高中数学人教A版 (2019)选择性必修第二册4.4* 数学归纳法复习练习题

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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修第二册4.4* 数学归纳法复习练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2
B．1＋＋<2
C．1＋＋<3
D．1＋＋＋<3
2．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上( )
A． B．－
C．－D．＋
3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )
A．该命题对于n>2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
4．利用数学归纳法证明1＋＋＋＋…＋A．1项B．k项
C．2k-1项D．2k项
5．(多选)对于不等式≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：
①当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
②假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即∴当n＝k＋1时，不等式成立，关于上述证明过程的说法正确的是( )
A．证明过程全都正确
B．当n＝1时的验证正确
C．归纳假设正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
二、填空题
6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证________．
7．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________．
8．已知f (n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f (2n)>时，f (2k+1)－f (2k)＝________．
三、解答题
9．已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N*)．用数学归纳法证明：an10．(多选)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞的过程中，下列说法正确的是( )
A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1
B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2
C．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是
D．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是
11．利用数学归纳法证明等式：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋n·1＝n(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，当n＝k时，左边的和1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋k·1，记作Sk，则当n＝k＋1时左边的和，记作Sk＋1，则Sk＋1－Sk＝( )
A．1＋2＋3＋…＋k
B．1＋2＋3＋…＋(k－1)
C．1＋2＋3＋…＋(k＋1)
D．1＋2＋3＋…＋(k－2)
12．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n-1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________．
13．记凸k边形的内角和为f (k)，则凸k＋1边形的内角和f (k＋1)＝f (k)＋________．
14．(1)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)；
(2)用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．
15．是否存在a，b，c使等式＋＋＋…＋＝对一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．
课时分层作业(十一)
1．B [因为n∈N*，n>1，故第一步应验证n＝2的情况，即1＋＋<2．故选B．]
2．C [因为当n＝k时，左端＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，左端＝1－＋－＋…＋－＋－．所以，左端应在n＝k的基础上加上－．]
3．B [由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时命题成立，故对所有的正偶数都成立．]
4．D [用数学归纳法证明不等式1＋＋＋＋…＋假设n＝k时不等式成立，左边＝1＋＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，
∴由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边增加了：＋＋…＋，
共(2k+1－1)－2k＋1＝2k项，故选D．]
5．BCD [n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故选BCD．]
6．n＝k＋2时等式成立 [由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2．故答案为n＝k＋2时等式成立．]
7．(k＋3)3 [假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除；当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3．
为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．
故答案为(k＋3)3．]
8．＋＋…＋ [因为假设n＝k时，f (2k)＝1＋＋＋…＋，当n＝k＋1时，
f (2k+1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋，
所以f (2k+1)－f (2k)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋－(1＋＋＋…＋)
＝＋＋…＋．]
9．证明： ①当n＝1时，a2＝1＋＝，a1②假设n＝k(k∈N*)时，ak0，
所以，当n＝k＋1时，不等式成立．
综上所述，不等式an10．BC [n＝1时，＞不成立，n＝2时，＋＞成立，所以A错误，B正确；当n＝k时，左边的代数式为＋＋…＋，
当n＝k＋1时，左边的代数式为＋＋…＋，故用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果，即－＝为不等式的左边增加的项，故C正确，D错误，故选BC．]
11．C [依题意，Sk＝1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋k·1，
则Sk＋1＝1·(k＋1)＋2·k＋3·(k－1)＋4·(k－2)＋…＋k·2＋(k＋1)·1，
∴Sk＋1－Sk＝1·[(k＋1)－k]＋2·[k－(k－1)]＋3·[(k－1)－(k－2)]＋4·[(k－2)－(k－3)]＋…＋k·(2－1)＋(k＋1)·1＝1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)．]
12．1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k+1＋25k+2＋25k+3＋25k+4 [当n＝1时，原式应加到25×1-1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，
从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k+1＋…＋25(k+1)-1．]
13．π [由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f (k＋1)＝f (k)＋π．]
14．证明： (1)①当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4＝10，右边＝＝10，左边＝右边，等式成立．
②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋3＋…＋(k＋3)＝，
那么当n＝k＋1时，1＋2＋3＋…＋(k＋3)＋(k＋4)＝＋(k＋4)＝，
即当n＝k＋1时，等式成立．
综上，1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)．
(2)①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，故当n＝1时不等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋＋＋…＋<2，
那么当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋<2＋，
因为4k2＋4k<4k2＋4k＋1，所以2<2k＋1，
所以2＋＝＝<＝2．
故当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上，由①②可知1＋＋＋…＋<2．
15．解：取n＝1，2，3可得
解得：a＝，b＝，c＝．
下面用数学归纳法证明＋＋＋…＋＝＝．
即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立；
②假设n＝k时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立，
则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k·(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)，
∴当n＝k＋1时等式成立．
由数学归纳法，综合①②知，当n∈N*时等式成立．
故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立．

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