人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用学案及答案，共9页。学案主要包含了学习目标，问题探究等内容，欢迎下载使用。


题型 1三角函数在物理中的应用
【问题探究】一个弹簧振子做简谐振动，在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的关系如图所示．
若用函数y＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)来刻画位移y随时间t的变化规律，你能写出y关于t的函数解析式吗？
例1某用电器电流I(mA)随时间t(s)变化的关系式为I(t)＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)，如图是其部分图象．
(1)求I(t)＝A sin (ωt＋φ)的解析式；
(2)若该用电器核心部件有效工作的电流|I|必须大于150 mA，则在1个周期内，该用电器核心部件的有效工作时间是多少？(电流的正负表示电流的正反方向)
题后师说
处理物理学问题的策略
跟踪训练1 已知挂在弹簧下方的小球上下振动，小球在时间t(单位：s)时相对于平衡位置(即静止时的位置)的距离h(单位：cm)由函数解析式h(t)＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)决定，其部分图象如图所示．
(1)求小球在振动过程中的振幅、最小正周期和初相；
(2)若t∈[0，t0]时，小球至少有101次速度为0 cm/s，则t0的最小值是多少？
题型 2三角函数在生活中的应用
例2 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上升，可以俯瞰四周景色，某摩天轮最高点距离地面的高度为110 m，最低点距离地面10 m，已知摩天轮共有40个座舱，开动后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，转动一周的时间大约为20 min.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转完一周后下舱．
(1)当游客距离地面高度不低于85 m时，可以看到游乐园全貌，问在游客乘坐摩天轮旋转一周的过程中，有多少分钟可以看到游乐园全貌？
(2)当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，何时二人距离地面的高度相等？
题后师说
解三角函数应用问题的一般步骤
跟踪训练2 如图，某地一天从4～18时的温度变化曲线近似满足f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b，其中A>0，ω>0，0<φ<π.
(1)求A，b，ω，φ；
(2)求这一天4～12时的最大温差近似值．
参考数据：≈1.4，≈1.7.
题型 3三角函数中的拟合问题
例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化．每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
(1)试在图中描出所给点；
(2)观察图，从y＝at＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b，y＝A cs (ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
题后师说
解答三角函数模型中的拟合问题的步骤
跟踪训练3 “八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y(米)与时间0≤t≤24(单位：小时)的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：
该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度(船底与水面的距离)为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．
随堂练习
1.函数f(x)＝sin (x＋)的周期，振幅，初相分别是( )
A．π，B．4π，－2，－
C．4π， D．2π，2，
2.如图所示，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin (2πt＋)，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为( )
A．2 s B．1 s
C． s D． s
3．心脏每跳动一次，就完成一次收缩和舒张．心脏跳动时，血压在增大或缩小，并呈周期性变化，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压．某人的血压满足函数p(t)＝110＋25sin (150πt)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则相邻的收缩压和舒张压的时间间隔是( )
A． B．
C．D．
4．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值(单位：m)记录表．
试用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值y与时间t∈[0，24]的函数关系，则这个函数关系式是________________________．
课堂小结
1.三角函数在物理中的应用．
2．三角函数在生活中的应用．
5．7 三角函数的应用
问题探究 提示：由题图可知，ω＝＝，A＝20.
又t＝0时，y＝20sin φ＝－20，
解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<π，所以φ＝－.
故y＝20sin (t－)．
例1 解析：(1)∵周期T＝2×[]＝，
∴ω＝＝150π，
又A＝300，∴I(t)＝300sin (150πt＋φ)，
将点(－，0)代入上式，得sin (φ－)＝0，
又|φ|<，∴φ－＝0，φ＝，
∴I(t)＝300sin (150πt＋)．
(2)当t∈[0，]时，此时150πt＋∈[]，
令|I(t)|＝|300sin (150πt＋)|>150，
则sin (150πt＋)>或sin (150πt＋)<－，
所以<150πt＋<或<150πt＋<，
解得0由－0＝＝，
得在1个周期内，该用电器核心部件的有效工作时间是＝ s．
跟踪训练1 解析：(1)由图易知小球的振幅A＝3，
最小正周期T＝2()＝π，所以ω＝＝2，
∴h(t)＝3sin (2t＋φ)，
∴代入(，3)可得3＝3sin (2×＋φ)，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，
又0<φ<，∴初相φ＝.
(2)∵小球在振动过程中位于最高、最低位置时的速度为0 cm/s，
∴小球有100次速度为0 cm/s等价于函数h(t)有100次取得最值，
∵函数h(t)在一个周期内取得一次最大值、一次最小值，＝50，
∴函数h(t)经过50个周期时小球有100次速度为0 cm/s，
∴t∈[0，50π]时，小球有100次速度为0 cm/s，
又∵当t＝时，小球速度为0 cm/s，
∴t0的最小值为50π＋＝.
例2 解析：
(1)以摩天轮轴心为原点，与地面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设座舱距离地面最近的位置为点P，游客坐上座舱开始转动t min后距离地面的高度为H m，
当t＝0 min时，游客位于点P(0，－50)，以OP为终边的角为－，
因为摩天轮半径r＝＝50 m，旋转角速度为ω＝＝(rad/min)，
所以H＝50sin (t－)＋60，0≤t≤20，
当H＝50sin (t－)＋60≥85，
即sin (t－)≥，cs t≤－，
解得：t≤，解得：≤t≤，
因为＝ min，
故摩天轮旋转一周的过程中，有分钟可以看到游乐园全貌．
(2)设游客甲坐上座舱开始转动t min后，甲乙距离地面的高度分别为H1 m和H2 m，
H1＝50sin (t－)＋60，0≤t≤20，
因为摩天轮共有40个座舱，故相邻两个座舱之间的圆心角为＝，
故H2＝50sin (t－)＋60＝50sin (t－)＋60，0≤t≤20，
因为H1＝H2，所以sin (t－)＝sin (t－)，
因为0≤t≤20，所以(t－)＋(t－)＝π，解得：t＝ min，
所以当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱， min时二人距离地面的高度相等．
跟踪训练2 解析：(1)由图象可知：f(x)max＝30，f(x)min＝10，f(x)最小正周期T＝2×(14－6)＝16，
∴A＝＝10，b＝＝20，ω＝＝；
∵f(14)＝10sin (×14＋φ)＋20＝30，∴sin (＋φ)＝1，
∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得：φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
又0<φ<π，∴φ＝.
(2)由图象可知：f(x)在[4，6)上单调递减，在(6，12]上单调递增，
∴f(x)min＝f(6)＝10，f(x)max＝f(12)＝10sin ＋20＝5＋20，
∴f(x)max－f(x)min＝10＋5≈10＋5×1.4＝17，
即这一天4～12时的最大温差近似值为17.
例3 解析：(1)散点图如下，
(2)由散点图可知：应选择y＝A sin (ωt＋φ)＋b，
则A＝＝，b＝1，T＝＝12，即ω＝，
将(0，1)代入可得：1＝sin φ＋1，解得：φ＝0，
∴该模型的解析式为：y＝sin ＋1(0≤t≤24)．
(3)令y＝sin ＋1≥0.8，则sin ≥－，
∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π，
∴0≤t≤或t≤或t≤4π，
解得：0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24，∴应在白天11点到19点之间训练．
跟踪训练3 解析：(1)画出散点图，连线如图所示：
设y＝A sin ωt＋b，根据最大值13，最小值7，可列方程为：⇒，
再由T＝＝12，得ω＝，
y＝3sin t＋10(0≤t≤24)．
(2)3sin t＋10－8≥3.5⇒sin t≥.
∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π，
∴t≤，或＋2π≤t≤＋2π，
解得1≤t≤5，或13≤t≤17，
所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的．
[随堂练习]
1．解析：函数f(x)＝sin (x＋)的周期为T＝＝4π，振幅为A＝，初相为φ＝.故选C.
答案：C
2．解析：T＝＝1，所以从最右边到左边的时间为半个周期，即 s．故选C.
答案：C
3．解析：由题知，血压的最大值与最小值分别为收缩压和舒张压，又血压函数为正弦三角函数，则相邻的收缩压和舒张压即血压函数的半个周期，则T＝＝，时间间隔为T＝.故选A.
答案：A
4．解析：设y与t之间的函数关系式为y＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，
则由表中数据可得T＝12，且，
故ω＝＝且B＝5，A＝，所以y＝sin (t＋φ)＋5.
因为当t＝3时，y＝7.5，所以×3＋φ＝2kπ＋，k∈Z，解得φ＝2kπ，k∈Z，
故y＝sin t＋5，其中0≤t≤24.
答案：y＝sin t＋5，t∈[0，24]
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.4
1.0
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.1
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深值
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0