高中数学4.3 等比数列测试题

这是一份高中数学4.3 等比数列测试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )
A．1B．2
C．4D．8
2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝，a2＝1，则a1＝( )
A．B．
C．D．2
3．(多选)已知数列{an}是等比数列，且a3＋a5＝18，a9＋a11＝144，则a6＋a8的值可能为( )
A．－36B．36
C．－36D．36
4．已知单调递减的等比数列{an}中，a1＞0，则该数列的公比q的取值范围是( )
A．q＝1B．q<0
C．q>1D．05．《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，在粗的一端截下一尺，重4斤，在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”假设金棰由粗到细各尺重量依次成等比数列，则从粗端开始的第三尺重量是( )
A．2斤B．2斤
C．2斤D．3斤
二、填空题
6．在3和一个未知数间填上一个数，使三个数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是________．
7．某种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3 min自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________ min，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)．
8．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．
三、解答题
9．(1)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，求a2的值；
(2)已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且a4＋a6)＝5a5，求数列{an}的公比q．
10．已知数列{an}满足lg3an＋1＝lg3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则(a5＋a7＋a9)的值为( )
A．－5B．－
C．5D．
11．在正项等比数列{an}中，a3＝＝a2a6，则数列{an}的前n项积Tn中最大的值是( )
A．T3B．T4
C．T5D．T6
12．(多选)已知等比数列{an}的公比q<0，等差数列{bn}的首项b1＞0，若a9＞b9，且a10＞b10，则下列结论一定正确的是( )
A．a9a10＜0B．a9＞a10
C．b10＞0D．b9＞b10
13．已知在等比数列{an}中＝900－2a1a5，a5＝9a3，则a2 022的个位数字是________．
14．某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n．
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)在(1)的条件下求数列{bn}的通项公式．
课时分层作业(八)
1．A [法一：由a3a11＝16，即a1·22·a1·210＝16，且a1＞0，得a1＝．所以a5＝a1·24＝·24＝1．
法二：由等比数列的性质，知＝a3a11＝16．
又数列{an}的各项都是正数，所以a7＝4．
又a7＝a5×q2，则a5＝＝1．]
2．B [在等比数列中，a3a9＝，又a3a9＝＝，∴q＝±，又∵q＞0，∴q＝．又∵a2＝1，
∴a1＝＝．故选B．]
3．CD [设{an}的公比为q，则a9＋a11＝q6(a3＋a5)，于是q6＝＝＝8，因此q3＝±2，所以a6＋a8＝q3(a3＋a5)＝±36．]
4．D [因为等比数列{an}单调递减，
所以q＞0，an＋1－an＝a1qn－a1qn-1＝a1qn-1(q－1)＜0，因为a1＞0，所以qn-1(q－1)＜0，又因为n≥1，
所以qn-1＞0，q－1＜0，所以05．A [依题意知，金棰由粗到细各尺重量依次成等比数列，在这个等比数列{an}中，首项a1＝4，则a5＝2，所以a3＝＝＝2．
即从粗端开始的第三尺的重量是2斤．故选A．]
6．3或27 [设此未知数为m，则中间数为，又由条件可知3m＝，解得m＝3或27．]
7．45 [每3 min病毒占的内存容量构成一个等比数列，设病毒占据内存64 MB时自身复制了n次，则2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而所求时间为15×3＝45(min)．]
8．50 [因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5．
所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln (a1a2…a20)＝ln [(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln (a10a11)10＝10ln (a10a11)＝10ln e5＝50ln e＝50．]
9．解： (1)设等比数列{an}的公比为q，由a3a5＝a4－1)，得＝a4－1)，解得a4＝2，∴q3＝＝8，∴q＝2，∴a2＝a1q＝．
(2)由2(a4＋a6)＝5a5，得2(a4＋a4q2)＝5a4q，易知a4≠0，
所以2＋2q2＝5q，即(2q－1)(q－2)＝0，解得q＝2或q＝．
因为等比数列{an}为递增数列，且a1>0，
所以q>1，所以q＝2．
10．A [∵lg3an＋1＝lg3an＋1，∴＝3，
∴数列{an}是等比数列，公比q＝3，∴(a5＋a7＋a9)＝(a2q3＋a4q3＋a6q3)＝lg[(a2＋a4＋a6)q3]＝(9×33)＝－5．]
11．A [依题意，数列{an}是等比数列，所以＝a2a6＝，
所以q2＝．
又因为数列{an}为正项等比数列，所以q＝，所以an＝a3qn-3＝2·43-n＝27-2n，令an>1，即27-2n>1，得n<，因为n∈N*，所以n≤3，数列{an}的前n项积Tn中T3最大，故选A．]
12．AD [对选项A，因为q<0，所以a9a10＝a9·a9q＝q＜0，故A正确；
对选项B，因为a9a10＜0，所以或即a9＞a10或a9＜a10，故B错误；
对选项C，D，因为a9，a10异号，a9＞b9，且a10＞b10，所以b9，b10中至少有一个负数，
又因为b1＞0，所以d＜0，b9＞b10，故C错误，D正确．故选AD．]
13．3 [由等比数列的性质可得a1a5＝a2a4，
因为＝900－2a1a5＝900－2a2a4，所以＋2a2a4＝(a2＋a4)2＝900，
又因为an＞0，所以a2＋a4＝30，
又由a5＝9a3，所以a1(q＋q3)＝30，a3q2＝9a3，且q＞0，
解得a1＝1，q＝3，所以a2 022＝a1q2 021＝32 021＝(34)505×3，
所以a2 022的个位数字是3．]
14．解： (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，…．
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，
首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a1·qn-1＝13.5×0.9n-1．
∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元．
(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．
15．解： (1)证明：∵an＋Sn＝n，①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1．②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1．
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝，∵首项c1＝a1－1，
又a1＋a1＝1，∴a1＝，∴c1＝－，
又cn＝an－1，q＝．
∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．
(2)由(1)可知cn＝·＝－，
∴an＝cn＋1＝1－．
∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－－＝－＝．
又b1＝a1＝，代入上式也符合，∴bn＝．