(3)sin (α－β)＝sin αcs (－β)＋cs αsin (－β)＝sin αcs β－cs αsin β.
(4)＝
＝＝，
即tan (α＋β)＝.
同理可得tan (α－β)＝.
例1 解析：(1)∵sin 47°＝sin (30°＋17°)＝sin 30°cs 17°＋cs 30°sin 17°，
∴原式＝＝sin 30°＝.
(2)sin 110°·cs 40°－cs 70°·sin 40°
＝sin (180°－70°)·cs 40°－cs 70°·sin 40°
＝sin 70°·cs 40°－cs 70°·sin 40°
＝sin (70°－40°)＝sin 30°＝.
(3)∵＝tan (12°＋33°)＝tan 45°＝1.
∴tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°，
∴tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1.
跟踪训练1 解析：(1)对于A，sin 10°cs 8°＋cs 10°sin 8°＝sin (10°＋8°)＝sin 18°＝，A正确；
对于B，cs 40°cs 32°－sin 40°sin 32°＝cs (40°＋32°)＝cs 72°＝sin 18°＝，B正确；
对于C，sin 100°cs 26°＋cs 100°sin 26°＝sin (100°＋26°)＝sin 126°＝sin 54°≠，C错误；
对于D，sin 92°sin 16°－cs 92°cs 16°＝－cs (92°＋16°)＝－cs 108°＝sin 18°＝，D正确．故选C.
(2)＝＝tan (45°－15°)＝.
答案：(1)C (2)
例2 解析：(1)因为tan α＝2，tan β＝4，所以tan (α＋β)＝＝＝－.故选B.
(2)∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0.
又∵sin (＋α)＝，cs (－β)＝，
∴cs (＋α)＝－，sin (－β)＝－.
∴cs (α＋β)＝sin [＋(α＋β)]
＝sin [(＋α)－(－β)]
＝sin (＋α)cs (－β)－cs (＋α)sin (－β)
＝＝－.
答案：(1)B (2)见解析
一题多变 解析：由本例(2)知，
sin (α－β)＝－sin [(＋α)＋(－β)]
＝－[sin (＋α)cs (－β)＋cs (＋α)sin (－β)]
＝－[＋(－)×(－)]＝－.
跟踪训练2 解析：(1)∵<α<π，sin α＝，
∴cs α＝－＝－，∴tanα＝＝－，
∴tan (α－)＝＝＝7.
(2)∵<α<π，0<β<，
∴0<α－β<π，又cs (α－β)＝，
∴sin (α－β)＝＝，
∴sinβ＝sin [α－(α－β)]＝sin αcs (α－β)－cs αsin (α－β)
＝＝.
例3 解析：∵sin α＝，sin β＝，且α，β∈(0，)，
∴cs α＝＝，csβ＝＝，
∴cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β
＝＝，
又由已知可得α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
跟踪训练3 解析：由(1－tan α)(1－tan β)＝4，
得1－tan β－tan α＋3tan αtan β＝4，
所以－(tan β＋tan α)＝3(1－tan αtan β)，
所以＝－＝－，
所以tan (α＋β)＝－，
因为α，β∈(0，)，所以(α＋β)∈(0，π)，
所以α＋β＝.
[随堂练习]
1．解析：由两角和的余弦公式得：sin 40°sin 50°－cs 40°cs 50°＝－(cs 40°cs 50°－sin 40°sin 50°)＝－cs (40°＋50°)＝－cs 90°＝0，故选C.
答案：C
2．解析：θ∈(，π)，故sin θ>0，因为cs θ＝－，所以sin θ＝＝，所以sin(θ＋)＝sin θcs ＋cs θsin ＝＝.故选A.
答案：A
3．解析：由两角和正弦公式，可得sin 15°＋cs 15°＝cs 30°sin 15°＋sin 30°cs 15°＝sin (15°＋30°)＝sin 45°＝.故选C.
答案：C
4．解析：tan (＋α)＝tan [(α－β)＋(β＋)]
＝
＝＝.
答案：