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高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 简单复合函数的求导法则备课课件ppt
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这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 简单复合函数的求导法则备课课件ppt,共37页。PPT课件主要包含了素养目标•定方向,必备知识•探新知,y=fu,u=φx,y=fφx,fφx′,关键能力•攻重难,题型探究,x-y=0,易错警示等内容,欢迎下载使用。
§5 简单复合函数的求导法则
1.了解复合函数的求导法则.2.能求简单复合函数的导数. 通过求简单复合函数的导数,培养数学运算素养.
对于两个函数y=f(u)和u=φ(x),给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y的值,那么y可以表示成x的函数,称这个函数为函数____________和_____________的复合函数,记作_______________,其中u为中间变量.[提醒] 讨论复合函数的构成时,“内层”“外层”函数一般应是基本初等函数,如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等.然后从外向内逐层求导.
想一想:如何求复合函数y=f(φ(x))的定义域?提示:由内函数u=φ(x)的值域包含于外函数y=f(u)的定义域所求得的x的取值集合就是复合函数y=f(φ(x))的定义域.
复合函数y=f(φ(x))的导数为:y′x=_______________________=__________________________________________.
f′(u)φ′(x),其中u=φ(x)
想一想:任何两个函数都能复合吗?提示:只有外函数y=f(u)的定义域与内函数u=φ(x)的值域的交集非空时才能复合.
2.已知函数f(x)=(2x+a)2,且f′(2)=20,则a=_____. [解析] 易得f′(x)=4(2x+a),又f′(2)=20,即4(4+a)=20,解得a=1.
[规律方法] 1.不是任意两个函数都能复合,只有内函数的值域与外函数的定义域的交集非空时,才能复合.2.一个复合函数有不同的复合形式,要根据研究的需要进行选择.
函数y=e2x-1可以看成哪两个函数的复合?[解析] 函数y=e2x-1可以看成函数y=eu与函数u=2x-1的复合.
求下列函数的导数:
[分析] 先分析每个复合函数的构成,再按照复合函数的求导法则进行求导.
[规律方法] 求复合函数导数的步骤
(1)函数y=x2cs 2x的导数为( )A.y′=2xcs 2x-x2sin 2xB.y′=2xcs 2x-2x2sin 2xC.y′=x2cs 2x-2xsin 2xD.y′=2xcs 2x+2x2sin 2x
(3)函数f(x)=(2x+1)5,则f ′(0)的值为_______.
(1)函数f(x)=ln(x2+1)的图象在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为( )
[分析] (1)先求出函数在切点处的导数值,即为切线的斜率,从而求得切线在此处的倾斜角.(2)先设出切点坐标,再求函数在切点处的导数值,从而求得a的值.
[规律方法] 解决与复合函数有关的切线问题的关键有两个:(1)求复合函数的导数,这是正确解答的前提条件,要注意把复合函数逐层分解,求导时不要有遗漏.(2)求切线方程,注意切线所过的点是否为切点.
已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是_______________.[解析] 设x>0,则-x0时,f(x)=ex-1+x.因此,当x>0时,f ′(x)=ex-1+1,f ′(1)=e0+1=2.则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f′(1)=2,所以切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.
对复合函数的求导不完全而致误在对复合函数求导时,恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键.一般从最外层开始,由外及里,一层层地求导,最后要把中间变量变成自变量的函数.
函数y=xe1-2x的导数为________________________.[错解] y′=e1-2x+x(e1-2x)′=e1-2x+xe1-2x=(1+x)e1-2x.[正解] y′=e1-2x+x(e1-2x)′=e1-2x+xe1-2x(1-2x)′=e1-2x+xe1-2x·(-2)=(1-2x)e1-2x.
(1-2x)e1-2x
[点评] 错解中对e1-2x求导数,没有按照复合函数的求导法则进行,导致求导不完全.
1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是( )A.y=un,u=x2-1B.y=(u-1)n,u=x2C.y=tn,t=(x2-1)nD.y=(t-1)n,t=x2-1[解析] 将x2-1看作整体,记u=x2-1,则y=(x2-1)n由y=un和u=x2-1 复合而成.
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