四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共21页。

注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（ ）
A. 8B. 9C. 12D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据不放回抽取的性质进行求解即可.
【详解】设4个小球分别为，，，，则试验结果为．
故选：C
2. 某大型联考有16000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是515分，则成绩在515分以上的人数至少有（ ）
A. 6000人B. 6240人C. 6300人D. 6400人
【答案】D
【解析】
【分析】根据第60百分位数的意义进行进行求解即可.
【详解】成绩在515分及以下人数为，则成绩在515分以上人数为．
故选：D
3. 给出下列命题：
①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，若，则；
④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．
其中说法正确的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于①，当与的夹角为，满足，所以①错误；
对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误；
对于③，由，得到，所以或与垂直，所以③错误；
对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确.
故选：B.
4. 某地高校有100人参加2023数学建模竞赛，成绩频数分布表如下，根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为
A. 59B. 59.4C. 69D. 69.4
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数公式计算可得.
【详解】依题意平均数为．
故选：D
5. 若，，，则事件与的关系为（ ）
A. 相互独立B. 互为对立C. 互斥D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用和事件概率公式，求出，从而得到，即可判断出结果.
【详解】因为，
得，所以，
故选：A.
6. 把边长为的正方形对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求出坐标，从而得到，，再利用线线角的向量法即可求出结果.
【详解】取中点，连接，，以，分别为，轴，垂直面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为是边长为的正方形，所以,
则，，，
又易知，,，所以为二面角的平面角，
由题知，，所以，则
所以，，，
故，
所以，异面直线与所成角的余弦值为．
故选：D.
7. 某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为．成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，同学实际成绩137分，被错录为118分；同学实际成绩115分，被错录为103分；同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】分析前后的平均分，再根据方差公式判断即可.
【详解】设班级人数为，因为，所以更正前后平均分不变，
且，所以．
故选：C
8. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则中点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求点面距离即可.
【详解】以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设为平面的法向量，则，
所以，令，所以，
点到平面的距离为．
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为．下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.
【详解】若一组数据的平均数为，方差为，
则新数据的平均值为，方差为.
故选：CD
10. 下面结论正确的是（ ）
A. 若事件与相互独立，则与也相互独立
B. 若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件
C. 若，，与相互独立，则
D. 若，，则与互为对立事件
【答案】AC
【解析】
【分析】由相互独立和互斥事件的定义可判断A、B；由相互独立的乘法公式和对立事件的定义可判断C，D.
【详解】对于A：若事件与相互独立，因为，
所以
又，
所以，所以事件与相互独立，
所以
，
所以与是相互独立事件，故A正确；
对于B：若事件与是互斥事件，如掷一枚骰子出现、、点记为事件，
出现、、、点记为事件，则为出现、点，
满足事件与是互斥事件，显然与不互斥事件，故B错误；
对于C，若，，与相互独立，
则，故C正确；
对于D：如从共个整数中随机抽取一个数，
记抽到、、、、、为事件，则，
记抽到、、、为事件，则，
显然与不为对立事件，故D错误；
故选：AC
11. 某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据平均数、方差公式计算可得.
【详解】依题意，设男性人数为（），女性人数为，
该单位全体人员体重的平均数为：，
所以该单位全体人员体重的方差为：．
故选：AD
12. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是中点，点是棱的上动点（与端点不重合）．下列说法正确的是（ ）
A. 从、、、、、六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为
B. 从、、、、、六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为
C. 存在点，使直线与所成的角为
D. 不存在点，使平面
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据共面的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.
【详解】任取3点，有20个样本点，除开A、、和S、、分别共线，其余18种均不共线，故概率为；
任取4点，共有15个样本点；每条直线上任取2个点，则共有9个样本点，故概率为．
故A、B正确．
以A为空间原点建立空间直角坐标系，
，
设，，设，
则有，
则，，
，
解得，，方程有解，故C正确．
设平面的法向量，
，
则有，
由，可得，故D错误．
故选：ABC
【点睛】关键点睛：利用空间向量夹角公式、空间向量数量积运算性质是解题的关键.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中靶心，4，5，6，7，8，9表示击中靶心；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
8636 0293 7140 9857 5727 0347 4373 9647 4698 3312
6710 0371 6233 2616 9597 8045 6011 3661 4281 7424
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据对立事件的概率公式，结合古典概型计算公式进行求解即可.
【详解】恰好0次击中包含3321一个样本点，
恰好1次击中包含6233，0293，0371，6011四个样本点，
故至多击中一次包含五个样本点，对立事件至少2次击中则包含15个样本点，
故概率为．
故答案为：
14. 某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则__________．
【答案】250
【解析】
【分析】根据分层抽样等比例抽取的性质，列出等式计算即可.
【详解】设小学生抽取的人数为，高中生抽取的人数为，则初中生抽取的人数为，
所以，解得，
从而．
故答案：250
15. 某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为__________．
【答案】0.236
【解析】
【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.
【详解】设为独孤队第局取胜，
由题意，独孤队取胜可能结果为四个互斥事件：，，，，
所以独孤队取胜的概率
．
故答案为：
16. 已知空间向量，，两两之间的夹角均为，且，，，若向量，分别满足与，则的最小值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由题意可得，令，可得且，利用数量积的性质得出，最后由模的三角不等式可得结论．
【详解】依题意，，，
因为，所以，
所以，所以，
令，则，且，
由，得，所以，
所以，
当且仅当，共线同向且，共线时等号成立.
故答案为：．
【点睛】关键点睛：解题关键是把已知条件由结合已知变形得出，引入向量，可得，从而得到的最小值，从而由向量模的三角不等式得出结论．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 某稻谷试验田试种了，两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记，两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和．
（1）分别求这两个品种产量的极差和中位数；
（2）求，，，；
（3）依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适．
【答案】17. 极差：产品为35，产品为22，中位数：产品为63.5，产品为65.5；
18. ；，；
19. 推广品种水稻更合适．
【解析】
【分析】（1）根据中位数以及极差的计算公式即可求解，
（2）根据平均数和方差的计算公式即可求解，
（3）由平均数相同，方差越小越稳定即可求解.
小问1详解】
由表中数据可知， 产品的产量从小到大排列为，故产品的极差为，中位数为
产品的产量从小到大排列为，产品极差为，中位数位；
【小问2详解】
由题意：，
，
，
；
【小问3详解】
结合第（2）问可知，两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适．
18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，点为的中点，点在线段上且．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）首先用向量，，表示向量，再根据数量积的运算律计算可得.
【小问1详解】
因为点为的中点，所以，
所以；
【小问2详解】
因为点在线段上且，
所以，
所以，
所以，
因为在四棱锥中，底面为正方形，底面，底面
所以，，，
则，
，
．
19. 药品监督局检测某种产品的两个质量指标，，用综合指标核定该产品的等级．若，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件为“在抽取的2件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件的概率．
【答案】（1）0.6；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题设得到产品编号与综合指标的表格，应用古典概型的概率求法求一等品率；
（2）列举法求事件的概率即可.
【小问1详解】
由题设可得如下表格，
又则核定该产品为一等品，故一等品共有6个，所以一等品率为；
【小问2详解】
由题意，一等品中随机抽取2件产品有
，共15种，
其中事件，共10种
所以．
20. 如图四边形是平行四边形，，四边形是梯形，，且，，，沿将四边形翻折后使得平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的边角关系，可由余弦定理以及勾股定理证明线线垂直，进而根据面面垂直的性质即可求证，
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.
【小问1详解】
连接，，由于，，
所以，
由余弦定理得，
，，
，，，
,
由于，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面,
，，平面,
平面；
【小问2详解】
以为原点建立空间直角坐标系，，，，，
，，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
，取，，
，取，，
，
设二面角的平面角为，
，即二面角的正弦值为．
21. 某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）补全频率分布直方图，若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；
（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为80~100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；
（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，，，，五个等级．若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙、丙三人报名参加，三人互不影响．甲在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；乙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；丙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为，，．求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．
【答案】21. 图形见解析，78.75
22.
23.
【解析】
【分析】（1）首先求出的频率，再根据百分位数计算规则计算可得；
（2）首先求出各组的人数，再根据古典概型及对立事件的概率公式计算可得；
（3）首先求出甲、乙、丙能参加冬令营的概率，再根据相互独立事件的概率公式计算可得.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知的频率为，
所以组纵轴为，
所以频率分布直方图如下所示：
又，，
所以第分位数位于，且，
所以入围分数应设为分；
【小问2详解】
依题意抽取人，抽取人，
从人中随机选人一共有中选法，其中人都是的有中选法，
设事件：“至少有1名学生成绩不低于”，则；
【小问3详解】
依题意甲能参加冬令营的概率，
乙能参加冬令营的概率，
丙能参加冬令营的概率，
所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．
22. 如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上．
（1）若，，求证：，，，四点共面；
（2）求；
（3）若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】22. 证明见解析
23.
24.
【解析】
【分析】（1）利用共面向量定理可证明；
（2）由线面平行则直线上的点到平面的距离都相等，可将所求三棱锥的体积转化为，又由题意可得点在平面的射影落在上，可求得点到平面的距离，进而得解；
（3）建立空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦可得解.
【小问1详解】
，，，
，所以,,,四点共面.
【小问2详解】
平面，
上的所有的点到平面的距离都相等，
同理上所有的点到的距离也相等，
，
，
点在平面的射影落在上，过点作，过点作，
平面，
，又与是平面内两条相交直线，
平面,，在直角三角形中，，
，解得,
又在直角三角形中，，，
在直角三角形中，可得，
；
【小问3详解】
设与的交点为，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由（2）可知，，
，，，，
由，可求得，，
，，
设为平面的法向量，
，取，，，
，
，，
设，，
，
设直线与平面所成角的为，
，
，，
．
成绩分组/分
人数/人
4
25
50
15
6
（单位：）
60
63
50
76
71
85
75
63
63
64
（单位：）
56
62
60
68
78
75
76
62
63
70
产品编号
质量指标
产品编号
质量指标
产品编号
2
4
8
3
6
5
3
2
1
6